5.2.3. Интервальное оценивание генеральной доли
(вероятности события)
Для определения вероятностей интересующих нас событий мы применя- ем выборочный метод: проводим
n
независимых экспериментов, в каждом из которых может произойти (или не произойти) событие
А
(вероятность
р
появ- ления события А в каждом эксперименте постоянна). Тогда относительная частота
∗
p
появлений событий
А
в серии из
n
испытаний принимается в каче- стве точечной оценки для вероятности
p
появления события
А
в отдельном испытании. При этом величину
∗
p
называют выборочной долей появлений события
А
, а
р
— генеральной долей.
В силу следствия из центральной предельной теоремы (теорема Муавра-
Лапласа) относительную частоту события при большом объеме выборки мож- но считать нормально распределенной с параметрами
p
p
M
=
∗
)
(
и
)
1
(
)
(
n
p
p
p
−
=
σ
∗
Поэтому при
30
>
n
доверительный интервал для генеральной доли можно построить, используя формулы (5.2)–(5.4):
65
,
)
1
(
;
)
1
(
кр кр
−
⋅
+
−
⋅
−
∗
∗
∗
∗
∗
∗
n
p
p
u
p
n
p
p
u
p
(5.6) где кр
u
находится по таблицам функции Лапласа с учетом заданной довери- тельной вероятности
)
(
2
:
кр
γ
=
Φ
γ
u
При малом объеме выборки
)
30
(
≤
n
предельная ошибка
ε
определяется по таблице распределения Стьюдента
,
)
1
(
кр
n
p
p
t
∗
∗
−
⋅
=
ε
(5.7) где
)
;
(
кр
α
= k
t
t
и число степеней свободы
),
1
(
−
= n
k
вероятность
γ
−
=
α 1
(двустороння область).
Формулы (5.6), (5.7) справедливы, если отбор проводился случайным по- вторным образом (генеральная совокупность бесконечна), в противном случае необходимо сделать поправку на бесповторность отбора (табл. 5.2).
Таблица 5.2
Средняя ошибка выборки для генеральной доли
Генеральная совокупность
Бесконечная
Конечная объема
N
Тип отбора
Повторный
Бесповторный
Средняя ошибка выборки
n
p
p
)
1
(
∗
∗
−
N
n
n
p
p
−
⋅
−
∗
∗
1
)
1
(
Пример 3. С помощью случайного повторного отбора руководство фир- мы провело выборочный опрос 900 своих служащих. Среди опрошенных ока- залось 270 женщин. Постройте доверительный интервал, с вероятностью 0.95 накрывающий истинную долю женщин во всем коллективе фирмы.
Решение. По условию выборочная доля женщин составляет
3 0
900 270 =
=
∗
p
(относительная частота женщин среди всех опрошенных).
Так как отбор является повторным, и объем выборки велик
),
900
(
=
n
пре- дельная ошибка выборки определяется по формуле
)
1
(
кр
n
p
p
u
∗
∗
−
⋅
=
ε
66
Значение кр
u
находим по таблице функции Лапласа из соотношения
,
)
(
2
кр
γ
=
Φ u
т.е.
475 0
2 95 0
2
)
(
кр
=
=
γ
=
Φ u
Функция Лапласа (приложе- ние 1) принимает значение 0.475 при
96 1
кр
=
u
Следовательно, предельная ошибка
,
18 0
900
)
3 0
1
(
3 0
96 1
=
−
⋅
=
ε
и искомый доверительный интервал
).
48 0
;
12 0
(
)
18 0
3 0
;
18 0
3 0
(
)
;
(
=
+
−
=
ε
+
ε
−
p
p
Итак, с вероятностью 0.95 можно гарантировать, что доля женщин во всем коллективе фирмы находится в интервале от 0.12 до 0.48.
Пример 4. Владелец автостоянки считает день «удачным», если автосто- янка заполнена более, чем на 80 %. В течение года было проведено 40 прове- рок автостоянки, из которых 24 оказались «удачными». С вероятностью 0.98 найдите доверительный интервал для оценки истинной доли «удачных» дней в течение года.
Решение. Выборочная доля «удачных» дней составляет
6 0
40 24 =
=
∗
p
По таблице функции Лапласа найдем значение кр
u
при заданной доверительной вероятности
,
49 0
2
)
(
,
)
(
2
:
98 0
кр кр
=
γ
=
Φ
γ
=
Φ
=
γ
u
u
33 2
,
49 0
)
33 2
(
кр
=
=
Φ
u
Считая отбор бесповторным (т.е. две проверки в один день не проводи- лось), найдем предельную ошибку:
,
1
)
1
(
кр
N
n
n
p
p
u
−
⋅
−
⋅
=
ε
∗
∗
где
365
,
40
=
=
N
n
(дней). Отсюда
17 0
365 40 1
40
)
6 0
1
(
6 0
33 2
=
−
⋅
−
⋅
=
ε
и доверительный интервал для генеральной доли
).
77 0
;
43 0
(
)
17 0
6 0
;
17 0
6 0
(
)
;
(
=
+
−
=
ε
+
ε
−
p
p
С вероятностью 0.98 можно ожидать, что доля «удачных» дней в течение года находится в интервале от 0.43 до 0.77.
67
6. ПРОВЕРКА СТАТИСТИЧЕСКИХ ГИПОТЕЗ 6.1. Постановка задачи В обычной речи слово «гипотеза» означает предположение. В статистике
— это предположение о виде закона распределения («данная генеральная со- вокупность нормально распределена»), о значениях его параметров («гене- ральное среднее равно нулю»), об однородности данных («эти две выборки извлечены из одной генеральной совокупности»). Статистическая проверка гипотезы состоит в выяснении того, согласуются ли результаты наблюдений
(выборочные данные) с нашим предположением.
Результатом такой проверки может быть отрицательный ответ: выбороч- ные данные противоречат высказанной гипотезе, поэтому от нее следует отка- заться. В противном случае мы получаем ответ неотрицательный: выборочные данные не противоречат гипотезе, поэтому её можно принять в качестве одно- го из допустимых решений (но не единственно верного).
Статистическая гипотеза, которая проверяется, называется
основной (ну- левой) и обозначается
0
H Гипотеза, которая противопоставляется основной, называется альтернативной (конкурирующей) и обозначается
1
H Цель ста- тистической проверки гипотез: на основании выборочных данных принять решение о справедливости основной гипотезы или отклонить в ее пользу аль- тернативной.
Так как проверка осуществляется на основании выборки, а не всей гене- ральной совокупности, то
существует вероятность, возможно, очень малая, ошибочного заключения.
Так, нулевая гипотеза может быть отвергнута, в то время как в действи- тельности в генеральной совокупности она является справедливой. Такую ошибку называют
ошибкой первого рода, а её вероятность —
уровнем значи-мости и обозначают
α
Возможно, что нулевая гипотеза принимается, в то время как в генеральной совокупности справедлива альтернативная гипотеза.
Такую ошибку называют ошибкой второго рода, а её вероятность обозначают
β
(табл. 6.1).
Таблица 6.1
Результаты проверки статистической гипотезы
В генеральной совокупности гипотеза
0
HПринятое решение
Верна
Неверна
0
H отвергнута
Ошибка 1 рода
α
=
)
(
0 1
HHPПравильное решение
β
−
= 1
)
(
1 1
HHP0
H принята
Правильное решение
α
−
= 1
)
(
0 0
HHPОшибка 2 рода
β
=
)
(
1 0
HHP 68
Проверка статистических гипотез осуществляется с
помощью стати-стического критерия. Статистический критерий
K — это правило (функция от результатов наблюдений), определяющее меру расхождения результатов наблюдений с нулевой гипотезой. Вероятность
β
−
1
называют
мощностью критерия.
При проверке статистических гипотез принято задавать заранее уровень значимости
α
(стандартные значения: 0.1, 0.05, 0.01, 0.001). Тогда из двух критериев, характеризующихся одной и той же вероятностью
,
α
выбирают тот, которому соответствует меньшая ошибка 2-го рода, т.е. большая мощ- ность. Уменьшить вероятности обеих ошибок
α
и
β
одновременно можно, увеличив объем выборки.
Значения критерия
K разделяются на две части: область
допустимых значений (область принятия гипотезы
0
H) и
критическую область (область принятия гипотезы
1
H). Критическая область состоит из тех же значений критерия
К, которые маловероятны при справедливости гипотезы
0
H. Если значение набл
K критерия
K, рассчитанное по выборочным данным,
попадает в критическую область, то гипотеза
0
H отвергается в пользу альтернативной
;
1
H в противном случае мы утверждаем, что нет оснований отклонять гипоте- зу
0
HПример. Для подготовки к зачету преподаватель сформулировал 100 во- просов (генеральная совокупность) и считает, что студенту можно поставить
«зачтено», если тот знает 60 % вопросов (критерий). Преподаватель задает студенту 5 вопросов (выборка из генеральной совокупности) и ставит «зачте- но», если правильных ответов не меньше трех. Гипотеза
0
H: «студент курс усвоил», а множество
}
5
,
4
,
3
{
— область принятия этой гипотезы. Критиче- ской областью является множество
}
2
,
1
,
0
{
— правильных ответов меньше трех, в этом случае основная гипотеза отвергается в пользу альтернативной
:
1
H «студент курс не усвоил, знает меньше 60 % вопросов».
Студент
А выучил 70 вопросов из 100, но ответил правильно только на два из пяти, предложенных преподавателем, — зачет не сдан. В этом случае преподаватель совершает ошибку первого рода.
Студент
Б выучил 50 вопросов из 100, но ему повезло, и он ответил пра- вильно на 3 вопроса — зачет сдан, но совершена ошибка второго рода.
Преподаватель может уменьшить вероятность этих ошибок, увеличив количество задаваемых на зачете вопросов.
Чтобы построить критическую область, нужно знать закон распределе- ния статистики
K при условии, что гипотеза
0
H справедлива. Уровень зна- чимости
α
(вероятность наблюдаемому значению набл
K попасть в крити-
69
ческую область) определяет «размер» критической области, а конкурирующая гипотеза
1
H
— «форму» критической области. Например, если проверяется гипотеза
,
:
0 0
θ
=
θ
H
а в качестве альтернативы —
,
:
0 1
θ
>
θ
H
то критиче- ская область будет правосторонней (рис. 6.1, а). При альтернативе
0 1
:
θ
<
θ
H
критическая область — левосторонняя (рис. 6.1, б). При альтер- нативе
0 1
:
θ
=
θ
H
критическая область — двусторонняя (рис. 6.1, в). Во всех этих случаях при заданном уровне значимости
α
заштрихованная площадь составляет
α
⋅
100
% от всей площади под кривой плотности распределения статистики K.
Алгоритм проверки статистических гипотез сводится к следующему:
1) сформулировать основную
0
H
и альтернативную
1
H
гипотезы;
2) выбрать уровень значимости
α
;
3) в соответствии с видом гипотезы
0
H
выбрать статистический крите- рий для ее проверки, т.е. случайную величину
K
, распределение которой из- вестно;
4) по таблицам распределения случайной величины
K
найти границу критической области кр
K
(вид критической области определить по виду аль- тернативной гипотезы
1
H
);
5) по выборочным данным вычислить наблюдаемое значение критерия
;
набл
K
6) принять статистическое решение: если набл
K
попадает в критиче- скую область — отклонить гипотезу
0
H
в пользу альтернативной
1
H
; если набл
K
попадает в область допустимых значений, то нет оснований отклонять основную гипотезу.
Рис. 6.1. Правосторонняя (а), левосторонняя (б) и двусторонняя (в) критические области кр
K
в
x
0
)
(
0
H
x
f
K
кр
K
−
x
)
(
0
H
x
f
K
x
б
0
)
(
0
H
x
f
K
кр
K
−
кр
K
а
0
70
6.2. Проверка гипотез о параметрах распределения
6.2.1. Гипотезы о значениях генерального среднего и дисперсии
Рассмотрим нормальную генеральную совокупность
),
,
(
σ
a
N
X
па- раметр
a
которой требуется определить по выборочным данным. Например, задан требуемый номинальный размер
0
a
деталей, вытачиваемых на данном станке. Отобрав из всей продукции выборку объема
n
, определить по ней, со- ответствует ли производимая продукция заданному требованию. В этом случае речь идет о проверке гипотезы
0 0
:
a
a
H
=
о равенстве генерального средне- го
a
заданному значению
0
a
. Для проверки этой гипотезы используются статистики, распределение которых известно (табл. 6.2). По выборке вычис- ляются оценки неизвестных параметров распределения:
∑
=
∧
=
=
n
i
i
x
n
x
a
1
;
1
)
(
1 1
2 1
2 2
∑
=
∧
−
−
=
=
σ
n
i
i
x
x
n
s
Таблица 6.2
Гипотеза о генеральном среднем
Гипотеза
0
:
a
a
H
=
Предположения
Генеральная совокупность нормальна; параметр
σ
известен
Генеральная совокупность нормальна; параметр
σ
неизвестен
Оценки по выборке
x
a
=
∧
s
x
a
=
σ
=
∧
∧
;
Статистика
K
n
a
X
⋅
σ
−
0
n
s
a
X
⋅
−
0
Распределение статистики K
Стандартное нормальное
)
1
,
0
(
N
Распределение Стьюдента
)
1
(
−
n
T
Эти же статистики используются, если распределение генеральной сово- купности неизвестно (для выборок объема
30
>
n
используется статистика с нормальным распределением, для
30
≤
n
с распределением Стьюдента).
Пример 1. Техническая норма предусматривает в среднем 40 с на выпол- нение определенной технологической операции на конвейере по производству часов. От работающих поступили жалобы, что они в действительности затра- чивают на эту операцию больше времени. Для проверки жалобы проведены
71
хронометрические измерения времени её выполнения у 36 работниц, занятых на этой операции, и получено среднее время выполнения операции
42
=
x с.
Можно ли по имеющимся хронометрическим данным на уровне значимости
01 0
=
α
отклонить гипотезу о том, что среднее время выполнения этой опе- рации соответствует норме, если известно, что среднее квадратическое откло- нение генеральной совокупности
5 3
=
σ
с?
Решение. Сформулируем основную и альтернативную гипотезы.
40
:
0
=
aH — неизвестное генеральное среднее равно заданному зна- чению (время выполнения технологической операции соответствует норме).
40
:
1
>
aH — время выполнения технологической операции больше ус- тановленной нормы.
По условию задачи уровень значимости
,
01 0
=
α
т.е. событие,
которое происходит с такой вероятностью, считаем практически невозможным.
Так как выборка большого объема
)
30 36
(
>
=
n и среднее квадратиче- ское отклонение генеральной совокупности известно, воспользуемся статисти- кой
)
1 0
(
NK (табл. 6.2). Её наблюдаемое значение равно
43 3
36 5
3 40 42 0
набл
=
⋅
−
=
σ
−
=
naxKТак как альтернативная гипотеза правосторонняя, то и критическая об- ласть — правосторонняя (рис. 6.1,
а) и её границу кр
K следует искать по таблице функции Лапласа (приложение 1) из равенства
2 1
)
(
кр
α
−
=
Φ
K Так как
01 0
=
α
имеем
49 0
01 0
5 0
)
(
кр
=
−
=
Φ
K и значение
33 2
кр
=
KНаблюдаемое значение
,
кр набл
KK>
т.е. попадает в критическую об- ласть, следовательно, на данном уровне значимости нулевая гипотеза отверга- ется в пользу альтернативной. Уровень значимости характеризует надежность нашего утверждения: более чем с 99 % надежностью можно утверждать, что среднее время выполнения этой операции превышает норму. Следовательно, жалобы работниц обоснованы.
Заметим, что при левосторонней конкурирующей гипотезе
40
:
1
<
aHграница критической области отрицательна (рис. 6.1,
б). При двусторонней конкурирующей гипотезе
40
:
1
≠
aH (рис. 6.1,
в) правую границу критиче- ской области кр
K находят по таблицам функции Лапласа (приложение 1) из равенства
2 1
)
(
кр
α
−
=
Φ
KК гипотезе о значении генеральной дисперсии мы приходим, если требу- ется проверить предположение о точности настройки станка или устройства.
72
Для проверки основной гипотезы
0 2
0
:
σ
=
σ
H используется статистика, имеющая распределение «хи-квадрат» (табл. 6.3). Альтернативная гипотеза обычно выбирается правосторонней
:
2 0
2 1
σ
>
σ
HПример 2. Точность работы станка-автомата проверяется по дисперсии контролируемого размера деталей, которая не должна превышать
1 0
2
=
σ
По выборке из 25 случайно отобранных деталей рассчитаны оценки генераль-
ного среднего и генеральной дисперсии, при этом
2 0
2
=
s На уровне значи- мости 0.05 проверить, обеспечивает ли станок требуемую точность.
Таблица 6.3
Гипотеза о генеральной дисперсии
Гипотеза
:
2 0
2 1
σ
>
σ
HПредположения
Нормальная генеральная совокупность с известным параметром
aНормальная генеральная совокупность с неизвест- ным параметром
aОценки по выборке
2 2
s=
σ
∧
2 2
;
sxa=
σ
=
∧
∧
Статистика
K2 0
2
σ
nS2 0
2
)
1
(
σ
−
SnРаспределение статистики
K «хи-квадрат»
)
(
2
nχ
«хи-квадрат»
)
1
(
2
−
χ
nРешение. Основная гипотеза
1 0
:
2 0
=
σ
H— станок обеспечивает тре- буемую точность. Альтернативная гипотеза правосторонняя
1 0
:
2 0
>
σ
H— точность не обеспечивается. Объем выборки
,
25
=
nуровень значимости
05 0
=
α
Так как генеральное среднее неизвестно (оценивается по выборке), то будем использовать статистику
)
1
(
)
1
(
2 2
0 2
−
χ
σ
−
=
nSnK Её наблюдаемое значение равно
48 1
0 2
0
)
1 25
(
набл
=
⋅
−
=
KКритическая область является правосторонней и ее границу кр
K опре- деляем по таблице распределения «хи-квадрат» (приложение 2):
36.4.
0.05)
;
24
(
)
;
1
(
2 2
кр
=
χ
=
α
−
χ
=
nK 73
Наблюдаемое значение попадает в критическую область:
,
кр набл
KK>
поэтому основная гипотеза
0
H отвергается: станок не обеспечивает требуе- мой точности и требует наладки.
Скачать 3.11 Mb.