маткад. Маткад 1-33 67-100. В чем состоит свойство унимодальности функций
 Скачать 2.46 Mb.
|
|
Дайте определение следующих понятий: целевая функция, допустимое множество, допустимая точка, решение задачи оптимизации Целевая функция — вещественная или целочисленная функция нескольких переменных, подлежащая оптимизации в целях решения некоторой оптимизационной задачи. В теории оптимизации допустимая область, допустимое множество, пространство поиска или пространство решений — это множество всех возможных точек (значений переменных) задачи оптимизации, которые удовлетворяют ограничениям задачи. Для решения задачи оптимизации применяют в основном следующие методы: методы исследования функций классического анализа; линейное, нелинейное программирование; методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа; вариационное исчисление; динамическое программирование; принцип максимума. Перечислите основные этапы реализации оптимизационной задачи. Анализ проблемной ситуации. Построение математической модели. Анализ модели. Выбор метода и средства решения. Выполнение численных расчетов. Анализ результатов расчетов. Применение результатов расчетов. Коррекция и доработка модели Охарактеризуйте основные направления применения методов оптимизации в инженерной деятельности. Процесс оптимизации лежит в основе всей инженерной деятельности, поскольку обычно функции инженера заключаются в том, чтобы, с одной стороны, проектировать новые, более эффективные и менее дорогостоящие технические системы и, с другой стороны, разрабатывать методы повышения качества функционирования существующих систем. Применение методов оптимизации в инженерной практике.Теория оптимизации находит широкое и эффективное применение во всех направлениях инженерной деятельности и, в первую очередь, в следующих четырех ее областях: · Проектирование систем и их составных частей; · Планирование и анализ функционирования существующих систем; · Инженерный анализ и обработка информации; · Управление динамическими системами. Три первых области применения методов оптимизации существенно отличаются от четвертой, прежде всего по используемым моделям, критериям оптимизации и методам решения задачи оптимизации. Эти три направления обычно относят к задачам математического программирования, а четвертое направление рассматривают отдельно, как решение задач оптимального управления. Необходимые условия для применения оптимизационных методов.Формулировка задачи оптимизации включает три этапа: 1) словесное представление о параметрах задачи, множестве ее решений и поставленной цели; 2) запись критерия оптимальности (целевой функции) как функции параметров задачи; 3) запись условий, определяющих область допустимых значений параметров. Приведите примеры оптимизационных задач из практики. В качестве примера составления математической модели рассмотрим задачу распределения ресурсов. Под ресурсами понимают, например финансы, энергию, сырье, необходимые для выпуска продукции и получения в конечном итоге прибыли. Естественно стремятся к максимальной прибыли при ограниченном количестве ресурсов. Пример. Определить максимальную прибыль предприятия, выпускающего продукцию в виде изделий трех видов (i = 1, 2,3). Для изготовления каждого i-го изделия требуются три вида ресурсов: энергетические, финансовые и сырьевые (j = 1, 2, 3). Исходные данные: - наличие на предприятии каждого j-го ресурса bj; - норма расхода j-го ресурса на одно изделие i-го вида aji; - прибыль zi от реализации одного i-го изделия; - минимальное количество b4 всех видов изделий, которое предприятие должно выпустить. Решение. Обозначим искомые количества 1-го, 2-го и 3-го видов изделий через х1, х2 и х3. Поскольку необходимо найти максимальную прибыль предприятия, этот экономический критерий и выразим целевой функцией. Прибыль от реализации изделий i-го вида есть произведение zixi. Подлежащая максимизации суммарная прибыль от реализации трех видов изделий (целевая функция) будет иметь следующий вид: Z = z1x1+ z2x2+ z3x3 → max. (1.4) Перейдем к составлению ограничений. Поскольку на одно изделие 1-го вида требуется а11 единиц энергии, на искомое количество х1 потребуется а11х1 единиц энергии. Для искомых количеств изделий 2-го и 3-го видов потребуется соответственно а12х2 и а13х3 единиц энергии. Суммарный расход энергии на выпуск трех видов изделий составит а11х1 + а12х2 + а13х3 единиц энергии. Эта величина ограничена наличием на предприятии энергетических ресурсов в количестве b1. Таким образом, ограничение по энергетическим ресурсам будет иметь вид а11х1+ а12х2 + а13х3 < b1. Аналогично составляются ограничения по финансовым и сырьевым ресурсам. Ограничение минимального суммарного количества выпускаемых изделий запишется как х1+ х2+ х3 > b4. В итоге, вся система ограничений будет иметь вид а11х1+ а12х2 + а13х3 < b1, а21х1+ а22х2 + а23х3 < b2, а31х1+ а32х2 + а33х3 < b3, х1+ х2+ х3 > b4. Поскольку количество изделий любого вида не может быть отрицательным числом, граничными условиями будут неотрицательные значения искомых переменных xi > 0, i = 1, 2, 3. (1.6) Выражения (1.4), (1.5) и (1.6) представляют собой математическую модель поставленной оптимизационной задачи. Выражения (1.4) и (1.5) являются линейно зависимыми от искомых переменных хi, следовательно, рассматриваемая оптимизационная задача относится к классу линейных задач, решаемых методами линейного программирования. Дайте классификацию задач оптимизации. Классификацию задач оптимизации можно проводить по нескольким признакам в зависимости от вида функции f(x) и множества п Х‘. 1) детерминированные, стохастические задачи оптимизации с неопределенностями; а) детерминированная модель отражает поведение системы с позиции полной определенности в настоящем и будущем. Примеры таких моделей: формулы физических законов, программы обработки деталей и т. д. б) вероятностная модель учитывает влияние случайных факторов на поведение системы и, следовательно, оценивает будущее с позиций вероятности тех или иных событий; в) игровая модель дает возможность изучать конфликтные ситуации, в которых каждая из конфликтных сторон придерживается своих взглядов, старается получить информацию о намерениях «противника» и действует в соответствии складывающейся обстановке; 2) статические, динамические (например, задачи управления). Математические модели могут отражать состояние, в котором находится исследуемая система в какой-то момент времени, или отражать изменения во времени, происходящие в экономической системе, т.е. описывать развитие системы во времени. Модели первого типа являются статическими, второго - динамическими. Если состояние системы описывается в каждый данный момент времени, то модели именуются непрерывными, если в некоторые фиксированные моменты времени, то - дискретными или моделями с дискретным временем; 3) безусловной и условной оптимизации. Если имеются ограничения на вектор X, то задача (1) называется задачей оптимизации с ограничениями или задачей условной оптимизации; 5) однокритериальные и многокритериальные; 6) линейные и нелинейные. Задача условной оптимизации, в которой все функции линейны, называется задачей линейного программирования. Задачи с нелинейными целевой функцией или ограничениями называются задачами нелинейного программирования; 7) одномерные и многомерные, причем многомерные задачи могут быть малой и большой размерности. Если размерность вектора X равна 1 (n = 1), то задача (1) называется однопараметрической задачей оптимизации (одномерной задачей оптимизации). Если размерность вектора X больше 1 (n > 1), то задача (1) называется много параметрической задачей оптимизации (многомерной задачей оптимизации); 8) одноэкстремальные и многоэкстремальные. В чем отличие локального минимума от глобального? Проиллюстрируйте примером. В математическом анализе и численных методах под локальным минимумом понимают экстремум функции в точке, значение которой минимально в некоторой локальной области определения. Понятие локального минимума имеет большое значение в области оптимизации, задачи которой лежат в основе алгоритмов обучения искусственных нейронных сетей, генетических алгоритмов, машин опорных векторов, алгоритма муравьиной колонии и др. Например, в алгоритме обратного распространения ошибки для коррекции весов нейросети используется градиентный спуск, продвигающийся к минимуму целевой функции в соответствии с локальным наклоном поверхности ошибки. Он хорошо работает в случае сильно изрезанных невыпуклых поверхностей, которые встречаются в практических задачах. В одних случаях локальный минимум является приемлемым решением, если выходная ошибка сети меньше заданной, в других — неприемлемым. Если решение неудовлетворительно, приходится давать весам новые начальные случайные значения и повторно обучать сеть.. В задачах оптимизации целью процесса является поиск состояния исследуемой системы, которое соответствует экстремуму целевой функции. Если она представляет собой функцию выходной ошибки системы (или ее среднего квадрата) от варьируемых параметров (например, весов нейронной сети), то обычно производится поиск глобального минимума. Иными словами, оптимальным состоянием будет считаться то, при котором система допускает наименьшую ошибку В некоторых случаях целевая функция может являться многоэкстремальной и иметь несколько минимумов, которым соответствуют квазиоптимальные состояния системы. Но только один из них будет глобальным, и ему будет соответствовать оптимум. Дайте определение строгого минимума. Минимум строгий глобальный В случаях, когда упоминание о том, является ли максимум или минимум строгим или нестрогим, локальным или глобальным, не является существенным, то соответствующие прилагательные опускают. В случае поиска минимума функции говорят о методе наискорейшего спуска, в случае задачи максимизации — о методе наискорейшего роста (или подъема). При этом необходима строгая проверка решения, ибо градиентный спуск или подъем могут привести к экстремальной точке, которая на самом деле окажется не глобальным, а лишь одним из локальных оптимумов. Минимум строгий локальный Пусть функция z = /(ж, у), непрерывна в окрестности точки / 2( 2,2/2)- Строгим минимумом (строгим локальным минимумом] функции z = /(ж, у) называется такое ее значение /(ж2, /2) в точке P%(x2i 2/2)5 которое меньше всех других значений, принимаемых в точках Р(ж, г/), достаточно близких к точке 2( 2 Уъ] и отличных от нее (рис. 15.1), т. е. ункция ф имеет строгий локальный минимум в точке с, если можно найти такой шар В (с), что Сформулируйте теорему Вейерштрасса о существовании решения задачи оптимизации. Теорема 1.1 дает достаточные условия разрешимости одновременно как задачи минимизации (1.1), так и задачи максимизации (1.2). Между тем на простейших примерах 1.1—1.4 мы видели, что эти задачи не всегда разрешимы одновременно. Это обстоятельство наводит на мысль о том, что условия теоремы 1.1, гарантирующие одновременную разрешимость задач (1.1), (1.2), по-видимому, являются слишком жесткими. Внимательный анализ теоремы 1.1 показывает, что условие непрерывности целевой функции f(x) можно существенно ослабить. Оказывается, для разрешимости задачи минимизации достаточно полунепрерывности снизу функции f(x), для задачи максимизации — ее полунепрерывности сверху. Дадим строгое определение этих понятий. Предварительно введем понятие нижнего и верхнего пределов последовательности Что понимается под характеристиками задачи оптимизации? При решении конкретной задачи оптимизации исследователь прежде всего должен выбрать математический метод, который приводил бы к конечным результатам с наименьшими затратами на вычисления или же давал возможность получить наибольший объем информации об искомом решении. Выбор того или иного метода в значительной степени определяется постановкой оптимальной задачи, а также используемой математической моделью объекта оптимизации. В настоящее время для решения оптимальных задач применяют в основном следующие методы: методы исследования функций классического анализа; методы, основанные на использовании неопределенных множителей Лагранжа; вариационное исчисление; динамическое программирование; принцип максимума; линейное программирование; нелинейное программирование. В последнее время разработан и успешно применяется для решения определенного класса задач метод геометрического программирования. Как правило, нельзя рекомендовать какой-либо один метод, который можно использовать для решения всех без исключения задач, возникающих на практике. Одни методы в этом отношении являются более общими, другие - менее общими. Наконец, целую группу методов (методы исследования функций классического анализа, метод множителей Лагранжа, методы нелинейного программирования) на определенных этапах решения оптимальной задачи можно применять в сочетании с другими методами, например динамическим программированием или принципом максимума. В чем состоит общая суть всех критериев оптимальности допустимой точки? Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. Среди многих разновидностей методов случайного поиска простейшим будет слепой поиск (метод Монте-Карло). На (k+1)-м шаге поиска выбирается случайная точка из допустимой области, вычисляется значение x k+1 и сравнивается со значением, полученным на предыдущем шаге. Если  , то запоминаются координаты точки и новое значение ЦФ, иначе делается попытка достичь успеха либо изменяя направление на противоположное, либо выбирая новое случайное направление.Отсутствие универсального метода оптимизации послужило причиной появления множества узкоспециализированных методов, приспособленных к решению отдельных задач. Рассмотрим такие методы, которые можно применить для оптимизаций конструкций элементов и узлов ракетных комплексов. Укажите все глобальные и локальные экстремумы (если они существуют) следующих функций: а) f = (2 − x)(x + 1)2; б) f = ln(x2 + 1); в) f = x − 2sinx2. a)Необходимое условие экстремума функции одной переменной. Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает. Достаточное условие экстремума функции одной переменной. Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие: f'0(x*) = 0 f''0(x*) > 0 то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции. Если в точке x* выполняется условие: f'0(x*) = 0 f''0(x*) < 0 то точка x* - локальный (глобальный) максимум. Решение. Находим первую производную функции: y' = (2-x)·(2·x+2)-(x+1)2 или y' = 3-3·x2 Приравниваем ее к нулю: 3-3·x2 = 0 x1 = -1 x2 = 1 Вычисляем значения функции f(-1) = 0 f(1) = 4 Ответ: fmin = 0, fmax = 4 Используем достаточное условие экстремума функции одной переменной. Найдем вторую производную: y'' = -6·x Вычисляем: y''(-1) = 6>0 - значит точка x = -1 точка минимума функции. y''(1) = -6<0 - значит точка x = 1 точка максимума функции. y = ln(x2+1) Необходимое условие экстремума функции одной переменной. Уравнение f'0(x*) = 0 - это необходимое условие экстремума функции одной переменной, т.е. в точке x* первая производная функции должна обращаться в нуль. Оно выделяет стационарные точки xс, в которых функция не возрастает и не убывает. Достаточное условие экстремума функции одной переменной. Пусть f0(x) дважды дифференцируемая по x, принадлежащему множеству D. Если в точке x* выполняется условие: f'0(x*) = 0 f''0(x*) > 0 то точка x* является точкой локального (глобального) минимума функции. Если в точке x* выполняется условие: f'0(x*) = 0 f''0(x*) < 0 то точка x* - локальный (глобальный) максимум. |