Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. Назовите основные шаги процедуры STEM. 2. Какие принципы выбора компромиссных решений зало- жены в процедуре STEM? 3. Назовите основные шаги метода «ЭЛЕКТРА». 4. Как определяются пороги согласия и несогласия? 5. Назовите основные шаги решения многокритериальной задачи о назначениях. 6. Что такое дерево решений? 7. На решение каких задач ориентирован метод анализа ие- рархий? 8. Опишите метод анализа иерархий. 152 7 ГРУППОВОЙ ВЫБОР И СИСТЕМЫ ПОДДЕРЖКИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ 7.1 Групповые решения 7.1.1 Проблемы многокритериальных задач группового выбора До сих пор можно было считать, что у нас есть один экс- перт или одно ЛПР. А что делать, если их несколько? Пусть, для примера, мы готовим предложения для одного ЛПР и хотим учесть мнение нескольких экспертов. Рассмотрим такой случай применительно к модели критериального выбора. При групповой экспертизе наиболее типична следующая ситуация: • у экспертов разные мнения по поводу набора критериев, • у экспертов разные мнения о сравнительной значимости критериев, • эксперты дают разные оценки альтернатив по критериям. Можно сказать, что методы группового выбора позволяют структуризовать множество альтернатив в ситуации «разноголо- сицы» суждений экспертов. Для начала вспомним, как преодо- левается разница мнений в обычной практике. На ум тут же приходит способ решения спорных вопросов методами голосо- вания: консенсус (полное согласие), простое большинство, ква- лифицированное большинство. При всей хрестоматийности и широкой распространенности, эти методы имеют по меньшей мере один существенный недостаток. Они отбрасывают мне- ние меньшинства (кроме консенсуса, где изначальное меньшин- ство попросту сводится на нет путем убеждения). В методах поддержки принятия решений пытаются, по возможности, обра- батывать экспертные суждения без отбрасывания. Действи- тельно, ведь мы имеем дело с экспертами, т.е. со специалистами высокой квалификации. Как же можно просто отбрасывать их мнения? Иногда к отбрасыванию все же прибегают, но — в ред- ких случаях, например в методах так называемой «борьбы с ма- нипулированием», т.е. сознательным искажением экспертами своих оценок с целью лоббирования тех или иных альтернатив. 153 Любители фигурного катания знают, что при выставлении оцен- ки участнику соревнований крайние оценки судей отбрасывают- ся, а оставшиеся усредняются. Это пример одного из простых методов борьбы с манипулированием. Какие же методы приме- няются для решения проблем, обозначенных в начале этого раз- дела? При формировании набора критериев можно попросить каждого эксперта дать свое множество критериев, а затем объе- динить все множества в одно. Если есть жесткое ограничение по количеству критериев, то тут без отбрасывания не обойтись. Проще всего упорядочить критерии по частоте упоминания и «подвести черту» в том месте, которое удовлетворяет заданному ограничению. Итак, набор критериев сформирован. Как получить их срав- нительную значимость? Здесь хорош, например, метод построе- ния компромиссной ранжировки [6]. Каждый эксперт дает свою ранжировку критериев по важности. На основе индивидуальных ранжировок нужно построить обобщенную. Это можно сделать разными методами. Наиболее корректным (но и наиболее трудо- емким) считается метод «медианы Кемени» (по имени автора — американского математика и экономиста, лауреата Нобелевской премии). Для нахождения медианы, прежде всего, нужно задать способ определения расстояния между ранжировками, как гово- рят математики, «определить метрику в пространстве ранжиро- вок». После этого нужно найти (построить) такую ранжировку, суммарное расстояние от которой до всех заданных экспертных ранжировок было бы минимально. Искомая ранжировка и будет медианой Кемени. Заметим, что тем самым мы получаем обоб- щенное мнение экспертов, не отбрасывая ни одного мнения, по- скольку при построении медианы существенно учитываются все индивидуальные ранжировки. Теперь займемся оценками альтернатив по критериям. Итак, первое, что приходит в голову, — нужно взять среднее арифметическое оценок экспертов. К сожалению, все не так просто. Прежде всего, нужно задуматься о согласованности экспертных суждений. Действительно, если эксперты оценива- ют реальный объект, то их оценки не должны сильно расходить- ся. А если они все-таки существенно расходятся? Тогда, прежде всего, нельзя использовать среднее арифметическое, поскольку 154 тогда мы получаем так называемую «среднюю температуру по больнице». Действительно, если сложить температуру всех вы- сокотемпературных больных и температуру тел в морге, а потом поделить на общее количество замеров, то можно получить 36, 6 °. Свидетельствует ли это о том, что «в среднем» все находя- щиеся в больнице здоровы? Тем не менее абсурдность усредне- ния оценок без предварительного анализа согласованности мало кто понимает. А как считать согласованность? Если распределе- ние оценок близко к Гауссовому, можно использовать стандарт- ное отклонение. Если нет, нужно использовать непараметриче- ские методы расчета согласованности. А если согласованность все же оказалась низкой? В этом случае нужно пытаться выяс- нить причину расхождений и, по возможности, попытаться уст- ранить ее. Часто причиной может быть отсутствие важной ин- формации у некоторых экспертов. Иногда ситуация слишком неопределенна, «размыта». В некоторых случаях эксперты раз- биваются на две устойчивые группы (ситуация разных научных школ или ситуация «разработчики-эксплуатанты»). В этом слу- чае также нельзя строить обобщенные оценки. Группы нужно уметь выявлять и обрабатывать отдельно. Таким образом, спо- соб обработки оценок в каждом конкретном случае должен под- бираться индивидуально и тщательно обосновываться. 7.1.2 Постановка задачи группового выбора Под групповым выбором понимается процедура принятия коллективного решения на основе согласования индивидуаль- ных предпочтений членов группы. Это согласование произво- дится на основе принципа группового выбора, который опреде- ляет правило согласования и выбора наилучшего решения. Пусть для решения проблемной ситуации предложен ряд вариантов решений 1 ( , ..., ). m X x x = Имеется групповое ЛПР, состоящее из s коалиций (малых групп) — объединений участ- ников группового выбора с совпадающими целями. Каждый член i коалиции j может выбирать решения в соответствии со своими предпочтениями , 1, , 1, . ij f i l j s = = 155 Оценка решений коалицией j F представляет собой вектор индивидуальных предпочтений 1 ( , ..., ) j j lj F f f = . Для образо- вания единого группового предпочтения 1 ( , ..., ) s F F F F = необ- ходимо согласовать индивидуальные предпочтения ij f в коа- лициях (раздел 7.1.3), а затем — коалиционные решения в виде единого решения по некоторым принципам группового выбора (раздел 7.1.4). Рассмотрим наиболее распространенные принци- пы коллективного выбора [6, 12, 43]. 7.1.3 Принятие коллективных решений в малых группах Имеется групповое ЛПР, состоящее всего из одной коали- ции, отражающей общность целей всех ее членов. Необходимо согласовать индивидуальные предпочтения членов группы по соответствующим принципам и выбрать наилучшее решение. Принцип большинства голосов утверждает, что групповое предпочтение должно соответствовать предпочтению коалиции, которая имеет число голосов, превышающих некоторый порог. Если порог равен половине участников группового ЛПР (51 %), то говорят о принципе простого большинства голосов, при по- роге в ¾ голосов — о принципе подавляющего большинства го- лосов, при пороге, близком к 100 %, — о принципе абсолютного большинства, при пороге в 100 % — о принципе единогласия (консенсуса). Как отмечается в [3], правило большинства привлекательно своей простотой и экономичностью, но имеет некоторые осо- бенности: • только дальнейшая практика показывает, правильным или ошибочным было решение, принятое большинством голо- сов (само голосование — лишь форма согласования дальнейших действий); • даже в простейшем случае выбора одной из двух альтер- натив легко представить себе ситуацию, когда правило боль- шинства не срабатывает — разделение голосов поровну при четном числе голосующих. 156 В соответствии с принципом диктатора в качестве груп- пового предпочтения принимается предпочтение одного лица группы (коалиции). Ввиду того, что при данном принципе со- вершенно не учитываются предпочтения других членов группы, понятие группового ЛПР теряет содержательный смысл. Прин- цип диктатора характерен для военных организаций и широко используется при принятии решений в чрезвычайных обстоя- тельствах. Принцип диктатора и большинства голосов не учитывает интересы всех членов группы. Их применение в принципе при отсутствии определенных сдерживающих факторов может при- вести к распаду группового ЛПР. Французский ученый маркиз де Кондорсе (1743–1794 гг.) сформулировал принцип или критерий, позволяющий опреде- лить победителя в демократических выборах. Принцип де Кон- дорсе состоит в следующем [12]: кандидат, который побежда- ет при сравнении один на один с любым из других кандидатов, является победителем на выборах. Каждый из голосующих упорядочивает кандидатов по сте- пени своего желания видеть его победителем. Согласно де Кон- дорсе, справедливое определение победителя возможно путем попарного сравнения кандидатов по числу голосов, поданных из-за них. Однако вскоре маркиз де Кондорсе столкнулся с па- радоксом, получившим впоследствии его имя. Согласно методу Борда результаты голосования выража- ются в виде числа баллов, набранных каждым из кандидатов [12]. Если число кандидатов равно n, то за первое место прису- ждается n баллов, за второе — ) 1 ( − n балл, за последнее — один балл. Рассмотрим примеры голосования в собрании представите- лей из 60 человек [12]. Пример 1. Парадокс де Кондорсе Пусть на голосование поставлены три кандидата: C B A , , и голоса распределились, как в таблице 7.1. 157 Таблица 7.1 — Примеры распределения голосов Число голосующих № пп Предпочтения Пример 1 Пример 2 Пример 3 1 C B A → → 23 0 0 2 B C A → → 0 23 31 3 A C B → → 17 19 12 4 C A B → → 2 0 0 5 B A C → → 10 2 2 6 A B C → → 8 16 15 Сравним предпочтения по отношению к парам кандидатов. Берем A и B : тогда A предпочитают 33 10 23 ) ( = + → B A B ; B предпочитают 27 8 2 17 ) ( = + + → A B A Следовательно, A предпочтительнее ) ( B A B → по воле большинства. Аналогично сравним другие пары (табл. 7.2). Таблица 7.2 — Попарное распределение голосов A B C A – 23+10=33 23+2=25 B 17+2+8=27 – 23+17+2=42 C 17+10+8=35 10+8=18 – Анализируя распределение голосов, приходим к противоре- чию, к нетранзитивному отношению A C B A → → → Столкнувшись с этим парадоксом (нетранзитивным отно- шением), де Кондорсе выбрал решение, которое поддерживается большинством голосов: C B A → → (23+0 >17+2 > 10+8). При- чина данного парадокса нетранзитивности группового выбора в цикличности совокупности исходных индивидуальных предпоч- тений. Пример 2. Принцип большинства Пусть голоса по трем кандидатам распределились иначе (табл. 7.1). Нетрудно подсчитать, что при этих новых результа- тах голосования, в соответствии с принципом Кондорсе, попар- 158 ное распределение голосов будет представлено таблицей 7.3, а, в соответствии с принципом Кондорсе, избранным будет канди- дат C , который при попарном сравнении побеждает двух дру- гих кандидатов ( A C → с числом голосов, равным 37, и B C → с числом голосов, равным 41). В целом отношение между тремя кандидатами по принципу Кондорсе будет A B C → → . Однако если применить принцип большинства голосов, то отношение между тремя кандидатами будет C B A → → (23 > 19 > 18) и победителем оказывается кандидат A . Но при этом кандидат A не набрал простого большинства голосов (51 %). Таблица 7.3 — Попарное распределение голосов A B C A — 25 23 B 27 — 19 C 37 41 — Пример 3. Метод Борда. Применим метод Борда к приведенному выше примеру 2. Для каждого кандидата баллы распределятся следующим образом: 138 3 16 3 2 2 19 2 23 : , 114 2 16 1 2 3 19 1 23 : , 108 1 16 2 2 1 19 3 23 : = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ C B A В соответствии с методом Борда следует объявить победи- телем кандидата C , как и по принципу Кондорсе. Однако с ме- тодом Борда тоже возникают проблемы. Рассмотрим результаты голосования для примера 3 (табл. 7.1). Подсчитав баллы для ка- ждого кандидата методом Борда, получим: A ( — 124, B — 99, C — 137 ) . Следовательно в соответствии с методом Борда по- бедителем следует считать кандидата C . Однако по принципу большинства голосов следует считать победителем кандидата A (31 голос из 60). Приведенные примеры (табл. 7.4) позволяют считать, что парадоксы при голосовании не возникают лишь в случае, когда 159 победитель определяется по принципу большинства голосов при пороге 51 %. Однако такой случай нетипичен для большинства выборов, поэтому прибегают к проведению двух туров голосования. Во второй тур выходят два кандидата, набравшие большинство го- лосов. Но и при такой системе сохраняются парадоксы голосо- вания [3, 12, 43]. Таблица 7.4 — Результаты голосования Варианты голосования Правила голосования Пример 1 Пример 2 Пример 3 Кондорсе нетранзитив- ность C A и C Большинство голосов A (38,3 %) A (38,3 %) A (51,1 %) Борда B C C 7.1.4 Коалиционный выбор Имеется групповое ЛПР, состоящее из нескольких коали- ций со своими функциями предпочтений. Следует согласовать коалиционные решения по некоторым принципам группового выбора, обеспечивающим в некотором смысле выбор «опти- мальных» решений и устойчивость существования всей группы. Принцип оптимальности Курно отражает индивидуаль- ную рациональность: ни одному участнику/коалиции группово- го ЛПР отдельно невыгодно менять своего решения за неимени- ем лучшего. По принципу Парето группа может улучшать свои реше- ния без несения ущерба каждому участнику. Этот принцип при- меним при сильной зависимости всех участников группового ЛПР. Конкретизация принципов согласования группового выбора может быть приведена в следующих условиях отношений между коалициями: статус-кво, конфронтации, рациональности [6, 43]. При отношении статус-кво коалиции стараются сохранить существующее положение. При отношении конфронтации коа- лиции действуют так, чтобы навредить друг другу. При отноше- 160 нии рациональности коалиции действуют в собственных инте- ресах, что, естественно, не обязательно приносит ущерб другим коалициям. Рассмотрим применение принципов группового выбора в условиях гипотезы статус- кво на примере [6]. Пусть име- ется групповое ЛПР, вклю- чающее всего два члена. Сформулировано два варианта решения проблемы, и каждый из членов группы в соответст- вии со своими предпочтения- ми y может выбрать любое решение (в табл. 7.5 даны ранговые оценки). Поэтому возможны следующие варианты решений при групповом выборе: 11 12 ( , ) y y — первый член группы выбрал решение 1 x , вто- рой член группы — решение 1 x ; 11 22 ( , ) y y — первый член группы выбрал решение 1 x , вто- рой член группы — решение 2 x ; 21 12 ( , ) y y — первый член группы выбрал решение 2 x , вто- рой член группы — решение 1 x ; 21 22 ( , ) y y — первый член группы выбрал решение 2 x , вто- рой член группы — решение 2 x . Допустим, что члены группового ЛПР высказали свои предпочтения состояний в рангах (табл. 7.6). Таблица 7.6 — Групповое предпочтение Решения Предпочтение состояний ) , ( 12 11 y y ) , ( 22 11 y y ) , ( 12 21 y y ) , ( 22 21 y y 1 f 1 3 3 2 2 f 2 3 3 1 Таблица 7.5 — Индивидуальные предпочтения Члены группы Решение 1 e 2 e 1 x 1 11 = y 2 12 = y 2 x 2 21 = y 1 22 = y 161 Рассмотрим решения группового ЛПР для различных прин- ципов группового выбора. По принципу Курно (две коалиции с предпочтениями 1 f и 2 f ) оптимальными состояниями являются 11 12 ( , ) y y и 21 22 ( , ) y y Это означает, что каждой коалиции выгодно одновременно при- нять либо решение 1 x , либо решение 2 x . По принципу Парето (одна коалиция с двумя участниками) оптимальными состояниями являются эти же состояния 11 12 ( , ) y y и 21 22 ( , ) y y , так как они образуют недоминируемое множество состояний. Таким образом, в условиях отношения статус-кво опти- мальные состояния одинаковы и заключаются в том, что обоим членам группы нужно принимать одинаковые решения: либо 1 x , либо 2 x . Как отмечалось ранее, для систем голосования с различными принципами согласования предпочтений избирателей могут воз- никать соответствующие парадоксы. Отметим еще один парадокс при многоступенчатом голосовании по принципу большинства: коалиция, находящаяся в меньшинстве, может добиться принятия своего решения. Приведем пример [3]. На рис. 7.1 изображено го- лосование по три большинством в 2/3 на каждой ступени. 4:5 2:1 8:19 Рис. 7.1 — Иллюстрация парадокса многоступенча- того голосования при наличии коалиции 162 Видно, что на третьей ступени голосования уже побеждает меньшинство. В президентских выборах США, например, в 1876 г. был избран Р.Б. Хейес (185 голосов выборщиков), а не С.Дж. Тилден (184 голоса), хотя на долю последнего пришолся 51 % голосов всех избирателей. Подобные ситуации повторялись и в 1874 и 1888 гг. |