Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр
 Скачать 1.57 Mb.
|
|
Контрольные вопросы 1. Назовите основные проблемы выбора компромиссных решений. 2. Охарактеризуйте основные принципы выбора компро- миссных решений? 3. В чем основное отличие выбора компромиссного реше- ния по принципу выделения главного критерия от принципа по- следовательных уступок? 4. Укажите основные способы задания бинарных отношений. 5. Дайте определение отношению Парето. 6. Верно ли, что элементы множества Парето находятся в отношении Парето? 7. В чем суть аксиоматического подхода в задачах приня- тия решений? 8. Как проверяется взаимная независимость критериев по предпочтению? 9. Как строятся функции полезности в задачах выбора? 10. Какими способами можно задать функцию выбора? 86 5 ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ РИСКА И НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ 5.1 Виды неопределенности ЗПР Выбор наилучших способов действий в условиях неполной информации, в условиях недостаточной ясности обстановки — один из наиболее распространенных видов управленческих ре- шений. Принятие решений в неопределенной обстановке связа- но с неизбежным риском. Сегодня большинство серьезных управленческих решений, сопряженных с риском, не может быть принято интуитивно, исходя лишь из предшествующего опыта и здравого смысла. Попытки выработки решений «на глаз» сплошь и рядом оканчиваются неудачами. Для выработки наиболее рациональных решений применя- ются методы формализованного описания составляющих элемен- тов процесса принятия решений: проблемной ситуации, целей, альтернатив, критериев, исходов (последствий альтернатив). В общем случае описание элементов задачи ПР на форма- лизованном (профессиональном) языке ЛПР подвержено в силу различных причин искажению. Наиболее важные для задач ПР виды неопределенности можно представить с помощью дерева [33] (рис. 5.1). Первый уровень данного дерева образован терминами, каче- ственно характеризующими количество отсутствующей инфор- мации об элементах задачи ПР. Неизвестность связана с отсут- ствием любой информации, как правило, на начальной стадии изучения задачи. В процессе сбора информации на определен- ном этапе может оказаться, что собираемая информация недос- товерна: собрана не полностью либо собранная информация ха- рактеризует элементы задачи ПР приблизительно (неадекватно). Наличие недостоверной информации связано с недостачей ре- сурсов, выделенных для ее сбора. Дальнейшее изучение задачи может привести либо к ситуации определенности, в которой все элементы описаны однозначно (например, транспортная задача линейного программирования), либо к ситуации неоднозначно- сти. Для последней предполагается, что вся возможная инфор- 87 мация о задаче собрана, но полностью определенное описание не получено и не может быть получено. Неопределенность Неизвестность Недостоверность Неоднозначность Лингвистическая неопределенность Физическая неопределенность Неопределенность значений слов (полисемия) Неоднозначность смысла фраз Омонимия Нечеткость Синтаксическая Семантическая Рис. 5.1 — Неопределенности описания задач ПР Второй уровень дерева описывает источники (причины) возможной неоднозначности описания, которыми являются внешняя среда (физическая неопределенность) и используемый ЛПР профессиональный язык (лингвистическая неопределен- ность). Физическая неопределенность может быть связана как с на- личием во внешней среде нескольких состояний и возможно- стей, каждая из которых случайным образом становится дейст- вительностью (стохастическая неопределенность), так и с не- точностью измерений вполне определенной величины (ситуация неточности). Лингвистическая неопределенность связана с использова- нием естественного языка (в частном случае — профессиональ- ного языка ЛПР) для описания задачи ПР. Лингвистическая не- определенность порождается, с одной стороны, множественно- 88 стью значений слов (понятий и отношений) языка, которую ус- ловно называют полисемией, а с другой стороны, неоднозначно- стью смысла фраз. Если отображаемые одним и тем же словом объекты задачи ПР существенно различны, то соответствующую ситуацию от- носят к омонимии. Например, коса — вид побережья, сельско- хозяйственный инструмент, вид прически. Если же эти объекты сходны, то ситуацию относят к нечеткости. Например, пожилые люди: Иванов, 65 лет; Петров, 77 лет и т.д. (см. подразделы 4.2.3, 4.2.2, 4.4.2). Неоднозначность смысла фраз, как правило, вызвана син- таксической и семантической неоднозначностью. В первом слу- чае уточнение синтаксиса позволяет понять смысл фразы. При- меры: «казнить, нельзя помиловать» — «казнить нельзя, поми- ловать»; «он встретил ее на поляне с цветами» — «он встретил ее на (поляне с цветами)». Во втором случае при семантической неопределенности смысла фраз отдельные слова понятны, но неясен смысл всей фразы. 5.2 Принятие решений в условиях риска 5.2.1 Постановка ЗПР в условиях риска Выбор (принятие решения) является наиболее ответствен- ным этапом процесса разработки управленческих решений. На этом этапе ЛПР должно осмыслить всю информацию, получен- ную на предыдущих этапах процесса ПР, и использовать ее для интегральной оценки решений и обоснования выбора, наилуч- шего с точки зрения некоторого критерия. Рассмотрим индивидуальный (одним ЛПР) выбор решения на матрице исходов ij Y y = альтернатив i x X ∈ в ситуациях j e E ∈ . Оценка ij y исходов альтернатив i x в конкретной ситуации j e может быть проведена по одному и совокупности критериев достижения целей, способы ее получения рассмотрены ранее. Рассмотрим задачу по транспортировке грузов. Перед ЛПР стоит цель: перевозка грузов от поставщиков к потребителям 89 автомобильным транспортом (либо по асфальтовой дороге — альтернатива 1 x , либо по грунтовой — 2 x , либо по гравийной — 3 x ), при этом в день отправки автомобилей возможно изменение погодных условий, а вместе с ними ожидаемых транспортных рас- ходов (ремонт, бензин и др.) и доходов от доставки грузов. Возможные погодные условия: 1 e — сухая ясная погода; 2 e — кратковременные дожди; 3 e — сильные продолжительные дожди; 4 e — заморозки. Необходимо выбрать маршрут движения автомобилей с учетом погодных условий и ожидаемых доходов от доставки грузов. Вышеизложенной информации о ситуации недостаточно для формальной постановки задачи выбора. Если матрицу исхо- дов (ожидаемых доходов) мы можем в целом определить для каждой альтернативы , ( 1,3) i x x i = и каждого состояния , ( 1,4) j e x j = через решение соответствующих транспортных задач (решается 3 4 × задач), то учет погодных условий требует знания закона (априорной информации) о случайном поведении среды. При различной конкретизации этой задачи она приобре- тает различный смысл и требует различных методов решения: в условиях риска и в условиях неопределенности. Если закон опи- сания состояний внешней среды задан в виде распределения ве- роятностей на множестве этих состояний, имеющих объектив- ный характер на основе статистических оценок и строгих анали- тических расчетов, то для решения задачи выбора могут быть использованы методы теории статистических решений [31]. Пусть ij P p = — матрица значений вероятностей наступ- ления исхода ij y либо j P p = — вектор-строка распределения вероятностей появления каждого из состояний среды, если ( ), 1, , 1, ij j j p p e i m j n = = = Распределение вероятностей Р определяется на основе ста- тистических оценок либо аналитическими методами, основан- ными на формулировке гипотез о поведении среды с использо- ванием аксиом, теорем и методов теории вероятности. Получен- 90 ное таким образом распределение Р называют объективным распределением вероятности. Если множество Е образует пол- ную группу событий, то 1 1, 1, n ij j p i m = = = ∑ Рассмотрим основные критерии (правила) выбора альтерна- тив для данного класса задач ПР, которые получили названия ЗПР в условиях риска. 5.2.2 Критерий Байеса Обозначим ( , ) i i ij ij j B p x p y = ∑ — математическое ожида- ние значений оценочного функционала при выборе стратегии i x . В соответствии с критерием Байеса стратегия ∗ k x считается оптимальной, если ( , ) max ( , ) k k i i i B p x B p x ∗ = , т.е. arg max ( , ) k i i i x B p x ∗ = Этот критерий обеспечивает максимальную среднюю «по- лезность» (например, доход). Естественно, при однократной реализации решения, доход ЛПР может существенно отличаться от математического ожидания. Пример Пусть результаты анализа ранее описанной ситуации по транспортировке грузов представлены в табл. 5.1. Таблица 5.1 — Исходные данные Стратегии Погодные условия 1 e 2 e 3 e 4 e 1 x 100 25 80 64 2 x 70 80 20 120 3 x 60 90 50 30 Вероятно- сти 0,4 0,3 0,1 0,2 91 Найти оптимальную стратегию, обеспечивающую макси- мальный средний доход. Воспользуемся критерием Байеса: 1 2 3 ( , ) 100 0,4 25 0,3 80 0,1 64 0,2 68,3; ( , ) 78; ( , ) 62. B p x B p x B p x = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = = = Лучший результат дает альтернатива 2 x . Рассмотрим измерение предпочтения альтернатив в поряд- ковой шкале, осуществляемое методами ранжирования или пар- ного сравнения. Пусть результаты измерения предпочтений бу- дут представлены в виде матриц парных сравнений альтернатив в каждой ситуации с элементами k ij x , где , 1, i j m = — сравни- ваемые альтернативы i x X ∈ и ; j x X ∈ 1, k n = — оцениваемые ситуации k e åñëè åñëè 1, ; 0, k k i j k ij k k j i x x x x x = f f Совокупность матриц парных сравнений (равно числу си- туаций) можно рассматривать как точки в пространстве упоря- дочения решений. В этом пространстве можно ввести понятие «средней точки» (средней матрицы парных сравнений) с коор- динатами ij y . Для построения средней матрицы парных сравнений вос- пользуемся условием минимума суммарного расстояния этой матрицы от матриц парных сравнений для всех ситуаций [6]. 2 1 1 1 ( ) min, ij n m m k k ij ij y k i j p x y = = = − → ∑∑∑ где k p — вероятность ситуации k . Раскроем скобки и упростим выражение, минимизируемое по ij y 92 ( ) ( ) 2 2 1 , 1 1 , 1 1 , 1 1 , 1 2 ( ) 2 1 2 2 n m n m k k k k k ij ij ij ij k ij ij ij ij k i j k i j n m n m k k k ij k ij ij k i j k i j p x x y y p x x y y p x p y x = = = = = = = = − + = − + = = − − ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ При заданных матрицах парных сравнений k ij x первый член в этом выражении является постоянным. Поэтому необходимо максимизировать L , 1 1 max. 2 ij m n k ij k ij y i j k L y p x = = − ⇒ ∑ ∑ Максимальное значение L достигается при 1 1 åñëè åñëè 1 1, ; 2 1 0, 2 n k k ij k ij n k k ij k p x y p x = = ≥ = < ∑ ∑ Средний выигрыш альтернативы определяется по формуле 1 1 1 , 1, . m ij j i m m ij i j y i m y = = = β = = ∑ ∑∑ Наилучшей альтернативой считается arg max . j i i x ∗ = β Пример Пусть результаты предпочтений альтернатив в каждом со- стоянии внешней среды представлены (по данным табл. 5.1) в виде матриц парных сравнений 93 Определяем элементы средней матрицы предпочтений аль- тернатив. В ней 1, 1,3, ii y i = = 12 {1 0,4 0 0,3 1 0,1 0 0,2 0,4 0,1 0,5} 1. y = ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ = + = = Результаты расчетов будут следующими Наилучшими альтернативами следует считать 1 x ∗ и 2 x ∗ 5.2.3 Критерий минимума дисперсии оценочного функционала Пусть 2 2 1 ( , ) [ ( , )] m i i ij ij i i j p x p y B p x = δ = − ∑ Оптимальная стратегия k x ∗ выбирается исходя из условия 4 , 0 : 1 1 = p e 1 x 2 x 3 x 1 x 1 1 1 2 x 0 1 1 3 x 0 0 1 3 , 0 : 2 2 = p e 1 x 2 x 3 x 1 x 1 0 0 2 x 1 1 0 3 x 1 1 1 1 , 0 : 3 3 = p e 1 x 2 x 3 x 1 x 1 1 1 2 x 0 1 0 3 x 0 1 1 2 , 0 : 4 4 = p e 1 x 2 x 3 x 1 x 1 0 1 2 x 1 1 1 3 x 0 0 1 ij y = 1 x 2 x 3 x 1 x 1 1 1 2 x 1 1 1 3 x 0 0 1 1 2 3 3/ 7 3/ 7 1/ 7 β = β = β = 94 2 arg min ( , ) k i i i x p x ∗ = δ Решение характеризуется минимальным разбросом «полез- ности» относительно ее математического ожидания. Пример Исходные данные приведены выше в табл. 5.1. 2 2 2 2 1 2 ( , ) 0,4(100 68,3) 0,3(25 68,3) 0,1(80 68,3) 0,2(64 68,3) 981,81; i p x δ = − + − + − + + − = 2 2 ( , ) 714; i p x δ = 2 3 ( , ) 456. i p x δ = Лучший результат дает альтернатива 3 x . Данный критерий используется дополнительно при одина- ковых средних доходах, найденных по критерию Байеса. Если решение реализуется однократно, то понятие среднего дохода теряет смысл. В этом случае для ЛПР более привлекательной может оказаться альтернатива, обеспечивающая максимальную вероятность того, что доход будет не менее некоторого, до- пустимого минимума. 5.2.4 Критерий максимума уверенности в получении заданного дохода Зафиксируем величину α , удовлетворяющую неравенствам 1 2 α < α < α , где 1 2 min min ; max max ij ij i j i j y y α = α = Будем рассматривать α как некоторый порог, ниже которо- го уменьшать полезность нецелесообразно. Обозначим ,i E α — множество состояний внешней среды, при которых обеспечива- ется выполнение неравенства ij y ≥ α . , ( ) i j ij i j E e y x α = ≥ α U Вероятность выполнения этого неравенства при условии использования стратегии i x : , , , ( ) ( ) , j i i ij i j i j e E P P y x P e E p α α α ∈ = ≥ α = ∈ = ∑ 95 2 ∗ x при где j p — вероятность наступления события j e . Оптимальная стратегия определяется условием arg max ( ) k ij i i x P y x ∗ = ≥ α Пример Исходные данные приведены в табл. 5.1. Оценим влияние величины порога на оптимальность стратегии. Возьмем порог 80 α > . Вероятность выполнения этого не- равенства: а) для стратегии 1 ,1 1 1 ( 80 ) 0,4 ij x P y x p α → > = = ; б) для стратегии 2 ,2 4 0,2 ; x P p α → = = в) для стратегии 3 ,3 2 0,3 x P p α → = = Оптимальной стратегией для 80 α > будет 1 x . Пусть 30 α > , тогда 1 ,1 1 1 3 4 2 ,2 1 1 2 4 3 ,3 1 1 2 3 ( 30 ) 0,7; ( 30 ) 0,9; ( 30 ) 0,8. ij ij ij x p P y x p p p x P P y x p p p x P P y x p p p α α α → = > = + + = → = > = + + = → = > = + + = Оптимальной будет 2 x и так далее. Если исследовать диапазоны порогов, то получим опти- мальные стратегии со следующими диапазонами: 1 x ∗ при ,1 ,2 ,3 èëè 80 100 ( 0, 4; 0, 2; 0,3 0) P P P α α α < α ≤ = = = ; ,2 ,1 ,3 ,2 ,1 ,3 30 70 ( 0,9; 0,7; 0,8), 100 120 ( 0, 2; 0); P P P P P P α α α α α α < α ≤ = = = < α ≤ = = = 3 x ∗ при ,3 30 1 P α α ≤ = . |