Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
1 B 1 . По доказанному выше. Так как = M N и C 1 D 1 = M 1 N 1 , то Свойство. Параллельное проектирование плоскости на плоскость сохраняет отношение площадей фигур. Д ока за тел ь ст во. Пусть фигура F плоскости a имеет площадь, а ее параллельная проекция на плоскость имеет площадь. Проведем произвольную плоскость b, перпендикулярную направлению l проектирования. Ортогональные проекции (в направлении) фигур F и на плоскость b совпадают. Если S 0 — площадь этой проекции, то по свойству площади ортогональной проекции фигуры S(F ) cos ∠(a, b) = S(F 1 ) cos откуда) = S(F ) cos ∠(a, b) cos Отношение косинусов не зависит от выбора фигуры F в плоскости Для любой фигуры Φ и ее параллельной проекции на плоскость a 1 S(Φ 1 ) = S(Φ) cos ∠(a, b) cos Следовательно ) S(˘) 245 § 23. Аффинные отображения. Определение и задание аффинного преобразования плоскости. Параллельное проектирование плоскости на плоскость, а также любая композиция таких проектирований называется аффинным отображением плоскости на плоскость. В частности, если данная плоскость совпадает со своим образом при аффинном отображении, то оно является аффинным преобразованием этой плоскости. Аффинные отображения плоскости на плоскость обладают свойствами, доказанными в предыдущем параграфе. Иначе говоря, аффинные отображения отображают каждую прямую на прямую, сохраняют параллельность прямых, отношение коллинеарных отрезков, отношение площадей фигур. Теорема (о задании аффинного преобразования плоскости. Если A, B, C — три заданные неколлинеарные точки плоскости и A 1 , B 1 , также наперед заданные неколлинеарные точки этой плоскости, то существует единственное аффинное преобразование плоскости, которое отображает A на A 1 , B на и C на Любой треугольник ABC можно отобразить на любой треугольник, лежащий в плоскости первого треугольника, композицией не более трех параллельных проектирований плоскости на плоскость (рис. 113). Докажите это сами. Эта композиция и есть требуемое аффинное преобразование данной плоскости. Единственность этого аффинного преобразования вытекает из того, что в силу инвариантности коллинеарности точек и отношения коллинеарных отрезков образ произвольной точки M строится однозначно при заданных трех парах соответственных точек A → A 1 , B → B 1 , C → рис. Рис. Рис. Пусть (M C) ∩ (AB) = P . Образом точки P будет точка прямой A 1 B 1 246 такая, что A 1 P 1 : P 1 B 1 = AP : P B. Образ точки M строится на основе пропорции C 1 M 1 : M 1 P 1 = CM : M P . 23.2. Частные виды аффинных преобразований плоскости. В условии предыдущей теоремы треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 произвольны. A B C P M A 1 B 1 C 1 M 1 Рис. В частности, если они подобны, то задаваемое ими аффинное преобразование есть подобие (п. Пусть эти треугольники имеют общую сторону AB (A 1 = A, B 1 = В силу инвариантности отношения : M B для любой точки M прямой эта точка совпадает со своим образом (рис. Аффинное преобразование плоскости, имеющее прямую двойных точек, называется родственным преобразованием, или родством, а прямая двойных точек называется осью родства. В частности, родством является осевая симметрия. В качестве нетрудных упражнений докажите такие свойства родственного преобразования. Соответственные при родстве прямые пересекаются на оси родства или ей параллельны. A B C A 1 B 1 C 1 Рис. Рис. 117 2 ◦ . Каждая прямая, содержащая соответственные при родстве точки, отображается этим родством на себя. Прямые, каждая из которых содержит соответственные при родстве точки, параллельны. Направление этих прямых называется направлением родства. Если направление родства совпадает сна- правлением его оси, то родство называется сдвигом (рис. 116). Родство, направление которого не совпадает с направлением его оси, называется косым сжатием. Если при родстве с осью AB точка C переходит в точку ирис, то отношение k = P C 1 P не зависит от выбора точки (постоянно для данного сжатия) и называется коэффициентом сжатия. При k = −1 сжатие называется косой симметрией (рис. 117). 247 Родство можно задать осью l и парой соответственных точек A → рис. 118). Тогда на основании свойств и легко строится образ Рис. произвольной точки X: (AX) ∩ l = K, (XX 1 ) k k (AA 1 ), (KA 1 ) ∩ (XX 1 ) = X 1 23.3. Понятие об аффинной геометрии. Основными инвариантами аффинных преобразований являются 1) коллинеарность точек (отображение прямой напрямую) параллельность прямых, 3) отношение коллинеарных векторов (отрезков), в частности, отношение AC CB трех точек прямой, 4) отношение площадей фигур. Из этих инвариантов самым главным является первый теорию аффинных преобразований можно построить на основе одного его, принимая по определению за аффинные преобразования такие преобразования, которые отображают прямые на прямые. Теорию инвариантов аффинных преобразований называют аффинной геометрией. Поскольку аффинные преобразования не сохраняют длину отрезка и величину угла, тов аффинной геометрии нет этих понятий — нет метрики — и поэтому нет понятий, базирующихся на них. Например, в аффинной геометрии отсутствуют перпендикулярные прямые, окружности, правильные треугольники, прямоугольники и др. Свойство фигуры называется аффинным (относится к аффинной геометрии, если оно не изменяется при всех аффинных преобразованиях. Фигура называется аффинной, если ее характеристическое (определяющее) свойство является аффинным. Вот примеры. Параллелограмм фигура аффинная, поскольку его характеристическим свойством служит аффинный инвариант — параллельность прямых. Луч, угол, трапеция, многоугольник — также аффинные фигуры. К аффинной геометрии относятся понятия медианы и средней линии треугольника, так как середина C отрезка AB может быть определена как точка, для которой AC/CB = 1. Поэтому теоремы о средней линии треугольника, о средней линии трапеции, о пересечении медиан треугольника, о точке пересечения диагоналей параллелограмма — аффинные теоремы. К аффинной геометрии относятся теорема Паппа и теорема Менелая, доказанные в § С движениями связано понятие равных (конгруэнтных) фигур с подобиями — понятие подобных фигур. Аналогично им в аффинной геометрии определяется понятие аффинно эквивалентных фигур. Две фигуры называются аффинно эквивалентными, если существует аффинное преобразование, отображающее одну из них на другую Обратимся к примерам. Согласно теореме о задании аффинного преобразования плоскости любые два треугольника аффинно эквивалентны существует шесть аффинных преобразований, каждое из которых отображает один из них на другой. Поэтому в аффинной геометрии треугольники нельзя классифицировать или хотя бы выделить какие-либо их виды. Правильный треугольник аффинно эквивалентен любому треугольнику. Отсюда следует, что будут аффинно эквивалентны любые два параллелограмма ABCD и M N P Q. В самом деле, зададим аффинное преобразование плоскости парами точек A → M , B → N , C → P Тогда в силу инвариантности параллельности прямых при аффинных преобразованиях (CD) → (P Q), (AD) → (M Q) и, значит, D → Следовательно, в аффинной геометрии из множества параллелограммов нельзя выделить ромбы, прямоугольники, квадраты. Для произвольных трапеций ABCD и M N P Q (с основаниями и M N ) дело обстоит иначе. Указанное аффинное преобразование переводит в Q лишь тогда, когда AB : CD = M N : P Q. Это — необходимое и достаточное условие аффинной эквивалентности двух трапеций. Докажите, что два четырехугольника аффинно эквивалентны лишь тогда, когда точки пересечения их диагоналей делят диагонали в соответственно равных отношениях. Так как все аффинные инварианты являются также инвариантами движений и подобий, то аффинная геометрия полностью входит в евклидову геометрию. Однако аффинную геометрию можно рассматривать и построить независимо от евклидовой геометрии 24. Решение задач с помощью аффинных преобразований Метод аффинных преобразований применим лишь к решению аффинных задач, те. таких задач, в которых используются аффинные и только аффинные свойства фигур. С помощью аффинных преобразований эти задачи могут решаться или непосредственно, или же путем сведения к другим методам. Сущность второго способа состоит в следующем. Некоторым аффинным преобразованием рассматриваемая фигура Φ отображается на такую фигуру Φ 0 , которая с метрической (евклидовой) точки зрения является более простой, чем данная. Все аффинные свойства полученной фигуры совпадают с аффинными свойствами ее прообраза Φ. Хотя метрические свойства этих фигур неодинаковы, но это различие не может сказаться на окончательном результате в силу аффинности задачи. Данная задача решается для фигуры любыми средствами. Полученный результат, являясь аффинным инвариантом, имеет силу и для фигуры Проиллюстрируем сказанное на примерах. З ада ч а 1. Доказать, что во всякой трапеции точка пересечения диагоналей, точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, и середины оснований лежат на одной прямой. Р е ш е ни е. Задача свободна от метрических понятий и поэтому допускает решение аффинным методом. Рассмотрим равнобочную трапецию, аффинно эквивалентную данной. Прямая, содержащая середины оснований равнобочной трапеции, служит ее осью симметрии и поэтому содержит точку пересечения продолжений боковых сторон. Можно решить задачу и непосредственно для данной трапеции, применяя косую симметрию относительно прямой, проходящей через середины оснований. З ада ч а 2. Точки M и N — середины сторон соответственно и CD параллелограмма ABCD. Найти отношения, в которых точка пересечения отрезков AM и BN делит эти отрезки. Р е ш е ни е. Задача аффинная. Искомые отношения не зависят от вида параллелограмма. Данный параллелограмм ABCD аффинно эквивалентен любому квадрату A 1 B 1 C 1 D 1 , при этом середины и сторон и квадрата являются образами точек M и N при аффинном преобразовании, отображающем параллелограмм ABCD на этот квадрат. Поэтому оно отображает точку P на точку пересечения отрезков и B 1 N 1 . По свойству аффинного преобразования и N = B 1 P 1 P 1 N 1 . Для квадрата данная задача упрощается, так как A 1 M 1 ⊥ примените поворот около центра квадрата на 90 ◦ ). Положим A 1 B 1 = 2. Тогда из прямоугольного треугольника имеем 2 1 2 = 4. Если Q 1 — ортогональная проекция точки на (B 1 N 1 ), то по доказанному B 1 Q 1 : Q 1 N 1 = 4. Поскольку середина B 1 Q 1 , то B 1 P 1 : P 1 N 1 = 2 : 3. Итаки Задача. Стороны BC, CA, AB треугольника ABC разделены соответственно точками A 1 , B 1 , в отношении 1 : 3. Найти отношение площади треугольника ABC к площади треугольника с вершинами в точках пересечения прямых AA 1 , BB 1 , Решение. Аффинный характер задачи не вызывает сомнений. Треугольник ABC аффинно эквивалентен правильному треугольнику. Решим задачу для правильного треугольника, обозначая его снова через ABC (рис. 119). Если (AA 1 ) ∩ (BB 1 ) = C 0 , (BB 1 ) ∩ (CC 1 ) = A 0 , 250 (AA 1 ) ∩ (CC 1 ) = B 0 , то треугольник правильный, в чем убеждаемся поворотом около центра треугольника ABC на 120 ◦ . Замечаем, что S(A 0 B 0 C 0 ) = S(ABC) − 3S(ABA 1 ) + 3S(A 1 BC 0 ). Поскольку) = 3S(ABA 1 ), то S(A 0 B 0 C 0 ) = 3S(A 1 BC 0 ). Отсюда. Треугольники и подобны. Положим AB = Рис. Пользуясь теоремой косинусов, из треугольника находим AA 2 1 = 7/9. Значит 1 BA 2 1 = Задача. Точки A 1 , B 1 , делят соответственно стороны BC, CA, AB треугольника водном и том же отношении. Доказать, что совпадают центроиды треугольников, и треугольника с вершинами в точках пересечения прямых AA 1 , BB 1 , Решение. Зададим аффинное преобразование плоскости парами точек A → B, B → C, C → A. Этим преобразованием каждая медиана треугольника ABC отображается последовательно на другую его медиану. Поэтому центроид G треугольника неподвижен при f. Других неподвижных точек преобразование f иметь не может, так как иначе оно было бы родством, но прямые AB, BC, CA не параллельны. В силу равенства отношений, в которых точки, B 1 , делят отрезки BC, CA, AB, точки A 1 , B 1 , отображаются соответственно на точки B 1 , C 1 , A 1 . Так как треугольник отображается на себя, то неподвижен его центроид, который поэтому должен совпадать сточкой. Треугольник с вершинами в точках) также отображается на себя) = B 0 , f(B 0 ) = C 0 , f(C 0 ) = A 0 . Поэтому его центроид неподвижен и, значит, совпадает сточкой Задачи. На данной прямой постройте пару соответственных точек при заданном аффинном преобразовании плоскости. Через данную точку проведите две прямые, соответственные при заданном аффинном преобразовании. Докажите, что всякое аффинное преобразование плоскости, отличное от подобия, есть композиция родства и подобия. Если аффинное преобразование отображает каждую окружность на окружность, то оно является подобием. Докажите 2.118. Докажите, что два четырехугольника аффинно эквивалентны тогда и только тогда, когда диагонали этих четырехугольников делятся точками пересечения в соответственно равных отношениях. Прямая, параллельная стороне AC треугольника ABC, пересекает его стороны AB ив точках M и P . Докажите, что точка пересечения прямых M C и AP лежит на медиане треугольника ABC. 2.120. Через точку S пересечения диагоналей трапеции проведена прямая параллельно ее основаниям. Докажите, что отрезок этой прямой, отсекаемый боковыми сторонами трапеции, делится точкой S пополам. В параллелограмме ABCD точки P и K делят соответственно стороны BC ив отношении 2 : 1, считая от вершин B и C. Найдите отношения, в которых делятся отрезки P D и AK точкой их пересечения. На стороне AC треугольника ABC взяты точки L и K так, что AL = KC и через них проведены прямые l и k параллельно соответственно и BC. Докажите, что прямая, содержащая вершину B и точку пересечения прямых l и k, содержит медиану треугольника ABC. 2.123. Точка M — середина основания AB трапеции ABCD. Через точку P пересечения прямых DM и AC проведена прямая, параллельная основаниям, которая пересекает диагональ BD в точке K. Докажите, что точки P и K делят отрезок прямой P K, отсекаемый боковыми сторонами трапеции, натри равные части. Каждая сторона треугольника разделена натри равные части. Каждая точка деления соединена с противоположной вершиной треугольника. Докажите, что в образованном этими прямыми шестиугольнике диагонали, соединяющие противоположные вершины, пересекаются водной точке. Точка G — центроид треугольника ABC. Докажите, что треугольники равновелики. 2.126. В параллелограмме ABCD прямая, параллельная AB, пересекает сторону BC и диагональ AC соответственно в точках N и Докажите, что треугольники ADK и ABN равновелики. 2.127. Точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 — середины сторон AB, BC, CD, DA параллелограмма. Докажите, что четырехугольник с вершинами в точках пересечения прямых AB 1 , BC 1 , CD 1 , DA 1 — параллелограмм и найдите отношение его площади к площади данного параллелограмма. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC выбраны соответственно точки M , N , P и построены симметричные им точки M 1 , N 1 , относительно середин этих сторон соответственно. Докажите, что треугольники M N P и M 1 N 1 P 1 равновелики. 252 2.129. На сторонах AB, BC, CA треугольника ABC даны точки M , N , P . На сторонах CA, AB, BC построены соответственно точки M 1 , N 1 , так, что (M M 1 ) k (BC), (N N 1 ) k (CA), (P P 1 ) k (AB). Докажите, что треугольники M N P и M 1 N 1 P 1 равновелики. 2.130. Аффинным образом окружности является эллипс. Докажите, что середины всех параллельных хорд эллипса принадлежат его диаметру. Используя аффинную эквивалентность окружности и эллипса, докажите, что площадь области плоскости, ограниченной эллипсом с полуосями a и b, равна pab. 2.132. Дан параллелограмм ABCD. Произвольная прямая пересекает лучи AB, AC, AD соответственно в точках P , Q, R. Докажите, что AB AP + AD AR = AC AQ 2.133. Через точку P , лежащую внутри треугольника ABC, проведены прямые l, m, n параллельно сторонам AB, BC, CA соответственно. Если l ∩ (BC) = A 1 , m ∩ (AC) = B 1 , n ∩ (AB) = C 1 , то A 1 AB + P B 1 BC + P C 1 CA = Докажите. Дан треугольник с площадью S. Из его медиан построен другой треугольник, затем из медиан полученного треугольника построен третий треугольники т. д. до бесконечности. Найдите сумму площадей всех треугольников этой последовательности Глава Инверсия 25. Инверсия плоскости относительно окружности. Определение инверсии. Построение образа точки при инверсии. Зададим в плоскости окружность w с центром O радиуса R. Инверсией плоскости относительно окружности w называется такое преобразование этой плоскости, при котором каждая точка M , отличная от точки отображается на точку M 0 , лежащую на луче OM и удовлетворяющую условию · OM 0 = Окружность w называется окружностью инверсии, ее центр O — центром инверсии, а радиус R — радиусом инверсии. Имеется простой способ построения образа данной точки M при инверсии. Если точка M лежит вне окружности инверсии, то проведем через нее касательную M T к окружности w и перпендикуляр из T M M 0 O w Рис. точки T касания напрямую (рис. Основание этого перпендикуляра и является образом точки M при инверсии относительно окружности w. Из подобия треугольников и OM 0 T имеем OM : OT = = OT : OM 0 , откуда OM · OM 0 = OT 2 = В определении инверсии точки M и равноправны. Поэтому, если M → M 0 , тот. е. преобразование, обратное данной инверсии, совпадает стой же инверсией. Следовательно, инверсия — преобразование инволюционное (инволюция. По этой причине образ M точки строится в обратном порядке. |