Тема: «Пространство элементарных событий»
Образуют ли данные события полную группу событий пространства эле- ментарных событий описанного эксперимента; если два, то являются ли рав- новозможными; если нет — являются ли несовместными?
Вариант 1
Эксперимент — бросание двух правильных монет; событие
A
— «выпало два герба», событие
B
— «выпало две решки».
Вариант 2
Эксперимент — бросание двух правильных монет; событие
A
— «выпало два герба», событие
B
— «выпало две решки»; событие
C
— «выпал один герб и одна решка».
Вариант 3
Эксперимент — бросание двух правильных монет; событие
A
— «герб на первой монете», событие
B
— «герб на второй монете».
Вариант 4
Эксперимент — бросание игрального кубика; событие
A
— «выпало од- но или два очка», событие
B
— «выпало два или три очка»; событие
C
— «вы- пало три или четыре очка»; событие
D
— «четыре или пять очков»; событие
E
— «пять или шесть очков».
Вариант 5
Эксперимент — передача трех сообщений по каналу связи; событие
A
—
«все три сообщения переданы без ошибок», событие
B
— «все три — с ошиб- ками»; событие
C
— «два с ошибками, одно без ошибок».
99
Вариант 6
Эксперимент — передача трех сообщений по каналу связи; событие
A
—
«первое сообщение передано с ошибкой», событие
B
— «второе сообщение передано с ошибкой»; событие
C
— «третье сообщение передано с ошибкой»
Вариант 7
Эксперимент — извлечение наугад одной карты из колоды игральных карт; событие
A
— «извлечена карта червонной масти», событие
B
— «бубно- вой масти»; событие
C
— «трефовой масти»; событие
D
— «пиковой масти».
Вариант 8
Эксперимент — извлечение наугад двух карт из колоды игральных карт; событие
A
— «обе карты черной масти», событие
B
— «среди извлеченных карт есть дама»; событие
C
— «есть туз».
Вариант 9
Эксперимент — два выстрела по цели; событие
A
— «ни одного попада- ния»; событие
B
— «ровно одно попадание»; событие
C
— «ровно два попа- дания».
Вариант 10
Эксперимент — из букв слова «плюс» последовательно без возвращения выбираются две буквы; событие
A
— «выбрана пара согласных», событие
B
—
«выбрана пара гласных»; событие
C
— «выбрана одна согласная и одна глас- ная».
Задача 2. Тема: «Свойства вероятностей»
Вариант 1
В фирме 550 работников, 380 из них имеют высшее образование, 412 — среднее специальное образование, у 357 — высшее и среднее специальное образование. Чему равна вероятность того, случайно выбранный работник не имеет ни высшего, ни среднего специального образования?
100
Вариант 2 Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определенного про- дукта по одному из трех телевизионных каналов, равна 0.05. Предполагается, что эти события независимы в совокупности. Чему равна вероятность того, что потребитель увидит рекламу а) по всем трем каналам; б) хотя бы по одному из этих каналов?
Вариант 3 Модельер, разрабатывающий новую коллекцию одежды к весеннему се- зону,
создает модели в белой, черной и красной цветовой гамме. Вероятность того, что белый цвет будет в моде весной, модельер оценивает в 0.3, черный — в 0.2, а вероятность того, что будет моден красный цвет — в 0.15. Предпола- гая, что цвета выбираются независимо друг от друга, оцените вероятность того, что цветовое решение коллекции будет удачным хотя бы по одному из выбранных цветов.
Вариант 4 Компания, занимающаяся строительством терминалов для аэропортов, надеется получить контракт в стране
A с вероятностью 0.4, вероятность за- ключить контракт в стране
B равна 0.3. Вероятность того, что контракты будут заключены и в стране
A, и в стране
B, равна 0.12. Чему равна вероятность того, что компания получит контракт хотя бы в одной стране?
Вариант 5 Город имеет три независимых резервных источника электроэнергии для использования в случае аварийного отключения постоянного источника элек- троэнергии. Вероятность того, что любой из трех резервных источников будет доступен при отключении постоянного источника, составляет 0.8. Какова ве- роятность того, что не произойдет аварийного отключения электроэнергии, если выйдет из строя постоянный источник?
Вариант 6 Покупатель может приобрести акции двух компаний
A и
B. Надежность компании
A оценивается экспертами с вероятностью 0.9, надежность компа- нии
B — 0.8. Чему равна вероятность того, что а) обе компании не станут бан- кротами; б) наступит хотя бы одно банкротство?
101
Вариант 7 Эксперты торговой компании полагают, что покупатели, обладающие пластиковой карточкой этой компании, дающей право на скидку, обратятся за покупкой товара в ее магазины с вероятностью 0.9.
Если это произойдет, обла- датель пластиковой карточки приобретет необходимый ему товар с вероятно- стью 0.8. Какова вероятность того, что обладатель пластиковой карточки тор- говой компании приобретет необходимый ему товар в ее магазинах?
Вариант 8 В городе три коммерческих банка, оценка надежности которых — 0.95,
0.90 и 0.85 соответственно. В связи с определением хозяйственных перспектив развития города администрацию интересуют ответы на следующие вопросы: а) какова вероятность того, что в течение года обанкротятся все три банка; б) что обанкротится хотя бы один банк?
Вариант 9 Инвестор предполагает, что в следующем периоде вероятность роста це- ны акций компании
A будет составлять 0.7, а компании
B — 0.4. Вероятность того, что цены поднимутся на те и другие акции, равна 0.28. Вычислите веро- ятность роста акций хотя бы одной компании.
Вариант 10 Вероятность того, что покупатель, собирающийся приобрести компьютер и пакет прикладных программ, приобретет только компьютер, равна 0.15, только пакет программ — 0.1. Вероятность того, что будет куплен и компью- тер, и пакет программ, равна 0.05. Чему равна вероятность того, что будет сделана хотя бы одна покупка?
Задача 3. Тема: «Формула полной вероятности и формула Байеса» Вариант 1 Директор компании имеет два списка с фамилиями претендентов на ра- боту. В первом списке — фамилии шести женщин и четырех мужчин. Во вто- ром списке оказалось четыре женщины и семь мужчин. Фамилия одного из претендентов случайно переносится из первого списка во второй. Затем фами- лия одного из претендентов случайно выбирается из второго списка. Оказа- лось, что эта фамилия принадлежит мужчине. Какова вероятность того, что из первого списка была перенесена фамилия женщины?
102
Вариант 2 Агент по недвижимости пытается продать участок земли под застройку.
Он полагает, что участок будет продан в течение полугода с вероятностью 0.9, если экономическая ситуация в регионе не будет ухудшаться. Если же эконо- мическая ситуация будет ухудшаться, то вероятность продать участок соста- вит 0.5. Экономист, консультирующий агента полагает, что с вероятностью, равной 0.7, экономическая ситуация в регионе в течение ближайшего полугода будет ухудшаться. Чему равна вероятность того, что участок будет продан в течение полугода?
Вариант 3 Среди студентов университета 30 % первокурсников, 35 % студентов учатся на втором курсе, остальные — старшекурсники. По данным деканатов известно, что на первом курсе 20 % студентов сдали сессию только на отлич- ные оценки, на втором — 30 %, среди старшекурсников 40 % отличников.
Наудачу вызванный студент оказался отличником. Чему равна вероятность того, что он — старшекурсник?
Вариант 4 Нефтеразведочная экспедиция проводит исследования для определения вероятности наличия нефти на месте предполагаемого бурения скважины.
Исходя из
результатов предыдущих исследований, нефтеразведчики считают, что вероятность наличия нефти на проверяемом участке равна 0.4. На завер- шающем этапе разведки проводится сейсмический тест, который имеет опре- деленную степень надежности: если на проверяемом участке есть нефть, то тест укажет на ее наличие в 85 % случаев; если нефти нет, то в 10 % случаев тест может ошибочно указать ее наличие. Сейсмический тест указал на при- сутствие нефти. Чему равна вероятность того, что запасы нефти на данном участке существуют в действительности?
Вариант 5 Экспортно-импортная фирма собирается заключить контракт на поставку оборудования в одну из развивающихся стран. Если основной конкурент фир- мы не станет одновременно претендовать на заключение контракта, то вероят- ность получения контракта оценивается в 0.45, в противном случае — в 0.25.
По оценкам экспертов компании вероятность того, что конкурент выдвинет свои предложения по заключению контракта, равна 0.4. Чему равна вероят- ность заключения контракта?
103
Вариант 6 Экономист-аналитик условно подразделяет экономическую ситуацию в стране на «хорошую», «посредственную» и «плохую» и оценивает их вероят- ности для данного момента времени в 0.15, 0.7 и 0.15 соответственно. Некото- рый индекс экономического состояния возрастает с вероятностью 0.6, когда ситуация «хорошая»; с вероятностью 0.3, когда ситуация «посредственная», и с вероятностью 0.1, когда ситуация «плохая». Пусть в настоящий момент ин- декс экономического состояния возрос. Чему равна вероятность того, что эко- номическая ситуация «хорошая»?
Вариант 7 При слиянии акционерного капитала двух фирм аналитики фирмы, полу- чающей контрольный пакет акций, полагают, что сделка принесет успех с ве- роятностью 0.65, если председатель совета директоров поглощаемой фирмы уйдет в отставку; если он откажется, что вероятность успеха будет равна 0.3.
Предполагается, что вероятность ухода в отставку председателя составляет
0.7. Чему равна вероятность успеха сделки?
Вариант 8 На химическом заводе установлена система аварийной сигнализации.
Когда возникает аварийная ситуация, звуковой сигнал срабатывает с вероятно- стью 0.95. Звуковой сигнал может сработать случайно и без аварийной ситуа- ции с вероятностью 0.02. Вероятность аварийной ситуации равна 0.004. Пред- положим, что звуковой сигнал сработал. Чему равна вероятность реальной аварийной ситуации?
Вариант 9 Вероятность того, что клиент банка не вернет заем в период экономиче- ского роста, равна 0.04, а в период экономического кризиса — 0.13. Предпо- ложим, вероятность, что начнется период экономического роста, равна 0.65.
Чему равна вероятность того, что случайно выбранный клиент банка не вернет полученный кредит?
Вариант 10 Исследованиями психологов установлено, что мужчины и женщины по- разному реагируют на некоторые жизненные обстоятельства.
Результаты ис- следований показали, что 70 % женщин позитивно реагируют на изучаемый круг ситуаций, в то время как 40 % мужчин реагируют на них негативно. Свое отношение к предполагаемым ситуациям отразили в анкете 15 женщин и 5 мужчин. Случайно извлеченная анкета содержит негативную реакцию. Чему равна вероятность того, что ее заполнял мужчина?
104
Задача 4. Тема: «Биномиальное распределение»
Запишите таблицу для данного закона распределения случайной величи- ны
X
, постройте многоугольник распределения. Найдите числовые характери- стики распределения. Запишите функцию распределения и постройте ее гра- фик. Ответьте на вопрос о вероятности описанного события.
Вариант 1
В городе шесть коммерческих банков. У каждого риск банкротства в те- чение года составляет 10 %. Чему равна вероятность того, что в течение года обанкротится не более одного банка? Случайная величина
X
— количество обанкротившихся банков.
Вариант 2
Нефтеразведывательная компания получила финансирования для прове- дения шести нефтеразведок. Вероятность успешной нефтеразведки 0.05. Пред- положим, что нефтеразведку осуществляют независимые друг от друга разве- дывательные партии. Чему равна вероятность того, что не менее двух нефте- разведок принесут успех? Случайная величина
X —
количество успешных нефтеразведок.
Вариант 3
Хорошим считается руководитель, принимающий не менее 70 % пра- вильных решений. Пусть управляющий банком — хороший руководитель, принимающий правильное решение с постоянной вероятностью 0.75. Такому управляющему банком предстоит принять решения по четырем важным во- просам банковской политики. Случайная величина
X —
количество правиль- ных решений, принятых управляющим. Чему равна вероятность того, что управляющий примет менее трех правильных решений?
Вариант 4
В ходе аудиторской проверки строительной компании аудитор случай- ным образом отбирает пять счетов. Вероятность наличия ошибки в каждом счете — величина постоянная и равна 0.03. Случайная величина
X —
количе- ство счетов с ошибкой. Какова вероятность того, что хотя бы один счет будет ошибкой?
Вариант 5
В банк поступило 30 авизо. Подозревают, что среди них три фальшивых.
Тщательной проверке подвергаются пять случайно выбранных авизо. Случай- ная величина
X —
количество фальшивых авизо среди отобранных. Чему
105
равна вероятность того, что в ходе проверки обнаружится менее двух фальши- вок?
Вариант 6 Записи страховой компании показали, что 30 % держателей страховых полисов старше 50 лет потребовали возмещения страховых сумм. Для провер- ки в случайном порядке было отобрано пять человек старше 50 лет, имеющих полисы. Случайная величина
X — количество потребующих возмещения сре- ди отобранных. Чему равна вероятность того, что потребуют возмещения бо- лее трех человек?
Вариант 7 Билет для зачета содержит пять вопросов, к каждому из которых приве- дены четыре возможных ответа (правильный ответ только один). Предполо- жим, что студент выбирает ответы среди предложенных наугад. Случайная величина
X — количество правильных ответов, угаданных студентом. Какова вероятность того, что от ответит правильно не менее, чем на четыре вопроса?
Вариант 8 Для того, чтобы проверить точность своих финансовых счетов, компания регулярно пользуется услугами аудиторов. Предположим, что служащие ком- пании при обработке входящих счетов допускают 5 % ошибок. Аудитор слу- чайно отбирает три входящих документа. Случайная величина
X — количест- во документов с ошибками среди отобранных. Какова вероятность того, что аудитор обнаружит более одного ошибочного документа среди отобранных?
Вариант 9 Телевизионный канал рекламирует новый вид детского питания. Вероят- ность того, что телезритель увидит эту рекламу, оценивается в 0.2. Случайным образом отобраны шесть телезрителей. Случайная величина
X — количество лиц, видевших рекламу, среди отобранных. Чему равна вероятность того, что, по крайней мере, два телезрителя из отобранных видели рекламу нового дет- ского питания?
Вариант 10 Торговый агент контактирует с семью потенциальными покупателями в день. Из опыта ему известно: вероятность того, что
потенциальный покупатель совершит покупку, равна 0.1. Случайная величина
X — количество покупате- лей, совершивших покупку после встречи с торговым агентом. Чему равна вероятность того, что хотя бы два посетителя сделают покупки?
106
Задача 5. Тема: «Описательная статистика»
Для приведенных ниже выборочных данных выполнить следующую об- работку, пояснив полученные результаты: а) найти выборочные значения среднего арифметического, моды, медиа- ны; б) найти размах выборки, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение; проверить выполнение правила «3сигма»; в) оценить симметричность распределения с помощью первого коэффи- циента Пирсона; г) найти верхнюю и нижнюю выборочные квартили, пояснить их смысл; д) построить сгруппированный статистический ряд и гистограмму; е) найти модальный и медианный интервалы, сравнить середины этих интервалов со значениями моды и медианы, рассчитанными по выборке.
Для выполнения расчетов и построения гистограмм рекомендуются средства MathCad, Excel.
Вариант 1
Измерены диаметры 40 металлических шариков, мм:
8.53 8.59 8.51 8.59 8.41 8.46 8.57 8.62 8.45 8.51 8.46 8.55 8.61 8.68 8.52 8.43 8.40 8.41 8.54 8.47 8.53 8.55 8.43 8.47 8.59 8.63 8.56 8.42 8.58 8.60 8.52 8.56 8.56 8.60 8.54 8.61 8.45 8.54 8.57 8.68
Вариант 2
Измерена продолжительность работы 30 электрических лампочек, десят- ков часов:
51 56 69 31 56 49 51 53 74 51 63 48 53 51 64 50 59 84 55 82 55 72 70 54 51 77 98 62 73 55
Вариант 3
Измерена скорость автомобиля на некотором участке дороги, км/час:
41 41 29 15 41 43 42 34 41 30 23 48 50 36 35 46 28 46 50 41 55 27 43 53 48 47 34 35 29 42 30 35 38 41 36 38 45 59 44 43
107
Вариант 4
Основные фонды 30 предприятий, млн руб.:
4.2 2.4 4.9 6.7 4.5 2.7 3.9 2.1 5.8 4.0 2.8 7.3 4.4 6.6 2.0 6.2 7.0 8.1 0.7 6.8 9.4 7.6 6.3 8.8 6.5 1.4 4.6 2.0 7.2 9.1
Вариант 5
Измерены длины 40 графитовых стержней для цанговых карандашей, см:
6.61 6.45 6.54 6.57 6.68 6.58 6.60 6.52 6.56 6.60 6.54 6.55 6.43 6.47 6.59 6.63 6.56 6.42 6.56 6.52 6.43 6.40 6.41 6.54 6.47 6.53 6.62 6.45 6.51 6.46 6.55 6.61 6.68 6.53 6.59 6.51 6.59 6.41 6.46 6.57
Вариант 6
Измерена площадь, см
2
, 40 пластинок кремния, подготовленных для на- пыления тонких пленок:
5.54 5.42 5.53 6.68 5.57 5.46 5.61 5.47 5.56 5.60 5.68 5.56 5.63 5.54 5.55 5.41 5.59 5.46 5.41 5.59 5.56 5.57 5.54 5.52 5.47 5.40 5.51 5.51 5.59 5.45 6.43 5.43 5.60 5.45 5.61 5.58 5.55 5.52 5.62 5.53
Вариант 7
Измерена длина тормозного пути, м, 30 автомашин, проходящих техни- ческий осмотр:
4.2 2.4 4.9 6.7 4.5 2.7 3.9 2.1 5.8 4.0 2.8 7.3 4.4 6.6 2.0 6.2 7.0 8.1 0.7 6.8 9.4 7.6 6.3 8.8 6.5 1.4 4.6 2.0 7.2 9.1
108
Вариант 8
Приведены результаты взвешивания 30 металлических шариков:
45 72 41 64 45 63 52 74 43 41 49 88 67 40 39 46 54 41 44 41 21 59 43 60 62 38 46 45 53 41
Вариант 9
Измерены излишки общей площади в 40 квартирах, м
2
:
2.9 4.1 4.1 3.0 4.3 4.2 4.1 3.0 4.1 5.0 4.4 5.9 3.5 4.6 3.4 4.2 2.8 3.4 4.5 3.8 4.7 4.6 4.3 4.1 3.5 4.8 3.6 4.1 5.3 3.6 4.5 2.9 5.0 4.3 3.8 3.5 2.7 4.8 4.1 2.3
Вариант 10
Проведено суммарное число баллов за осенний семестр для каждого сту- дента:
41.5 42.3 47.4 51.2 52.3 43.9 49.1 46.6 41.7 57.5 52.3 45.7 48.0 49.3 57.4 44.4 51.0 49.8 43.8 50.6 49.6 40.9 50.8 51.8 39.6 48.1 43.2 50.8 48.0 56.9
8.2. Контрольная работа № 2
Контрольная работа № 2 содержит семь задач по темам 4, 5, 6, 7 разделов настоящего пособия. Номер варианта соответствует последней цифре номера зачетной книжки.
Задача 1. Тема: «Нормальное распределение»
Вариант 1
Дневная добыча угля в некоторой шахте распределена по нормальному закону с математическим ожиданием 785 т и стандартным отклонением 60 т.
Найдите вероятность того, что в определенный день будут добыты, по крайней мере, 800 т угля. Определите долю рабочих дней, в которые будет добыто от
109 750 т до 850 т угля. Найдите вероятность того, что в данный день добыча угля окажется ниже 665 т.
Вариант 2 Вес
тропического грейпфрута, выращенного в Краснодарском крае, нор- мально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией, равной 0.04. Агрономы знают, что 65 % фруктов весят меньше, чем 0.5 кг. Найдите ожидаемый вес случайно выбранного грейпфрута.
Вариант 3 Предположим, что в течение года цена на акции некоторой компании есть случайная величина, распределенная по нормальному закону с математи- ческим ожиданием, равным 48 у.е., и стандартным отклонением, равным 6.
Определите вероятность того, что в случайно выбранный день обсуждаемого периода цена была а) более 60 у.е. за акцию; б) ниже 60 за акцию; и) выше 40 за акцию; г) между 40 и 50 у.е. за акцию.
Вариант 4 Средний срок службы коробки передач до капитального ремонта у авто- мобиля определенной марки составляет 56 мес. со стандартным отклонением мес.
16
σ
=
Привлекая покупателей, производитель хочет дать гарантию на этот узел, обещая сделать бесплатно любое число ремонтов коробки передач нового автомобиля в случае ее поломки до определенного срока. Пусть срок службы коробки передач подчиняется нормальному закону. На сколько меся- цев в таком случае производитель должен дать гарантию для этой детали, что- бы число бесплатных ремонтов не превышало 2.275 % проданных автомоби- лей?
Вариант 5 Еженедельный выпуск продукции на заводе приблизительно распределен по нормальному закону со средним значением, равным 134786 ед. продукции в неделю, и стандартным отклонением 13000 ед. Найдите вероятность того, что еженедельный выпуск продукции: а) превысит 150000 ед.; б) окажется ниже
100000 ед. в данную неделю; в) предположим, что возникли трудовые споры, и недельный выпуск продукции стал ниже 80000 ед. Менеджеры обвиняют профсоюз в беспрецедентном падении выпуска продукции, а профсоюз утвер- ждает, что выпуск продукции находится в пределах принятого уровня
(
)
3σ
±
Можно ли доверять профсоюзу?
110
Вариант 6 Процент протеина в пакете с сухим кормом для собак нормально распре- деленная случайная величина с математическим ожиданием 11.2 % и стан- дартным отклонением 0.6 %. Производителям корма необходимо, чтобы в
99 % продаваемого корма доля протеина составляла не меньше
x %, но не бо- лее
y %. Найдите
x и
yВариант 7 Вес товаров, помещаемых в контейнер определенного размера, — нор- мально распределенная случайная величина. Известно, что 65 % контейнеров имеют чистый вес больше 4.9 т, а 25 % —
имеют вес меньше, чем 4.2 т. Най- дите ожидаемый средний вес и среднее квадратичное отклонение чистого веса контейнера.
Вариант 8 Отклонение стрелки компаса из-за влияния магнитного поля в опреде- ленной области Заполярья есть случайная величина
( )
1
,
0
NX. Чему равна вероятность того, что абсолютная величина отклонения в определенный мо- мент времени будет больше, чем 2.4?
Вариант 9 Технический отдел компании, производящей автопокрышки, планирует выпустить несколько партий покрышек и проверить степень их износа на тес- тирующем оборудовании. С этой целью предполагается увеличивать количе- ство каучука в покрышках каждой последующей партии до тех пор, пока срок службы покрышек окажется приемлемым. Эксперимент показал, что стан- дартное отклонение срока службы покрышек фактически остается постоянным от партии к партии и составляет 2500 миль. Если компания хочет, чтобы 80 % выпускаемых покрышек имели срок службы не менее 2500 миль, то какой наименьший средний срок службы автопокрышек должен быть заложен в рас- четах технического отдела. Считать срок службы автопокрышек нормально распределенным.
Вариант 10 Менеджер торгово-посреднической фирмы получает жалобы от некото- рых клиентов на то, что служащие фирмы затрачивают слишком много време- ни на выполнение их заказов. Собрав и проанализировав соответствующую информацию, он выяснил, что среднее время выполнения заказа составляет 6.6 дней, однако для выполнения 20 % заказов потребовалось 15 дней и более.
Учитывая, что время выполнения заказа есть случайная величина, распреде-
111
ленная по нормальному закону, определите фактическое стандартное отклоне- ние времени обслуживания клиентов.
Задача 2. 
Скачать 3.11 Mb.