Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
1 2 (`AB + Таким образом, угол с вершиной внутри окружности измеряется полусуммой двух дуг этой окружности, одна из которых заключена между его сторонами, а другая — между их продолжениями. Другое доказательство этой теоремы получим, если проведем хорду, параллельную хорде AC (рис. 2). Тогда ∠ASB = ∠DBE = = 1 2 `DE = 1 2 (`DC + `CE). Дуги AB и CE равны, поскольку они симметричны относительно диаметра окружности, перпендикулярного хордами Рис. Рис. 2 1.2. Угол между двумя секущими с вершиной вне окружности. Если вершина угла лежит вне окружности, а его стороны пересекают эту окружность, то он измеряется полуразностью дуг, отсекаемых сторонами угла и заключенных внутри него Действительно, пусть стороны угла ASB пересекают данную окружность вторично в точках C ирис. Тогда для внешнего угла треугольника SBC имеем ∠CBD = ∠ASB + ∠ACB, откуда, переходя к дугами, на которые опираются вписанные углы CBD и получаем доказываемое соотношение ∠ASB = 1 2 (`CD − В этом можно убедиться с помощью хорды BE, параллельной хорде (рис. 4): ∠ASB = ∠DBE = 1 2 `DE = 1 2 (`DC − `CE) = 1 2 (`DC − Рис. Рис. 4 1.3. Угол между секущей и касательной может иметь вершину на окружности (рис. 5) или же вне ее (рис. 6). В первом случае, если этот угол ASB острый, то он равен разности прямого угла BSD и вписанного угла ASD. Следовательно, ∠ASB = 90 ◦ − 1 2 `DA = 1 2 `SD − 1 2 `DA = = 1 2 `SA. Если угол ASB тупой, то аналогичными рассуждениями получаем тот же результат. Итак, доказано, что угол с вершиной на окружности между ее хордой и касательной измеряется половиной дуги этой окружности, заключенной внутри данного угла. A B D S O Рис. Рис. Используя доказанный факт = 1 2 `AB , для второго случая (рис. 6) получаем = ∠ABC − ∠SAB = 1 2 `AC − 1 2 `AB = 1 2 (`AC − `AB). 14 Итак, если секущая к окружности не проходит через точку касания другой прямой с этой окружностью, то угол между ними измеряется полуразностью дуг, на которые делится точкой касания дуга, заключенная внутри этого угла. З ада ч а 1. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол между прямыми AB и CD равен a, а угол между прямыми AD и равен b. Найти углы данного четырехугольника. Р е ш е ни е. Обозначим градусные меры дуги через и t соответственно. Пусть g — угол между диагоналями AC ирис. Тогда x + y + z + t = 360 ◦ . На основании доказанных теорем имеем = 1 2 (t − y), b = 1 2 (x − z), g = 1 2 (y + t). Сложением либо вычитанием этих равенств находим t = a + g, y = g − a, x = 180 ◦ + b − g, z = 180 ◦ − b − g. Далее получаем окончательно = 1 2 (y + z) = 1 2 (180 ◦ − a − b), ∠ABC = 1 2 (z + t) = 1 2 (180 ◦ + a − b), ∠BCD = 1 2 (x + t) = 1 2 (180 ◦ + a + b), ∠ADC = 1 2 (x + y) = 1 2 (180 ◦ − a + Задача. В треугольнике ABC отрезок A 1 B 1 , соединяющий основания высот и BB 1 , виден из середины стороны AB под углом Найти величину угла C этого треугольника. Р е ш е ни е. Так как из точек и отрезок AB виден под прямыми углами, то они лежат на окружности с диаметром AB (рис. Поэтому ∠C = 1 2 ∠(`AB − `A 1 B 1 ) = 1 2 (180 ◦ − a) = 90 ◦ − a 2 A B C D x y z t a Рис. Рис. 8 15 Упражнения. Не пользуясь формулами площади треугольника, докажите, что высота треугольника равна произведению несоответственных ей сторон, деленному на диаметр описанной около этого треугольника окружности. Две окружности касаются внешне в точке A. Общая внешняя касательная к этим окружностям касается их в точках M и N . Докажите, что угол M AN прямой. Две окружности касаются внутренним образом в точке S. Хорда большей окружности касается меньшей окружности в точке P Докажите, что луч SP делит угол ASB пополам. В треугольник ABC вписана окружность, касающаяся сторон ив точках D и E. Докажите, что центр окружности, вписанной в треугольник ADE, принадлежит первой окружности. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Точки A 1 , B 1 , C 1 , являются соответственно серединами дуг AB, BC, CD, DA. Докажите, что прямые и перпендикулярны. Около треугольника ABC описана окружность. Биссектрисы его углов A, B, C пересекают эту окружность соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что прямые AA 1 , BB 1 , перпендикулярны сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 1.7. Прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 , содержащие высоты остроугольного треугольника ABC, пересекают описанную около него окружность в точках A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что эти прямые содержат биссектрисы углов треугольника A 1 B 1 C 1 1.8. Биссектрисы углов B и C треугольника ABC пересекаются в точке I. Биссектриса угла C вторично пересекает описанную около треугольника окружность в точке D. Докажите, что AD = DI. § 2. Пропорциональные отрезки. Свойство ряда равных отношений. Если имеем ряд равных отношений то a i = kb i (i = 1, 2, . . . , n). Пусть t 1 , t 2 , . . . , t n — любые действительные числа, при которых t 1 b 1 + t 2 b 2 + . . . + t n b n 6= 0. Тогда t 1 a 1 = t 1 kb 1 , t 2 a 2 = t 2 kb 2 , . . . , t n a n = t n kb n . Сложив эти равенства, получим t 1 a 1 + + t 2 a 2 + . . . + t n a n = k(t 1 b 1 + t 2 b 2 + . . . + t n b n ), откуда t 1 a 1 + t 2 a 2 + . . . + t n a n t 1 b 1 + t 2 b 2 + . . . + t n b n = k = a i b где i = 1, 2, . . . , n. (2.1) 16 Это свойство можно эффективно использовать в задачах. В частности, при t 1 = t 2 = . . . = t n = 1 имеем a 1 + a 2 + . . . + a n b 1 + b 2 + . . . + b n = a i b где i = 1, 2, . . . , Например, если a и b i — длины соответственных сторон двух подобных многоугольников, то это равенство означает, что их периметры относятся как соответственные стороны. Пропорциональные отрезки на сторонах угла. Если стороны угла пересечены параллельными прямыми, то отрезки, отсека- A B C B 1 A 1 C 1 O B 2 C 2 Рис. 9 емые ими на одной стороне этого угла, пропорциональны соответственным отрезкам, отсекаемым ими на другой его стороне (рис. 9): OA OA 1 = AB A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = . . Для доказательства построим отрезки, параллельные стороне OA 1 данного угла с вершиной O. Треугольники. подобны в силу равенства соответственных углов при параллельных прямых. и соответственных углов при параллельных прямых AA 1 , BB 1 , CC 1 , . . . Отсюда следует . . Поскольку AB 2 = A 1 B 1 , BC 2 = B 1 C 1 , . . . , то сформулированное предложение доказано. В частности, если OA = AB = BC = . . . , то и OA 1 = A 1 B 1 = B 1 C 1 = . . Следовательно, если на одной стороне угла отложены равные отрезки и через их концы проведены параллельные прямые, пересекающие другую сторону этого угла, тона ней отсекаются также равные отрезки (т е орем а Фале с а). Обратная теорема. Если на одной стороне угла от его вершины отложены отрезки OA, AB, BC, . . . и на другой его стороне также от вершины O отложены соответственно пропорциональные им отрезки OA 1 , A 1 B 1 , B 1 C 1 , . . . (рис. 9): OA OA 1 = AB A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = . . . то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 , . . . параллельны Действительно, на основе предыдущего свойства ряда равных отношений, те. Следовательно, треугольники и OBB 1 гомотетичны и поэтому AA 1 k BB 1 . Аналогично В частности, если OA = AB = BC = . . . и OA 1 = A 1 B 1 = B 1 C 1 = . . . то прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 , . . . параллельны. Обратная теорема Ф а леса. Пропорциональные отрезки на параллельных прямых. Если две параллельные прямые пересечены прямыми, проходящими через A B C D B 1 A 1 C 1 D 1 O Рис. одну точку, тона данных параллельных прямых отсекаются пропорциональные отрезки (рис. 10): AB A 1 B 1 = BC B 1 C 1 = CD C 1 D 1 = . . Действительно, зададим гомотетию с центром в точке O пересечения секущих прямых и парой соответственных точек A. Она отображает на B, на на D, . . . По свойству гомотетии рассматриваемые отношения отрезков равны коэффициенту гомотетии. Другое доказательство можно получить, рассматривая пары подобных треугольников OAB и OA 1 B 1 , OBC и OB 1 C 1 , OCD и OC 1 D 1 2.4. Свойство биссектрис внутреннего и внешнего углов треугольника. Биссектриса угла треугольника делит противоположную сто- A B C D E Рис. 11 рону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам треугольника. Д ока за тел ь ст во. Пусть CD — биссектриса треугольника ABC (рис. 11). Построим k CD. Тогда ∠ACD = ∠AEB и ∠BCD = = ∠CBE, атак как ∠ACD = ∠BCD, то ∠AEB = = ∠CBE и поэтому BC = CE. По теореме п. 2.2 AD DB = AC CE , те, что и требовалось до- казать. Обратимся теперь к биссектрисе внешнего угла треугольника. В равнобедренном треугольнике биссектриса внешнего угла при общей вершине равных сторон параллельна третьей стороне (основанию) треугольника. В остальных случаях биссектриса внешнего угла пересекает прямую, содержащую противоположную сторону. Точка пересечения обладает свойством, аналогичным доказанному выше: Если биссектриса внешнего угла треугольника ABC пересекает прямую, содержащую его противоположную сторону, то расстоя- A B C D E Рис. 12 ния от точки пересечения до концов этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника (рис. Доказательство не отличается от доказательства предыдущей теоремы. Секущие к окружности. Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей к этой окружности. Теорема. Если через данную точку, не принадлежащую данной окружности, проведена к ней произвольная секущая, то произведение отрезков секущей, соединяющих данную точку с точками ее пересечения с окружностью, не зависит от выбора секущей. Для доказательства проведем через данную точку M две произвольные секущие AB ирис и 14). Треугольники M AD и M подобны, так как ∠B = ∠D и ∠A = ∠C по свойству вписанных углов. В случае, когда точка M вне окружности, углы M AD и M BC являются смежными к равным вписанным углам. Из подобия этих треугольников следует A M D = M C M B , или M A · M B = M C · M D, что и надо было дока- зать. A B C D M Рис. Рис. 14 2.6. Среднее геометрическое. Если имеет место пропорция a : x = x : то величина x называется средним геометрическим (средним пропорциональным) величин a и b. Тогда x 2 = ab и = √ ab. 19 Рассмотрим наиболее распространенные случаи, когда один отрезок является средним геометрическим двух других. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD к гипотенузе (рис. 15). Используем общепринятые обозначения BC = a, CA = b, AB = c, CD = h, AD = b 1 , BD = a 1 . Прямоугольные треугольники и ACD подобны (имеют общий острый угол A). Аналогично a c Рис. Рис. подобны треугольники ABC и BCD. Следовательно, подобны и треугольники и BCD. Из подобия треугольников в этих парах имеем соответственно b 1 = c b , a a 1 = c a , b 1 h = h откуда b 2 = cb 1 , a 2 = ca 1 , h 2 = Итак, в прямоугольном треугольнике высота, опущенная на гипотенузу, есть средняя геометрическая величина проекций катетов на гипотенузу, а каждый из катетов есть средняя геометрическая величина гипотенузы и его проекции наги- потенузу. Вершина C прямого угла лежит на окружности с диаметром AB. Поэтому это же свойство можно сформулировать еще так (рис. Перпендикуляр, опущенный из точки окружности на ее диаметр, есть средняя геометрическая величина отрезков, на которые он делит диаметра каждая хорда, соединяющая данную точку с концами этого диаметра, есть средняя геометрическая величина диаметра и проекции этой хорды на диаметр. Следствия. Складывая равенства a 2 = и b 2 = cb 1 , получаем+ b 2 = (a 1 + b 1 )c = c 2 . При почленном делении этих же равенств имеем: a 2 b 2 = a 1 b 1 Итак, попутно с предыдущими свойствами получены еще два) в прямоугольном треугольнике сумма квадратов катетов равна квадрату гипотенузы, 2) квадраты катетов прямоугольного треугольника относятся каких проекции на гипотенузу Пусть из точки M , лежащей вне окружности, проведены к ней секущая и касательная M C (рис. 17). Тогда M C 2 = M A · M B. Действи- A B C M Рис. 17 тельно, треугольники M AC и M BC подобны они имеют общий угол M и равные углы ACM и ABC (оба измеряются половиной дуги AC). Из их подобия следует доказываемое соотношение. Таким образом, если из некоторой точки проведены к окружности касательная и секущая, то отрезок, соединяющий данную точку сточкой касания, есть средняя геометрическая величина отрезков, соединяющих эту же точку с точками пересечения секущей и окружности. Золотое сечение отрезка. С древности известна такая замечательная задача разделить данный отрезок a на две части так, чтобы одна из них была средней геометрической величиной между отрезком и другой его частью (задача о золотом сечении отрезка). Решение ее просто. Если x — одна из искомых частей данного отрезка, то согласно требованию x 2 = a(a − или x 2 + ax − a 2 = откуда x = − a 2 + r a 2 2 + a 2 = √ 5 − 1 2 a. A B C P S x x a Рис. На основании полученной формулы «золотой отрезок x строится по заданному отрезку a с помощью циркуля и линейки следующим образом. Строим прямоугольный треугольник ABC с катетами ирис. Его гипотенуза будет равна r a 2 2 + a 2 . Если из нее вычесть отрезок, то получим искомый отрезок BP = x, а затем и точку делящую отрезок BC = a в золотом отношении a − x = a x = 2 √ 5 − 1 = √ 5 + 1 Иррациональное число t = √ 5 + 1 2 ≈ 1,61803398 . . . не столь хорошо известно, как, скажем, число p (отношение длины окружности к ее диаметру, но оно выражает фундаментальное отношение, возникающее в самых неожиданных случаях. Любопытно, что − 1 ≈ 0,61803398 . . Число t — единственное положительное число, которое переходит в обратное ему при вычитании единицы. Много интересного о золотом сечении и числе t читатель может найти в книгах ГС. М. Кокстера Введение в геометрию и М. Гарднера «Математические головоломки и развлечения». З ада ч а 1. Доказать, что квадрат биссектрисы угла треугольника равен произведению образующих его сторон без произведения отрезков l a Рис. на которые биссектриса делит третью сторону треугольника. Р е ш е ни е. Пусть биссектриса угла C треугольника пересекает сторону AB в точке, а описанную около треугольника окружность в точке E (рис. 19). Если AD = m, DB = n, CD = l, то по теореме о секущих (п. 2.5) mn = l · DE = l(CE − l) = l · CE − l 2 . Из подобных треугольников ACE и CDB получаем. Поэтому mn = ab − l 2 , откуда l 2 = ab − Задача. Даны две прямые l и l 1 . Четыре прямые, проходящие через одну точку O, пересекают прямую l в точках A, B, C, D, а прямую соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Доказать, что Рис. Решение. Проведем через точки и прямые, параллельные прямой (рис. 20). Пусть первая пересекает прямые OC ив точках и Q, а вторая — в точках и Q 1 . Тогда и. Почленным делением этих равенств получаем B . На тех же основаниях. Но по теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых Определение. Отношение AC CB : AD DB называется двойным (сложным) отношением четырех точек A, B, C, D прямой Доказанный результат можно сформулировать кратко двойное отношение четырех точек прямой не изменяется при центральном проектировании прямой на прямую. Сохранение двойного отношения четырех точек прямой при параллельном проектировании прямой напрямую очевидно на основании теоремы пункта Упражнения. Сформулируйте и докажите теорему, обратную теореме п. 2.3. 2.2. В окружности проведен диаметр AB. Через точку A и произвольную точку M этой окружности проведена прямая, пересекающая в точке N касательную к окружности в точке B. Докажите, что произведение не зависит от выбора точки M на окружности. Две окружности касаются внешним образом. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к ним, соединяющий точки ее касания, есть среднее геометрическое диаметров окружностей. Докажите, что касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине делит противоположную сторону внешним образом в отношении квадратов прилежащих сторон. Докажите, что касательная к окружности, описанной около неравнобедренного треугольника, в его вершине пересекает продолжение противоположной стороны в середине отрезка, концы которого совпадают с основаниями биссектрис внутреннего и внешнего углов при этой вершине. В треугольнике ABC угол C вдвое больше угла B. Найдите длину стороны AB и длину биссектрисы угла C, если BC = a и AC = b. 2.7. Около треугольника ABC описана окружность, и к ней проведена касательная в точке A, пересекающая луч BC в точке D. Найдите длины AD и CD, если известны длины a, b, c сторон треугольника ABC. 2.8. Дан четырехугольник ABCD. Прямая, проведенная через вершину параллельно BC, пересекает BD в точке M . Прямая, проведенная через вершину B параллельно AD, пересекает AC в точке N Докажите, что M N и CD параллельны. Три окружности имеют две общие точки. Через одну из них проведена секущая, пересекающая эти окружности вторично в трех точках. Докажите, что отношение этих трех точек не зависит от выбора секущей. (Отношением трех точек A, D, C прямой называется число. Дана окружность w и точки P и K вне ее. Через точку проведена секущая к окружности w, пересекающая ее в точках A и B. |