Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
Если M ∈ w, то OM · OM = и поэтому точка M отображается на себя. Значит, и вся окружность w инверсии отображается на себя (является множеством неподвижных точек. Других неподвижных точек инверсия не имеет. Центр O инверсии не имеет образа, так как для него равенство (выполняться не может. Поэтому точку O считают удаленной из плоскости, а плоскость называют проколотой в точке O. Из равенства (25.1) следует, что прибудет и наоборот. Поэтому внутренняя область круга инверсии отображается этой инверсией на его внешнюю область и обратно. Другой способ построения образа данной точки при инверсии изложен в условии задачи 3.01. Он графически более точный по сравнению с изложенным выше. Координатные формулы инверсии. Зададим прямоугольную декартову систему координат с началом в центре O инверсии. Если (x, y) → M 0 (x 0 , y 0 ), то OM 0 = lOM при l>0. Равенство OM ·OM 0 = эквивалентно равенству lOM 2 = R 2 , откуда l = R 2 OM 2 . Значит Это — векторная формула инверсии. Она эквивалентна двум координатным+ Мы получили искомые координатные формулы инверсии. Так как M при этой инверсии, то x = R 2 x 0 x 02 + y 02 , y = R 2 y 0 x 02 + Как видим, эти формулы нелинейные. Поэтому образом произвольной прямой Ax + By + C = 0 при C 6= 0 не будет прямая линия, те. инверсия не является аффинным преобразованием. Образы прямых и окружностей при инверсии. Согласно определению инверсии, каждый луч с началом в центре O инверсии отображается этой инверсией на себя. Поэтому прямая, проходящая через Рис. центр O инверсии (без точки O), отображается на себя. Очевидно также, что окружность радиуса, концентричная окружности инверсии, переходит в концентричную ей окружность радиуса Найдем образ окружности g, содержащей центр инверсии (рис. 121). Построим образ конца A диаметра OA окружности и через проведем прямую l перпендикулярно. Пусть M — произвольная точка окружности g (M 6= и прямая OM пересекает l в точке N . Из подобия прямоугольных треугольников OAM и OA 0 N имеем OA : OM = ON : OA 0 , откуда · ON = OA · OA 0 = R 2 . Следовательно, точка N есть образ точки и обратно. Это значит, что окружность g и прямая l соответствуют друг другу при инверсии относительно окружности Итак, образом окружности, содержащей центр инверсии, является прямая, перпендикулярная линии центров этой окружности и окружности инверсии. Образом прямой, не содержащей центр инверсии, является окружность, проходящая через центр инверсии. Ее диаметром является отрезок OA, где A — образ основания перпендикуляра, опущенного из центра инверсии на данную прямую. Пусть теперь данная окружность g не проходит через центр инверсии (рис. 122). Возьмем ее диаметр AB, принадлежащий линии центров окружностей w и g. Если M 0 — образ произвольной точки M ∈ g и A 0 , B 0 — образы точек A, B, то OM · OM 0 = OA · OA 0 = OB · OB 0 = R 2 (R радиус окружности w). Тогда OM OA = OA 0 OM 0 и OM OB = OB 0 OM 0 . Следовательно и 4OM B ∼ 4OM 0 B 0 , откуда ∠OM A = и ∠OM B = ∠OB 0 M 0 , и поэтому ∠BM M 0 = ∠M 0 B 0 A 0 . Так как сумма трех углов при вершине M равна сумме углов треугольника и угол AM B прямой (опирается на диаметр AB), то угол также прямой. Отсюда следует, что если точка M пробегает окружность g, то ее образ пробегает окружность g 0 , построенную на отрезке как на диаметре Рис. Итак, образом окружности g, не содержащей центр инверсии, является окружность g 0 , также не содержащая центр инверсии. Центры окружностей w, g, g 0 коллинеарны. Заметим, что центры S и Q окружностей g и не соответствуют друг другу при этой инверсии § 26. Инвариантные окружности инверсии. Ортогональные окружности. Углом между двумя кривыми (в частности, между двумя окружностями) называется угол между касательными к этим кривым в их общей точке. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными (друг другу, если касательные к ним в точке пересечения перпендикулярны (рис. 123). Согласно Рис. свойству касательной к окружности центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой окружности в точке их пересечения. Теорема. Окружность g, ортогональная к окружности инверсии, отображается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии). Если M — произвольная точка окружности и прямая OM пересекает окружность g вторично в точке M 0 , то по свойству секущих OM · OM 0 = OT 2 = R 2 , т. е. точки M и взаимно инверсны относительно окружности w (рис.123). Следовательно, окружность g отображается на себя. Теорема (обратная. Если окружность g, отличная от окружности инверсии, отображается инверсией на себя, то она ортогональна окружности инверсии. Д ока за тел ь ст во. Соответственные точки M и окружности лежат на одном луче с началом O, причем одна из них вне, другая внутри окружности w инверсии (рис. 123). Поэтому окружность g пересекает окружность w. Пусть T — одна из точек их пересечения. Докажем, что OT — касательная к окружности g. Если бы прямая OT пересекала еще в другой точке T 1 , то по свойству секущих OT · OT 1 = Но OT = R и поэтому OT 1 = R, те. точки T и совпадают, прямая касается g в точке T , окружности w и g ортогональны. Инверсия как симметрия относительно окружности. Инверсия относительно окружности имеет хорошую аналогию с осевой симмет- рией. Теорема. Окружность, содержащая две инверсные точки, инвариантна приданной инверсии (следовательно, ортогональна окружности инверсии). Д ока за тел ь ст во. Если окружность g содержит точки A и соответственные при инверсии относительно окружности w, то центр инверсии лежит вне отрезка AA 0 , те. вне окружности g (рис. Пусть — произвольная точка окружности g и прямая OM пересекает g вторично в точке M 0 . Тогда по свойству секущих OM · OM 0 = OA · OA 0 = Поэтому точки M и взаимно инверсны, и окружность g отобража- S M M 0 A A 0 T O w Рис. 124 A A 0 O w Рис. 125 ется инверсией на себя. Следствие. Если две пересекающиеся окружности ортогональны к окружности инверсии, то точки их пересечения взаимно инверсны. Действительно, если A — одна из точек пересечения окружностей a и b, каждая из которых ортогональна к окружности w инверсии, то прямая OA пересекает как окружность a, таки окружность b в образе точки рис. Иначе говоря, образом точки A, не лежащей на окружности инверсии, служит вторая точка пересечения любых двух окружностей, проходящих через точку A и ортогональных к окружности инверсии. Это свойство может быть положено в основу определения инверсии. Возьмем теперь вместо окружности w прямую как предельный случай окружности (окружность бесконечно большого радиуса). Центры окружностей a и b, ортогональных прямой w, лежат на этой прямой. Предыдущее свойство инверсии (второе ее определение) приводит к тому, что точки A и пересечения окружностей a и b симметричны относительно прямой w (рис. 126). A A 0 w Рис. 126 258 § 27. Свойства углов и расстояний. Сохранение величин углов при инверсии. Инверсия обладает замечательным свойством она сохраняет величину угла между линиями. Угол между двумя линиями равен углу между их образами при инверсии. Это свойство называется свойством конформности инвер- сии. Так как угол между двумя кривыми по определению равен углу между касательными прямыми к этим кривым в их общей точке, то достаточно доказать сформулированное свойство конформности для двух прямых и их образов при инверсии. Если обе данные прямые проходят через центр инверсии, то доказывать нечего. Если одна изданных прямых a и b содержит центр O инверсии, а другая его не содержит f O w Рис. 127 f f O a 0 b 0 a Рис. то первая отображается на себя, а вторая на окружность, проходящую через точку рис. 127). Касательная к окружности в точке параллельна прообразу окружности, откуда и следует равенство углов ∠(a, b) = ∠(a 0 , b 0 ). Когда центр O инверсии не принадлежит ни одной изданных прямых a и b, то их образами будут две окружности и b 0 , пересекающиеся в центре O инверсии и некоторой точке образе точки P пересечения данных прямых a и b. Углы между окружностями ив точках и равны. Поэтому можно рассматривать угол между касательными ив точке А эти касательные параллельны соответственно данным прямыми (рис. В частности, если две данные прямые, две окружности, прямая и окружность ортогональны, то их образы при инверсии также ортогональны. Если две данные окружности касаются, то их образами будут или две касающиеся окружности, или касающиеся окружность и прямая, или две параллельные прямые. Изменение расстояний при инверсии. Если при инверсии сцен- тром O и радиусом R точки A и B отображаются соответственно на точки и B 0 , то OA · OA 0 = OB · OB 0 = R 2 , откуда. Поэтому когда точки O, A, B неколлинеарны, треугольники OAB и подобны. Их подобие дает, или A 0 B 0 = AB OA 0 OB . Но OA 0 = R 2 OA 259 и поэтому AB · R 2 OA · Эта зависимость остается в силе ив случае, когда точки O, A, B коллинеарны. Проверьте это сами 28. Инверсия и гомотетия Пусть окружности a и a 0 инверсны относительно окружности С другой стороны, любые две неравные окружности являются соответственными при двух гомотетиях (п. 13.2). Оказывается, что центр инверсии совпадает с одним из центров этих гомотетий. Теорема. Если две окружности инверсны при инверсии сцен- тром O, то они гомотетичны относительно той же точки Доказательство. Пусть инверсия с центром O отображает окружность a на окружность рис. 129), причем точки M и N O A B M N A 0 B 0 M 0 N 0 a Рис. окружности a отображаются на точки и окружности a 0 . Пусть A и A 0 , B и B 0 — инверсные точки диаметров этих окружностей. Из подобия треугольников M AO и M 0 A 0 O следует равенство углов M AO и A 0 M 0 O. Так как + ∠N 0 B 0 A 0 = ∠M AO + ∠M AA 0 = 180 ◦ , то ∠M и поэтому прямые AM и B 0 N 0 параллельны. По аналогичной причине k A 0 N 0 . Следовательно, треугольники AM и B 0 N 0 A 0 гомотетичны относительно точки O (A → B 0 , B → A 0 , M → N 0 ). Значит, гомотетичны и описанные около них окружности a и Однако центр гомотетии двух окружностей не всегда служит и центром инверсии, отображающей одну из этих окружностей на другую. Теорема. Если две неравные окружности пересекаются, то оба центра их гомотетий являются центрами инверсий, каждая из которых отображает одну изданных окружностей на другую. Если данные окружности не имеют общих точек или касаются, то только один из центров их гомотетий является центром инверсии, при которой одна из этих окружностей отображается на другую. Д ока за тел ь ст во. Пусть S — центр одной из гомотетий окружностей и a 0 , при которой A → A 0 , B → рис. 130). Тогда SA 0 = |k|SA 260 и SB 0 = |k|SB, где k — коэффициент этой гомотетии. Отсюда SA 0 · SB = = SA · SB 0 = |k|SA · SB. Для данной окружности a и данной точки произведение SA · SB отрезков секущей AB не зависит от выбора этой секущей. Именно, если точка S вне окружности a, то это произведение равно квадрату отрезка касательной, проведенной из S к a, если внутри a, то оно равно квадрату полухорды, проведенной через S перпендикулярно диаметру, содержащему S. Случай S ∈ a исключается. Положим |k|SA · SB = Равенства SA 0 · SB = и SA · SB 0 = говорят о том, что точки и B, A и соответственно инверсны относительно окружности сцен- тром S радиуса R, если только точка S не принадлежит отрезками. А это требование определения инверсии выполняется для каждого центра гомотетий двух пересекающихся окружностей (рис. 130) и только для одного центра гомотетий двух непересекающихся (рис. или двух касающихся окружностей 1 B 1 B 0 1 A 0 B 0 a Рис. 130 S A B A 0 B 0 a Рис. 131 § 29. Применение инверсии к решению задач на построение и доказательство Инверсия с эффективностью используется при решении задач на построение и доказательство. В задачах на построение подбирают окружность инверсии так, чтобы некоторые изданных или искомых окружностей инверсией относительно w отобразились на прямые, что упрощает решение задачи. Первоначальная задача переходит в некоторую другую задачу для образов данных и искомых фигур, решение которой этой инверсией переводится на решение данной задачи Задача. Построить окружность, проходящую через две данные точки A и B и касающуюся данной окружности Решение. Искомая окружность может существовать, очевидно, лишь тогда, когда данные точки A и B лежат обе либо вне окружности, либо обе внутри нее. В качестве окружности w инверсии выберем a 0 w x x 0 y Рис. 132 A B C D a b g Рис. Рис. окружность, Тогда данная окружность a переводится инверсией в некоторую окружность a 0 , a искомая окружность x — впрямую. Точка неподвижна. В силу свойства конформности инверсии прямая является касательной к окружности a 0 . Данная задача свелась к задаче через точку A провести прямую x 0 , касающуюся окружности Выполнив построение этой касательной, отображаем ее заданной инверсией на искомую окружность x. Построение выполнено на рис. 132. Число решений зависит от взаимного расположения точки A и окружности a 0 , те. может быть равно 2, или 0. На рис. 132 показаны два решения. З ада ч а 2. Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки касания лежат на одной окружности (рис. Решение. Выполним инверсию с центром в точке A касания окружностей и b. Тогда эти окружности перейдут в пару параллельных прямых и а окружности g ив окружности и d 0 , касающиеся друг друга в точке и касающиеся соответственно прямых ив точках ирис. Задача свелась к доказательству того, что точки B 0 , C 0 , коллинеарны. Действительно, если это будет доказано, то прообразом прямой, соединяющей точки B 0 , C 0 , D 0 , будет окружность, содержащая прообразы B, C, D этих точек и центр A инверсии. Полученная задача легко решается применением гомотетии с центром C 0 , переводящей в g 0 . Эта гомотетия отображает касательную к окружности в точке в параллельную ей касательную к окружности g 0 . Поэтому точки и касания будут го- мотетичны относительно точки и, значит, коллинеарны сточкой Задача. Доказать, что во вписанном в окружность четырехугольнике сумма произведений противоположных сторон равна произведению его диагоналей (теорема Птолемея). Р е ш е ни е. Выполним инверсию с центром в вершине A вписанного четырехугольника ABCD. Описанная около него окружность отображается напрямую, содержащую образы B 0 , C 0 , вершин B, C, Рис. причем лежит между ирис. Поэтому B 0 C 0 + C 0 D 0 . По формуле § 27 B 0 D 0 = BD R 2 AB · AD , B 0 C 0 = BC R 2 AB · AC , C 0 D 0 = CD R 2 AC · где R — радиус окружности инверсии. Подстановкой в предыдущее равенство получаем · AD = BC R 2 AB · AC + CD R 2 AC · После умножения обеих частей этого равенства на · AC · получаем доказываемое соотношение · BD = BC · AD + AB · Задача. Построить окружность, касающуюся трех данных окружностей, по крайней мере две из которых пересекаются (задача Аполлония). И де яре ш е ни я. Инверсия с центром в точке пересечения двух изданных окружностей отображает их на две пересекающиеся прямые, а третью окружность — на окружность. Задача свелась к построению окружности, касающейся данной окружности и двух данных непараллель- ных прямых. Эта задача решается методом гомотетии (задача 6 § Задачи. Дана окружность w с центром O. Произвольная точка M соединена с концом A ее диаметра AB, перпендикулярного OM , а вторая точка P пересечения прямой M A и w соединена сточкой. Прямые и OM пересекаются в точке M 0 . Докажите, что точки M и M 0 инверсны относительно окружности w. 3.02. Докажите, что отношение расстояний каждой точки окружности до двух инверсных относительно нее точек постоянно 3.03. В окружность вписан (около окружности описан) правильный треугольник. Постройте его образ при инверсии относительно этой окружности. Докажите, что композиция двух инверсий с общим центром есть гомотетия стем же центром. Найдите коэффициент этой гомотетии. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и ортогональную данной окружности. Постройте окружность, проходящую через данную точку и ортогональную двум данным окружностям. Постройте окружность, касающуюся трех данных окружностей, имеющих общую точку. Постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей, причем одной из них в заданной точке. Постройте окружность, проходящую через данную точку A и касающуюся данной окружности a и данной прямой m. 3.10. Постройте окружность, проходящую через данную точку и касающуюся двух данных окружностей. Через данную точку проведите окружность, ортогональную данной окружности и касающуюся другой данной окружности. Докажите, что через любые две точки, лежащие внутри окружности, можно провести только две касающиеся ее окружности. Даны две неравные окружности. Постройте окружность, относительно которой эти окружности инверсны. 3.14. Если две данные неравные окружности пересекаются, то две окружности инверсий, каждая из которых отображает одну изданных окружностей на другую, ортогональны. Докажите. Сумма противоположных углов A и C четырехугольника равна 90 ◦ . Докажите, что (AB · CD) 2 + (AD · BC) 2 = (AC · BD) 2 3.16. Докажите, что для любых четырех точек A, B, C, D плоскости имеет место неравенство · CD + BC · AD > AC · причем равенство возможно лишь тогда, когда все точки лежат на одной окружности или прямой и пара точек A, C разделяет пару точек B, D. 3.17. Каждая из четырех окружностей пересекает две другие. Если четыре точки пересечения, взятые по одной из каждой пары точек пересечения двух окружностей, лежат на одной окружности или прямой, то и четыре оставшиеся точки пересечения также лежат на одной окружности или прямой. Докажите |