2.3. Биномиальное распределение
Биномиальный закон распределения наблюдается при проведении испы- таний по схеме Бернулли. Рассмотрим последовательность идентичных по- вторных испытаний, в каждом из которых нас интересует вопрос: наступило или нет одно и то же событие
A
? Например, подбрасывая игральный кубик, при каждом испытании наблюдаем, выпало ли шесть очков или нет.
Говорят, что имеет место схема испытаний Бернулли, если
1) проводится
n
независимых испытаний;
2) каждое испытание имеет два исхода: успех (У) и неудача (Н);
3) вероятность успеха
1 0
,
)
У
(
<
<
=
p
p
P
, остается неизменной от ис- пытания к испытанию; вероятность неудачи
p
q
−
= 1
Биномиальным законом распределения называется закон распределения случайной величины
X
— числа появлений «успеха» в схеме из
n
испыта- ний Бернулли.
Вероятность того, что в схеме из
n
испытаний Бернулли успех наступит ровно
k
раз, вычисляется по формуле:
!
)!
(
!
)
(
k
n
k
k
n
k
k
n
n
q
p
k
k
n
n
q
p
C
k
X
P
−
−
−
=
=
=
(2.7)
Для случайной величины
X
, распределенной по биномиальному закону с параметрами
p
n
и
(будем обозначать
)
,
(
Bin
p
n
X
) числовые характе- ристики равны
)
(
;
)
(
npq
X
D
np
X
M
=
=
(2.8)
Задача. Известно, что в определенном городе 20 % горожан предпочита- ют добираться на работу личным автотранспортом. Случайно выбраны четыре человека. Обозначим
X
— число людей в этой выборке, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом. Составьте таблицу распреде- ления случайной величины
X
; постройте многоугольник распределения; най-
27
дите числовые характеристики случайной величины
X
; запишите функцию распределения и постройте ее график. Чему равна вероятность того, что среди четырех случайно отобранных человек а) не будет ни одного человека, пред- почитающего добираться на работу личным автотранспортом; б) окажется хотя бы один человек, предпочитающий добираться на работу личным авто- транспортом; в) будет не больше двух, предпочитающих добираться на работу личным автотранспортом.
Решение. Перечислим все возможные значения случайной величины
X
:
0, 1, 2, 3, 4.
Все четыре испытания — независимы, то есть вероятность того, что каж- дый из отобранных людей предпочитает добираться на работу личным авто- транспортом, не зависит от того, каким способом предпочитает добираться на работу любой другой человек из числа случайно отобранных.
Вероятность «успеха» (того, что каждый из отобранных людей предпо- читает добираться на работу личным автотранспортом) постоянна и равна
2 0
=
p
. Вероятность «неудачи»
8 0
1
=
−
=
p
q
Очевидно, что случайная величина
X
подчиняется биномиальному за- кону распределения с параметрами
2 0
и
4
=
=
p
n
Составим таблицу распределения случайной величины. Для этого по формуле (2.7) рассчитаем вероятности того, что случайная величина
X
при- мет каждое из своих возможных значений:
0016 0
)
8 0
(
)
2 0
(
!
4
!
0
!
4
)
4
(
;
0256 0
)
8 0
(
)
2 0
(
!
1
!
3
!
4
)
3
(
;
1536 0
)
8 0
(
)
2 0
(
!
2
!
2
!
4
)
2
(
;
4096 0
)
8 0
(
)
2 0
(
!
1
!
3
!
4
)
1
(
;
4096 0
)
8 0
(
)
2 0
(
!
0
!
4
!
4
)
0
(
0 4
0 4
4 4
1 3
1 3
3 4
2 2
2 2
2 4
3 1
3 1
1 4
4 0
4 0
0 4
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
q
p
C
X
P
q
p
C
X
P
q
p
C
X
P
q
p
C
X
P
q
p
C
X
P
Запишем полученные вероятности в таблицу распределения (табл. 2.3) и сделаем проверку. Так как все возможные значения случайной величины
X
образуют полную группу несовместных событий, то сумма их вероятностей должна быть равна единице:
1 0016 0
0256 0
1536 0
4096 0
4096 0
=
+
+
+
+
28
Таблица 2.3
Таблица распределения случайной величины
X
i
x
X
=
0 1 2 3 4
i
i
p
x
X
P
=
= )
(
0.4096 0.4096 0.1536 0.0256 0.0016
Таблицу распределения (табл. 2.3) представим графически в виде много- угольника распределения (рис. 2.3).
Найдем числовые характеристики данной случайной величины. Матема- тическое ожидание любой дискретной случайной величины может быть рас- считано по определению (формула (2.5)):
8 0
0016 0
4 0256 0
3 1536 0
2 4096 0
1 4096 0
0
)
(
1
=
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
∑
=
n
i
i
i
p
x
X
M
Но так как
X
— биномиально распределенная случайная величина с па- раметрами
2 0
и
4
=
=
p
n
, то ее математическое ожидание может быть най- дено по формуле (2.8):
8 0
2 0
4
)
(
=
⋅
=
= np
X
M
Дисперсию этой случайной величины также можно рассчитать двумя способами. По вычислительной формуле для дисперсии произвольной случай- ной величины (2.6) имеем:
0.4 0.3 0.2 0.1 0
1 2
3 4
i
p
i
x
Рис. 2.3. Многогранник распределения случайной величины
X
29
(
)
,
64 0
64 0
28 1
)
8 0
(
)
0016 0
4 0256 0
3 1536 0
2 4096 0
1 4096 0
0
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2 2
2 2
=
−
=
−
⋅
+
⋅
+
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
−
=
X
M
X
M
X
D
а по формуле (2.8) для биномиального закона распределения
64 0
8 0
2 0
4
)
(
=
⋅
⋅
=
= npq
X
D
Среднее квадратическое отклонение равно
8 0
64 0
)
(
)
(
=
=
=
σ
X
D
X
Построим теперь функцию распределения данной случайной величины
X
. По условию нашей задачи и определению функции распределения
,
)
(
)
(
)
(
∑
<
=
=
<
=
x
x
i
i
x
X
P
x
X
P
x
F
где для каждого значения
x
суммируются вероятности тех значений
i
x
, кото- рые лежат левее точки
x
. Рассчитаем эти суммарные вероятности для разных значений
x
Если
0
≤
x
, то
0
)
0
(
)
(
)
(
=
=
=
<
=
X
P
x
X
P
x
F
При
1 0
≤
< x
4096 0
)
0
(
)
(
)
(
=
=
=
<
=
X
P
x
X
P
x
F
При
2 1
≤
< x
+
=
=
+
=
=
<
=
4096 0
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
X
P
X
P
x
X
P
x
F
8192 0
4096 0
=
+
Если
3 2
≤
< x
, то
+
=
+
=
=
<
=
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
X
P
X
P
x
X
P
x
F
9728 0
1536 0
4096 0
4096 0
)
2
(
=
+
+
=
=
+ X
P
Если
4 3
≤
< x
, то
+
=
+
=
=
<
=
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
X
P
X
P
x
X
P
x
F
9984 0
0256 0
1536 0
4096 0
4096 0
)
3
(
)
2
(
=
+
+
+
=
=
+
=
+
X
P
X
P
Если
4
>
x
, то
+
=
+
=
+
=
=
<
=
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
(
)
(
X
P
X
P
X
P
x
X
P
x
F
1
)
4
(
)
3
(
=
=
+
=
+
X
P
X
P
Итак, функция распределения случайной величины
X
имеет вид:
>
≤
<
≤
<
≤
<
≤
<
≤
=
;
4
при
1
;
4 3
при
9984 0
;
3 2
при
9728 0
;
2 1
при
8192 0
;
1 0
при
4096 0
;
0
при
0
)
(
x
x
x
x
x
x
x
F
30
ее график является ступенчатой линией (рис. 2.4).
Определим теперь вероятности, связанные с нашей случайной величи- ной. Вероятность того, что среди отобранных четырех человек не будет ни одного, предпочитающего добираться на работу личным автотранспортом, есть вероятность случайной величине
X
принять значение 0:
4096 0
)
0
(
=
=
X
P
Вероятность того, что среди четырех человек окажется хотя бы один та- кой человек — это вероятность принятия случайной величиной значений 1, или 2, или 3, или 4. Используя формулу сложения вероятностей несовместных событий, получим
5904 0
0016 0
0256 0
1536 0
4096 0
)
4
(
)
3
(
)
2
(
)
1
(
)
1
(
=
+
+
+
=
=
=
+
=
+
=
+
=
=
≥
X
P
X
P
X
P
X
P
X
P
Этот же результат можно получить, перейдя к противоположному собы- тию:
5904 0
4096 0
1
)
0
(
1
)
1
(
1
)
1
(
=
−
=
=
−
=
<
−
=
≥
X
P
X
P
X
P
Вероятность того, что среди отобранных будет не больше двух, предпо- читающих добираться на работу личным автотранспортом, рассчитаем по формуле сложения вероятностей несовместных событий:
9728 0
1536 0
4096 0
4096 0
)
2
(
)
1
(
)
0
(
)
2
(
=
+
+
=
=
=
+
=
+
=
=
≤
X
P
X
P
X
P
X
P
1 0.8 0.6 0.4 0.2 0
1 2
3 4
)
(x
F
x
Рис. 2.4. Функция распределения случайной величины.
31 2.4. Непрерывные случайные величины До сих пор мы рассматривали дискретные случайные величины, которые обладают тем свойством, что все их значения можно перенумеровать нату- ральными числами, а каждому значению сопоставить отличную от нуля веро- ятность. Однако так можно описать не все случайные величины. Например, время службы электрической лампочки может принимать любые действитель- ные значения от нуля до бесконечности. И если лампочка вначале была ис- правна, то вероятность того, что время ее службы будет в точности совпадать с заранее заданным значением, равна нулю. Ненулевыми будут только вероят- ности сложных событий (время службы лампочки — от одного до двух меся- цев). Подобные случайные величины не могут быть описаны с помощью таб- лицы распределения. Для их описания используется функция распределения. Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны. Случайную величину X называют непрерывной, если ее функция рас- пределения ) ( ) ( xXPXF< = непрерывна и имеет производную. Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток: ), ( ) ( ) ( α − β = β < < α FFXP (2.9) причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет: ). ( ) ( ) ( β ≤ ≤ α = β < ≤ α = β < < α XPXPXPПлотностью распределения непрерывной случайной величины называ- ется функция ), ( ) ( xFxf′ = (2.10) производная от функции распределения. Свойства плотности распределения 1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна ) 0 ) ( ( ≥ xf при всех значениях x2. Условие нормировки: 1 ) ( ∫ ∞ ∞ − = dxxf (2.11) Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
32 3. Вероятность попадания случайной величины
X
в промежуток от
α
до
β
может быть вычислена по формуле
∫
=
β
<
<
α
β
α
)
(
)
(
dx
x
f
X
P
(2.12)
Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величи- ны
X
в промежуток
)
,
(
β
α
равна площади криволинейной трапеции под кри- вой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим об- разом:
)
(
)
(
∫
∞
−
=
x
dt
t
f
x
F
(2.13)
Значение плотности распределения в точке
x
не равно вероятности при- нять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть
[
)
x
x
x
∆
+
,
— интервал произвольно малой длины
0
>
∆ x
. Вероятность попадания случай- ной величины в этот интервал приближенно равна произведению значения плотности распределения в точке
x
на длину этого интервала:
x
x
f
∆
)
(
, то есть вероятность пропорциональна длине интервала, причем коэффициент пропорциональности равен значению плотности распределения в точке
x
(рис. 2.5).
Числовые характеристики непрерывной случайной величины находятся по формулам, похожим на формулы для дискретной случайной величины, но
x
x
x
x
x
∆
+
x
x
∆
+
)
(x
f
0
Рис. 2.5. Вероятность попадания случайной величины в интервал длины
x
∆
33
везде знак суммы заменяется на знак интеграла, а вероятность
i
p
на диффе- ренциальный элемент вероятности
dx
x
f
)
(
Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно
)
(
)
(
∫
∞
∞
−
=
dx
x
xf
X
M
(2.14)
Дисперсия непрерывной случайной величины есть
(
)
)
(
)
(
)
(
2
∫
∞
∞
−
−
=
dx
x
f
x
M
x
X
D
(2.15)
Все свойства математического ожидания и дисперсии, сформулирован- ные для дискретных случайных величин, сохраняются и для непрерывных случайных величин.
В качестве примера непрерывной случайной величины рассмотрим слу- чайную величину
X
, равномерно распределенную на интервале
)
;
( b
a
. Го- ворят, что случайная величина
X
равномерно распределена на промежутке
)
;
( b
a
, если ее плотность распределения непостоянна на этом промежутке:
∉
∈
=
).
;
(
при
0
),
;
(
при
)
(
b
a
x
b
a
x
c
x
f
Из условия нормировки (2.11) определим значение константы
c
. Пло- щадь под кривой плотности распределения должна быть равна единице, но в нашем случае — это площадь прямоугольника с основанием
)
(
a
b
−
и высо- той
c
(рис. 2.6).
Отсюда находим значение постоянной
c
:
1
;
1
)
(
a
b
c
c
a
b
−
=
=
−
x
Рис. 2.6. Плотность равномерного распределения
с
0
a
b
)
(x
f
34
Итак, плотность равномерно распределенной случайной величины равна
∉
∈
−
=
).
;
(
при
0
),
;
(
при
1
)
(
b
a
x
b
a
x
a
b
x
f
Найдем теперь функцию распределения по формуле (2.13):
1) для
;
0 0
)
(
)
(
0
)
(
=
⋅
=
=
=
≤
∫
∫
∞
−
∞
−
x
x
dt
dt
t
f
x
F
и
x
f
a
x
2) для
;
1 0
)
(
)
(
a
b
a
x
dt
a
b
dt
dt
t
f
x
F
b
x
a
x
a
a
x
−
−
=
⋅
−
+
⋅
=
=
<
<
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
3) для
=
+
+
=
=
≥
∫
∫
∫
∫
∞
−
∞
−
x
b
b
a
a
x
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
dt
t
f
x
F
b
x
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1 0
1 0
=
+
+
=
Таким образом,
≥
<
<
−
−
≤
=
при
1
,
при
,
при
0
)
(
b
x
b
x
a
a
b
a
x
a
x
x
F
Функция распределения непрерывна и не убывает (рис. 2.7).
Найдем математическое ожидание равномерно распределенной случай- ной величины по формуле (2.14):
x
Рис. 2.7. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины
1 0
a
b
)
(x
F
35 2 2 1 0 0 ) ( ) ( 2 baxabdxxdxabxdxxdxxxfXMbabbaa+ = ⋅ − = ⋅ + − + ⋅ = = ∫ ∫ ∫ ∫ +∞ ∞ − ∞ ∞ − Дисперсия равномерного распределения рассчитывается по формуле (2.15) и равна ( ) 12 ) ( 2 abXD− = Другим примером непрерывной случайной величины является нормаль- но распределенная случайная величина. Говорят, что случайная величина Xимеет |
Скачать 3.11 Mb.