теория вероятностей. Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М
 Скачать 3.11 Mb.
|
|
Министерство образования Российской Федерации ТОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ СИСТЕМ УПРАВЛЕНИЯ И РАДИОЭЛЕКТРОНИКИ (ТУСУР) Кафедра автоматизации обработки информации (АОИ) З.А. Смыслова М М А А Т Т Е Е М М А А Т Т И И К К А А I I V V О О С С Н Н О О В В Ы Ы Т Т Е Е О О Р Р И И И И В В Е Е Р Р О О Я Я Т Т Н Н О О С С Т Т Е Е Й Й И И М М А А Т Т Е Е М М А А Т Т И И Ч Ч Е Е С С К К А А Я Я С С Т Т А А Т Т И И С С Т Т И И К К А А Учебное пособие 2000 Смыслова З.А. Математика IV. Основы теории вероятностей и математическая стати- стика: Учебное пособие. − Томск: Томский межвузовский центр дис- танционного образования, 2000. − 130 с. Данное учебное пособие содержит теоретический материал и варианты двух контрольных работ для студентов, изучающих дисциплину «Математика − 2 (Спецглавы)» в рамках учебного плана специальности 061000 «Государст- венное и муниципальное управление». Пособие может быть использовано студентами дневной, заочной и дис- танционной форм обучения. Смыслова З.А., 2000 Томский межвузовский центр дистанционного образования, 2000 3 СОДЕРЖАНИЕ 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ ……………. 5 1.1. Пространство элементарных событий ………………………………..5 1.2. Понятие вероятности. Свойства вероятностей ……………………… 7 1.3. Правила сложения и умножения вероятностей ……………………... 9 1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса ……………………. 14 2. СЛУЧАЙНЫЕ ВЕЛИЧИНЫ ……………………………………………20 2.1. Закон распределения дискретной случайной величины …………….20 2.2. Числовые характеристики дискретной случайной величины ……… 24 2.3. Биномиальное распределение ………………………………………... 26 2.4. Непрерывные случайные величины …………………………………..31 3. ОПИСАТЕЛЬНАЯ СТАТИСТИКА……………………………….…… 36 3.1. Генеральная совокупность и выборка……………………………….. 36 3.2. Способы представления статистических данных…………………… 37 3.3. Числовые характеристики выборки………………………………….. 42 4. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ВАЖНЫЕ ЗАКОНЫ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ………………………………………………………. 47 4.1. Теорема Чебышева и теорема Бернулли…………………………….. 47 4.2. Нормальное распределение и центральная предельная теорема…... 48 4.3. Распределения математической статистики………………………… 53 4.3.1. Стандартное нормальное распределение……………………... 53 4.3.2. Распределение «хи-квадрат»…………………………………… 54 4.3.3. Распределение Стьюдента……………………………………... 55 4.3.4. Распределение Фишера………………………………………… 57 5. СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ………………………………... 58 5.1. Точечная оценка и её свойства……………………………………….. 58 5.2. Интервальное оценивание параметров распределения…………….. 59 5.2.1. Доверительный интервал и доверительная вероятность…….. 59 5.2.2. Интервальное оценивание центра генеральной совокупности……………………………………………………. 60 5.2.3. Интервальное оценивание генеральной доли (вероятности события)……………………………………….…. 64 6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ…………………….…. 67 6.1. Постановка задачи…………………………………………………….. 67 6.2. Проверка гипотез о параметрах распределения…………………….. 70 6.2.1. Гипотезы о значениях генерального среднего и дисперсии … 70 6.2.2. Сравнение параметров нормальной генеральной совокупности………………………………………………….… 73 6.2.3. Задачи о генеральной доле……………………………………... 78 6.3. Проверка гипотез о виде распределения. Критерий согласия Пирсона…………………………………………………………………. 80 6.4. Проверка гипотез об однородности данных………………………… 82 6.4.1. Критерий знаков………………………………………………… 82 6.4.2. Критерий Вилкоксона…………………………………………... 84 7. КОРРЕЛЯЦИОННЫЙ И РЕГРЕССИОННЫЙ АНАЛИЗ………….. 87 4 7.1. Основные задачи………………………………………………………. 87 7.2. Коэффициент корреляции Пирсона………………………………….. 87 7.3. Ранговая корреляция………………………………………………….. 90 7.4. Регрессионные модели………………………………………………... 91 7.5. Уравнение линейной регрессии………………………………………. 93 7.6. Линейная регрессия и прогноз……………………………………….. 95 8. КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ…………………………………………….. 98 8.1. Контрольная работа № 1……………………………………………… 98 8.2. Контрольная работа № 2……………………………………………… 108 Приложение 1. Таблица значений функции Лапласа………………….. 125 Приложение 2. Критические точки распределения 2 χ ………………. 127 Приложение 3. Критические точки распределения Стьюдента…….…. 128 Приложение 4. Критические точки распределения Фишера………….. 129 5 1. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ 1.1. Пространство элементарных событий Понятие случайного эксперимента является первичным понятием теории вероятностей. Результат случайного эксперимента нельзя точно предсказать, но эксперимент может быть воспроизведен (повторен) в одинаковых условиях достаточно большое число раз. Подбрасывание монеты с выпадением герба или «решки», игральной кости (кубика) с выпадением числа очков на верхней грани — это примеры случайных экспериментов. Вместо термина «экспери- мент» часто используются термины «опыт» или «испытание». Результат, ис- ход испытания называется элементарным событием (табл. 1.1). Таблица 1.1 Примеры элементарных событий Эксперимент Элементарные события Подбрасывание монеты Герб, решка Контроль качества деталей Годная, бракованная Продажа квартиры Продана, не продана Футбольный матч команды «Томь» с командой «Локомотив» Победа, проигрыш, ничья Решение любой вероятностной задачи начинается с построения про- странства элементарных событий Ω — множества всех возможных взаи- моисключающих исходов эксперимента. Например, эксперимент состоит в бросании игральной кости. Пространство элементарных событий есть множе- ство { } , 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 = Ω элементарное событие — число очков на верхней грани. Определив пространство элементарных событий, мы можем говорить о случайном событии — подмножестве пространства элементарных событий. Случайное событие A — «выпало четное число очков» есть множество эле- ментарных событий { } 6 , 4 , 2 Ω ⊂ = A Случайное событие B — «выпало число очков, меньшее четырех» есть множество { } 3 , 2 , 1 Ω ⊂ = B Элементар- ное событие Ω ∈ ω называется благоприятствующим событию A , если при исходе ω событие A происходит. Событию A — «выпало четное число оч- ков» благоприятствуют исходы 2, 4, 6. Событие, которому благоприятствует любой исход эксперимента, назы- вается достоверным. Достоверное событие в результате эксперимента обяза- тельно произойдет. В нашем примере достоверным является событие «выпало меньше 10 очков». Событие, которому не благоприятствует ни один исход эксперимента, называется невозможным. Невозможное событие не произойдет в результате 6 данного эксперимента. Например, при бросании игральной кости невозмож- ным является событие «выпало отрицательное число очков». Над случайными событиями можно выполнять операции, аналогичные операциям над множествами. Суммой событий A и B называется событие , B A + которому благо- приятствуют исходы, благоприятствующие хотя бы одному из событий A или B Произведением событий A и B называется событие AB — множество элементарных событий, благоприятствующих A и B одновременно. Противоположным событию A называется событие , A состоящее из элементарных событий, не благоприятствующих событию A События A и B называются несовместными, если появление одного их них исключает появление другого. Операции над событиями можно иллюстрировать с помощью диаграмм Эйлера-Венна (рис. 1.1). Между понятиями алгебры событий и понятиями алгебры множеств су- ществует тесная связь (табл. 1.2). Операции над событиями выполняются по тем же законам, что и операции над множествами. Таблица 1.2 Алгебра событий и алгебра множеств Понятия алгебры событий Понятия алгебры множеств Достоверное событие Ω Универсальное множество Невозможное событие Пустое множество ∅ Сумма событий B A + Объединение множеств B A ∪ Произведение событий AB Пересечение множеств B A ∩ Противоположное событие A Дополнение множества События A и B несовмесны Множества A и B не пересекаются а б Рис. 1.1. Сумма (а) и произведение (б) событий A и B 7 При построении пространства элементарных событий часто требуется определить, являются ли события равновозможными, т.е. одинаковы ли у них шансы на успех. Так, при бросании правильной монеты события Г — «выпал герб» и Р — «выпала решка» являются равновозможными; при бросании не- правильной (погнутой) монеты эти события не являются равновозможными. Задача. Образуют ли данные события пространство элементарных собы- тий описанного эксперимента; если да, то являются ли равновозможными; если нет — являются ли несовместными. Эксперимент — бросание двух пра- вильных монет; событие A — «выпало два герба», событие B — «выпала ровно одна решка». Решение. Данные события не образуют пространства элементарных со- бытий, так как не описан возможный исход эксперимента «выпало две решки». События B A и являются несовместными, так как не могут произойти одно- временно. Для данного эксперимента можно построить пространство взаимо- исключающих равновозможных исходов { } РР РГ, ГР, ГГ, = Ω 1.2. Понятие вероятности. Свойства вероятностей Понятие вероятности можно определить разными способами. Один из самых распространенных — классическое определение вероятности. Пусть пространство Ω состоит из n элементарных событий, и все эле- ментарные исходы равновозможны. Обозначим m — количество элементар- ных событий, благоприятствующих событию A Тогда вероятность события A есть , ) ( n m A P = (1.1) причем 0 n m ≤ ≤ Другой способ определения вероятности — статистическое определение. Оно основано на понятии относительной частоты (частости) появления собы- тия. Например, если некоторая фирма опросила 1000 покупателей нового на- питка и 20 из них оценили его как вкусный, то 20 = m (частота наступления события), , 1000 = n а 02 0 1000 20 = — относительная частота события. И мы можем оценить вероятность того, что покупателям понравится новый напиток, как 0.02. Статистической вероятностью события A называется относитель- ная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний lim ) ( n m A P n ∞ → ∗ = (1.2) 8 Для определения классической вероятности события нам необходимо знать только «модель игры». Например, подбрасывая игральную кость (кубик с шестью гранями), мы хотим определить вероятность события A — «выпало четное число очков». Событию A благоприятствуют три исхода опыта — { } , 6 , 4 , 2 всего элементарных равновозможных исходов — 6, то есть 2 1 6 3 ) ( = = A P Мы определили шансы на успех теоретически — это априор- ная (доопытная) вероятность. Если мы будем определять вероятность этого события, подбрасывая кость и подсчитывая относительную частоту успехов, то это апостериорная (послеопытная) вероятность. Классическая вероятность — априорная, а статистическая — апостериорная. Но как бы мы не определяли вероятность, свойства и правила, по которым с нею работают, остаются одина- ковыми. Свойства вероятности 1. Вероятность достоверного события равна единице. Действительно, если событие , Ω = A то n m = и из определения (2.1) следует 1 ) ( = = Ω n n P 2. Вероятность невозможного события равна нулю Если , ∅ = A то благоприятствующих ему исходов нет, то есть 0 = m и 0 0 ) ( = = ∅ n P 3. Вероятность случайного события есть число, заключенное между 0 и 1. В самом деле, так как , 0 n m ≤ ≤ то , 1 0 ≤ ≤ n m то есть 1 ) ( 0 ≤ ≤ A P 4. Сумма вероятностей противоположных событий равна 1. Пусть событию A благоприятны m исходов, то есть ) ( n m A P = То- гда противоположному событию A благоприятны остальные m n − исходов и ), ( 1 1 ) ( A P n m n m n A P − = − = − = следовательно 1 ) ( ) ( = = A P A P (1.3) Пример. Из колоды карт в 36 листов извлекается одна карта. Какова ве- роятность, что это не туз? 9 Событие A — «извлеченная карта — туз» имеет вероятность 9 1 36 4 ) ( = = A P (в колоде четыре туза). Вероятность противоположного собы- тия A равна 9 8 9 1 1 ) ( 1 ) ( = − = − = A P A P 1.3. Правила сложения и умножения вероятностей Правило сложения. Вероятность суммы событий равна сумме вероятно- стей этих событий без вероятности их совместного наступления: ). ( ) ( ) ( ) ( AB P B P A P B A P − + = + (1.4) Рассмотрим формулу (1.4) для классического определения вероятности. Пусть пространство Ω содержит n взаимоисключающих равновозмож- ных исходов, причем событию A благоприятствуют A m исходов, событию B — B m исходов, одновременному наступлению событий A и B — AB m элементарных исходов. Тогда вероятности этих событий , ) ( n m A P A = ) ( , ) ( n m AB P n m B P AB B = = Событию B A + благоприятствуют все исхо- ды, благоприятствующие A , а также все исходы, благоприятствующие , B но не благоприятствующие A Общее количество таких исходов равно ( ) , AB B A m m m − + и вероятность события B A + равна ( ) ). AB ( P ) B ( P ) A ( P n m n m n m n m m m ) B A ( P AB B A AB B A − + = − + = − + = + Нарисуйте диаграмму Эйлера-Венна, иллюстрирующую правило сложе- ния. Для несовместных событий их совместное наступление есть событие не- возможное, его вероятность равна нулю. Поэтому только для несовместных событий вероятность суммы равна сумме их вероятностей. Пример. Опыт состоит в случайном извлечении карты из колоды в 36 листов. Чему равна вероятность того, что извлеченная карта — туз или имеет бубновую масть? Решение. Обозначим события: A — «извлеченная карта — туз», B — «карта имеет бубновую масть». Эти события совместны: AB — «извлеченная 10 карта — бубновый туз». Вероятности событий равны ; 36 4 ) ( = A P 36 1 ) ( ; 36 9 ) ( = = AB P B P Нас интересует вероятность суммы совместных событий B A + По формуле (1.4) получим 3 1 36 12 36 1 36 9 36 4 ) ( ) ( ) ( ) ( = = − + = − + = + AB P B P A P B A P Чтобы сформулировать правило умножения, рассмотрим понятия зави- симости и независимости событий. Пусть разыгрываются пять лотерейных билетов, среди которых два «сча- стливых». Рассмотрим события: A — «билет, извлеченный первым — счаст- ливый», B — «билет, извлеченный вторым — счастливый». Влияет ли на вероятность события B наступления события A ? Представим результаты розыгрыша в виде дерева игры (рис. 1.2). Мы видим, что если событие A наступило, то вероятность события B уменьшается в два раза. В таком случае говорят, что событие B зависит от события A События A и B называются |