комплексні числа н. Вступ. Поняття про комплексне число
 Скачать 440 Kb.
|
|
ЗМІСТ
при розв’язуванні задач. . ………....24 11. Висновки. … ………….27 12. Використана література ……………..28 13. Додатки. ……………….29 ВСТУП Кожен із нас вивчає обов’язковий курс з математики у звичайній місцевій школі. Проте, якщо людина бажає пов’язати свою долю з математикою, чи з технікою, чи просто любить все незвідане, нове і прагне вийти за горизонт цього «обов’язкового» і сягнути нових висот, тоді цій людині буде тісно у рамках шкільного курсу математики. Математика багата на різні незвідані скарби, які просто повинні бути знайденими і вивченими. Одним із таких «скарбів» є розділ математики, що вивчає комплексні числа. Комплексні числа – це числа, які при піднесенні до квадрата дають від’ємні значення. Як же виникло комплексне число? З історії відомо, що комплексні числа з’явились при розв’язуванні алгебраїчних рівнянь. Під час розв’язування квадратного рівняння, якщо його дискримінант від’ємний, корені не можуть бути дійсними числами. Те ж саме спостерігалось і при розв’язуванні рівнянь третього і вищих степенів, тому постала необхідність у розширенні поняття числа. З комплексними числами вперше зіткнулися індійські вчені, які мали поняття про квадратний корінь і від’ємні числа. Але вони вважали, що квадратні корені з від’ємних чисел не існують, а тому квадратні рівняння з недійсними коренями не розглядали. У ХVІ столітті італійські математики зробили значний внесок у розвиток алгебри, розв’язавши в радикалах рівняння третього і четвертого степенів. Зокрема, в опублікованій у 1545 році праці італійського математика Джироламо Кардано (1501-1546) «Велике мистецтво» наведено формулу алгебраїчних розв’язків кубічного рівняння х3+px+q=0. Цікавим є такий факт: за умови, що всі коефіцієнти цього рівняння дійсні, усі корені дійсні, проміжні обчислення призводять до уявних чисел. У зв’язку із застосуванням формули Кардано, з’явилися символи виду а±  (b>0), яким спочатку не надали ніякого смислу, але ними оперували у проміжних викладках, поширюючи на них правила дій з дійсними числами.Інший італійський математик Раффаеле Бомбеллі (1530-1572) вперше виклав правила дій над комплексними числами майже у сучасному вигляді. Рене Декарт, який ототожнював дійсні числа з відрізками координатної осі, вважав, що для комплексних чисел не може існувати ніякого реального тлумачення, а тому вони назавжди залишаються уявними. Такого погляду дотримувалися й інші математики того часу, у тому числі Ісаак Ньютон, англійський фізик і математик та німецький учений Готфрід Вільгельм Лейбніц (1646-1716). У XVII столітті англійський математик Джон Валліс (1616-1703) у своїй праці «Алгебра, історичний і практичний трактат» вказав на можливість геометричного тлумачення уявних чисел. Лише у XVIII столітті, в зв’язку зі стрімким розвитком науки, для розв’язування численних задач математичного аналізу, механіки і геометрії виникла потреба у геометричній інтерпретації комплексних чисел. Початок застосування комплексних чисел в диференціальному та інтегральному численні поклали математики Лейбніц і Бернуллі, які ще на початку XVIII століття чисто формально використовували логарифми уявних чисел для інтегрування дробів з уявними знаменниками. Цікаво, що Лейбніц, називаючи комплексні числа «притулком божественного духу», заповів викарбувати на своїй могилі знак «  », як символ потойбічного світу. Символ «ί» для позначення уявної частини комплексного числа ввів Ейлер у 1777 році. Поняття «модуль» і «аргумент» комплексного числа було запропоновано французьким ученим д’Аламбером, які пізніше були введені математиками Жаном Арганом і Огюстеном Коші.Геометричні тлумачення комплексних чисел і дій над ними остаточно закріпилось у математиці лише після виходу у 1831 році праці німецького математика Карла Фрідріха Гаусса «Теорія біквадратних лишків». У ній вчений також замінив назву «уявні» на «комплексні» числа. В 70-х роках XVIII століття Ейлер і Лагранж застосували поняття комплексної змінної до розв’язування багатьох задач. Комплексні числа застосовували у своїх працях також д’Аламбер і Ейлер. ПОНЯТТЯ ПРО КОМПЛЕКСНЕ ЧИСЛО У «Математичному енциклопедичному словнику» за 1988 р. сказано, що «комплексне число – число виду z=x+iy, де х і у – дійсні числа, а і= – так звана уявна одиниця, тобто число, квадрат якого дорівнює -1; х називають дійсною або речовою частиною комплексного числа z, а у – його уявною частиною (позначення х=Rez, y=Imz). Дійсні числа – частковий випадок комплексного числа, при у=0. Комплексні числа,які не є дійсними (тобто у≠0), називають деколи уявними, а при х=0, у≠0 – чисто уявними. Уявні числа зобов’язані своїм народженням цілком реальній задачі – задачі розв’язання рівнянь третього степеня. Ще до ХVI ст. математики, розв’язуючи квадратні рівняння, деколи зустрічались із квадратними коренями з від’ємних чисел. Розв’язування рівнянь виду х2+рх+q=0, де p і q – дійсні числа, по відомій формулі приводило інколи до виразів виду А+  , де В – від’ємне число. Але ніхто не міг пояснити, що таке «квадратний корінь із від’ємного числа», який зміст потрібно придати цьому виразу. Вихід з важкого положення знайшли простий: говорили, що вираз  , де В<0 не має змісту. Це пояснення було цілком логічним, але коли справа дійшла до розв’язання кубічних рівнянь, то виявилося, що вже неможливо обійтися без знаходження квадратних коренів із від’ємних чисел. Більш як 450 років назад кілька італійських математиків навчилися розв’язувати алгебраїчні рівняння третього степеня. Спосіб, викладений в підручнику з алгебри (1545р.) одного з них, Джироламо Кардано, зводиться до наступного: корені рівняння виду х3 + рх + q = 0 можна обчислити за формулою (її називають формулою Кардано) : х= +  , де D= (p/3)3 +(q/2)2.Ця формула не дає очікуваного результату в тому випадку, коли рівняння х3 + рх + q = 0 має три різних дійсних корені. Наприклад, легко перевірити, що коренями рівняння х3 – х =0 є числа 0, 1, -1. Але, розв’язуючи це рівняння за формулами Кардано, ми отримуємо: х=  + . Яким же чином можна з цієї формули отримати числа 0, 1, -1? Щоб відповісти на це запитання, математикам XVI – XVII ст. необхідно було навчитися добувати квадратні корені з від’ємних чисел.Математики дуже неохоче йшли на вивчення таких виразів. Вони називали їх уявними, неіснуючими, такими, що не мають змісту. Та ці уявні числа все більше і наполегливіше стукали в двері математичної науки. Ще в XVII – XVIIІ ст. математики виявили, що багато складних і громіздких розв’язань можна спростити, якщо користуватися уявними числами. Але недовіра до цих чисел залишалася. Одним із важливих алгебраїчних питань, які хвилювали математиків XVII – XVIIІ ст., було наступне: скільки коренів має алгебраїчне рівняння n–го степеня, тобто рівняння виду хn+a1xn-1+a2xn-2+ +…+an-1x+an=0? Якщо обмежитися дійсними коренями, то можна лише стверджувати, що їх не більше n. Якщо ж розглядати і уявні корені, то відповідь на це запитання однозначна: коренів у такого рівняння завжди рівна n. Цікава історія виникнення формули Кардано. Наприкінці XV століття математики легко розв’язували квадратні рівняння, однак рівняння третього степеня їм давалися непросто. В 1520 році професор математики Болонського університету Сціпіон дель Ферро знайшов спосіб розв’язання рівнянь виду х3+ах=b. Перед смертю він повідомив під великим секретом цей спосіб своєму учню Фіоре. Фіоре користувався правилом Ферро на математичних турнірах. В 1535 році суперником Фіоре на турнірі виявився вчитель математики Ніколо Тарталья, який за кілька днів до турніру знайшов свій спосіб розв’язання подібних рівнянь. Про те, що Тарталья розгромив суперника, стало відомо всій Італії. Після довгих вмовлянь, Ніколо розповів про свій спосіб (у вигляді вірша) професору математики Міланського університету Джироламо Кардано. Через якийсь час Кардано дізнався і про спосіб Ферро. Обидва способи виявились однаковими. В 1545 році Кардано опублікував книгу з алгебри «Велике мистецтво, або про алгебраїчні правила», в якій виклав правило розв’язання кубічних рівнянь. (За іншими джерелами, Тарталья не захотів повідомити секрет розв’язання кубічних рівнянь Кардано, і тоді той, користуючись своїм становищем у суспільстві (а він був ще й священиком, складав гороскопи для впливових осіб) об’явив Тарталья єретиком. Коли Ніколо вкинули до в’язниці, Кардано без перешкод пройшов до його помешкання, де і знайшов спосіб розв’язання кубічних рівнянь, який Тарталья закодував у вірші. Через деякий час Кардано зумів розшифрувати це правило, яке зараз носить його ім’я – формула Кардано). У 1833 році ірландський математик У.Р.Гамільтон дуже просто, ясно і логічно пояснив, що таке комплексне число. Його теорію можна подати так. Розглянемо всі можливі пари дійсних чисел, взятих у певному порядку. Кожну таку впорядковану пару назвемо комплексним числом. Можна по різному записати цю пару чисел, але у математиці прийнято такий запис: а+bi. Значок і використовують тільки для того, щоб відділити одне звичайне число від іншого. Знак «+» не говорить про якусь суму, а тільки показує, що ми об’єднуємо два дійсних числа в щось ціле. Щоб підкреслити цю обставину, ми всю пару позначаємо однією буквою, наприклад буквою z: z=а+bі. Перше дійсне число, що ввійшло у дану пару (число а), домовимося називати дійсною частиною числа z. Її позначають так: Rе z (Rе – перші букви латинського Realis, що значить «дійсний»). Друге дійсне число із пари (число b) будемо називати уявною частиною комплексного числа z. Її позначають так: Im z (Im – перші букви латинського слова Imaginaris, що значить «уявний»). Наприклад, якщо z=-3+2і, то Rе z=-3, Im z=2. Отже, за даним визначенням, уявна частина будь-якого комплексного числа – це завжди деяке дійсне число. ДІЇ НАД КОМПЛЕКСНИМИ ЧИСЛАМИ Для того, щоб комплексні числа можна було дійсно вважати числами, необхідно було ввести правила дій над комплексними числами. Такі правила були введені так, як ніби ці числа многочлени відносно букви і; при цьому добуток і∙і дозволяється замінювати на -1. Тобто z1+z2=(а1+а2)+(b1+b2)і; z1-z2=(а1-а2)+(b1-b2)і; z1∙z2=(а1а2b1b2)+(a1b2+a2b1)і. Наприклад, якщо z1=2-3і, z2=-5+2і; z1+z2=-3-1і; z1-z2=7-5і; z1z2=(-10+6)+(4+15)і=-4+19і. Серед дійсних чисел немає такого числа х, яке задовольняє умову х2=-1. В той же час рівність (0+1і)(0+1і)=-1+0і показує, що серед комплексних чисел корінь рівняння х2=-1 існує. Таким числом є 0+1і (або просто і). Більш того, легко перевірити, що у цього рівняння є й інший корінь 0-1і (тобто –і). Якщо записати формули для натуральних степенів числа і (і1=і; і2=-1; і3=і2∙і=-і; і4=і2·і2=-1·(-1)=1; і5=і4·і=1·і=і; і т.д.), то можна переконатися, що всього є тільки 4 варіанти (і, -1, -і, 1), які строго чергуються. Тому, щоб знайти іn, достатньо піднести і до степеня, показником якого є остача від ділення n на 4. Наприклад, щоб знайти і97, потрібно 97 розділити на 4: 97=4·24+1, а потім записати і97=і1=і. Вводять також поняття спряжених комплексних чисел. Це такі числа, дійсні частини яких рівні, а уявні – протилежні. Число, спряжене із числом z позначають ž.  Добутком двох спряжених чисел z∙ž = |z|2= а2+b2. Часткою двох комплексних чисел  . Наприклад, z =  . На протязі близько 140 років після виникнення комплексних чисел ніхто не шукав зв’язку між уявними числами і геометричними образами. Тільки в 1685 році англійський математик Дж. Валліс звернув увагу на те, що комплексне число z=а+bі задається двома дійсними числами а і b, а з іншого боку, точку на координатній площині теж можна задати парою цих же чисел. Пізніше на цю ж відповідність звертали увагу й інші математики, зокрема Г. Кюн і Л. Ейлер. В кінці XVІІІ – на початку XІX ст.. геометричне обґрунтування комплексних чисел і арифметичних дій над ними дали данський математик К. Вессель, швейцарець Ж. Арган, французький математик М. Бюе, англієць Дж. Уоррен та інші. Серед інших математиків необхідно виділити німецького математика К. Ф. Гаусса, який зумів застосувати це обґрунтування до розв’язання змістовних і важких геометричних задач. ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Побудуємо на площині декартову систему координат хОу. Нехай Z – яка-небудь точка на площині. Її положення визначається двома дійсними числами – координатами (а; b). Поставимо тепер у відповідність точці Z комплексне число z=а+bi. Це комплексне число назвемо комплексною координатою (чи просто координатою) точки Z. Наприклад, точка з дійсними координатами (0; 1) має комплексну координату 0+1і, тобто і. Між іншим, замість слів «комплексна координата» часто вживається термін «афікс». Кожному комплексному числу z відповідає на декартовій площині хОу цілком конкретна точка Z, чиєю комплексною координатою є саме це число z. Маючи на увазі вказану відповідність, можна коротко сказати, що комплексне число – це точка на площині (додаток А). Точки осі абсцис Ох, і тільки вони, мають своїми комплексними координатами дійсні числа, тому вісь абсцис називають дійсною віссю. Точки осі ординат Оу, і тільки вони, мають своїми комплексними координатами чисто уявні числа, тому вісь ординат називають уявною віссю. А всю площину, яка служить для наглядного тлумачення комплексних чисел, називають комплексною числовою площиною і позначають буквою С. Комплексною координатою початку координат є, очевидно, число нуль (0). В зв’язку з цим початок координат називають нулевою точкою комплексної площини. КОМПЛЕКСНЕ ЧИСЛО ЯК ВЕКТОР Комплексні числа мають ще інше геометричне тлумачення. Виберемо на координатній площині який-небудь вектор  . Розглянемо рівний йому вектор  з початком в початку координат. Нехай кінець цього вектора (точка Z) має комплексну координату z=а+bі. Тоді число z можна називати комплексною координатою вектора . Звідси видно, що рівні вектори мають одну і ту ж комплексну координату і комплексна координата вектора з початком в нулевій точці співпадає з комплексною координатою його кінця. Можна сказати й так: якщо проекція деякого, розміщеного на декартовій координатній площині, вектора на вісь абсцис дорівнює а і його ж проекція на вісь ординат дорівнює b, то комплексною координатою вектора називається число z= а+bі. Наприклад, вектори  і мають комплексні координати z1 і z2, а сума цих векторів (вектор  ) має комплексну координату z. Як виражається число z через числа z1 і z2?Розв’язання. Нехай z1= а1+b1і, z2= а2+b2і. Тоді проекції векторів і на вісь Ох дорівнює відповідно а1 і а2, а проекція їх суми на вісь Ох дорівнює а1+а2. Аналогічно можна переконатися, що проекція вектора на вісь Оу дорівнює b1+b2. Тоді комплексна координата z вектора дорівнює (а1+а2)+(b1+b2)і, тобто z=z1+z2. Отже, при додаванні векторів їх комплексні координати додаються. Нехай дві точки Z1 і Z2 координатної площини хОу мають комплексні координати z1 і z2. Яку комплексну координату має вектор  ?Розв’язання. Позначимо через z комплексну координату вектора . Оскільки  =  +, то z2=z1+z, звідки z=z2-z1. Отже, комплексна координата напрямленого відрізка дорівнює різниці між комплексною координатою його кінця і комплексною координатою його початку.Нехай кінці відрізка Z1Z2 мають відповідно комплексні координати z1 і z2. Яка комплексна координата z середини Z цього відрізка? Розв’язання. Вектори  і  рівні, тому вони мають одну і ту ж комплексну координату; позначимо її с. Оскільки с=z-z1 (див. вище) і с=z2-z, то звідси випливає, що z= (z1+z2). Отже, комплексна координата середини відрізка дорівнює півсумі комплексних координат його кінців. |