Сергеев - Метрология. В. Г. Фирстов Кандидат физикоматематических наук

• Название: В. Г. Фирстов Кандидат физикоматематических наук
• Анкор: Сергеев - Метрология.doc
• Дата: 28.01.2017
• Размер: 4.38 Mb.
• Имя файла: Сергеев - Метрология.doc
• Тип: Документы; #707
• страница: 15 из 37

Глава 8. ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ

ИЗМЕРЕНИЙ

8.1. Прямые многократные измерения

8.1,1. Равноточные измерения

Прямые многократные измерения делятся на равно- и неравноточные. Теоретические основы и методика объединения результатов неравноточных измерений подробно рассмотрены в [3]. Равно точными называются измерения, которые проводятся средствами измерений одинаковой точности по одной и той лее методике при неизменных внешних условиях. При равноточных измерениях СКО результатов всех рядов измерений равны между собой.

Перед проведением обработки результатов измерений необходимо удостовериться в том, что данные из обрабатываемой выборки статистически подконтрольны, группируются вокруг одного и того же центра и имеют одинаковую дисперсию. Устойчивость изменений часто оценивают интуитивно на основе длительных наблюдений. Однако существуют математические методы решения поставленной задачи — так называемые методы проверки однородности [3]. Применительно к измерениям рассматривается однородность групп наблюдений, необходимые признаки которой состоят в оценке несмещенности средних арифметических и дисперсий относительно друг друга.

Проверка допустимости различия между оценками дисперсий нормально распределенных результатов измерений выполняется с помощью критерия Р.Фишера при наличии двух групп наблюдений и критерия М.Бартлетта, если групп больше. Критерий Фишера рассмотрен в гл. 5.

Задача обработки результатов многократных измерений заключается в нахождении оценки измеряемой величины и доверительного интервала, в котором находится ее истинное значение. Обработка должна проводится в соответствии с ГОСТ 8.207—76 "ГСИ. Прямые измерения с многократными наблюдениями. Методы обработки результатов наблюдений. Общие положения".

Исходной информацией для обработки является ряд из n (n > 4) результатов измерений x₁, х₂, х._г,..., х_n, из которых исключены известные систематические погрешности, — выборка. Число n зависит как от требований к точности получаемого результата, так и от реальной возможности выполнять повторные измерения.

Последовательность обработки результатов прямых многократных измерений состоит из ряда этапов.

Определение точечных оценок закона распределения результатов измерений. На этом этапе определяются:

• среднее арифметическое значение х измеряемой величины по формуле (6.8);

• СКО результата измерения S_x по формуле (6.11) или (6.12);

• СКО среднего арифметического значения S_x̅ по формуле (6.10). В соответствии с критериями, рассмотренными в гл. 7, грубые погрешности и промахи исключаются, после чего проводится повторный расчет оценок среднего арифметического значения и его СКО. В ряде случаев для более надежной идентификации закона распределения результатов измерений могут определяться другие точечные оценки: коэффициент асимметрии, эксцесс и контрэксцесс, энтропийный коэффициент.

Определение закона распределения результатов измерений или случайных погрешностей измерений. В последнем случае от выборки результатов измерений х₁, х₂, х₃,-.., х_n переходят к выборке отклонений от среднего арифметического х₁, х₂, х₃,..., х_n, где x_i = x_i - х̅.

Первым шагом при идентификации закона распределения является построение по исправленным результатам измерений x_i, где I = 1, 2,..., n, вариационного ряда (упорядоченной выборки), а также у_i, где у_i = min(x_i) и у_n = mах(хi). В вариационном ряду результаты измерений (или их отклонения от среднего арифметического) располагают в порядке возрастания. Далее этот ряд разбивается на оптимальное число m, как правило, одинаковых интервалов группирования длиной h = (y₁ + y_n) / m .

Задача определения оптимального числа m интервалов группирования рассматривалась в ряде работ, обзор которых дан в [4]. Оптимальным является такое число интервалов m, при котором возможное максимальное сглаживание случайных флуктуации данных сопровождается с минимальным искажением от сглаживания самой кривой искомого распределения. Для практического применения целесообразно использовать предложенные в [4] выражения m_min = 0,55n^0,4 и m_max =1,25n^0,4, которые получены для наиболее часто встречающихся на практике распределений с эксцессом, находящимся в пределах от 1,8 до 6, т.е. от равномерного до распределения Лапласа.

Искомое значение m должно находится в пределах от m_mjn до m_max, быть нечетным, так как при четном m в островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения искусственно уплощается. В случае, если гистограмма распределения явно двухмодальная, число столбцов может быть увеличено в 1,5-2 раза, чтобы на каждый из двух максимумов приходилось примерно по m интервалов. Полученное значение длины интервала группирования h всегда округляют в большую сторону, иначе последняя точка окажется за пределами крайнего интервала.

Далее определяют интервалы группирования экспериментальных данных в виде ₁ = (у₁, y₁ + h); ₂= (y₁ +h, y₁ + 2h);....; _m = (y_n - h; у_n), и подсчитывают число попаданий n_k (частоты) результатов измерений в каждый интервал группирования. Сумма этих чисел должна равняться числу измерений. По полученным значениям рассчитывают вероятности попадания результатов измерений (частости) в каждый из интервалов группирования по формуле p_k= n_k/n, где k=l, 2,..., m.

Проведенные расчеты позволяют построить гистограмму, полигон и кумулятивную кривую. Для построения гистограммы по оси результатов наблюдений х (рис. 8.1,а) откладываются интервалы _k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строится прямоугольник высотой p_k. Площадь, заключенная под графиком, пропорц/иональна числу наблюдений n. Иногда высоту прямоугольника откладывают разной эмпирическoй плотности вероятности p_k = P_k /_k = n_k/(n_k), которая является оценкой средней плотности в интервале _k. В этом случае площадь под гистограммой равна единице. При увеличении числа интервалов и соответственно уменьшении их длины гистограмма все более приближается к гладкой кривой — графику плотности распределения вероятности. Следует отметить, что в ряде слуяаев производят расчетное симметрирование гистограммы, методика которого приведена в [4 ]

Полигон представляет собой ломаную кривую, соединяющую середины верхних оснований каждого столбца гистограммы (см. рис. 8.1,а). Он более наглядно, чем гистограмма, отражает форму кривой распределения. За пределами гистограммы справа и слева остаются пустые интервалы, в которых точки, соответствующие их серединам, лежат на оси абсцисс.


Рис. 8.1. Гистонрамма, полигон (а) и кумулятивная кривая (б)
Эти точки при построении полигона соединяют между собой отрезками прямых линий. В результате совместно с осью х образуется замкнутая фигура, площадь которой в соответствии с правилом нормирования должна быть равна единице (или числу наблюдений при использовании частостей).

Кумулятивная кривая — это график статистической функции распределения. Для ее построения по оси результатов наблюдений х (рис. 8.1,6) откладывают интервалы _k в порядке возрастания номеров и на каждом интервале строят прямоугольник высотой



Значение F_k называется кумулятивной частостью, а сумма n_k— кумулятивной частотой.

По виду построенных зависимостей может быть оценен закон распределения результатов измерений.

Оценка закона распределения по статистическим критериям. При числе наблюдений n > 50 для идентификации закона распределения используется критерий Пирсона (хи-квадрат, см. 8.1.2) или критерий Мизеса—Смирнова (₂). При 50 > n > 15 для проверки нормальности закона распределения применяется составной критерий (d-критерий), приведенный в ГОСТ 8.207-76. При n < 15 принадлежность экспериментального распределения к нормальному не проверяется.

Определение доверительных границ случайной погрешности. Если удалось идентифицировать закон распределения результатов измерений, то с его использованием находят квантильный множитель z_p при заданном значении доверительной вероятности Р. В этом случае доверительные границы случайной погрешности А = ±z_pS -.

Определение границ неисключенной систематической погрешности  результата измерений. Под этими границами понимают найденные нестатистическими методами границы интервала, внутри которого находится неисключенная систематическая погрешность. Она образуется из ряда составляющих: как правило, погрешностей метода и средств измерений, а также субъективной погрешности. Границы неисключенной систематической погрешности принимаются равными пределам допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если их случайные составляющие пренебрежимо малы. Они суммируются по правилам, рассмотренным в разд. 9.2. Доверительная вероятность при определении границ 6 принимается равной доверительной вероятности, используемой при нахождении границ случайной погрешности.

Определение доверительных границ погрешности результата измерения _р. Данная операция осуществляется путем суммирования СКО случайной составляющей S_x̅ и границ неисключенной систематической составляющей  в зависимости от соотношения / S_x̅ по правилам, изложенным в разд. 9.4.

Запись результата измерения. Результат измерения записывается в виде х = х̅ ± _p при доверительной вероятности Р = Р . При отсутствии данных о виде функции распределения составляющих погрешности результаты измерений представляют в виде х, S-, п, 8 при доверительной вероятности Р = Р_д.

8.1.2. Идентификация формы распределения

результатов измерений

В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения используются критерии согласия. Известен целый ряд критериев согласия, предложенных разными авторами. Наибольшее распространение в практике получил критерий Пирсона. Идея этого метода состоит в контроле отклонений гистограммы экспериментальных данных от гистограммы с таким же числом интервалов, построенной на основе распределения, совпадение с которым определяется. Использование критерия Пирсона [3, 48] возможно при большом числе измерений (п > 50) и заключается в вычислении величины ² (хи-квадрат):

(8.1)

где n_i, N_i — экспериментальные и теоретические значения частот в i-м интервале разбиения; m — число интервалов разбиения; P_i — значения вероятностей в том же интервале разбиения, соответствующие выбранной модели распределения; .

При n   случайная величина ² имеет распределение Пирсона с числом степеней свободы v = m - 1- r, где г — число определяемых по статистике параметров, необходимых для совмещения модели и гистограммы. Для нормального закона распределения г = 2, так как закон однозначно характеризуется указанием двух его параметров — математического ожидания и СКО.

Если бы выбранная модель в центрах всех m столбцов совпадала с экспериментальными данными, то все m разностей (n_i –N_i) были бы равны нулю, а следовательно, и значение критерия ² также было бы равно нулю. Таким образом, ² естьмера суммарного отклонения между моделью и экспериментальным распределением.

Критерий ² не инвариантен к числу столбцов и существенно возрастает с увеличением их числа. Поэтому для использования его при разном числе столбцов составлены таблицы квантилей распределения ², входом в которые служит так называемое число степеней свободы v = (m – 1 - r). Чтобы совместить модель, соответствующую нормальному закону, с гистограммой, необходимо совместить координату центра, а для того, чтобы ширина модели соответствовала ширине гистограммы, ее нужно задать как г = 2 и v = m-3. Часть квантилей распределения ²_q приведена в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Значения ² при различном уровне значимости

v	q2 при уровне значимости q, равном
	0,99	0,95	0,9	0,8	0,5	0,2	0,1	0,05	0,02
2	0,02	0,1	0,21	0,45	1,39	3,22	4,61	5,99	7,82
4	0,3	0,71	1,06	1,65	3,36	5,99	7,78	9,49	11,67
6	0,87	1,63	2,20	3,07	5,35	8,56	10,65	12,59	15,03
8	1,65	2,73	3,49	4,59	7,34	11,03	13,36	15,51	18,17
10	2,56	3,94	4,87	6,18	9,34	13,44	15,99	18,31	21,16
12	3,57	5,23	6,30	7,81	11,34	15,81	18,55	21,03	24,05
14	4,66	6,57	7,79	9,47	13,34	18,15	21,06	23,69	26,87
16	5,81	7,96	9,31	11,2	15,34	20,46	23,54	26,3	29,63
20	8,26	10,85	12,44	14,58	19,34	25,04	28,41	31,41	35,02
25	11,52	14,61	16,47	18,94	24,34	30,68	34,38	37,65	41,57
30	14,95	18,46	20,60	23,36	29,34	36,25	40,26	43,77	47,96

Если вычисленная по опытным данным мера расхождения ² меньше определенного из таблицы значения _q² , то гипотеза о совпадении экспериментального и выбранного теоретического распределений принимается. Это не значит, что гипотеза верна. Можно лишь утверждать, что она правдоподобна, т.е. она не противоречит опытным данным. Если же c²выходит за границы доверительного интервала, то гипотеза отвергается как противоречащая опытным данным.

Методика определения соответствия экспериментального и принятого законов распределения заключается в следующем:

• определяют оценки среднего арифметического значения х и СКО S_x по формулам (6.9) и (6.11);

• группируют результаты многократных наблюдений по интервалам длиной h, число которых определяют "так же, как и при построении гистограммы;

• для каждого интервала разбиения определяют его центр x_io и подсчитывают число наблюдений П|, попавших в каждый интервал;

• вычисляют число наблюдений для каждого из интервалов, теоретически соответствующее выбранной аналитической модели распределения. Для этого сначала от реальных середин интервалов х_i0 производят переход к нормированным серединам z_i = (х_i0 - x̅)/S_x. Затем для каждого значения z_iспомощью аналитической модели находят значение функции плотности вероятностей f(z_i). Например, для нормального закона

По найденному значению f(z_i) определяют ту часть N_i имеющихся наблюдений, которая теоретически должна быть в каждом из интервалов N_i = nhf(z_i)/S_х, где n — общее число наблюдений;

• если в какой-либо интервал теоретически попадает меньше пяти наблюдений, то в обеих гистограммах его соединяют с соседним интервалом. После этого определяют число степеней свободы v = m-1-r, где m — общее число интервалов. Если было произведено укрупнение, то m — число интервалов после укрупнения;

• по формуле (8.1) определяют показатель разности частот ²;

• выбирают уровень значимости критерия q. Он должен быть небольшим, чтобы была мала вероятность совершить ошибку первого рода. По уровню значимости и числу степеней свободы v по табл. 8.1 находят границу критической области c_q², такую, что P{c² > c_q²} = q. Вероятность того, что полученное значение c² превышает c_q², равна q и мала. Поэтому, если оказывается, что c² > c_q², то гипотеза о совпадении экспериментального и теоретического законов распределения отвергается. Если же c² < c_q², то гипотеза принимается.

Чем меньше q, тем больше значение c_q² (при том же числе степеней свободы v), тем легче выполняется условие c² < c_q²и принимается проверяемая гипотеза. Но при этом увеличивается вероятность ошибки второго рода. В связи с этим нецелесообразно принимать 0,02 < q < 0,01.

Иногда вместо проверки с односторонней критической областью применяют проверки с двусторонними критическими областями. При

этом оценивается вероятность P{c_qн² < c² < c_qв²}.Уровень значимости критерия q делится на две части: q = q₁ + q₂. Как правило, принимают q₁ = q₂. По табл. 8.1 для P{c² > c_q²} = q находят c₁² при уровне значимости q, и числе степеней свободы v и c₂² уровня значимости 1 — q₂ и том же n. Гипотеза о совпадении распределений принимается, если