Документ Microsoft Word (2). Введение 1 Цепные дроби 2 Подходящие дроби 3 Представление рациональных чисел цепными дробями 3 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь 4
 Скачать 0.52 Mb.
|
|
Теорема: Точное значение непрерывной дроби заключается между двумя последовательными подходящими дробями, причём оно ближе к последующей, чем к предыдущей. Доказательство: Пусть имеем непрерывную дробь:  точную величину которой обозначим через А. Возьмём какие-нибудь три последовательные подходящие дроби:  По доказанному, имеем:  Если в правую часть этого равенства мы вместо подставим  , то в левой части получим точную величину А непрерывной дроби, значит: откуда:  и значит:  Из последнего равенства можем вывести два следующих заключения: 1) Так как числа у, и  положительные, то разности, стоящие внутри скобок, должны быть одновременно положительны или одновременно отрицательны; значит: или  т.е.  или  Следовательно, А заключено между всякими двумя последовательными подходящими дробями. 2) Так как у>1 и > , причём числа и положительные, то из того же равенства выводим: абсолютная величина  меньше абсолютной величины .Отсюда следует, что  ближе к А, чем , что и требовалось доказать.Замечание: Так как, очевидно, A>а, т. е.  , то и т. д.Точное значение непрерывной дроби более всякой подходящей дроби нечётного порядка и менее всякой подходящей дроби чётного порядка. Теорема: Разность между двумя рядом стоящими подходящими дробями равна + 1, делённой на произведение знаменателей этих подходящих дробей. Доказательство: Так как  то очевидно, что знаменатель этой разности удовлетворяет требованию теоремы. Остаётся доказать, что числитель равен ±1. Так как Pn+1=Pnαn+Pn-1 и Q,,+ι=Qnαn+Qn-ι, то  Выражение, стоящее в скобках, представляет собой числитель P P — дроби, которая получится от вычитания из дроби Следовательно, мы доказали, что абсолютная величина числителя дроби, получаемой от вычитания из  , равна абсолютной величине числителя дроби, получаемой от вычитания из , другими словами, абсолютная величина числителя дроби, получаемой от вычитания одной из другой двух рядом стоящих подходящих дробей, есть величина постоянная для всех подходящих дробей. Но разность между второй и первой подходящими дробями есть: Следовательно, числитель разности между всякими двумя рядом стоящими подходящими дробями по абсолютной своей величине равен 1. Так, если взять пример, приведённый, то найдём:  Следствия: 1. Всякая подходящая дробь есть дробь несократимая, потому что, если бы могло быть сокращено на некоторый делитель  делилось бы на m, что невозможно, так как эта разность равна ±1.2. Если вместо точной величины непрерывной дроби возьмём подходящую дробь , то сделаем ошибку, меньшую каждого из трёхследующих чисел:  Действительно, если А есть точное значение непрерывной дроби, то  численно меньше разности  , абсолютная величина которой, по доказанному, равна  .C другой стороны, так как  , где , то  и, следовательно: и потому абсолютная величина разности меньше  Наконец, так как  , то и потому Следовательно, абсолютная величина разности  Из трёх указанных пределов погрешности самый меньший есть  но его вычисление предполагает известным знаменатель подходящей дроби, следующей за той, которую мы приняли за приближение. Вычисление предела может быть выполнено только тогда, когда известен знаменатель предшествующей подходящей дроби.Когда же известна одна подходящая дробь возможно толькоуказание предела погрешности  Например, если мы знаем, что некоторая подходящая дробь данной непрерывной дроби есть  , то можно сказать, что точно до . Если, кроме того, знаем, что знаменатель предшествующей подходящей дроби есть, например, 8, то можем сказать, что точно до  • Наконец,когда знаем, что знаменатель следующей подходящей дроби есть, например, 37, то можем ручаться, что разнится от точного значения непрерывной дроби менее, чем  Представление рациональных чисел цепными дробями Целое число, являющееся делителем каждого из целых чисел  , называется общим делителем этих чисел. Общий делитель этих чисел называется их наибольшим общим делителем, если он делится на всякий общий делитель данных чисел.Пусть  - рациональное число, причем b>0. Применяя к a и b алгоритм Евклида для определения их наибольшего общего делителя, получаем конечную систему равенств: где неполным частным последовательных делений  соответствуют остатки  с условием b> > >…> >0, а соответствует остаток 0.Системе равенств (1) соответствует равносильная система  из которой последовательной заменой каждой из дробей  и т.д. ее соответствующим выражением из следующей строки получается представление дроби в виде:Такое выражение называется правильной (конечной) цепной или правильной непрерывной дробью, при этом предполагается, что  – целое число, а  , …,  - натуральные числа.Имеются различные формы записи цепных дробей:    Согласно последнему обозначению имеем  Числа , , …, называются элементами цепной дроби.Алгоритм Евклида дает возможность найти представление (или разложение) любого рационального числа в виде цепной дроби. В качестве элементов цепной дроби получаются неполные частные последовательных делений в системе равенств (1), поэтому элементы цепной дроби называются также неполными частными. Кроме того, равенства системы (2) показывают, что процесс разложения в цепную дробь состоит в последовательном выделении целой части и перевертывании дробной части. Последняя точка зрения является более общей по сравнению с первой, так как она применима к разложению в непрерывную дробь не только рационального, но и любого действительного числа. Разложение рационального числа имеет, очевидно, конечное число элементов, так как алгоритм Евклида последовательного деления a на b является конечным.Понятно, что каждая цепная дробь представляет определенное рациональное число, то есть равна определенному рациональному числу. Но возникает вопрос, не имеются ли различные представления одного и того же рационального числа цепной дробью? Оказывается, что не имеются, если потребовать, чтобы было  .Теорема. Существует одна и только одна конечная цепная дробь, равная данному рациональному числу, но при условии, что .Доказательство: 1) Заметим, что при отказе от указанного условия единственность представления отпадает. В самом деле, при : так что представление можно удлинить:  например, (2, 3, 1, 4, 2)=( 2, 3, 1, 4, 1, 1). 2) Принимая условие , можно утверждать, что целая часть цепной дроби  равна ее первому неполному частному |