Турунтаев Л.П. Теория принятия решений. Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр

• Название: Учебное пособие томск 2007 Томский межвузовский центр
• Анкор: Турунтаев Л.П. Теория принятия решений.pdf
• Дата: 29.12.2017
• Размер: 1.57 Mb.
• Имя файла: Турунтаев Л.П. Теория принятия решений.pdf
• Тип: Учебное пособие; #13417
• страница: 6 из 18

... ...
i
x
)
(
i
x
y
... ...
m
x
)
(
m
x
y

55
Для определения наилучшей альтернативы следует перейти к одной (ранговой либо абсолютной) шкале измерения критери- ев. Далее следует свернуть критерии в один и перейти к триви- альной задаче, рассмотренной выше. Либо применить известные схемы поиска компромиссных решений задач векторной опти- мизации, либо применить известные методы решения многокрите- риальных ЗПР на основе четкого и нечеткого отношения предпоч- тения альтернатив (например, методы порогов несравнимости
«Электра»), нечетких бинарных отношений [10, 12, 18, 33].
3. Один критерий k, качественная или количественная шкала измерения, много состояний внешней среды
,
1, .
j
e
E j
n
∈
=
Реализация альтернативы
,
i
x оцениваемой по критерию k в зависимости от ситуации
j
e , может привести к исходу
( , )
i
j
y x e
(табл. 3.4).
Таблица 3.4 — Задача ПР в условиях риска и неопределенности
Исход
Альтернатива
1
e
…
j
e
…
n
e
1
x
)
,
(
1 1
e
x
y
…
)
,
(
1
j
k
x
y
…
)
,
(
1
n
e
x
y
... … ... … ...
i
x
)
,
(
1
e
x
y
i
…
)
,
(
j
i
e
x
y
…
)
,
(
n
i
e
x
y
... … ... … ...
m
x
)
,
(
1
e
x
y
m
…
)
,
(
j
m
e
x
y
…
)
,
(
n
m
e
x
y
Оценку исходов приводят к одной шкале измерения. Если известны вероятности
( )
j
j
p e наступления ситуаций
,
j
e то оп- ределение наилучшей альтернативы может быть произведено через критерии выбора решений в условиях риска (например, по критерию Байеса). При отсутствии информации о вероятностях
( )
j
j
p e в зависимости от наличия или отсутствия дополнитель- ной информации о предпочтениях наступления ситуаций, от ак- тивности поведения (противодействия) элементов внешней сре-

56
ды применяют соответствующие способы выбора альтернатив.
Эти способы описаны в [12, 15, 30, 33].
4. Много критериев
,
1, ,
q
k
q
e
∈Κ =
качественная и (или) ко- личественная шкала измерения критериев, много состояний внешней среды
,
1, .
j
e
j
n
∈Ε =
Реализация альтернативы
,
i
x оцениваемой по критериям
,
1,
q
k q
e
=
, в ситуации
,
1,
j
e j
n
=
может привести к исходу
( , , ).
i
j
q
y x e k
Для определения наилучшей альтернативы в зави- симости от конкретной постановки ЗПР реализуют один из под- ходов:
1) по каждой альтернативе
,
1,
i
x i
m
=
и по каждой ситуации
,
1,
j
e j
n
=
получают методом свертки критериев критериальную оценку ( , )
i
j
y x e и переходят к рассмотренной выше типовой задаче 3;
2) по каждой альтернативе
,
1,
i
x i
m
=
и по каждому крите- рию
,
1,
q
k q
e
=
получают среднестатистическую оценку исхода
( , ),
i
q
y x k
затем переходят к рассмотренной выше типовой зада- че 2.
В целом, для построения модели интегральной оценки ре- шений следует придерживаться следующей схемы (рис. 3.2):
1) получить оценки предпочтительности каждого из реше- ний по каждому критерию для каждой ситуации
l
q
n
j
m
i
y
ijq
,
1
,
,
1
,
,
1
,
=
=
=
(данные критериальной оценки могут быть измерены в качественной и(или) количественной шкале);
2) в зависимости от конкретной постановки ЗПР следует получить комплексную оценку решений по совокупности кри- териев для каждой ситуации
)
(K
y
ij
либо комплексную оценку решений по совокупности ситуаций для каждого критерия
);
(E
y
iq
3) получить интегральную оценку решений на множестве критериев с учетом возможных ситуаций
).
,
(
E
K
y
i

57 1
x
i
x
m
x
А
льт ерн ат ивы
1
e
j
e
n
e
Ситуации
1
k
q
k
l
k
К
ри т
ер и
и
)
(K
y
ij
1
x
i
x
m
x
ijq
y
)
(E
y
iq
1
k
q
k
l
k
1
x
i
x
m
x
)
,
(
E
K
y
i
1
x
i
x
m
x
)
,
(
1
E
K
y
)
,
(
E
k
y
m
Рис. 3.2 — Схема получения интегральной оценки решений
1
e
j
e
n
e
Модель оценки решений в частных постановках может быть записана в виде функциональной зависимости от парамет- ров, характеризующих внешнюю среду, и локальных критериев.
Как правило, модель оценки решений носит более сложный ха- рактер причинно-следственных связей и не описывается про- стыми формальными соотношениями. Оценка и выбор решений с учетом возможных ситуаций (состояний внешней среды) бу- дут рассмотрены в разделе 5.
3.2 Измерения предпочтений объектов
3.2.1 Измерительные шкалы
Измерить
— означает наблюдаемому состоянию объекта поставить в соответствие определенное обозначение: число, но- мер, символ. Соответствующие процедуры обработки результа- тов измерений (экспериментальных данных) дают информацию об объекте, в качестве которого могут рассматриваться, напри- мер ситуация, цели, критерии, решения и т.п. Измерение объек-

58
тов производится в сравнении с эталоном или друг с другом.
Эти измерения могут носить качественный или количественный характер, соответственно используются для этого качественные и количественные шкалы измерений. К качественным шкалам относят шкалу наименований и ранговую (порядковую) шкалу.
Среди количественных шкал следует выделить шкалы интерва- лов, отношений, абсолютную.
Шкала наименований
используется для описания принад- лежности объектов к определенным классам. В одном классе объекты не различны, они эквивалентны, им приписывается од- но обозначение.
Шкала порядка
(ранговая) применяется для измерения объектов в целях их упорядочения по одному или совокупности признаков. Числа (ранги) в шкале определяют порядок следова- ния объектов и не дают возможности сказать на сколько и во сколько раз один объект предпочтительнее другого.
Шкала интервалов
применяется для отображения величи- ны различия между свойствами объектов. Для шкалы интерва- лов выбираются единица длины интервала измерения и значе- ние, принятое за начало отсчета (точка отсчета). Примерами ве- личин, измеряемых в интервальных шкалах, является темпера- тура (по шкале Цельсия, Фаренгейта), летоисчисление (у хри- стиан, мусульман). При экспертном оценивании шкала интерва- лов применяется для оценки полезности объектов.
Шкала отношений
применяется для отражения отношения свойств объектов, т.е. во сколько раз свойство одного объекта превосходит это же свойство другого объекта. С числами, изме- ренными по шкале отношений, можно выполнять любые арифме- тические действия (для одних единиц измерения — м, сек, кг и т.д.) Точка отсчета в шкале отношений имеет нулевое значение.
Абсолютная шкала
является частным случаем шкалы от- ношений с началом отсчета 0 и концом 1. Ее особенности — отвлеченность (безразмерность) и абсолютность единицы.
Если критерии измеряются в различных шкалах, то для по- лучения единого критерия необходимо критерии отнормиро- вать, перейти к абсолютной шкале измерения, выбрав соответст- вующий способ нормализации. Наибольшее распространение по- лучили способы нормализации:

59 1) по идеальному вектору. Выбирается идеальный вектор ка- чества, к которому необходимо стремиться,
è
è
è
1 2
(
,
, ...,
).
n
m
y
y y
y
=
Тогда отнормированное значение критерия
í
i
y будет равно
í
í
;
i
i
i
y
y
y
=
2) по отклонениям:
í
í
min max
; max min max min
i
i
i
i
i
i
i
i
i
i
y
y
y
y
y
y
y
y
y
y
−
−
=
=
−
−
Последняя формула нормировки по отклонениям приводит к инверсной оценке критерия (чем больше значение критерия
,
i
y тем меньше значение
í
i
y ). Данные формулы позволяют со- гласовать направления экстремумов локальных критериев в гло- бальном интегральном критерии.
Выбор той или иной шкалы для измерения определяется характером отношений между объектами, наличием информа- ции об этих отношениях и целями принятия решений. Напри- мер, если целью решения является упорядочение объектов, то нет необходимости измерять количественные характеристики объектов, достаточно определить только качественные характе- ристики. Применение количественных шкал требует более пол- ной информации об объектах по сравнению с применением ка- чественных шкал.
3.2.2 Расплывчатое описание объектов множества
Объекты, попавшие в один класс эквивалентности, счита- ются неразличимыми. Однако на практике встречаются случаи, когда тождество двух и более объектов, попавших в один класс, нельзя утверждать с полной уверенностью. Сравниваемые объ- екты все же различаются между собой по одному либо по сово- купности признаков. ЛПР может установить класс (множество) сравниваемых нечетко различимых объектов и в целом дать оценку предпочтительности в соответствии с признаками, по которым они попали в сравниваемое множество объектов. На- пример, по ряду признаков легковые автомобили «Волга», «За-

60
порожец», «Москвич», «Жигули» попали в класс хороших авто- мобилей. ЛПР своим взглядом может оценить их с точки зрения хорошего автомобиля, т.е. дать оценку принадлежности множе- ства рассматриваемых автомобилей к данному классу. Л. Заде
[32] предложил оценивать сравниваемые объекты x через функ- цию принадлежности
( )
A
x
µ
их к классу (размытому, нечеткому множеству) А,
0
( ) 1
A
x
≤ µ
≤ . Тогда А — хорошая машина (раз- мытое множество сравниваемых объектов) может быть пред- ставлено, например, так:
{
A
= < 0,9/Волга>, <0,4/Запорожец>,
<0,6/Москвич>, <0,8/Жигули>}. Над чертой указана функция принадлежности соответствующего автомобиля
x X
∈ к множе- ству А.
Определение
Расплывчатое (оно же размытое, нечеткое) множество А в множестве Х определяется как совокупность упорядоченных пар вида
{
( ) /
},
a
A
x x
= < µ
> где
,
( ) [0,1].
A
x X
x
∈
µ
∈
Операции над расплывчатыми множествами:
Даны расплывчатые множества А и В:
{
( ) /
},
{
( ) /
},
A
B
A
x x
B
x x
x X
= < µ
>
= < µ
>
∈ .
1. Пересечение расплывчатых множеств А и В:
{
( ) /
},
,
A B
A B
x x
x X
= < µ
>
∈
I
I
где
(
)
( ) min
( ),
( ) .
A B
A
B
x
x
x
µ
=
µ
µ
I
Если А — хорошие машины, В — дорогие, то A B
I — хо- рошие и дорогие машины.
2. Объединение расплывчатых множеств А и В:
{
( ) /
},
,
A B
A B
x x
x X
= < µ
>
∈
U
U
где
(
)
( ) max
( ),
( ) .
A B
A
B
x
x
x
µ
=
µ
µ
U
A B
U — хорошие или дорогие машины.
3. Дополнение
A
¬ к расплывчатому множеству А:
{
( ) /
},
,
A
A
x x
x X
¬
¬ = < µ
>
∈
где
( ) 1
( ).
A
A
x
x
¬
¬
µ
= − µ
A
¬ — нехорошие машины.

61
Пример
Пусть
1 3
6
{ 0,3/
, 0,8/
, 0,4 /
}
A
x
x
x
= <
> <
> <
> и
1 2
3 4
{ 0,9 /
, 0,2 /
, 0,4 /
, 0,5/
}
B
x
x
x
x
= <
> <
> <
> <
> — расплыв- чатые множества в
1 2
3 4
5 6
7
{ , , , , , , }
x
x x x x x x x
=
1 2
3 4
6
{ 0,9 /
, 0,2 /
, 0,8/
, 0,5/
, 0,4 /
}
A B
x
x
x
x
x
= <
> <
> <
> <
> <
>
U
1 3
{ 0,3/
, 0,4 /
}.
A B
x
x
= <
> <
>
I
1 2
3 4
5 6
7
{ 0,7 /
, 1/
, 0,2 /
, 1/
, 1/
, 0,6 /
,
1/
}.
A
x
x
x
x
x
x
x
¬ = <
> <
> <
> <
> <
> <
>
<
>
1 2
3 4
5 6
7
{ 0,1/
, 0,8/
, 0,6 /
, 0,5/
, 1/
, 1/
,
1/
}.
B
x
x
x
x
x
x
x
¬ = <
> <
> <
> <
> <
> <
>
<
>
3.2.3 Субъективные методы определения предпочтений
объектов
Для получения оценок субъективных измерений наиболее часто используются методы ранжирования, парного сравнения, непосредственной оценки и последовательного сравнения. Эти методы хорошо описаны в [6].
Напомним основные особенности.
Ранжирование представляет собой процедуру упорядоче- ния объектов, выполняемую ЛПР или экспертом в порядковой шкале. Объектам приписываются, как правило, ранги. Если сре- ди объектов нет объектов с равными рангами, то упорядочение называется строгим, в противном случае — нестрогим.
Парное сравнение представляет собой процедуру установ- ления предпочтения объектов при сравнении всех возможных пар в порядковой шкале (бинарные отношения). Как правило, результаты парных сравнений записываются в виде матрицы предпочтений (отношений), состоящей из нулей и единиц. Если объект
i
x предпочтительней или эквивалентен (не уступает) объ- екту
j
x , то в матрице проставляется 1, а в противном случае — 0.
От матрицы парных сравнений можно перейти к ранжированию объектов.

62
Парное сравнение можно задать и в виде расплывчатых би- нарных отношений. Пусть объект
i
x находится с объектом
j
x в отношении
:
i
j
R x Ry , где под R будем понимать расплывчатое отношение. Если в качестве расплывчатого отношения
R
на множестве
X возьмем отношение «намного больше», а множе- ство {1,2,3,4}
X
=
, Тогда отношение R можно задать матрицей расплывчатых бинарных отношений
( )
M R , элементами кото- рой будут числа
( , )
R
i
j
x x
µ
, определяющие принадлежность объектов к расплывчатому отношению R.
Например,
1 0 0
0 0
2 0,6 0
0 0
( )
3 0,8 0,4 0
0 4 1 0,6 0,4 0
M R
=
Непосредственная оценка представляет собой процедуру приписывания объектам числовых (балльных) значений в при- нятой шкале интервалов.
Последовательное сравнение представляет собой поэтап- ную процедуру упорядочения объектов с последующим уточне- нием их предпочтения путем попарного сравнения наиболее предпочтительного объекта с группой наименее предпочтитель- ных. Наибольшую известность процедуры последовательного сравнения получили благодаря методу Черчмена-Акоффа [41].
Контрольные вопросы
1. Какова последовательность оценки альтернативных ре- шений, принимаемых с учетом возможных ситуаций и целевых установок?
2. Что такое измерение?
3. Назовите основные свойства количественных шкал из- мерения.
4. Назовите основные способы нормализации критериев
5. В чём отличие нормализации критерия с инверсией и без инверсии? Для чего они делаются?
6. Что такое расплывчатое множество?

63 7. Укажите основные операции над расплывчатыми мно- жествами.
8. Назовите основные субъективные методы определения предпочтений объектов.

64
4 МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ПРИНЯТИЯ
РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ ОПРЕДЕЛЕННОСТИ