Документ Microsoft Word (2). Введение 1 Цепные дроби 2 Подходящие дроби 3 Представление рациональных чисел цепными дробями 3 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь 4
 Скачать 0.52 Mb.
|
ОглавлениеВведение 1 Цепные дроби 2 Подходящие дроби 3 Представление рациональных чисел цепными дробями 3 Разложение действительного иррационального числа в правильную бесконечную цепную дробь 4 Цепные дроби как вычислительный инструмент 5 Использование цепных дробей при решении диофантовых уравнений 6 Заключение 2 Список использованной литературы 3 Введение Целью моей курсовой работы является исследование теории цепных дробей. В ней я попытаюсь раскрыть свойства подходящих дробей, особенности разложения действительных чисел в неправильные дроби, погрешности, которые возникают в результате этого разложения, и применение теории цепных дробей для решения ряда алгебраических задач. Цепные дроби были введены в 1572 году итальянским математиком Бомбелли. Современное обозначение непрерывных дробей встречается у итальянского математика Катальди в 1613 году. Величайший математик XVIII века Леонардо Эйлер первый изложил теорию цепных дробей, поставил вопрос об их использовании для решения дифференциальных уравнений, применил их к разложению функций, представлению бесконечных произведений, дал важное их обобщение. Работы Эйлера по теории цепных дробей были продолжены М. Софроновым (1729-1760), академиком В.М. Висковатым (1779-1819), Д. Бернулли (1700-1782) и др. Многие важные результаты этой теории принадлежат французскому математику Лагранжу, который нашел метод приближенного решения с помощью цепных дробей дифференциальных уравнений. Цепные дроби В арифметике часто приходится искать наибольший общий делитель двух натуральных чисел. В младших классах эту задачу решают с помощью разложения чисел на простые множители. Однако этот способ в школе не получает теоретического обоснования, так как он опирается на не доказываемую (а часто и не формулируемую ) довольно трудную теорему о существовании и единственности разложения натуральных чисел на простые множители. Другой метод решения этой задачи, свободный от указанного недостатка, изложен еще в книге Евклида «Начала» (III век до н. э.); его называют алгоритмом Евклида или способом последовательного деления. Изложим этот способ. Напомним сначала некоторые свойства деления с остатком. Пусть а — целое число и b — натуральное число. Существуют такие целые числа q (частное) и r (остаток), что   Эти числа однозначно определены.Справедливо следующее утверждение: если а = bq + r, то наибольший общий делитель чисел а и b совпадает с наибольшим общим делителем чисел b и r. В самом деле, обозначим наибольший общий делитель чисел а и b через d, а наибольший общий делитель чисел b и r — через Из соотношения r = а — bq получаем, что d является делителем и числа r, то есть d будет общим (но не обязательно наибольшим) делителем чисел b и r. Отсюда следует, что  Обратно, из соотношения а = bq + r следует, что наибольший общий делитель чисел b и r является делителем числа а, а значит,  Из двух соотношений  получаем  Теперь опишем алгоритм Евклида. Он заключается в том, что для целого числа а и натурального числа b последовательно находят две конечные последовательности чисел  такие, что  и Тогда — наибольший общий делитель чисел а и b. Это следует из того, что по доказанному наибольшие общие делители пар чисел  совпадают друг с другом. Но  и потому наибольший общий делитель чисел и равен .Заметим, что цепь равенств (1), выражающая алгоритм Евклида, не может быть бесконечной, так как из  вытекает, что в (1) не более чем b равенств. В некоторых приложениях математики встречаются очень громоздкие дроби. Возникает вопрос, нельзя ли подобрать дробь со сравнительно небольшим знаменателем, достаточно близкую к данной громоздкой дроби. Аппаратом для решения этой задачи являются дроби особого вида, называемые цепными или непрерывными дробями. Прежде чем излагать общую теорию цепных дробей, рассмотрим следующий пример. Отношение экваториального радиуса Земли к ее полярному радиусу выражается дробью  Попробуем упростить эту дробь. Для этого сначала выделим из нее целую часть:  . Оставшуюся дробную часть  преобразуем так:  В знаменателе получившейся дроби снова выделим целую часть:  Это выражение позволяет получить хорошее приближение для рассматриваемой дроби. Ясно, что при отбрасывании в знаменателе дробной части  мы получим число  котороебольше, чем наша дробь. Если же округлить знаменатель в сторону увеличения, то мы получим дробь  , которая меньше рассматриваемой. Таким образом, Разность полученных приближений  мала: Значит, как  так и  дают приближенное значение для дроби  с точностью не меньшей, чем  Если мы хотим получить еще лучшее приближение, надо аналогичным образом преобразовать отброшенную дробную часть   Подставляя это выражение в (1), получаем:  Ясно, что дробь  заключена между  Поэтому получаем для  границы: или, преобразуя дроби,  Получились оценки с большими знаменателями, чем в (2). Но их точность существенно выше — погрешность полученных приближений не больше, чем  Продолжая описанный процесс, мы получим в конце концов точное выражение для  в виде «многоэтажной» дроби: Разумеется, полученная дробь менее удобна, чем  . Но она позволяет получать приближенные значения заданной дроби, имеющие небольшие знаменатели. Чтобы получить такие приближенные значения, надо оборвать процесс на каком-то шагу, заменив смешанное число его целой частью, и превратить полученное выражение в обыкновенную дробь. Дроби вида (4) и называют цепными или, иначе, непрерывными дробями.Введем следующее общее определение: Всякое выражение вида  где  могут быть любыми действительными или комплексными числами, а также функциями от одной или нескольких переменных, называется конечной цепной (или непрерывной) дробью.  называются частными числителями,  — частными знаменателями или неполными частными. В записи (1), естественно, предполагается, что   Это условие не касается а0, которое может быть равным нулю.Для получения приближенных значений дробей используют частный вид цепных дробей, у которых все числители равны 1  а знаменатели — натуральные числа   Форма записи (2), как и форма (1), очень громоздка; поэтому вместо (2) часто употребляются упрощенные записи, например  или  Все же часто мы будем пользоваться развернутой записью (2). Ясно, что всякая цепная дробь вида (2) выражает некоторое рациональное число. Чтобы получить выражение этого числа в виде обыкновенной дроби, надо «свернуть» цепную дробь, выполняя (начиная «с конца») все указанные операции. Пример: Вычислить значение цепной дроби  Здесь  Вычисление будет состоять из следующих шагов: Ответ:  Обращение конечной цепной дроби в обыкновенную — всегда выполнимая задача. На это потребуется не более чем n шагов, каждый из которых состоит в сложении двух чисел: целого числа и правильной дроби. Подходящие дроби Если в непрерывной дроби возьмём несколько звеньев с начала, отбросив все остальные, и составленную ими непрерывную дробь обратим в обыкновенную, то получим так называемую подходящую дробь. Первая подходящая дробь получится, когда возьмём одно первое звено: вторая — когда возьмём два первых звена, и т. д. Таким образом, для непрерывной дроби:  первая подходящая дробь есть ; вторая „ „ „  третья „ „ „  Четвёртая подходящая дробь представит в этом примере точную величину непрерывной дроби  .Когда в непрерывной дроби нет целого числа, то первая подходящая дробь есть 0. Составим для непрерывной дроби ( a a₁, a₂,…, ) первые три подходящие дроби:   Сравнивая третью подходящую дробь с двумя первыми, заметим, что числитель третьей подходящей дроби получится, если числитель второй подходящей дроби умножим на соответствующее частное (т. е. на α₂) и к полученному произведению прибавим числитель первой подходящей дроби; знаменатель третьей подходящей дроби получится подобным же образом из. знаменателей предыдущих двух подходящих дробей. Докажем, что этот закон применим ко всякой подходящей дроби, следующей за третьей, т. е. мы докажем, что вообще числитель (n+1)-й подходящей дроби получится, если числитель n-й подходящей дроби умножим на соответствующее частное (т. е. на ) и произведение сложим с числителем (n— 1)-й подходящей дроби, и что знаменатель (n+l)-й подходящей дроби подобным же способом получится из знаменателей n-й и (n — 1)-й подходящих дробей. Употребим доказательство от n к (n+1), т. е. докажем, что если этот закон применим к n-й подходящей дроби, то он применим и к (n+1)-й подходящей дроби. Обозначим первую, вторую, третью и т. д. подходящие дроби последовательно через  и заметим, что соответствующие им частные будут:  Допустим, что верны равенства:  (1)и, следовательно:  (2)Требуется доказать, что в таком случае и  (3)Из сравнения двух подходящих дробей:  усматриваем, что (n+1)-я подходящая дробь получится из n-й, если в последней заменим число  на сумму  Поэтому равенство (2) даёт:  Раскрыв скобки и умножив оба члена дроби на , получим:  Приняв во внимание равенство (1), можем окончательно написать:  Это и есть равенство (3), которое требовалось доказать. Таким образом, если доказываемый закон верен для n-й подходящей дроби, то он будет верен и для (n+l)-й подходящей дроби. Но мы непосредственно видели, что он верен для третьей подходящей дроби; следовательно, по доказанному, он применим для четвёртой подходящей дроби; а если для четвёртой, то и для пятой и т. д. Пользуясь этим законом, составим все подходящие дроби для следующего примера:  Вычисления всего удобнее расположить так:
Первые две подходящие дроби найдём непосредственно, это будут и . Остальные подходящие дроби получим, основываясь на доказанном законе. Для памяти размещаем в верхней строке целые частные с третьего до последнего. |