4. Векторы в пространстве. Векторы в пространстве Понятие вектора в пространстве
 Скачать 0.93 Mb.
|
Векторы в пространствеПонятие вектора в пространствеВектор(направленный отрезок) – отрезок, для которого указано какой из его концов считается началом, а какой – концом. Длина вектора – длина отрезка AB. А В M Коллинеарные векторыДва ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или параллельных прямых. Среди коллинеарных различают: Сонаправленные векторы Противоположно направленные векторы Равные векторыРавные векторы - сонаправленные векторы, длины которых равны. От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один. Противоположные векторыПротивоположные векторы – противоположно направленные векторы, длины которых равны. Вектором, противоположным нулевому, считается нулевой вектор. Признак коллинеарностиДействия с векторамиСложение Вычитание Умножение вектора на число Сложение векторовПравило треугольника Правило параллелограмма Правило многоугольника Правило параллелепипеда Правило треугольникаА B C Правило треугольникаА B C Для любых трех точек А, В и С справедливо равенство: Правило параллелограммаА B C Правило многоугольникаСумма векторов равна вектору, проведенному из начала первого в конец последнего(при последовательном откладывании). B A C D E Пример ПримерC A B D A1 B1 C1 D1 Правило параллелепипедаB А C D A1 B1 C1 D1 Вектор, лежащий на диагонали параллелепипеда, равен сумме векторов, проведенных из той же точки и лежащих на трех измерениях параллелепипеда. СвойстваB А C D A1 B1 C1 D1 ВычитаниеРазностью векторов и называется такой вектор, сумма которого с вектором равна вектору . ВычитаниеB A Правило трех точек C Умножение вектора на числоСвойстваОпределение компланарных векторовКомпланарные векторы – векторы, при откладывании которых от одной и той же точки пространства, они будут лежать в одной плоскости. Пример: B А C D A1 B1 C1 D1 О компланарных векторахЛюбые два вектора всегда компланарны. Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, компланарны. α если Признак компланарностиЗадачи на компланарностьКомпланарны ли векторы: а) б) 2.) Известно, что векторы , и компланарны. Компланарны ли векторы: а) б) РешениеРешениеРешениеРазложение вектораПо двум неколлинеарным векторам По трем некомпланарным векторам Разложение вектора по двум неколлинеарным векторамТеорема. Любой вектор можно разложить по двум данным неколлинеарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Разложение вектора по трем некомпланарным векторамЕсли вектор p представлен в виде где x, y, z – некоторые числа, то говорят, что вектор разложен по векторам , и . Числа x, y, z называются коэффициентами разложения. Теорема Любой вектор можно разложить по трем данным некомпланарным векторам, причем коэффициенты разложения определяются единственным образом. Доказательство теоремыС O A B P1 P2 P Базисные задачиВектор, проведенный в середину отрезка,С A B O Доказательство равен полусумме векторов, проведенных из той же точки в его концы. ДоказательствоС A B O Вектор, соединяющий середины двух отрезков,С A B D M N С A B D M N Доказательство равен полусумме векторов, соединяющих их концы. ДоказательствоС A B D M N Вектор, проведенный в точку пересечения диагоналей параллелограмма,A B C D O M Доказательство равен одной четверти суммы векторов, проведенных из этой точки в вершины параллелограмма. ДоказательствоA B C D O M Задача 1. Разложение векторовРазложите вектор по , и : а) б) в) г) Решение A B C D N Решениеа) б) в) г) Задача 2. Сложение и вычитаниеУпростите выражения: а) б) в) г) д) е) Решение Решениеа) б) в) г) д) е) |