комплексні числа н. Вступ. Поняття про комплексне число
 Скачать 440 Kb.
|
|
ТРИГОНОМЕТРИЧНА ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА З можливістю тлумачення кожного комплексного числа як комплексної координати деякого вектора пов’язані поняття модуля і аргументу комплексного числа. А саме, якщо число z= а+bі – комплексна координата вектора  , то довжину r цього вектора називають модулем комплексного числа z і позначають |z| . Ясно, що r =|z|= . Таким чином, геометрично |z| - це відстань від початку координат до точки, що має комплексну координату z.Кут φ нахилу вектора до осі Ох (кут між додатнім напрямом осі і вектором ) називається аргументом числа z. Зрозуміло, що кожне комплексне число z, відмінне від нуля, має нескінченно багато аргументів. Будь-які два з них відрізняються між собою на число, кратне 2π. Той із аргументів, який знаходиться між –π і π, називається головним значенням аргументу (головним аргументом) і позначається arg z. Тобто, arg z – це той із аргументів числа z, який задовольняє подвійну нерівність –π < arg z ≤ π. Нехай φ – якийсь із аргументів числа z =а+bi, а число α – головний аргумент цього ж числа (α = arg z), r =|z|, тоді φ =α+2kπ (k – деяке ціле число), cosφ = , sinφ = . Із співвідношень а = r cosφ, b = r sinφ випливає так звана тригонометрична (чи полярна) форма комплексного числа z = r (cos φ + i sin φ). Якщо про два числа z і z1 відомо, що їх модулі дорівнюють r і r1, а числа φ і φ1 є їхніми аргументами, то рівність z1= z має місце тоді і тільки тоді, коли r1= r, а φ1= φ+2kπ, де k – деяке ціле число. Іншими словами, два комплексні числа рівні тоді і тільки тоді, коли рівні їх модулі, а аргументи рівні з точністю до доданка, кратного 2π. Якщо потрібно для якого-небудь комплексного числа знайти його тригонометричну форму, то найкраще спочатку зобразити (нехай навіть не точно) дане число у вигляді точки чи вектора на комплексній площині. 1. Знайти модуль і аргумент числа z = -1-і і представити це число в тригонометричній формі. Розв’язання. Спочатку зобразимо вектор  з комплексною координатою z = -1-і (додаток Б).Довжина цього вектора дорівнює |z|= =  = , а кут нахилу до осі Ох: φ =  . Згідно означення, маємо: r =, argz = ; z =  .2. Запишемо в тригонометричній формі число z=sin  - i cos .Розв’язання. Спочатку зобразимо число z на координатній площині. При цьому варто врахувати, що sin = sin 180 > 0, cos > 0. Значить, число зображується у вигляді вектора . Відмітимо на рисунку модуль числа z (довжину відрізка OZ) і його аргумент (кут, позначений на рисунку дугою зі стрілкою). З прямокутного трикутника OAZ, у якого катети мають довжину sin і cos , можна знайти OZ (гіпотенузу). За теоремою Піфагора:  =1, тому OZ=|z| =1.  AОZ= . Якщо врахувати напрямок побудови кута, то маємо остаточно: arg z =  . Тому для числа sin cos тригонометричною формою буде:  . Нехай Z1 і Z2 – дві точки на комплексній площині, що мають комплексні координати відповідно z1 і z2. Розглянемо вектор  і позначимо його комплексну координату через z. Оскільки, z = z2-z1, то |z|= |z2-z1|. Але |z| - це довжина вектора . Тому число |z2-z1| можна трактувати як відстань між точками з комплексними координатами z1 і z2. Цікавими є дві нерівності для модуля суми і для модуля різниці двох комплексних чисел.1. Модуль суми двох комплексних чисел z1 і z2 не більший суми модулів цих чисел: |z1+z2|≤|z1|+|z2|. Доведення: Нехай  і  мають комплексні координати z1 і z2. З ΔОАВ ясно, що ОВ≤ОА+АВ, тобто |z1+z2|≤|z1|+|z2|. 2. Для будь-яких комплексних чисел z1 і z2 справедлива нерівність |z2-z1|≥|z2|-|z1|. Доведення: Оскільки z2=(z2-z1)+z1, то |z2|≤|z2-z1|+|z1|, звідки слідує, що |z2-z1|≥|z2|-|z1|. Дані нерівності часто використовують для розв’язання цікавих геометричних задач. Наприклад. Задача Ейлера. Відомо, що в кожному паралелограмі сума квадратів всіх сторін дорівнює сумі квадратів його діагоналей. На скільки відрізняються ті ж суми у випадку довільно взятого на площині чотирикутника? Розв’язання. Нехай А1А2А3А4 – даний чотирикутник (додаток В) Нас цікавить величина (назвемо її σ) : σ = А1А22+А2А32+А3А42+А4А12 – (А1А32+А2А42). Виберемо на площині декартову систему координат хОу. Нехай вершини А1, А2, А3, А4 мають комплексні координати z1, z2, z3, z4. Тоді σ = |z2-z1|2+|z3-z2|2+|z4-z3|2+|z1-z4|2-(|z3-z1|2+|z4-z2|2). Далі використаємо властивість комплексних чисел, а саме:  . Тоді вираз σ можна переписати так: σ=     +  Зведемо подібні, зібравши всі члени, що містять множник z1, потім всі члени, що містять z2, і т. п. Отримаємо: σ = =  =  Який же геометричний зміст цього виразу? Ми знаємо, що геометричний зміст виразу  - це комплексна координата середини С відрізка А1А3. Аналогічно число  - це координата середини D відрізка А2А4. Позначимо с = , d = . Тоді σ = 4|c-d|2. Але геометричний зміст виразу |c-d| - це довжина відрізка CD. Отже, σ = 4 ·CD2. Ми приходимо до наступного висновку (теорема Ейлера про чотирикутник): сума квадратів сторін будь-якого плоского чотирикутника більша суми квадратів його діагоналей на почетверений квадрат відрізка, що з’єднує середини діагоналей. Звідси слідує, що якщо в плоскому чотирикутнику сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів всіх його сторін, то він є паралелограмом. ФОРМУЛИ ЕЙЛЕРА І МУАВРА Тригонометрична форма комплексного числа (cosφ+isinφ, де φ – дійсне число) зустрічається дуже часто в науках, пов’язаних з математикою. Для нього використовують різні скорочені позначення. Наприклад, в картографії його позначають знаком 1φ, в електротехніці – знаком  , в інших – exp (іφ), чи eiφ. Таким чином, можна записати наступне позначення: eiφ = cosφ+isinφ. Наприклад, ei0 = cos0 + і sin0 = 1, ei = cos  +i sin =і, і т.д. Формула eiφ = cosφ+isinφ вперше зустрічається в статті Ейлера і названа його іменем. Вираз виду eiφ називають уявною експонентою. Для уявної експоненти вірні всі формули, які ми знаємо для степенів з дійсним показником, тобто вірна і формула (eiφ)n = ei (nφ). Цю формулу називають формулою Муавра. Відома ще й інша її форма: (cos φ + i sin φ)n = cos nφ + i sin nφ.Формули Ейлера і Муавра дозволяють ефективно розв’язувати різні задачі, пов’язані з тригонометричними функціями. Зокрема, їх можна використати при обчисленнях різних тригонометричних сум, з якими досить часто доводиться зустрічатися. Достатньо загальний прийом обчислення таких сум полягає в тому, що дана дійсна сума замінюється деякою комплексною сумою, яка часто обчислюється з використанням формули суми членів геометричної прогресії. Між іншим, ця формула зберігається і в тому випадку, якщо члени прогресії і її знаменник – комплексні числа. Дану формулу доцільно використовувати в такому вигляді: суму (S) n перших членів геометричної прогресії, у якої a – перший член, l – останній, q – знаменник, знаходимо (при q ≠ 1) за формулою  .Наприклад, нехай потрібно обчислити суми: А= cos α + cos 3α + cos 5α + + … + cos 99α, В= sin α +sin 3α + sin 5α + … + sin 99α. Розв’язання. Можна одночасно обчислити ці суми, якщо ввести нову комплексну суму: S = A+Bi = (cos α +i sin α)+(cos 3α +i sin 3α)+ …+ +(cos 99α + i sin 99α). За формулами Ейлера і Муавра маємо: S = A+Bi = eiα + (eiα)3 +…+(eiα)99. Обчислимо S за формулою суми членів геометричної прогресії:  . Щоб знайти А і В, достатньо в S відділити дійсну і уявну частини. Для цього скористаємося формулами Ейлера і Муавра. Отримаємо:  Звідки  Формулу Ейлера доцільно використовувати при вивченні коливань. Розглянемо два гармонійні коливання точки з однаковою частотою ω: υ1= А sin (ωt+α), υ2 = B sin (ωt+β), де А і В – амплітуди коливань, а α і β – їх початкові фази. Можна довести, що при додаванні цих гармонійних коливань отримаємо гармонійне коливання υ з тією ж частотою ω. Отже, нас цікавить сума υ=υ1+υ2=А sin (ωt+α)+B sin (ωt+β). Її можна розглядати як уявну частину комплексної суми  , тобто υ = Im  Запишемо комплексне число Аeiα + Beiβ в показниковій формі: Аeiα + Beiβ = Ceiγ. Тоді υ = Im [eiωt ·Ceiγ]= Im [Cei(ωt+γ)]=C sin (ωt+γ). Таким чином, υ – гармонійне коливання з частотою ω, С – його амплітуда.Позначивши різницю початкових фаз через φ, (тобто β-α=φ), обчислимо амплітуду С результуючого коливання. Врахувавши, що |eiα|=1, маємо: С=|Aeiα+Beiβ|=|Aeiα + Bei(α+φ)| = |eiα|·|A+Beiφ|=|(A+Bcosφ)+iBsinφ|= =  .Отримана формула дозволяє провести якісне дослідження результуючого коливання. З неї слідує, що результуюче коливання має максимальну амплітуду, що рівна А+В (при φ=0), тобто у випадку, коли початкові фази обох коливань однакові. Якщо виявиться, що А=В і cosφ=-1 (в цьому випадку фази коливань протилежні), то при накладанні коливань точка залишається в стані спокою. ПОКАЗНИКОВА ФОРМА КОМПЛЕКСНОГО ЧИСЛА Вище розглядалася тригонометрична форма запису комплексного числа: z=r(cosφ+isinφ). Формула Ейлера дозволяє, очевидно, комплексне число z (z≠0) записати більш компактно: z=reiφ, де φ – якийсь аргумент числа z, а r – його модуль. Це так звана показникова чи експонентна форма запису комплексного числа. Для отримання показникової форми комплексного числа немає необхідності попередньо записувати його в тригонометричній формі. Приклад 1. Запишемо в показниковій формі число і. Розв’язання. Зобразимо число і на комплексній площині у вигляді вектора. Його довжина дорівнює 1, а кут нахилу до дійсної осі дорівнює . Отже, |i| =1, arg i=, і=1· . Це й буде показниковою формою числа і. Приклад 2. Запишемо число z =1-i в показниковій формі. Розв’язання. Число z = 1-і має модуль і аргумент  , тому його показникова форма така: 1-і =  .Між іншим, маючи показникову форму комплексного числа z, ми можемо вказати його модуль і аргумент. Наприклад, якщо z =5  , то |z|=5. Один із аргументів числа z дорівнює , так що z=5і.Розглянемо правила дій з аргументами і модулями добутків і часток комплексних чисел, відмінних від нуля. Нехай z=z1·z2. Запишемо кожен множник в показниковій формі:  Тоді,  Звідси видно, що z має своїм модулем число r1·r2, а одним із аргументів – число φ1+φ2.Отже, при множенні двох комплексних чисел їх модулі перемножуються, а аргументи додаються. У випадку рівних множників ми отримуємо наступне правило: при піднесенні комплексного числа z до степеня з натуральним показником його модуль підноситься до степеня з тим же показником, а аргумент множиться на показник степеня. Таким чином, якщо число z має модулем число r, а одним із своїх аргументів число φ, то число zn має модуль rn, а одним із своїх аргументів число nφ. Також, при будь-яких натуральних m i n правильна рівність: |zm·n|=|z|m·n =|zm|n. Приклад. Спростити вираз w =  .Розв’язання. Позначимо z =  , тоді: |z| = 2, arg z =  . Тому, |w| = |z|6 = 26=64, а один із аргументів числа w дорівнює  , тоді w = 64e-iπ = -64. Нехай тепер z=z1/z2. Запишемо ділене і дільник в експоненціальній формі: Тоді,  = . Видно, що z1/z2 має модулем число  , а одним із своїх аргументів – число φ1-φ2. Отже, при діленні комплексних чисел їх модулі діляться, а аргументи віднімаються.Приклад. Нехай z =  , де а і b – два комплексних числа, причому |a|=|b|. Чи вірно, що z – чисто уявне число?Розв’язання. Позначимо модулі чисел а і b буквою r, а їх аргументи відповідно α і β. Запишемо дані числа в показниковій формі: а = reiα, b = reiβ. Тоді:  =  =  . Бачимо, що z – чисто уявне число. Чи можна порівняти комплексні числа? Іншими словами, чи можливо упорядкувати комплексні числа так, щоб сформулювати правило, яке б дозволяло для будь-яких двох із них сказати, яке з них є меншим, а яке більшим? Виявляється, що таке правило встановити можна, і навіть не одним способом. Найпростіший із способів – лексикографічний, аналогічний до того, який використовують при упорядкуванні слів у словнику. Візьмемо два числа z1=a1+b1i i z2=a2+b2i. Будемо вважати, що z1
Наприклад, 5+4і<6+3і. Розглянемо інший спосіб впорядкування комплексних чисел. Нехай z1 і z2 – два комплексних числа,  (φ1=argz1, φ2=argz2, r1= |z1|, r2 = |z2|). Домовимося вважати, що z1< z2, якщо виконується одна з умов:
При застосуванні кожного із цих способів визначене для комплексних чисел поняття «менше» має «властивість транзитивності»: якщо z1 |