теория вероятностей. Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М

• Название: Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М
• Анкор: теория вероятностей.pdf
• Дата: 13.12.2017
• Размер: 3.11 Mb.
• Имя файла: теория вероятностей.pdf
• Тип: Учебное пособие; #11331
• страница: 3 из 13

формулой Байеса и применяется для пере- оценки вероятностей гипотез.
В условиях предыдущего примера найдем вероятность того, что брако- ванная деталь была получена от первого поставщика. Сведем в одну таблицу известные нам по условию априорные вероятности гипотез
),
(
i
H
P
условные вероятности
),
(
i
H
A
P
рассчитанные в процессе решения совместные веро- ятности
)
(
)
(
)
(
i
i
i
H
A
P
H
P
AH
P
⋅
=
и рассчитанные по формуле (1.12) апостериорные вероятности
n
k
i
A
H
P
k
...,
,
2
,
1
,
),
(
=
(табл. 1.3).
Таблица 1.3
Переоценка гипотез
Вероятности
Гипотезы
i
H
Априорные
)
(
i
H
P
Условные
)
(
i
H
A
P
Совместные
)
(
i
AH
P
Апостериорные
)
(
A
H
P
i
1 2 3 4 5 1
H
— деталь получена от первого по- ставщика
0.5 0.04 0.02 555 0
036 0
02 0
=
2
H
— деталь получена от второго по- ставщика
0.2 0.05 0.01 278 0
036 0
01 0
=
3
H
— деталь получена от третьего по- ставщика
0.3 0.02 0.006 167 0
036 0
006 0
=
Сумма 1.0 —
0.036 1
Рассмотрим последнюю строку этой таблицы. Во второй колонке стоит сумма вероятностей несовместных событий
,
,
,
3 2
1
H
H
H
образующих пол- ную группу:

19 1
3 0
2 0
5 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 2
1 3
2 1
=
+
+
=
=
+
+
=
+
+
=
Ω
H
P
H
P
H
P
H
H
H
P
P
В четвертой колонке значение в каждой строке (совместные вероятности) получено по правилу умножения вероятностей перемножением соответст- вующих значений во второй и третьей колонках, а в последней строке 0.036 — есть полная вероятность события
A
(по формуле полной вероятности).
В колонке 5 вычислены апостериорные вероятности гипотез по формуле
Байеса (1.12):
555 0
036 0
02 0
036 0
04 0
5 0
)
(
)
(
)
(
)
(
1 1
1
=
=
⋅
=
⋅
=
A
P
H
A
P
H
P
A
H
P
Аналогично рассчитываются апостериорные вероятности
),
(
и
)
(
3 2
A
H
P
A
H
P
причем числитель дроби — совместные вероятности, записанные в соответствующих строках колонки 4, а знаменатель — полная вероятность события
A
, записанная в последней строке колонки 4.
Сумма вероятностей гипотез после опыта равна 1 и записана в последней строке пятой колонки.
Итак, вероятность того, что бракованная деталь была получена от перво- го поставщика, равна 0.555. Послеопытная вероятность больше априорной (за счет большого объема поставки). Послеопытная вероятность того, что брако- ванная деталь была получена от второго поставщика, равна 0.278 и также больше доопытной (за счет большого количества брака). Послеопытная веро- ятность того, что бракованная деталь была получена от третьего поставщика, равна 0.167.

20
2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ
2.1. Закон распределения дискретной случайной величины
До сих пор мы рассматривали случайные события. Например, подбрасы- вая одновременно две монеты, получаем пространство элементарных событий
{
}
РР
РГ,
ГР,
ГГ,
=
Ω
Сопоставим теперь каждому элементарному событию некоторое число. Получим числовую функцию, заданную на множестве слу- чайных событий, принимающую каждое свое значение с определенной веро- ятностью. Эта числовая функция называется дискретной случайной вели-
чиной.
Чтобы задать дискретную случайную величину, необходимо указать, ка- кие числовые значения и с какими вероятностями она может принимать.
Соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями, называется за-
коном распределения дискретной случайной величины.
Пример 1. Подброшены две монеты. Случайная величина
X
— количе- ство выпавших гербов. Записать закон распределения случайной величи- ны
X
Решение.
Пространство элементарных событий имеет вид
{
}
,
РР
РГ,
ГР,
ГГ,
=
Ω
причем все элементарные события равновозможны.
Случайная величина
X
может принимать значения из множества
{
}
2
,
1
,
0
Пользуясь определением классической вероятности (формула (1.1)), определим вероятность для каждого из этих значений случайной величи- ны
X
:
4 1
)
2
(
;
2 1
4 2
)
1
(
;
4 1
)
0
(
=
=
=
=
=
=
=
X
P
X
P
X
P
Результаты представим в виде таблицы (табл. 2.1).
Таблица 2.1
Таблица распределения случайной величины
X
Множество
Ω
РР
РГ
ГР
ГГ
Значения
X
0 1 1 2
Вероятность значения
X
4 1
2 1
4 1
В общем случае, если дискретная случайная величина
X
принимает значения
n
x
x
x
...,
,
,
2 1
с вероятностями
),
(
),
(
2 2
1 1
x
X
P
p
x
X
P
p
=
=
=
=

21
),
(
...,
n
n
x
X
P
p
=
=
то ее закон распределения можно представить в виде
таблицы распределения (табл. 2.2).
Таблица 2.2
Таблица распределения дискретной случайной величины
i
x
X
=
1
x
2
x
n
x
)
(
i
x
X
P
=
1
p
2
p
n
p
Значения случайной величины
X
обычно записываются в таблице рас- пределения в порядке возрастания. Поскольку в верхней строке таблицы рас- пределения записаны все значения случайной величины
X
, то нижняя обла- дает свойством
1 1
2 1
∑
=
=
=
+
+
+
n
i
i
n
p
p
p
p
(2.1)
Таблицу распределения дискретной случайной величины можно изобра- зить графически. По оси абсцисс откладывают значения случайной величины, по оси ординат — вероятности значений, точки с координатами
)
;
(
i
i
p
x
со- единяют отрезками прямой. Полученная фигура называется многоугольником
распределения вероятностей (рис. 2.1).
Закон распределения случайной величины может быть задан с помощью функции распределения.
i
p
)
;
(
3 3
p
x
)
;
(
1 1
p
x
)
;
(
4 4
p
x
1
x
2
x
3
x
4
x
i
x
)
;
(
2 2
p
x
Рис. 2.1. Многоугольник распределения вероятностей дискретной случайной величины

22
Функцией распределения случайной величины
X
называется функция
)
(x
F
, выражающая вероятность того, что
X
примет значение, меньшее за- данного числа
x
:
)
(
)
(
x
X
P
x
F
<
=
(2.2)
Чтобы найти значение функции распределения в точке
x
, нужно про- суммировать вероятности значений
i
x
, которые лежат левее точки
x
:
)
(
∑
<
=
x
x
i
i
p
x
F
Графиком функции распределения дискретной случайной величины яв- ляется ступенчатая функция, причем высота «ступеньки» с абсциссой в точке
i
x
равна вероятности
i
p
(рис. 2.2).
Свойства функции распределения
1. Функция распределения ограничена:
1
)
(
0
≤
≤
x
F
2. Предельные значения функции распределения:
,
0
)
(
=
−∞
F
1
)
(
=
+∞
F
3. Функция распределения не убывает.
4. Функция распределения непрерывна слева.
5. Вероятность попадания случайной величины
X
в промежуток от
α
до
β
(включая
α
) выражается формулой:
1
x
)
(x
F
{
3
p



1
p



4
p
1
x
2
x
3
x
4
x



2
p
Рис. 2.2. График функции распределения
0

23
).
(
)
(
)
(
α
−
β
=
β
<
≤
α
F
F
X
P
(2.2)
Пример 2. Записать функцию распределения для случайной величины
X
из примера 1 и найти вероятность попадания случайной величины
X
в про- межуток
[
)
5 1
,
0
Решение. Пользуясь таблицей распределения случайной величины
X
(табл. 2.1), найдем значения функции распределения:







>
≤
<
≤
<
≤
=
2
если
,
1
;
2 1
если
,
75 0
;
1 0
если
,
25 0
;
0
если
,
0
)
(
x
x
x
x
x
F
Вероятность попадания случайной величины
X
в промежуток
[
)
5 1
,
0
найдем по формуле (2.2):
75 0
0 75 0
)
0
(
)
5 1
(
)
5 1
0
(
=
−
=
−
=
<
≤
F
F
X
P
Постройте график этой функции распределения и убедитесь в выполне- нии свойств 1–4.
Проводя математические операции над случайной величиной
X
, мы вновь получаем случайную величину. Пусть случайная величина
X
принима- ет значения
i
x
с вероятностями
...,
,
2
,
1
),
(
n
i
x
X
P
p
i
i
=
=
=
Произведение случайной величины
X
на постоянную величину
k
— это новая случайная величина
kX
Y
=
, принимающая значения
i
i
kx
y
=
с вероятностями
n
i
p
i
...,
,
2
,
1
,
=
Квадрат случайной величины
X
есть случайная величина
2
X
Y
=
, принимающая значения
2
i
i
x
y
=
с вероятностями
n
i
p
i
...,
,
2
,
1
,
=
Случайная величина
X
Y
β
+
α
=
(
β
α,
— постоянные) принимает зна- чения
i
i
x
y
β
+
α
=
с соответствующими вероятностями
n
i
p
i
...,
,
2
,
1
,
=
Сумма случайных величин
Y
X и
— это новая случайная величина
Y
X
Z
+
=
, принимающая все значения вида
i
i
y
x
+
)
...,
,
2
,
1
;
...,
,
2
,
1
(
m
j
n
i
=
=
с вероятностями
)
,
(
j
i
ij
y
Y
x
X
P
p
=
=
=
— одновременного наступления событий
j
i
y
Y
x
X
=
=
и
. По формуле умно- жения вероятностей (1.6) эта вероятность равна
).
(
)
(
)
,
(
i
j
i
j
i
ij
x
X
y
Y
P
x
X
P
y
Y
x
X
P
p
=
=
=
=
=
=
=
(2.3)

24
Если случайные величины
Y
X и независимы (т.е. при всех
j
i и не- зависимы события
j
i
y
Y
x
X
=
=
и
), то формула (2.3) принимает вид
).
(
)
(
)
,
(
j
i
j
i
ij
y
Y
P
x
X
P
y
Y
x
X
P
p
=
=
=
=
=
=
(2.4)
Аналогично определяются разность и произведение случайных величин
Y
X и
2.2. Числовые характеристики дискретной случайной
величины
Закон распределения случайной величины (таблица распределения, функция распределения) дает полное описание случайной величины. Число- вые характеристики описывают случайную величину не полностью, но дают о ней важную информацию.
Пусть случайная величина
X
принимает значения
i
x
с вероятностями
n
i
p
i
...,
,
2
,
1
,
=
. Математическим ожиданием случайной величины
X
называется число
,
)
(
2 2
1 1
n
n
p
x
p
x
p
x
X
M
+
+
+
=
(2.5) равное сумме произведений значений
i
x
на их вероятности
i
p
. Геометриче- ский смысл математического ожидания — абсцисса центра тяжести много- угольника распределения. Если провести несколько серий наблюдений слу- чайной величины
X
, то средние арифметические полученных значений, вы- численные для каждой серии наблюдений, будут колебаться около постоянно- го числа, которое и есть математическое ожидание случайной величины
X
Эта связь между средним арифметическим наблюдений и математическим ожиданием установлена с помощью закона больших чисел, который мы рас- смотрим позднее.
Свойства математического ожидания
1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоян- ной величине:
c
c
M
=
)
(
2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
)
(
)
(
X
kM
kX
M
=
3. Для любых случайных величин
Y
X и математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий:
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
Y
X
M
+
=
+
4. Для независимых случайных величин
Y
X и математическое ожида- ние произведения равно произведению математических ожиданий:
)
(
)
(
)
(
Y
M
X
M
XY
M
=

25
Для оценки степени рассеяния значений случайной величины
X
около ее среднего значения
a
X
M
=
)
(
вводятся понятия дисперсии
)
(X
D
и сред- него квадратического отклонения (с.к.о.)
)
(X
σ
Дисперсией называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины
X
от ее математического ожидания
a
X
M
=
)
(
:
(
)
)
(
)
(
1 2
2
∑
=
−
=
−
=
n
i
i
i
p
a
x
a
X
M
X
D
Среднее квадратическое отклонение определяется как корень из дис- персии:
)
(
)
(
X
D
X
=
σ
Размерность величин
)
(X
M
и
)
(X
σ
совпадает с размерностью самой случайной величины
X
, а размерность дисперсии равна квадрату размерно- сти случайной величины
X
Свойства дисперсии
1. Дисперсия постоянной величины равна нулю:
0
)
(
=
c
D
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, воз- ведя его в квадрат:
)
(
)
(
2
X
D
k
kX
D
=
3. Если случайные величины
Y
X и независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
)
(
)
(
)
(
Y
D
X
D
Y
X
D
+
=
+
4. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
(
)
2 2
)
(
)
(
)
(
X
M
X
M
X
D
−
=
(2.6)
Пример. Подброшены две монеты. Случайная величина
X
— количест- во выпавших гербов. Найти математическое ожидание, дисперсию, среднее квадратическое отклонение случайной величины
X
Решение. Закон распределения случайной величины
X
имеет вид
(табл. 2.1):
25 0
)
2
(
;
5 0
)
1
(
;
25 0
)
0
(
=
=
=
=
=
=
X
P
X
P
X
P
Математическое ожидание найдем по формуле (2.5):
,
1 25 0
2 5
0 1
25 0
0
)
(
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
X
M

26
то есть при многократном проведении этого опыта среднее значение количест- ва выпавших гербов будет близко к единице.
Дисперсию найдем по формуле (2.6):
(
)
5 0
1 5
1 1
)
25 0
2 5
0 1
25 0
0
(
)
(
)
(
)
(
2 2
2 2
2 2
=
−
=
−
⋅
+
⋅
+
⋅
=
−
=
X
M
X
M
X
D
Среднее квадратическое отклонение найдем по определению:
707 0
5 0
)
(
)
(
=
=
=
σ
X
D
X