Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
Я. П. ПОНАРИН ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Том 1 ПЛАНИМЕТРИЯ, ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПЛОСКОСТИ Москва Издательство МЦНМО, 2004 УДК 514.112 ББК 22.151.0 П56 Понарин Я. П. П56 Элементарная геометрия Вт Т. 1: Планиметрия, преобразования плоскости. — М МЦНМО, 2004.— 312 сил (том Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам решения геометрических задач. В нем приведены яркие геометрические сведения, не вошедшие в современный школьный учебник. Например, формула Эйлера, окружность девяти точек, теорема Птолемея, геометрические неравенства и многое другое. Книга адресована всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, — от школьников средних классов до учителей математики и студентов педагогических вузов. ББК 22.151.0 ISBN 5-94057-170-0 ISBN 5-94057-171-9 (том 1) c Понарин Я. П, 2004. c МЦНМО, 2004. Оглавление Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть I. Планиметрия 1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью . . . . . . . . 13 1.1. Угол с вершиной внутри окружности (13). 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности (13). 1.3. Угол между секущей и касательной (14). § 2. Пропорциональные отрезки . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1. Свойство ряда равных отношений (16). 2.2. Пропорциональные отрезки на сторонах угла (17). 2.3. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых (18). 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника (18). 2.5. Секущие к окружности (19). 2.6. Среднее геометрическое (19). 2.7. Золотое сечение отрезка (21). § 3. Основные метрические соотношения в треугольнике . . . . . . . . 25 3.1. Теорема синусов (25). 3.2. Формулы проекций и их следствия. Некоторые формулы площади треугольника (28). 3.4. Зависимость между косинусами углов треугольника и радиусами его вписанной и описанной окружностей (29). 3.5. Длина биссектрисы треугольника (30). § 4. Четыре замечательные точки треугольника . . . . . . . . . . . . . 34 4.1. Центроид треугольника (34). 4.2. Центр вписанной в треугольник окружности (37). 4.3. Ортоцентр треугольника (38). 4.4. Связь между четырьмя замечательными точками треугольника (40). § 5. Вневписанные окружности треугольника . . . . . . . . . . . . . . 45 5.1. Существование вневписанных окружностей (45). 5.2. Отрезки касательных из вершин треугольника к его вневписанным окружностям. Зависимость между радиусами вписанной, вневпи- санных и описанной окружностей треугольника (47). § 6. Окружность девяти точек треугольника . . . . . . . . . . . . . . . 49 6.1. Существование окружности девяти точек (49). 6.2. Теорема Фейербаха (50). § 7. Вписанные и описанные четырехугольники . . . . . . . . . . . . . 53 7.1. Критерии вписанного четырехугольника (53). 7.2. Критерии описанного четырехугольника (54). 7.3. Невыпуклый четырехугольник, ассоциированный с описанным четырехугольником (56). § 8. Теорема Симсона и теорема Птолемея . . . . . . . . . . . . . . . . 61 8.1. Теорема Симсона (61). 8.2. Теорема Птолемея (62). § 9. Теорема Чевы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 9.1. Теорема Чевы (68). 9.2. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы (69). 9.3. Изотомическое и изогональное соответствия. Классические теоремы о коллинеарности трех точек . . . . . . . 75 10.1. Теорема Менелая (75). 10.2. Теорема Гаусса (76). 10.3. Теорема Дезарга (77). 10.4. Теорема Паскаля для треугольника (78). 10.5. Теорема Паскаля для вписанного шестиугольника (79). § 11. Метрические соотношения в четырехугольнике . . . . . . . . . . 82 11.1. Центроид четырехугольника (82). 11.2. Длины средних линий и расстояние между серединами диагоналей четырехугольника. Зависимость между длинами сторон и диагоналей четырехугольника (85). 11.4. Теорема косинусов для четырехугольника. Соотношение Бретшнайдера (87). 11.6. Следствия из соотношения Бретшнайдера (88). § 12. Площадь четырехугольника . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 12.1. Формулы площади четырехугольника общего вида (91). 12.2. Следствия из общих формул площади четырехугольника (92). § 13. Геометрические неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 13.1. Использование неравенств между сторонами и углами треугольника. Неравенства как следствия тождественных равенств (99). 13.3. Использование ограниченности функций синуса и косинуса (101). 13.4. Использование неравенств для скалярного произведения векторов (102). 13.5. Применение алгебраических неравенств для средних величин двух положительных чисел. Получение неравенств из известных тождеств и неравенств (105). 13.7. Использование чертежа, дополнительных построений (106). § 14. Геометрические экстремумы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 14.1. Экстремальные свойства суммы и произведения положительных чисел (111). 14.2. Экстремальные значения синуса и косинуса. Об эквивалентности задач на экстремумы (113). 14.4. Применение геометрических преобразований (113). 14.5. Экстремальные значения квадратного трехчлена (114). § 15. Экстремальные свойства правильных многоугольников . . . . . 118 15.1. Изопериметрическая задача (118). 15.2. Общие свойства изо- периметрических фигур максимальной площади (119). 15.3. Две подготовительные задачи (119). 15.4. Изопериметрическая теорема для многоугольников (121). 15.5. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность (123). 15.6. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности (124). § 16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей . . . . . . . 126 16.1. Степень точки относительно окружности (126). 16.2. Радикальная ось двух окружностей (126). 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей (128). 16.4. Радикальный центр трех окружностей (129). § 17. Пучки окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 Определение пучка окружностей. Виды пучков. Критерии пучка окружностей. Задание пучка (132). 17.3. Ортогональные пучки окружностей (133). 17.4. Задание окружности данного пучка (134). § 18. Полярное соответствие. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 18.1. Поляра точки относительно окружности (136). 18.2. Свойство взаимности поляр (138). 18.3. Автополярный треугольник. (138). 18.4. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности (Задачи общего содержания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Часть II. Преобразования плоскости Введение. Отображения и преобразования множеств . . . . . . . . . . Глава I. Движения плоскости 1. Общие свойства движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160 1.1. Определения движения и равных фигур (160). 1.2. Инварианты движений (160). 1.3. Конструктивное задание движения плоскости. Движения первого и второго рода (163). § 2. Центральная симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 2.1. Определение и свойства центральной симметрии плоскости. Решение задач (165). § 3. Осевая симметрия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 3.1. Определение и свойства осевой симметрии плоскости (169). 3.2. Решение задач с помощью осевой симметрии (171). § 4. Перенос . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175 4.1. Определение и свойства переноса (175). 4.2. Решение задач с помощью переноса (176). 5 § 5. Поворот . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179 5.1. Определение и свойства поворота (179). 5.2. Угол между лучом и его образом при повороте (180). 5.3. Два способа построения центра поворота (181). § 6. Решение задач с помощью поворота . . . . . . . . . . . . . . . . . 181 § 7. Композиции движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187 7.1. Композиция центральных симметрии и переносов (187). 7.2. Композиция двух осевых симметрий с параллельными осями. Представление переноса композицией осевых симметрий. Композиция двух осевых симметрий с непарал- лельными осями (189). 7.5. Представление поворота композицией осевых симметрий (190). 7.6. Композиция двух поворотов (190). 7.7. Композиция поворота и переноса (191). 7.8. Переносная симметрия. Композиция переноса и осевой симметрии (192). 7.10. Движения плоскости как композиции осевых симметрий (192). § 8. Решение задач с помощью композиций движений. . . . . . . . . 193 § 9. Координатные формулы движений плоскости . . . . . . . . . . . . 197 9.1. Формулы переноса и центральной симметрии (197). 9.2. Формулы поворота (198). 9.3. Формулы осевой симметрии (198). 9.4. Формулы движений I ирода. Решение задач с использованием координатных формул движений (200). § 10. Комбинирование метода преобразований и векторного метода решения задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202 10.1. Движение вектора (202). 10.2. Решение задач с помощью поворота вектора (203). § 11. Применение движений к построению графиков функций. . . . 206 11.1. Перенос графиков (206). 11.2. Применение осевой симметрии (Глава II. Подобия и аффинные преобразования 12. Гомотетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211 12.1. Определение гомотетии и его следствия (211). 12.2. Образ прямой при гомотетии (212). 12.3. Образы луча, полуплоскости и угла при гомотетии (213). 12.4. Задание гомотетии. Построение образа точки (213). § 13. Гомотетичность окружностей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 13.1. Гомотетичные фигуры (214). 13.2. Гомотетичность двух окружностей. Решение задач с помощью гомотетии . . . . . . . . . . . . . . . . 216 § 15. Композиция гомотетий . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223 6 15.1. Композиция двух гомотетий (223). 15.2. Теорема Паппа (224). 15.3. Взаимное расположение центров гомотетий трех окружностей. Теорема Менелая (226). § 16. Решение задач с помощью композиций гомотетий . . . . . . . . . 227 § 17. Преобразование подобия. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230 17.1. Определение подобия и подобных фигур (230). 17.2. Представление подобия композицией гомотетии и движения. Инварианты подобий (231). § 18. Задание подобия плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232 18.1. Теорема о задании подобия плоскости (232). 18.2. Два рода подобий. Построение образа точки при подобии (232). § 19. Классификация подобий плоскости . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 19.1. Классификация подобий первого рода (233). 19.2. Классификация подобий второго рода (235). § 20. Угол, центр и двойные прямые подобия. . . . . . . . . . . . . . 237 20.1. Угол подобия (237). 20.2. Центр подобия (237). 20.3. Два подобия с общим центром (238). 20.4. Двойные прямые подобия (238). § 21. Решение задач методом подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239 § 22. Параллельное проектирование плоскости на плоскость . . . . . . 249 § 23. Аффинные отображения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251 23.1. Определение и задание аффинного преобразования плоскости. Частные виды аффинных преобразований плоскости. Понятие об аффинной геометрии (253). § 24. Решение задач с помощью аффинных преобразований . . . . . . Глава III. Инверсия 25. Инверсия плоскости относительно окружности . . . . . . . . . . 259 25.1. Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии. Координатные формулы инверсии (260). 25.3. Образы прямых и окружностей при инверсии (260). § 26. Инвариантные окружности инверсии . . . . . . . . . . . . . . . . 262 26.1. Ортогональные окружности (262). 26.2. Инверсия как симметрия относительно окружности (262). § 27. Свойства углов и расстояний . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264 27.1. Сохранение величин углов при инверсии (264). 27.2. Изменение расстояний при инверсии (264). § 28. Инверсия и гомотетия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265 § 29. Применение инверсии к решению задач на построение и доказательство. . . . . . . . . . . Указания, ответы, решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315 7 Предисловие Геометрию считают трудным предметом. А трудность ее в том, что по сравнению с алгеброй она мало алгоритмизирована. Почти каждую содержательную задачу можно решить несколькими способами, используя различные методы. Поэтому геометрия содержит в себе огромный потенциал для развития гибкости ума, пластичности мышления икон- структивных способностей учащихся, для воспитания у них чувства прекрасного. В ходе реформы школьного математического образования, повлекшей за собой перестройку учебных планов и программ на математических факультетах педагогических институтов, допущены существенные просчеты и перегибы. Со страниц школьных учебных пособий по геометрии исчезли многие замечательные геометрические факты, своего рода геометрические жемчужины, использовавшиеся при доказательствах теорем и решении задач. Новые же методы — векторный, координатный, метод преобразований — не заняли должного места в преподавании геометрии и им все меньше уделяется внимания. В этом, намой взгляд, заключается одна из основных причин значительного понижения уровня теоретической и практической подготовки по геометрии выпускников средних школ. В системе школьного математического образования геометрии отводится второе, если не третье, место. Упрощение геометрии идет по пути ее алгебраизации и изъятия геометрических жемчужин. Чисто геометрические методы постепенно отходят на второй план. Важнейший из таких методов — метод геометрических преобразований — до сих пор не нашел своего места в школьном курсе геометрии. Его пытались изучать с самого начала, растянув на всю восьмилетнюю школу. Теперь предлагается заняться им в конце изучения планиметрии. Но по-прежнему ученики не владеют им даже на начальном уровне. Данное пособие призвано возродить интерес к элементарным методам в геометрии. Оно адресовано всем, кто желает расширить и углубить знания по элементарной геометрии, совершенствовать технику решения планиметрических задач элементарными средствами. Такими читателями являются прежде всего учащиеся математических классов и школ, их преподаватели, учителя математики общеобразовательных школ, студенты педагогических вузов. При отборе материала всегда есть опасность, с одной стороны, утонуть в деталях, ас другой — упустить нечто важное с практической и познавательной точек зрения. Поэтому изложенный здесь материал уязвим для критики. Он не регламентирован какой-либо заданной программой. Автор считал необходимым включить забытый материал, расширить материал школьных учебников теоремами и формулами, непосредственно связанными с изучаемыми в школьном курсе, и добавить многие факты из классического арсенала элементарной геометрии. За рамки пособия вынесена теория геометрических построений, метод координат и вопросы теории измерения величин в основном по причине ограниченности объема пособия. Читатель встретит здесь несколько доказательств одного итого же геометрического факта. Эти доказательства позволяют выявить разносторонние связи данного факта с другими, что весьма существенно. Кроме того, знание различных доказательств обеспечивает преподавателю сравнительную свободу в построении своего курса геометрии в соответствии с принятым порядком изложения. В этом пособии в систематическом виде изложен теоретический и задачный материал по методу геометрических преобразований плоскости. Он позволяет оригинально и красиво решать многие геометрические задачи. Особенно я хочу пробудить интерес к этому методу у молодых учителей, ибо будущее школы в их руках. Совместно с Р. Г. Хазанкиным проведен длительный эксперимент изучения преобразований в девятых и десятых классах на уроках и внеклассных занятиях. Мы старались показать сущность каждого вида преобразования, решая большое количество задач. Этот эксперимент показал, что целесообразнее и эффективнее всего заниматься геометрическими преобразованиями впервой четверти десятого класса перед изучением стереометрии. Большую часть пособия составляют задачи. Они взяты из указанной литературы, хотя имеются и задачи автора. Они подобраны по темам параграфов и имеются два списка задач общего содержания, в которые включены несколько серий задач, составленных талантливым педагогом и мастером по составлению задачи их решению профессором З. А. Скопецом. Они были опубликованы ранее в Математике в школе» за 1966—1993 годы ив пособии [29]. Хотя автор и стремился расположить задачи в порядке возрастающей трудности, однако такое расположение оказалось весьма относительным. Трудность задачи — понятие в большой мере субъективное. Найдется немало таких, которые могут представить интерес и для подготовленного читателя. К большинству задач даны ответы или краткие указания. Считаю, что издание задачников непременно с полными решениями имеет большие негативные последствия. Учитель, не решающий задачи самбы- стро теряет квалификацию. Время, потраченное на решение трудной задачи, окупится сторицей Книга в основном предназначена для учителей, работающих в математических классах, где она может служить и учебным пособием для учащихся. Ее материал можно с успехом использовать ив неспециализированных классах как на уроках, таки на факультативных и кружко- вых занятиях. Студенты и преподаватели педагогических вузов найдут здесь немало полезного для своей профессиональной подготовки. Хочу надеяться, что работа сданной книгой будет приятным занятием и послужит ступенькой к серьезной математике. Я. П. Понарин 10 Часть Планиметрия § 1. Измерение углов, ассоциированных с окружностью Вспомним, что с окружностью ассоциированы (связаны) центральные и вписанные в нее углы. Центральный угол измеряется соответствующей ему дугой окружности, а вписанный — половиной дуги, высекаемой на окружности сторонами угла и заключенной внутри угла. Рассмотрим еще три случая взаимного расположения угла и окружности. Угол с вершиной внутри окружности. Пусть вершина S угла лежит внутри окружности, а его стороны пересекают окружность в точках A ирис. Пусть лучи, дополнительные к лучами, пересекают окружность в точках C и D. Найдем зависимость между градусной мерой угла ASB и градусными мерами дуги. Угол ASB является внешним углом треугольника SBC. По теореме о внешнем угле треугольника ∠ASB = ∠ACB + ∠DBC. А эти углы измеряются соответственно половинами дуги. Поэтому = |