Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
> AB · BC · При каком положении точки M имеет место равенство? Докажите неравенства 109—113 для произвольного треугольника. cos A 2 cos B 2 cos C 2 6 3 √ 3 8 110. 9r 6 m a + m b + m c 6 9 2 R. 111. l 2 a + l 2 b + l 2 c > 3 √ 3S. 112. 5R − r > p √ 3. 113. r 2 + r 2 1 + r 2 2 + r 2 3 > 7R 2 114. Точка A принадлежит окружности a, точка B — окружности Докажите, что отношение степени точки A относительно окружности к степени точки B относительно окружности a равно отношению, в котором радикальная ось окружностей делит отрезок AB. 115. На прямой AB дана точка M и построена точка N , для которой B = − AM M B . Докажите, что окружность с центром M N (окружность Аполлония) ортогональна любой окружности, содержащей данные точки и B. 116. Расстояния от точки M , лежащей внутри треугольника до его вершин равны R 1 , R 2 , R 3 , а расстояния этой точки до сторон треугольника равны x 1 , x 2 , x 3 . Докажите, что При каком положении точки M имеет место равенство 117. В остроугольном равнобедренном треугольнике ABC угол при основании AC равен a, а боковая сторона равна a. Точка M лежит на стороне BC и имеет наименьшую по сравнению с остальными точками этой стороны BC сумму квадратов расстояний до прямых AC и Найдите длину отрезка M C. 118. В равнобедренном треугольнике ABC угол при основании равен a, а боковая сторона равна a. Через точку M, лежащую на боковой стороне, проведены две прямые, параллельные сторонам треугольника и отсекающие от треугольника ABC параллелограмм наибольшей площади. Найдите площадь этого параллелограмма. Дана окружность радиуса R с диаметром AD. Окружность с центром A пересекает первую окружность в точке B, а диаметр AD в точке C. При каком значении радиуса второй окружности длина отрезка будет наибольшей. На сторонах треугольника ABC вне его построены квадраты , BCP Q, CAM N . Какую наибольшую площадь может иметь шестиугольник, если BC = a, CA = b? 121. Внутри угла расположена окружность. Найдите на этой окружности точки, сумма расстояний одной из которых до сторон угла (или их продолжений) принимает наибольшее значение, а другой — наименьшее значение. Если расстояния от точки, лежащей внутри треугольника, до его сторон пропорциональны этим сторонам соответственно, то сумма квадратов расстояний этой точки до сторон треугольника минимальна и равна+ b 2 + точка Л ему ан а. Докажите. На продолжении диагонали AC заточку трапеции взята произвольная точка P и через середины M и N оснований и CD проведены прямые P M и P N , пересекающие соответственно боковые стороны BC ив точках E и F . Докажите, что прямая параллельна основаниям трапеции. Докажите, что прямая, проходящая через середину стороны треугольника ABC и центр вписанной в него окружности, делит пополам отрезок, соединяющий вершину C сточкой касания вписанной окружности со стороной AB. 125. Внутри угла с вершиной O дана точка A и через нее проведены прямые, образующие с прямой OA равные углы и пересекающие стороны угла в точках X и Y . Докажите, что все прямые XY пересекаются водной точке. Докажите, что прямая Гаусса (пи прямая Обера (§ 8, задача) полного четырехугольника перпендикулярны 127. Постройте треугольник по разности двух сторон, радиусу вписанной окружности и радиусу вневписанной окружности, касающейся третьей стороны. Постройте треугольник по двум сторонами биссектрисе угла между ними. Постройте треугольник по стороне, противолежащему углу и биссектрисе этого угла. На линии центров двух непересекающихся окружностей найдите точку, отрезки касательных из которой к данным окружностям равны. Через данные точки A и B проведите окружность, отсекающую отданной прямой хорду заданной длины. Постройте прямую, которая делит пополам периметр и площадь данного треугольника. Потрем данным точкам A, B, C постройте точку D так, чтобы четырехугольник ABCD был вписанными описанным. В окружность с центром O вписан треугольник ABC, в котором нет равных сторон. Докажите, что точки, в которых прямые, проходящие через O параллельно прямым BC, CA, AB, пересекают соответственно касательные в точках A, B, C, лежат на одной прямой. Дан треугольник AOC. Точка B выбрана на стороне AO так, что = ∠BCO. Построена окружность w с центром O и радиусом Окружность проходит через точки B и O и пересекает окружность в точках M и K. Докажите, что точки A, M , K лежат на одной прямой. Докажите, что полупериметр p и площадь S четырехугольника удовлетворяют неравенству p 2 > 4S. 137. Среди всех четырехугольников сданными длинами диагоналей и данным углом между ними найдите четырехугольник наименьшего периметра. Прямые AP , BP , CP пересекают соответственно стороны BC, CA, AB треугольника ABC в точках A 1 , B 1 , C 1 . Около треугольника A 1 B 1 C 1 описана окружность, пересекающая вторично прямые BC, CA, AB соответственно в точках A 2 , B 2 , C 2 . Докажите, что прямые AA 2 , BB 2 , пересекаются водной точке Часть Преобразования плоскости Введение. Отображения и преобразования множеств Под геометрической фигурой понимают некоторое множество точек. Множество точек можно задать его характеристическим (определяющим) свойством или же графически. Множество, заданное характеристическим свойством его точек, по традиции называют также геометрическим местом точек (ГМТ), обладающих данным свойством. Важным разделом геометрии как науки и темой школьного курса геометрии являются отображения и преобразования фигур. Родовым понятием для отображения является понятие соответствия между множествами. Строгое определение соответствия здесь неприводим, ограничиваясь тем, что о нем сказано в школьных учебниках. Частным видом соответствия является отображение. Отображением множества X в множество Y называется соответствие, при котором каждому элементу x ∈ X соответствует единственный элемент y ∈ Y . Употребляется запись f : X → Y, y = f (x), a также X f → Y , x f → Элемент y называется образом элемента x, а элемент x — прообразом элемента y при отображении f множества X в множество Y . В геометрии образ элемента x обычно принято обозначать через x 0 : f (x) = Множество образов всех элементов x множества X называется образом множества X при отображении f . Пишут f (X) = X 0 . Ясно, что всегда X 0 ⊂ Y . Совпадение этих множеств X и Y не исключается. Если f (X) = Y , то говорят, что множество X отображается на множество Y . Здесь вместо предлога в употребляется предлог «на». Употребление предлога в, конечно, правомерно ив этом случае, но предлог на уточняет информацию каждый элемент множества является образом хотя бы одного элемента из множества X. 3 ◦ . Отображение f множества X на множество Y называется обратимым (взаимно однозначным, если образы любых двух различных элементов различны. В этом случае существует обратное отображение множества Y на множество X. Если f (x) = y и f (X) = Y , то f −1 (y) = x и f −1 (Y ) = X. Очевидно, отображения f и взаимно обрат- ны, те. Если f (X) ⊂ X, то говорят, что множество X отображается в себя. Приговорят, что множество X отображается на себя. Обратимое отображение множества на себя называется преобразованием этого множества. В школьном курсе геометрии рассматривают множество всех точек плоскости, множество всех точек пространства и говорят соответственно о преобразованиях плоскости, преобразованиях пространства. Необходимыми достаточным признаком преобразования множества является одновременное выполнение двух условий) каждый элемент множества имеет единственный образ в этом множестве) каждый элемент этого множества имеет единственный прообраз в нем. Второе условие можно заменить двумя условиями 2 а) образы любых двух различных элементов различны, 2 б) каждый элемент данного множества имеет некоторый прообраз в этом множестве. Пусть f и g — два преобразования множества X и f (x) = y, g(y) = z для произвольного x ∈ X. Конечно, y ∈ X и z ∈ X. Определим отображение f законом f(x) = g(f(x)), или f(x) = z. На основании необходимого и достаточного признака преобразования отображение является преобразованием множества X. Преобразование f называется композицией (произведением) преобразования f и преобразования Пишут = g ◦ f, или f = gf. Обратим внимание на то, что преобразование, выполняемое в композиции первым, записывается справа, так как по определению (g ◦ f )(x) = g(f (x)). 7 ◦ . Два преобразования и одного итого же множества X называются равными (совпадающими, если для любого x ∈ X его образы f 1 (x) и f 2 (x) при этих преобразованиях совпадают f 1 (x) = f 2 (x). 8 ◦ . Композиция преобразований ассоциативна, те. для любых преобразований данного множества имеет место соотношение ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ Доказательство. Пусть для любого x ∈ X f (x) = y, g(y) = z, h(z) = t. Тогда (g ◦ f )(x) = z, (h ◦ (g ◦ f ))(x) = t. C другой стороны ◦ g)(y) = t, поэтому ((h ◦ g) ◦ f )(x) = t. Следовательно, (h ◦ (g ◦ f ))(x) = = ((h ◦ g) ◦ f )(x) ив силу 7 ◦ h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f Композиция преобразований некоммутативна. В частных случаях, однако, композиции преобразований могут быть коммутативными. Например, коммутативна композиция любых двух переносов, двух поворотов с общим центром, композиция осевой симметрии и переноса в направлении оси этой симметрии. Однако некоммутативна композиция двух поворотов с разными центрами, композиция осевой симметрии и переноса не параллельно оси симметрии. Преобразование E множества X называется тождественным преобразованием, если для любого x ∈ X имеет место E(x) = x. Поэтому для любого преобразования f будет E ◦ f = f ◦ E = f и f −1 ◦ f = f ◦ f −1 = E. 10 ◦ . При любом преобразовании f пересечение множеств отображается на пересечение образов этих множеств (A ∩ B) = f (A) ∩ f (B). 153 Доказательство. Пусть x ∈ A и x ∈ B. Если f (x) = x 0 , то x 0 ∈ f (и x 0 ∈ f (B), поэтому x 0 ∈ f (A) ∩ f (B). Итак, образ любого элемента x пересечения данных множеств принадлежит пересечению образов этих множеств при преобразовании f . Обратно, пусть y ∈ f (A) и y ∈ f (Тогда f −1 (y) ∈ A и f −1 (y) ∈ B, значит, f −1 (y) ∈ A ∩ B. Следовательно, всякий элемент y пересечения образов множеств имеет своим прообразом некоторый элемент пересечения данных множеств. При любом преобразовании f объединение множеств отображается на объединение их образов (A ∪ B) = f (A) ∪ f (Доказательство аналогично предыдущему. Преобразование f множества называется инволютивным, или инволюцией, если оно совпадает со своим обратным, но отлично от тождественного, те и f 6= E. Инволютивное преобразование меняет местами элемент x множества и его образ x 0 : если f (x) = x 0 , то f (x 0 ) = Инволюция разбивает данное множество на пары соответственных элементов. Порядок элементов в каждой из таких пар несущественен. Примерами инволютивных преобразований служат центральная и осевая симметрии плоскости. Если преобразование f инволютивно, тов силу В школьном курсе геометрии изучаются преобразования плоскости: центральная симметрия, осевая симметрия, перенос, поворот, гомотетия, преобразование подобия. Рассмотрим один бытовой пример преоб- разования. В зале определенное число мест занято играющими так, что никто не остался без места и нет свободных мест. По сигналу играющие встают и хаотически двигаются по залу. Затем по другому сигналу они садятся на первое попавшееся место. В результате множество играющих отобразилось на себя. Каждая пара элемент множества — его образ определяется местом сидевший на нем до первого сигнала — севший на это место по второму сигналу. Это преобразование множества играющих. Немаловажно заметить, что для преобразования не имеет никакого значения траектория движения, время, скорость и т. п. Важны лишь начальное и конечное положение элемента Глава Движения плоскости 1. Общие свойства движений. Определения движения и равных фигур. Рассмотрим отображение плоскости на себя, которое сохраняет расстояния между точками: если f (A) = и f (B) = B 1 , то A 1 B 1 = AB (для любых A, B). Это отображение обратимо (см. 3 ◦ ), так как из AB > 0 следует A 1 B 1 > 0, т. е. образы любых двух различных точек различны. Следовательно, f преобразование Определение. Преобразование плоскости, сохраняющее расстояния между точками, называется движением плоскости. Точнее говоря, преобразование f плоскости называется движением плоскости, если оно всякие две точки A и B отображает на такие две точки и B 1 , что Следствие 1. Преобразование, обратное движению, есть движение. Следствие 2. Композиция движений является движением. О пределен и е. Фигура называется равной (конгруэнтной) фигуре, если существует движение, отображающее фигуру на фигуру Отношение равенства фигур рефлексивно, симметрично и транзи- тивно. 1.2. Инварианты движений. Величины, свойства фигур, остающиеся неизменными при преобразовании, называются инвариантами этого преобразования. Основным инвариантом движений является расстояние между точками. Рассмотрим образы прямой, луча, полуплоскости и угла при движениях плоскости. Теорема. Движение отображает прямую на прямую. Под такой формулировкой понимается, что множеством образов всех точек данной прямой является некоторая прямая. Д ока за тел ь ст во. Пусть дано движение f плоскости и некоторая прямая a. Если A ∈ a, B ∈ b, A 6= B, f (A) = A 1 , f (B) = B 1 , то A 1 6= Рассмотрим прямую и докажем, что f (a) = (A 1 B 1 ). Пусть точка образ произвольной точки M прямой a. Если M лежит между и B, то AM + M B = AB. По определению движения A 1 M 1 = AM , M 1 B 1 = M B, A 1 B 1 = AB. Поэтому A 1 M 1 + M 1 B 1 = A 1 B 1 . Это означает, что лежит на прямой между и B 1 ). В случаях, когда лежит между M и B или B лежит между A и M , аналогично доказывается, что образ точки M прямой a принадлежит прямой. Необходимо еще доказать, что всякая точка прямой имеет своим прообразом при движении f некоторую точку прямой a, т. е. множество образов всех точек прямой a есть прямая A 1 B 1 . А это действительно так, поскольку образ произвольной точки прямой при движении принадлежит прямой AB, в чем убеждаемся повторением предыдущего рассуждения. Следствие 1. Движение плоскости сохраняет отношение лежать между для трех точек прямой. Действительно, при доказательстве теоремы показано, что если точка лежит между A и B, то точка лежит между и Следствие 2. Движение плоскости отображает отрезок на отре- зок. Следствие 3. Образом луча при движении является луч. В самом деле, луч определяется через понятия прямой и лежать между, которые инвариантны при движении. Поэтому луч прямой a отображается на определенный луч образа этой прямой. Следствие 4. Образом полуплоскости при движении является по- луплоскость. Действительно, полуплоскость a с границей l, содержащая точку / ∈ l, можно определить как множество точек M плоскости таких, что отрезки AM не пересекают l. В силу доказанной теоремы и следствий и 1 движением f полуплоскость a отображается на полуплоскость с границей l 0 = f (l) и содержащую точку A 0 = f (Следствие 5. Движение плоскости отображает угол на (равный ему ) угол. В самом деле, угол, меньший развернутого, можно определить как пересечение двух полуплоскостей, а угол, больший развернутого, как объединение двух полуплоскостей. На основании следствия 4 и свойств и см. введение) образом угла будет угол. Равенство этих углов имеет место по определению равных фигур. Теорема. Движение отображает любые две параллельные прямые a и b на две параллельные прямые и Доказательство. Если бы прямые и пересекались в некоторой точке M 0 , то ее прообразом была бы такая точка M , которая принадлежала бы как прямой a, таки прямой b, что противоречит условию Итак, основными инвариантами движений плоскости являются расстояния между точками, свойства фигур быть прямой, отрезком, лучом полуплоскостью, углом, отношение лежать между для трех точек прямой, параллельность прямых. Конструктивное задание движения плоскости. Задать преобразование это значит указать такие начальные условия, при которых можно однозначно построить образ каждой точки при этом преобразовании. Иными словами, существует единственное преобразование, при котором заданные начальные условия имеют место. Теорема (о задании движения плоскости. Пусть даны три неколлинеарные точки A, B, C и три точки A 1 , B 1 , такие, что A 1 B 1 = AB, B 1 C 1 = BC, C 1 A 1 = CA. Тогда существует и только одно движение плоскости, которое отображает точку A на точку A 1 , точку B на точку и точку C на точку Из условия неколлинеарности точек A, B, C и равенств соответствующих расстояний следует, что точки A 1 , B 1 , также неколлинеарны. A B C M N a ¯ a A 1 B 1 C 1 M 1 N 1 a 1 ¯ a 1 Рис. Пусть a — замкнутая полуплоскость с границей, содержащая точку C, и a 1 — замкнутая полуплоскость с границей содержащая точку C 1 . Пусть ¯ a и ¯a 1 — две другие замкнутые полуплоскости соответственно с границами AB ирис. Зададим преобразование f плоскости следующими условиями каждой точке M плоскости поставим в соответствие такую точку, что A 1 M 1 = AM , B 1 M 1 = BM и при M ∈ a, но M 1 ∈ при M ∈ ¯ a. Отсюда, в частности, следует, что f (A) = A 1 , f (B) = B 1 , f (C) = и образом прямой при преобразовании f является прямая. Докажем, что преобразование f — движение. Пусть f (N ) = N 1 . Надо доказать, что M 1 N 1 = M N . Если точки A, M , коллинеарны, то равенство этих расстояний очевидно. Если же эти точки неколлинеарны, то из равенства треугольников и и равенства треугольников AN B и следует равенство углов M AN и и затем равенство треугольников AN и M 1 A 1 N 1 , откуда M 1 N 1 = M N Докажем единственность движения f с заданными условиями. Если бы кроме f существовало такое движение g, что g(A) = A 1 |