теория вероятностей. Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М

• Название: Управления и радиоэлектроники (тусур) Кафедра автоматизации обработки информации (аои) З. А. Смыслова М
• Анкор: теория вероятностей.pdf
• Дата: 13.12.2017
• Размер: 3.11 Mb.
• Имя файла: теория вероятностей.pdf
• Тип: Учебное пособие; #11331
• страница: 2 из 13

зависимыми, если вероятность каждого из них зависит от того, произошло или нет другое событие. Вероятность события
,
B
вычисленная в предположении, что событие
A
уже осуществилось, обо- значается
)
( A
B
P
и называется условной вероятностью.
В нашем примере
( )
( )
2 1
4 2
,
4 1
=
=
=
A
B
P
A
B
P
Вычислите условные вероятности
)
(
,
)
(
A
B
P
A
B
P
и укажите их на дереве игры (рис. 1.2).
События
A
и
B
называются независимыми, если вероятность каждого из них не меняется при условии наступления другого. Вероятности независи- мых событий называются безусловными. Для независимых событий справед- ливо
2/4 3/5 2/5 1/4
B
B
A
A
B
B
1.2. Дерево игры

11
).
(
)
(
A
P
B
A
P
=
Правило умножения. Вероятность произведения событий
A
и
B
равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого
)
(
)
(
)
(
B
A
P
B
P
AB
P
⋅
=
(1.5) или
).
(
)
(
)
(
A
B
P
A
P
AB
P
⋅
=
(1.6)
Для независимых событий правило умножения принимает более про- стой вид:
)
(
)
(
)
(
B
P
A
P
AB
P
⋅
=
—
— вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей.
Используя формулы (1.5), (1.6), можно находить условную вероятность, если известна вероятность произведения событий:
0
)
(
,
)
(
)
(
)
(
;
0
)
(
,
)
(
)
(
)
(
≠
=
≠
=
A
P
A
P
AB
P
A
B
P
B
P
B
P
AB
P
B
A
P
(1.7)
Пример. Компания, занимающаяся разработкой программного обеспече- ния, претендует на получение заказов от двух корпораций
A
и
B
Эксперты компании считают, что вероятность получения заказа от корпорации
A
равна
0.45. Эксперты также полагают, что если компания получит заказ от корпора- ции
A
, то вероятность того, что и корпорация
B
обратится к ним, равна 0.9.
Какова вероятность того, что компания получит оба заказа?
Решение. Обозначим события:
A
— «получение заказа от корпорации
A
»,
B
— «получение заказа от корпорации
B
». По условию
9 0
)
(
,
45 0
)
(
=
=
A
B
P
A
P
События
A
и
B
зависимы, так как событие
B
зависит от того, произойдет или нет событие
A
Вероятность того, что оба события произойдут, рассчитываем по формуле (1.6):
405 0
9 0
45 0
)
(
)
(
)
(
=
⋅
=
⋅
=
A
B
P
A
P
AB
P
Рассмотрим теперь совокупность из
2
>
n
случайных событий
...,
,
,
2 1
n
A
A
A

12
События
n
A
A
A
...,
,
,
2 1
называются независимыми в совокупности, если вероятность каждого из них не зависит от того, произошли или нет лю- бые события из числа остальных. Вероятность совместного наступления не- скольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероят- ностей этих событий:
).
A
(
P
...
)
A
(
P
)
A
(
P
)
A
...
A
A
(
P
n
n
2 1
2 1
=
⋅
⋅
⋅
(1.8)
Вероятность совместного наступления
n
зависимых событий равна про- изведению вероятности одного из них на условные вероятности всех осталь- ных, причем условная вероятность каждого последующего события вычисля- ется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
).
A
...
A
A
A
(
P
...
...
)
A
A
A
(
P
)
A
A
(
P
)
A
(
P
)
A
...
A
A
(
P
n
n
n
1 2
1 2
1 3
1 2
1 2
1
−
⋅
⋅
⋅
⋅
=
⋅
⋅
⋅
(1.9)
Пример. Студент пришел на экзамен, изучив только 20 вопросов из 25 предложенных. Экзаменатор задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент ответит а) на все три вопроса; б) хотя бы на один вопрос.
Решение. Обозначим события:
A
— «
студент знает все три вопроса»;
1
A — «
студент знает первый вопрос»;
2
A — «
студент знает второй вопрос»;
3
A — «
студент знает третий вопрос»;
B
— «студент ответит хотя бы на один вопрос».
События
3 2
1
,
,
A
A
A
— зависимы. Событие
A
состоит в совместном наступлении событий
3 2
1
,
,
A
A
A
, то есть
3 2
1
A
A
A
A
⋅
⋅
=
По условию
23 18
)
(
;
24 19
)
(
;
25 20
)
(
2 1
3 1
2 1
=
=
=
A
A
A
P
A
A
P
A
P
Применим формулу умно- жения зависимых событий (1.9):
496 0
115 57 23 18 24 19 25 20
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1
3 1
2 1
=
=
⋅
⋅
=
⋅
⋅
=
A
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
—
— вероятность того, что студент ответит на все три вопроса, равна 0.496.
Рассмотрим событие
B
Оно состоит в том, что студент ответит ровно на один вопрос, ровно на два вопроса или на все три вопроса, то есть
)
(
)
(
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1 3
2 1
3 2
1
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
+
+
+
+
+
+
=
Для решения этой задачи также можно использовать правило умножения, но удобнее перейти к противоположному событию
B
— «студент не ответит ни на один вопрос из трех» и использовать формулу (1.3):
).
(
1
)
(
B
P
B
P
−
=
Событие
3 2
1
A
A
A
B
=
и его вероятность по формуле (1.9) равна

13
).
(
)
(
)
(
)
(
2 1
3 1
2 1
A
A
A
P
A
A
P
A
P
B
P
⋅
⋅
=
Найдем эти вероятности:
;
230 1
23 3
24 4
25 5
)
(
;
23 3
23 20 1
)
(
1
)
(
;
24 4
24 20 1
)
(
1
)
(
;
25 5
25 20 1
)
(
1
)
(
2 1
3 2
1 3
1 2
1 2
1 1
=
⋅
⋅
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
=
−
=
−
=
B
P
A
A
A
P
A
A
A
P
A
A
P
A
A
P
A
P
A
P
и вероятность события
B
равна
Вероятность того, что студент ответит хотя бы на один вопрос, равна
0.996.
Рассмотрим теперь независимые события.
Пример. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу определен- ного продукта по телевидению, равна 0.06. Вероятность того, что потребитель увидит рекламу того же продукта на рекламном стенде, равна 0.04. Предпола- гается, что оба события — независимы. Чему равна вероятность того, что по- требитель увидит а) обе рекламы; б) хотя бы одну рекламу?
Решение. Обозначим события:
A
— «
потребитель увидит рекламу по телевидению»;
B
— «потребитель увидит рекламу на стенде»;
C
— «потре- битель увидит хотя бы одну рекламу». По условию
,
06 0
)
(
=
A
P
04 0
)
(
=
B
P
События
A
и
B
, то есть
).
(AB
P
Так как события независи- мы, применим формулу (1.8):
0024 0
04 0
06 0
)
(
)
(
)
(
=
⋅
=
⋅
=
B
P
A
P
AB
P
—
— вероятность того, что потребитель увидит обе рекламы, равна 0.0024.
Рассмотрим событие
B
A
C
+
=
Так как события
A
и
B
совместны, вероятность
C
можно найти по формуле (1.4):
0976 0
0024 0
04 0
06 0
)
(
)
(
)
(
)
(
=
−
+
=
−
+
=
AB
P
B
P
A
P
C
P
996 0
230 229 230 1
1
)
(
1
)
(
=
=
−
=
−
=
B
P
B
P

14
Второй способ — перейти к противоположному событию
B
A
C
⋅
=
(«потребитель не увидит ни одной рекламы»). Так как события
A
и
B
неза- висимы,
(
)(
)
;
9024 0
96 0
94 0
)
(
1
)
(
1
)
(
)
(
)
(
=
⋅
=
−
−
=
⋅
=
B
P
A
P
B
P
A
P
C
P
0976 0
)
(
1
)
(
=
−
=
C
P
C
P
—
— вероятность того, что потребитель увидит хотя бы одну рекламу, равна
0.0976. Вычисления вероятностей такого типа позволяет оценить эффектив- ность рекламы.
1.4. Формула полной вероятности. Формула Байеса
Попробуем сделать прогноз с помощью формул теории вероятностей.
Пример. Экономист полагает, что вероятность роста стоимости акций некоторой компании в следующем году будет равна 0.75, если экономика страны будет на подъеме; и эта же вероятность будет равна 0.3, если экономи- ка страны не будет успешно развиваться. По его мнению, вероятность эконо- мического подъема в новом году равна 0.6. Используя предположения эконо- миста, оценить вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году.
Решение. Обозначим события:
A
— «акции компании поднимутся в це- не в следующем году»;
1
H
— «экономика страны будет на подъеме»;
2
H
—
«экономика страны не будет успешно развиваться».
Событие
A
может произойти только вместе с одним из событий
1
H
и
,
2
H
причем события
1
H
и
2
H
несовместны. События
A
и
,
1
H
A
и
2
H
— зависимые. По условию известны вероятности событий:
3 0
)
(
;
75 0
)
(
;
4 0
)
(
1
)
(
;
6 0
)
(
2 1
1 2
1
=
=
=
−
=
=
H
A
P
H
A
P
H
P
H
P
H
P
Составим дерево решения задачи (рис. 1.3).
2
H
A
1
AH
1
H
A
2
AH
0.3 0.4 0.6 0.75 2
H
1
H
1.3. Дерево решения

15
Событие
A
равно сумме несовместных событий
1
АН
и
,
2
АН
поэтому его вероятность можно найти (формулы (1.4) и (1.5))
57 0
3 0
4 0
75 0
6 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
2 1
=
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
=
+
=
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
AH
P
AH
P
A
P
Вероятность того, что акции компании поднимутся в цене в следующем году, составляет 0.57.
Решая эту задачу, мы использовали два взаимоисключающих предполо- жения
1
H
и
2
H
)
(
2 1
∅
=
H
H
, учитывающие все исходы эксперимента
).
(
2 1
Ω
=
+ H
H
В теории вероятностей говорят, что эти предположения об- разуют полную группу несовместных событий.
Полной группой несовместных событий называется совокупность
n
H
H
H
...,
,
,
2 1
всех возможных несовместных событий (рис. 1.4,а):
...,
,
2
,
1
,
;
;
;
2 1
n
j
i
j
i
H
H
H
H
H
j
i
n
=
≠
∅
=
Ω
=
+
+
+
(1.10)
Пусть событие
A
может осуществляться лишь вместе в одним из собы- тий
n
H
H
H
...,
,
,
2 1
, образующих полную группу несовместных событий (рис.
1.4, б). Так как заранее неизвестно, с каким из событий
i
H
произойдет собы- тие
A
, то события
n
i
H
i
...,
,
2
,
1
,
=
называют гипотезами. Событие
A
мож- но представить в виде суммы несовместных событий:
2 1
n
AH
AH
AH
A
+
+
+
=
1
H
3
H
2
H
5
H
4
H
1
H
3
H
2
H
5
H
4
H
A
Рис. 1.4. Полная группа несовместных событий
{
}
5 4
3 2
1
,
,
,
,
H
H
H
H
H
(а) и наступление события
A
(б) а б

16
События
n
H
A
H
A
H
A
и
...,
,
и
,
и
2 1
— зависимы. Если известны ве- роятности гипотез
)
(
...,
),
(
),
(
2 1
n
H
P
H
P
H
P
и условные вероятности насту- пления события
A
с каждой из гипотез
),
(
...,
),
(
),
(
2 1
n
H
A
P
H
A
P
H
A
P
то вероятность события
A
можно найти следующим образом:
).
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2 2
1 1
2 1
n
n
n
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
AH
P
AH
P
AH
P
A
P
⋅
+
+
⋅
+
⋅
=
=
+
+
+
=
Итак, если событие
A
может наступить только вместе с одним из собы- тий
n
H
H
H
...,
,
,
2 1
, образующих полную группу несовместных событий, то вероятность события
A
равна сумме произведений вероятностей каждого из событий
n
H
H
H
...,
,
,
2 1
на соответствующую условную вероятность собы- тия
A
:
∑
=
=
n
i
i
i
H
A
P
H
P
A
P
1
).
(
)
(
)
(
(1.11)
Формула (1.11) называется формулой полной вероятности.
Пример. Предприятие, производящее компьютеры, получает одинаковые комплектующие детали от трех поставщиков. Первый поставляет 50 % всех комплектующих деталей, второй — 20 %, третий — 30 % деталей.
Известно, что качество поставляемых деталей разное, и в продукции пер- вого поставщика процент брака составляет 4 %, второго — 5 %, третьего —
— 2 %. Определить вероятность того, что деталь, выбранная наудачу из всех полученных, будет бракованной.
Решение. Обозначим события:
A
— «выбранная деталь бракована»,
i
H
— «выбранная деталь получена от
i
-го поставщика»,
3
,
2
,
1
=
i
Гипотезы
3 2
1
,
,
H
H
H
образуют полную группу несовместных событий. По условию
02 0
)
(
;
05 0
)
(
;
04 0
)
(
;
3 0
)
(
;
2 0
)
(
;
5 0
)
(
3 2
1 3
2 1
=
=
=
=
=
=
H
A
P
H
A
P
H
A
P
H
P
H
P
H
P
По формуле полной вероятности (1.11) вероятность события
A
равна
036 0
02 0
3 0
05 0
2 0
04 0
5 0
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
3 3
2 2
1 1
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
=
⋅
+
⋅
+
⋅
=
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
P
Вероятность того, что выбранная наудачу деталь окажется бракованной, равна 0.036.

17
Пусть в условиях предыдущего примера событие
A
уже произошло: вы- бранная деталь оказалась бракованной. Какова вероятность того, что она была получена от первого поставщика? Ответ на этот вопрос дает формула Байеса.
Мы начинали анализ вероятностей, имея лишь предварительные, апри- орные значения вероятностей событий. Затем был произведен опыт (выбрана деталь), и мы получили дополнительную информацию об интересующем нас событии. Имея эту новую информацию, мы можем уточнить значения априор- ных вероятностей. Новые значения вероятностей тех же событий будут уже апостериорными (послеопытными) вероятностями гипотез (рис. 1.5).
Пусть событие
A
может осуществиться лишь вместе с одной из гипотез
n
H
H
H
...,
,
,
2 1
(полная группа несовместных событий). Априорные вероятно- сти гипотез мы обозначали
),
(
i
H
P
условные вероятности события
A
—
...,
,
2
,
1
),
(
n
i
H
A
P
i
=
Если опыт уже произведен и в результате него насту- пило событие
A
, то апостериорными вероятностями гипотез будут условные вероятности
...,
,
2
,
1
),
(
n
i
A
H
P
i
=
В обозначениях предыдущего примера
)
(
1
A
H
P
— вероятность того, что выбранная деталь, оказавшаяся бракован- ной, была получена от первого поставщика.
Нас интересует вероятность события
A
H
k
Рассмотрим совместное на- ступление событий
,
и A
H
k
то есть событие
k
AH
Его вероятность можно найти двумя способами, используя формулы умножения (1.5) и (1.6):
).
(
)
(
)
(
);
(
)
(
)
(
A
H
P
A
P
AH
P
H
A
P
H
P
AH
P
k
k
k
k
k
=
=
Приравняем правые части этих формул
),
(
)
(
)
(
)
(
A
H
P
A
P
H
A
P
H
P
k
k
k
⋅
=
⋅
отсюда апостериорная вероятность гипотезы
k
H
равна
)
(
)
(
)
(
)
(
A
P
H
A
P
H
P
A
H
P
k
k
k
⋅
=
Априорные вероятности
Опыт — новая информация
Апостериорные вероятности
Рис. 1.5. Схема переоценки гипотез

18
В знаменателе стоит полная вероятность события
A
. Подставив вместо
)
(A
P
ее значение по формуле полной вероятности (1.11), получим:
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
∑
=
⋅
⋅
=
n
i
i
i
k
k
k
H
A
P
H
P
H
A
P
H
P
A
H
P
(1.12)
Формула (1.12) называется