теория вероятностей. Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М
 Скачать 3.11 Mb.
|
|
Тема: «Критические точки» (работа с таблицами) По заданной вероятности (и заданному числу степеней свободы k ) найти критическую точку (квантиль γ x ), пользуясь соответствующими таблицами (приложение 1–4): а) стандартного нормального распределения; б) распределения «хи-квадрат»; в) распределения Стьюдента; г) распределения Фишера. Нарисовать примерный вид графика плотности распределения, указать критическую точку, заштриховать площадь, соответствующую вероятности γ α - 1 = , записать пояснения к рисунку. Вариант 1: а) γ = 0.94; б) γ = 0.95, k = 15; в) γ = 0.975, k = 27; г) γ = 0.95, 7 , 4 2 1 = = k k Вариант 2: а) γ = 0.98; б) γ = 0.975, k = 12; в) γ = 0.99, k = 10; г) γ = 0.99, 11 , 7 2 1 = = k k Вариант 3: а) γ = 0.96; б) γ = 0.99, k = 19; в) γ = 0.975, k = 9; г) γ = 0.95, 9 , 6 2 1 = = k k Вариант 4: а) γ = 0.97; б) γ = 0.95, k = 6; в) γ = 0.95, k = 8; г) γ = 0.99, 14 , 8 2 1 = = k k Вариант 5: а) γ = 0.95; б) γ = 0.99, k = 11; в) γ = 0.975, k = 14; г) γ = 0.95, 13 , 5 2 1 = = k k Вариант 6: а) γ = 0.94; б) γ = 0.99, k = 16; в) γ = 0.975, k = 21; г) γ = 0.99, 8 , 11 2 1 = = k k Вариант 7: а) γ = 0.98; б) γ = 0.975, k = 6; в) γ = 0.99, k = 8; г) γ = 0.95, 12 , 9 2 1 = = k k Вариант 8: а) γ = 0.96; б) γ = 0.99, k = 8; в) γ = 0.975, k = 12; г) γ = 0.95, 14 , 10 2 1 = = k k Вариант 9: а) γ = 0.97; б) γ = 0.95, k = 17; в) γ = 0.95, k = 9; г) γ = 0.99, 9 , 12 2 1 = = k k Вариант 10: а) γ = 0.95; б) γ = 0.99, k = 6; в) γ = 0.975, k = 20; г) γ = 0.95, 5 , 10 2 1 = = k k 112 Задача 3. Тема: «Интервальные оценки» Вариант 1 В целях изучения среднедушевого дохода семей города в 1995 г. была произведена 1 %-ая повторная выборка из 30 тыс. семей. По результатам об- следования среднедушевой доход семьи в месяц составил 200 тыс. руб. со средним квадратичным отклонением, равным 150 тыс. руб. С вероятностью 0.95 найдите доверительный интервал, в котором находится величина средне- душевого дохода всех семей города, считая среднедушевой доход случайной величиной, распределенной по нормальному закону. Вариант 2 Для изучения различных демографических характеристик населения вы- борочно обследовалось 300 семей города. Оказалось, что среди обследованных семей 15 % состоят из двух человек. В каких пределах находится в генераль- ной совокупности доля семей, состоящих из двух человек, если принять дове- рительную вероятность равной 0.95? Вариант 3 В 1995 г. выборочное обследование распределения населения города по среднедушевому доходу показало, что 40 % обследованных в выборке имеют среднедушевой доход не более 200 тыс. руб. В каких пределах находится доля населения, имеющего такой среднедушевой доход, во всей генеральной сово- купности, если объем генеральной совокупности составляет 1000000 единиц, выборка не превышает 10 % объема генеральной совокупности и осуществля- ется по методу случайного бесповторного отбора, а доверительная вероятность равна 0.954? Вариант 4 С помощью случайной выборки оценивается среднее время ежедневного просмотра телепередач абонентами кабельного телевидения в период с 18 до 22 ч. Каким должен быть объем выборки в этом случае, если в предыдущих выборочных обследованиях стандартное отклонение времени просмотра пере- дач составило 40 мин., а отклонение выборочной средней от генеральной средней по абсолютной величине не должно превышать 5 мин. с вероятностью 0.99? Вариант 5 Аудиторская фирма хочет проконтролировать состояние счетов одного из коммерческих банков. Для этого случайно отбираются 50 счетов. По 20 счетам из 50 отобранных имело место движение денежных средств в течение месяца. Постройте 99 %-ый доверительный интервал, оценивающий долю 113 счетов в генеральной совокупности, по которым имело место движение де- нежных средств в течение месяца. Вариант 6 Менеджер компании, занимающейся прокатом автомобилей, хочет оце- нить среднюю величину пробега одного автомобиля в течение месяца. Из 280 автомобилей, принадлежащих компании, методом случайной бесповторной выборки отобрано 30. По данным этой выборки установлено, что средний про- бег автомобиля в течение месяца составляет 1342 км со стандартным отклоне- нием 227 км. Считая пробег автомобиля случайной величиной, распределен- ной по нормальному закону, найдите 95 %-ый доверительный интервал, оце- нивающий средний пробег автомобилей всего парка в течение месяца. Вариант 7 Среднемесячный бюджет студентов в колледжах одного из штатов США оценивается по случайной выборке. С вероятностью 0.954 найдите наимень- ший объем выборки, необходимый для такой оценки, если среднее квадратич- ное отклонение предполагается равным 100 у.е., а предельная ошибка средней не должна превышать 20 у.е. Вариант 8 Коммерческий банк, изучая возможности предоставления долгосрочных кредитов населения, опрашивает своих клиентов для определения среднего размера такого кредита. Из 9706 клиентов банка опрошено 1000 человек. Среднее значение необходимого клиенту кредита в выборке составило 6750 у.е. со стандартным отклонением 1460 у.е. Найдите границы 95 %-ого довери- тельного интервала для оценки неизвестного среднего значения кредита в ге- неральной совокупности. Вариант 9 При выборочном опросе 1200 телезрителей оказалось, что 456 из них ре- гулярно смотрят программы телевидения НТВ. Постройте 99 %-ый довери- тельный интервал, оценивающий доля всех телезрителей, предпочитающих программы телеканала НТВ. Вариант 10 Для изучения размера среднемесячной заработной платы занятого насе- ления региона производится случайная повторная выборка. Каким должен быть объем этой выборки, чтобы с доверительной вероятностью 0.997 можно было утверждать, что среднемесячная заработная плата в выборке отличается от среднемесячной заработной платы работников во всем регионе по абсолют- 114 ной величине не более, чем на 25 %, если среднемесячная зарплата в выборке составила 220 у.е. со средним квадратическим отклонением 120 у.е. Задача 4. Тема: «Проверка статистических гипотез» Вариант 1 Компания, производящая средства для потери веса, утверждает, что при- ем таблеток в сочетании со специальной диетой позволяет сбросить в среднем 400 г веса. Случайным образом отобраны 25 человек, использующих эту тера- пию, и обнаружено, что в среднем еженедельная потеря в весе составила 430 г со с.к.о. 110 г. Проверьте гипотезу о том, что средняя потеря в весе составляет 400 г. Уровень значимости α = 0.05. Вариант 2 Поступление страховых полисов в 130 филиалах страховых компаний в регионе А составило 26·10 4 у.е, в регионе В на 100 филиалов пришлось 18·10 4 у.е. Дисперсия величины страховых взносов в регионе А равна 39·10 8 (у.е.) 2 , в регионе В — 25·10 8 (у.е) 2 . На уровне значимости α = 0.05 определите, сущест- венно ли различается средняя величина поступления страховых взносов в ре- гионах А и В из расчета на один филиал. Вариант 3 Компания утверждает, что новый вид зубной пасты для детей лучше пре- дохраняет зубы от кариеса, чем зубные пасты, производимые другими фирма- ми. Для проверки была отобрана случайным образом группа из 400 детей, ко- торые пользовались новым видом зубной пасты. Другая группа из 300 детей, также случайно выбранных, в это же время пользовалась другими видами зуб- ной пасты. Было выявлено, что у 30 детей, использующих новую пасту, и 25 детей из контрольной группы появились новые признаки кариеса. Имеются ли у компании достаточные основания для утверждения о том, что новый сорт зубной пасты эффективнее предотвращает кариес, чем другие виды зубной пасты? Вариант 4 Компания по производству безалкогольных напитков предполагает вы- пустить на рынок новую модификацию популярного напитка, в котором сахар заменен сукразитом. Компания хотела бы быть уверенной в том, что не менее 70 % ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка. Новый напи- ток был предложен на пробу 2000 человек, и 1422 из них сказали, что он вкус- нее старого. Может ли компания отклонить предложение о том, что только 70 % всех ее потребителей предпочтут новую модификацию напитка старой? Уровень значимости 0.05. 115 Вариант 5 В 1995 г. доля предприятий государственной фирмы собственности в од- ной из областей Российской Федерации составила 2.3 % от общего числа про- мышленных предприятий. Среди 2236 машиностроительных и металлообраба- тывающих предприятий она оказалась равной 2.1 %. На уровне значимости α = 0.01 определите, существенно ли меньше удельный вес государственных предприятий в машиностроении и металлообработке, чем в целом в промыш- ленности области? Вариант 6 В 1996 г. годовой оборот четырех бирж в регионе А составил 12·10 4 у.е.; в регионе В годовой оборот пяти бирж — 125·10 3 у.е. Исправленная выбороч- ная дисперсия оборота в регионе А оказалась равной 3·10 4 (у.е.) 2 , в регионе В — 2·10 4 (у.е.) 2 . Можно ли на уровне значимости α = 0.05 утверждать, что сред- ний оборот бирж в регионе А больше, чем в регионе В ? Вариант 7 Инженер по контролю качества проверяет среднее время горения нового вида электроламп. Для проверки случайным образом было отобрано 100 ламп, среднее время горения которых составило 1075 часов. Предположим, что среднее квадратичное отклонение времени горения для генеральной совокуп- ности известно и составляет 100 часов. На уровне значимости α = 0.05 про- верьте гипотезу о том, что среднее время горения ламп более 1000 часов. Предположим, что инженер по контролю качества не имеет информации о генеральной дисперсии и использует выборочное среднеквадратичное от- клонение. Изменится ли ответ? Вариант 8 Производитель некоторого вида продукции утверждает, что 95 % выпус- каемой продукции не имеют дефектов. Случайная выборка 100 изделий пока- зала, что только 92 из них свободны от дефектов. Проверьте справедливость утверждения производителя продукции на уровне значимости α = 0.05. Вариант 9 Крупный коммерческий банк заказал маркетинговое исследование по выявлению эффекта «премирования» (калькулятор, набор ручек и др.) как стимула для открытия счета в банке. Для проверки случайным образом было отобрано 200 «премированных» посетителей и 200 «непремированных». В результате выяснилось, что 79 % посетителей, которым не предлагалась пре- мия, и 89 % посетителей, которым премия предлагалась, открыли счет в банке 116 в течение 6 мес. Используя эти данные, проверьте гипотезу о том, что доля «премированных» посетителей, открывших счет в банке, существенно отлича- ется от удельного веса «непремированных», открывших счет. Уровень значи- мости α = 0.05. Вариант 10 Доля убыточных предприятий в промышленности в целом по России в 1995 г. составила 26 %, а в одной из областей — 27 %. В 1995 г. в этой области насчитывалось 7579 промышленных предприятий. На уровне значимости α = 0.05 определите, являются ли различия в удельном весе убыточных про- мышленных предприятий в России и в этой области случайными или в данной области действует комплекс экономических условий, обусловливающих по- вышенную долю нерентабельных предприятий? Задача 5. Тема: «Критерий согласия Пирсона» По результатам наблюдений определены частоты j n попадания случай- ной величины X в заданные интервалы k j a a j j ..., , 2 , 1 ), ; [ 1 = + . Рассчитать по данному статистическому ряду оценки параметров , σ и s x a = = ∧ ∧ пользуясь формулами ( ) , 1 1 , 1 2 2 1 ∑ ∑ = = − − = = k j j j k j j j x z n n s z n x где n — объем выборки; k — число интервалов группировки; 2 1 + + = j j j a a z — середина j –го интервала. С помощью критерия согласия Пирсона на уровне значимости 0.05 = α выяснить, можно ли считать случайную величину X нормально рас- пределенной с параметрами x и s , рассчитанными по выборке. Вариант 1 ) ; [ 1 + j j a a [1.2; 1.5) [1.5; 1.8) [1.8; 2.1) [2.1; 2.4) [2.4; 2.7) [2.7; 3.0) j n 2 5 9 7 4 3 117 Вариант 2 ) ; [ 1 + j j a a [2.3; 2.5) [2.5; 2.7) [2.7; 2.9) [2.9; 3.1) [3.1; 3.3) [3.3; 3.5) j n 3 6 9 8 5 2 Вариант 3 ) ; [ 1 + j j a a [3.5; 3.8) [3.8; 4.1) [4.1; 4.4) [4.4; 4.7) [4.7; 5.0) [5.0; 5.3) j n 3 4 8 10 5 3 Вариант 4 ) ; [ 1 + j j a a [1.3; 1.5) [1.5; 1.7) [1.7; 1.9) [1.9; 2.1) [2.1; 2.3) [2.3; 2.5) j n 2 4 11 8 5 3 Вариант 5 ) ; [ 1 + j j a a [ 0; 0.4) [0.4; 0.8) [0.8; 1.2) [1.2; 1.6) [1.6; 2.0) [2.0; 2.4) j n 3 4 7 9 5 3 Вариант 6 ) ; [ 1 + j j a a [0.0; 0.3) [0.3; 0.6) [0.6; 0.9) [0.9; 1.2) [1.2; 1.5) [1.5; 1.8) j n 3 4 8 10 6 3 Вариант 7 ) ; [ 1 + j j a a [1.0; 1.2) [1.2; 1.4) [1.4; 1.6) [1.6; 1.8) [1.8; 2.0) [2.0; 2.2) j n 2 5 9 10 6 3 Вариант 8 ) ; [ 1 + j j a a [2.0; 2.3) [2.3; 2.6) [2.6; 2.9) [2.9; 3.2) [3.2; 3.5) [3.5; 3.8) j n 3 5 10 8 4 2 118 Вариант 9 ) ; [ 1 + j j a a [1.2; 1.6) [1.6; 2.0) [2.0; 2.4) [2.4; 2.8) [2.8; 3.2) [3.2; 3.6) j n 3 5 8 10 4 2 Вариант 10 ) ; [ 1 + j j a a [1.3; 1.8) [1.8; 2.3) [2.3; 2.8) [2.8; 3.3) [3.3; 3.8) [3.8; 4.3) j n 2 6 10 8 4 2 Задача 6. Тема: «Ранговая корреляция». Найти выборочный коэффициент ранговой корреляции Спирмена (табл. 8.1 – 8.10) и проверить значимость полученного результата при α = 0.05. Вариант 1 Для девяти студентов приведены ранги величин X (средний балл по ма- тематике) и Y (средний балл по программированию) (табл. 8.1). Таблица 8.1 Таблица рангов для варианта 1 Ранг X 9 3 1 4 2 8 5 6 7 Ранг Y 6 7 3 2 1 8 5 4 9 Вариант 2 На конкурсе красоты 12 участниц проранжированы по двум признакам: X — артистизм, Y — красота (табл. 8.2). Таблица 8.2 Таблица рангов для варианта 2 Ранг X 3 11 4 10 1 8 9 2 12 6 7 5 Ранг Y 4 11 1 12 6 2 10 5 9 7 8 3 119 Вариант 3 Десять детей проранжированы по двум признакам: X — уровень владе- ния речью, Y — кругозор (табл. 8.3). Таблица 8.3 Таблица рангов для варианта 3 Ранг X 2 3 8 1 4 7 9 10 6 5 Ранг Y 1 6 5 4 3 2 8 7 9 10 Вариант 4 Десять спортсменов-бегунов проранжированы по двум признакам: X — рост спортсмена, Y — скорость бега (табл. 8.4). Таблица 8.4 Таблица рангов для варианта 4 Ранг X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ранг Y 5 6 10 7 9 4 3 1 8 2 Вариант 5 Выборка из 10 морских окуней проранжирована по двум признакам: X — длина головы окуня, Y — длина грудного плавника (табл. 8.5). Таблица 8.5 Таблица рангов для варианта 5 Ранг X 8 7 9 10 5 6 4 3 2 1 Ранг Y 9 6 8 10 5 7 4 2 3 1 Вариант 6 Результаты работы семи сотрудников брокерской компании оцениваются по двум признакам: X — тест на профессиональную пригодность, Y — отдача с каждого инвестированного сотрудником рубля (табл. 8.6). 120 Таблица 8.6 Таблица рангов для варианта 6 Ранг X 3 2 6 4 1 7 5 Ранг Y 15 3 5 2 4 6 7 Вариант 7 Десять студентов четвертого курса проранжированы по двум признакам: X — средний балл на первом курсе, Y — средний балл на четвертом курсе (табл. 8.7). Таблица 8.7 Таблица рангов для варианта 7 Ранг X 2 7 4 10 6 1 3 5 9 8 Ранг Y 7 5 4 9 8 2 3 6 10 1 Вариант 8 Восемь годовых консолидированных балансов проранжированы по двум признакам: X — объем продаж, Y — цена товара (табл. 8.8). Таблица 8.8 Таблица рангов для варианта 8 Ранг X 2 5 7 4 6 8 3 1 Ранг Y 3 6 4 8 7 5 2 1 Вариант 9 Десять предприятий проранжированы по двум признакам: X — коэффи- циент механизации работ, Y — производительность труда (табл. 8.9). Таблица 8.9 Таблица рангов для варианта 9 Ранг X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Ранг Y 2 1 5 4 3 6 8 7 10 9 121 Вариант 10 Пять наборов продуктов проранжированы по порядку предпочтения двумя группами людей: X — предпочтения людей умственного труда, Y — предпочтения людей физического труда (табл. 8.10). Таблица 8.10 Таблица рангов для варианта 10 Ранг X 2 5 1 3 4 Ранг Y 1 3 2 4 5 Задача 7. |