Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
lA 2 C 2 1 + l . Подвергнем векторы и A 2 B 2 гомотетическому повороту f на угол a с коэффициентом (центр произволен A 1 B 1 → и A 2 B 2 → A 2 C 2 . Значит → AC при указанном подобии f . Поэтому треугольник ABC подобен треугольниками. Пусть R a P (M ) = Q. Заметим, что ∠P M Q = и M Q : M P = = 2 sin a 2 . Точка Q — образ точки P при композиции H 2 sin( a/2) M ◦ Следовательно, искомое множество есть образ окружности w при этой композиции, те. окружность. Пусть A 0 , B 0 , C 0 — точки касания вписанной окружности со сторонами BC, CA, AB. Если f — угол поворота, то отображение, при котором A 0 → A 2 , B 0 → B 2 , C 0 → C 2 , есть подобие первого рода сцен- тром I, углом и коэффициентом. Следовательно, треугольник подобен треугольнику A 0 B 0 C 0 , углы которого равны соответственно. Точки пересечения данной прямой с ее прообразом и образом при заданном аффинном преобразовании. Прямая, содержащая данную точку и ее прообраз, и прямая, содержащая данную точку и ее образ при заданном преобразовании. Достаточно доказать, что это преобразование сохраняет величины углов. Сначала докажите, что оно сохраняет перпендикулярность прямых. Треугольник аффинно эквивалентен равнобедренному треугольнику. Используйте свойство прямых, соответственных при осевой симметрии 2.120. Трапеция аффинно эквивалентна равнобочной трапеции стем же отношением оснований. Задача аналогична задаче 2 § 24. 2.126. Параллелограмм аффинно эквивалентен квадрату, а для него доказываемое утверждение очевидно. 1/5. 2.128. В силу аффинности задачи ее достаточно решить для правильного треугольника ABC. Если положить AM = BM 1 = x, AP = CP 1 = y, BN = CN 1 = z, то площади треугольников M N P и легко выражаются через x, y, z. 2.131. Используйте инвариантность отношения площади круга к площади квадрата, построенного на радиусе этого круга. Данный параллелограмм аффинно эквивалентен квадрату. Для него доказываемое равенство принимает вид. Отрезок AQ — биссектриса прямого угла A треугольника AP Докажите, что AQ = √ 2AP · AR AP + AR 2.133. Для правильного треугольника ABC сумма P A 1 + P B 1 + P равна его стороне. Глава III 3.01. Равенство OM · OM 0 = следует из подобия треугольников и BOM 0 3.02. Если (O, R) — данная окружность, M и M 0 — фиксированная пара инверсных относительно нее точек, то рассматриваемое отношение равно OM : R. 3.04. Коэффициент гомотетии равен отношению квадратов радиусов окружностей инверсий. 3.05. Искомая окружность содержит образы данных точек при инверсии относительно данной окружности. Инверсия с центром в общей точке окружностей отображает их натри прямые. Задача сводится к построению окружности, касающейся этих трех прямых. Инверсия с центром в данной точке приводит к задаче о построении касательной к окружности параллельно данной прямой. Используйте инверсию с центром A. 3.10. К цели приводит инверсия с центром в данной точке. Задача эквивалентна задаче 1 § 29. 305 3.12. Пусть точки A и B лежат внутри окружности a. Инверсия с центром A переводит окружность a в окружность и точку B в точку B 0 , причем лежит вне a 0 . Через можно провести к две и только две касательные прямые. Примените вторую теорему § 28 и ее доказательство. Если a и b — данные окружности, аи окружности инвер- сий, при каждой из которых a → b, тов силу свойства конформности инверсии как w, таки делят углы между a и b пополам. Отсюда следует, что w и ортогональны. Докажите, что окружности ABD и BDC ортогональны. При инверсии с центром B они перейдут в перпендикулярные прямые. Доказываемое равенство следует по теореме Пифагора для треугольника A 0 C 0 D 0 3.16. См. решение задачи 3 § 29. 3.17. Пусть даны окружности и c 1 ∩ c 2 = {A 1 , B 1 }, c 2 ∩ c 3 = {A 2 , B 2 }, c 3 ∩ c 4 = {A 3 , B 3 }, c 4 ∩ c 1 = {A 4 , B 4 }. По условию точки A 1 , A 2 , A 3 , принадлежат окружности g (или прямой. Инверсия с центром отображает окружности g, на прямые, а окружности и c 3 — на окружности. Докажите, что в четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 ◦ . Инверсия устанавливает эквивалентность утверждения 3.17 с таким утверждением если на прямых AB, BC, CA, содержащих стороны треугольника, даны соответственно точки B 1 , C 1 , A 1 , то окружности AB 1 C 1 , BC 1 A 1 , CA 1 B 1 , имеют общую точку. Инверсия с центром O отображает окружности на прямые с сохранением величин углов. Если окружности имеют общую точку, то инверсия с центром в этой точке отображает их на прямые. Если данные окружности не пересекаются, то построим какие-либо две пересекающиеся окружности, ортогональные каждой изданных окружностей (задача 3.06). Инверсия с центром в точке пересечения построенных окружностей переводит их в две пересекающиеся прямые, а две данные окружности — в окружности, ортогональные каждой из этих прямых. Поэтому они имеют центр в точке пересечения прямых. Примените построение инверсных точек с помощью пары окружностей, ортогональных окружности инверсии (второе определение инверсии, п. 26.2). 3.21. Если даны окружности a и b, то существует окружность инверсия относительно которой отображает a на b. Инверсия относительно любой окружности с центром A на w отображает w на прямую, а инверсию относительно w — в осевую симметрию (задача 3.20). Поэтому образы окружностей a и b при инверсии с центром A равны Литература Адамар Ж . Элементарная геометрия. — М Учпедгиз, 1957. [2] Аргун о в Б. И, Бал к М. Б. Геометрические построения на плоскости. — М Учпедгиз, 1955. [3] Ат ан ас я н Л. Сидр. Геометрия 7—9. — М Просвещение Болт я нс кий В. Г, Яг лом ИМ. Геометрические задачи на максимум и минимум // Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. — М Наука, 1966. С. 307—348. [5] Болт я нс кий В. Г. , Яг лом ИМ. Преобразования. Векторы М Просвещение, 1964. [6] Го т м ан Э. Г. Уравнения, тождества, неравенства при решении геометрических задач. — М Просвещение, 1965. [7] Го т м ан Э. ГС копе ц ЗА. Решение геометрических задач аналитическим методом. — М Просвещение, 1979. [8] Го т м ан Э. ГС копе ц ЗА. Задача одна — решения разные Киев Радянська школа, 1988. [9] Жар о в ВАМ арго лите ПС, Скопец ЗА. Вопросы и задачи по геометрии. — М Просвещение, 1965. [10] Зете ль СИ. Новая геометрия треугольника. — М Учпедгиз, 1962. [11] Кантор ПР, Раб бот Ж. М. Площади многоугольников Квант. 1972. № 2. С. 36—41. [12] Киселе в А. П. Геометрия. — М Учпедгиз, 1962. [13] Кокс тер ГС. МГ рей т ц ер С. Л. Новые встречи с геометрией М Наука, 1978. [14] Кокс тер ГС. М. Введение в геометрию. — М Наука, 1966. [15] Кузнецов а ЛИС копе ц ЗА. Метод подобия при решении планиметрических задач // Математика в школе. 1977. № С. 58—63. [16] Кузнецов а ЛИ. Сборник упражнений и задач на перемещения и подобия плоскости и пространства. — Ярославль Ярославский пед. ин-т, 1977. [17] Куш ни р И. А. Применение гомотетии при решении некоторых задач планиметрии // Математика в школе. 1978. № 5. СМ оде нов ПС, Пар хо м е н ко АС. Геометрические преобразования М Изд-во МГУ, 1961. [19] Перепелки н ДА. Курс элементарной геометрии. Ч. 1. — МЛ Гостехиздат, 1948. [20] По нар и н Я. ПС копе ц ЗА. Перемещения и подобия плоскости Киев Радянська школа, 1981. [21] По нар и н Я. П. Преобразования подобия плоскости // Математика в школе. 1979. № 3. С. 62—67. [22] По нар и н Я. П. Гармонический четырехугольник // Квант. № 10. С. 48—52. [23] Пособие по математике для поступающих в вузы / Под ред. Г. Н. Яковлева — М Наука, 1982. [24] Пр ас о лов В. В. Задачи по геометрии, в х ч. — М Наука Сара н ц е в Г. И. Сборник задач на геометрические преобразования М Просвещение, 1975. [26] Сборник задач по математике для факультативных занятий в классах / Под ред. ЗА. Скопеца. — М Просвещение, 1971. [27] Скопец ЗА, Жар о в В. А. Задачи и теоремы по геометрии М Учпедгиз, 1962. [28] Скопец ЗА. Геометрические миниатюры. — М Просвещение [29] Скопец З. А. По нар и н Я. П. Геометрия тетраэдра и его элементов. — Ярославль Волго-Вятское книжное издательство Фал ь к е н штейн Э. М. Признаки перемещений // Математика в школе. 1973. № 6. [31] Фи ш м ан В. М. Решение задач с помощью геометрических преобразований Квант. 1975. № 7. [32] Хан Д. ИО решении геометрических задач с помощью векторов Математика в школе. 1974. № 1. [33] Шары г и н И. Ф. Задачи по геометрии. Планиметрия. — М Наука Шары г и н И. Ф. Теоремы Чевы и Менелая // Квант. 1976. № С. 22—30. [35] Шары г и н И. Ф. Несколько эпизодов из жизни вписанных и описанных окружностей // Квант. 1990. № 8. С. 66—69. [36] Шк ля р с кий ДО, Ч е н ц о в Н. Н, Яг лом ИМ. Геометрические неравенства и задачи на максимум и минимум. — М Наука Шк ля р с кий ДО, Ч е н ц о в Н. Н, Яг лом ИМ. Геометрические оценки и задачи из комбинаторной геометрии. — М Наука Шк ля р с кий ДО, Ч е н ц о в Н. Н, Яг лом ИМ. Избранные задачи и теоремы планиметрии. — М Наука, 1967. [39] Ш о ласте р Н. Н. Задачи на геометрические преобразования Математика в школе. 1976. № 3. [40] Яг лом ИМ. Геометрические преобразования, в х т. — М.: ГИТТЛ. 1955. 1956. [41] Яг лом ИМ, Ат ан ас я н Л. С. Геометрические преобразования Энциклопедия элементарной математики. Кн. 4. — М Физ- матгиз, 1963. [42] Ян ч е н ко. Применение композиций симметрии при решении задач // Математика в школе. 1975. № 5. 309 Предметный указатель автополярный треугольник, 130 вневписанная окружность, вписанный четырехугольник, двойное отношение, задача Ферма, золотое сечение, изогональное соответствие, 65 изопериметрическая задача, 111 изопериметрическое неравенство, 115 изотомическое соответствие, неравенство Коши—Буняковско- го, 95 — Птолемея, 56 — Чебышева, неравенство треугольника, окружность девяти точек, описанный четырехугольник, ортогональные окружности, 120 — пучки окружностей, 125 ортотреугольник, 34 ортоцентр треугольника, полный четырехвершинник, 131 — четырехсторонник, полюс прямой, 129 поляра точки, полярное соответствие, принцип двойственности, простой четырехугольник, прямая Гаусса, 70 — Обера, 60 — Паскаля, 72 — Эйлера, пучок окружностей, радикальная ось, 118, радикальный центр, соотношение Бретшнайдера, 81 — Стюарта, среднее арифметическое, 96 — гармоническое, 96 — геометрическое, 15, 96 — квадратическое, степень точки, теорема Брианшона, 75, 132 — Ван—Обеля, 20 — Гаусса, 70, 88 — Дезарга, 70 — Карно, 39 — косинусов, 23, 80 — Менелая, 69 — Ньютона, 53 — Паппа, 75 — Паскаля, 72 — Птолемея, 57 — Симсона, 56 — синусов, 21 — Фалеса, 13 — Фейербаха, 45 теорема Чевы, 66 — Штейнера, 28 — Штейнера—Лемуса, точка Лемуана, 145 — Торричелли, формула Брахмагупты, 86 — Герона, 24 — Лейбница, 38 — Эйлера, 36, 43, формулы проекций, 22 центроид треугольника, 30 центроид четырехугольника, 77 311 Яков Петрович Понарин Элементарная геометрия. Том 1. Планиметрия, преобразования плоскости. Редактор Семенов А. В. Издательство Московского центра непрерывного математического образования Лицензия ИД № 01335 от 24.03.2000 г. Подписано в печать 07.09.2004 г. Формат 60 × 90 1 / 16 . Бумага офсетная № Печать офсетная. Печ. л. 19,5. Тираж 2000 экз. Заказ № МЦНМО 119002, Москва, Большой Власьевский пер, Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО Можайский полиграфический комбинат. 143200, г. Можайск, ул. Мира, д. Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга, Большой Власьевский пер, д. 11. Тел. 241—72—85. E-mail: biblio@mccme.ru |