Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
3.18. Три окружности имеют общую точку O и попарно пересекаются еще в трех точках A, B, C. Докажите, что сумма внутренних углов криволинейного треугольника ABC, образованного дугами этих окружностей, равна 180 ◦ 3.19. Докажите, что для любых двух окружностей существует инверсия, отображающая их либо на две прямые, либо на две концентрические окружности. Если инверсия относительно окружности w отображает окружность на окружность b, то она переводит любую пару точек, инверсных относительно a, в пару точек, инверсных относительно Докажите. Докажите, что любые две окружности можно отобразить некоторой инверсией на две равные окружности Указания, ответы, решения Часть I 1.2. Проведите общую касательную к окружностям в точке A. 1.3. Постройте общую касательную к окружностям в точке S. 1.8. Докажите равенство углов DAI и DIA. 2.2. Это произведение равно квадрату диаметра окружности. Обратите задачу возьмите середину указанного отрезка и докажите, что прямая, соединяющая ее с противолежащей вершиной треугольника, является касательной к окружности (п. 2.6). 2.6. pb(a + b), ab pb(a + b) . 2.7. abc c 2 − b 2 , ab 2 c 2 − b 2 . 2.8. См. упр. 2.1. 2.9. Это отношение равно отношению отрезков, соединяющих центры окружностей. 2.10. Проведите через P касательную к окружности w. 2.12. Имеются две пары подобных прямоугольных треугольников. 2.13. Отношение диагонали к стороне равно + √ 5 2 . 2.14. r 5 − √ 5 2 . 2.15. Используйте упр. 2.14. 2.16. Через вершину A проведите прямую, параллельную BC, и рассмотрите точки ее пересечения с прямыми BP и CP . 2.18. Выразите через основания трапеции отрезок искомой прямой, отсекаемый на ней боковыми сторонами трапеции. 2.19. 8 : 5. 2.20. pr 2 1 + r 2 2 . 2.21. 4/5. 2.22. Докажите, что из точек O и M отрезок N K виден под равными углами. 2.23. В таком четырехугольнике произведения противоположных сторон равны 4 . 3.7. Примените теорему синусов. 3.8. Используя теорему синусов, выразите косинус меньшего угла между указанной медианой и стороной через длины двух сторон и постройте этот угол. 3.9. Выразите указанные отношения через синусы углов треугольника или через синусы углов, образованных прямыми AM и AN со сторонами и AC. 3.10. Решение аналогично решению задачи п. Это расстояние равно произведению диагоналей четырехугольника, деленному на диаметр описанной окружности. 3.26. Треугольник прямоугольный. Обратите задачу, те. докажите, что точки пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, с описанной окружностью симметричны ортоцентру. 4.3. Используйте предыдущее упражнение. Отрезок, соединяющий второй конец диаметра и точку пересечения высоты с описанной окружностью, параллелен стороне треугольника п. 4.3). 4.9. Можно использовать упр. 4.3 и теорему синусов. 4.12. Примените упр. 4.10 и теоремы синусов и косинусов. 4.17. Используйте упр. 4.10 и соотношение (3.15). Если угол C треугольника тупой, то + BH − CH = 2(R + r). Если ∠C = 90 ◦ , то соотношение принимает вид a + b = 2(R + r). 4.18. См. упр. 4.2 и теорему п. 2.5. 4.19. Используя подобие треугольников и теорему косинусов, докажите, что · AA 1 = 1 2 (b 2 + c 2 − a 2 ). 4.21. Длину искомого отрезка можно подсчитать как сумму длин bc 2p и отрезков, на которые он разделяется центром I. 4.22. Можно использовать лемму п. 4.1. 4.28. Воспользуйтесь разложением (4.4). 4.29. Примените теорему косинусов к треугольнику, приняв во внимание упр. 4.9 и то, что ∠OCH = |∠A − ∠B|. Без ограничения общности доказательства можно полагать угол C острым. Обратитесь к рис. 34. Из треугольника KCI CI = r sin(C/2) . Далее воспользуйтесь упр. 3.17. 4.31. Воспользуйтесь формулой Лейбница (упр. 4.15) и формулами площади треугольника. Это упр. лучше выполнять совместно с упр. 5.3, привлекая упр. 1.8. 5.5. Треугольники BCI и подобны. 5.6. Аналогия с выводом формулы (4.4). 5.7. Доказывается аналогично с п. 4.4. 5.12. Используйте упр. 5.1 и 4.8. 5.13. I — ортоцентр треугольника I 1 I 2 I 3 . 5.14. Решение можно получить с помощью упр. 5.2 и формулы Эйлера (п. 4.4). 5.15. Рассмотрите треугольники ирис) и используйте упр. 5.12. 5.20. Следует опираться на упр. 5.2 и 5.5. 7.2. Докажите, что около данного четырехугольника можно описать окружность. 7.5. Докажите, что расстояние между точками касания окружностей с диагональю AC равно нулю. 7.6. Проведите общие касательные к каждым двум касающимся окружностям в точках их касания. Пусть (CI) ∩ (DE) = M и (BI) ∩ (DE) = N . Из точек B и отрезок N C виден под равными углами. 7.9. (a + b − c)c a + b + c . 7.12. Найдите два выражения отношения площадей треугольников AOB и COD (O центр окружности, вписанной в четырехугольник ABCD). 7.13. Примените критерии п. 7.3. 7.14. Используйте то, что прямая, соединяющая основания двух высот треугольника, отсекает от него подобный ему треугольник. 7.15. Докажите, что точка пересечения диагоналей данного четырехугольника является точкой пересечения биссектрис углов второго четырехугольника. Затем выразите сумму противоположных углов второго четырехугольника через углы данного. 7.16. Из полученных шести точек можно выделить три четверки точек, лежащих на окружностях. Эти три окружности совпадают. 7.18. Рассмотрите вписанные четырехугольники, на которые разбивается данный четырехугольник перпендикулярами к сторонам из точки пересечения диагоналей. Если M и N — точки касания сторон AB и CD с вписанной окружностью (I, r), то прямоугольные треугольники AM I и CN подобны, откуда AM · N C = IM · IN = r 2 . Аналогично BM · N D = r 2 7.23. a 2 + a(n − m) a − m √ mn. 7.24. Пусть M = (AD) ∩ (BC). Треугольники AB и M CD подобны. Стороны любого из них выражаются через стороны искомого четырехугольника ABCD. По этим формулам можно его построить. Задачу можно решить с помощью композиции гомотетии и поворота с центром A, отображающей B на D. Если C 1 — образ точки при этой композиции, то точки C, D, коллинеарны. Примените теорему Птолемея к четырехугольниками. Примените теорему Птолемея к четырехугольнику. Докажите и используйте подобие треугольников ACD и. 8.5. Рассмотрите четырехугольник ACDE, где E — следующая за D вершина семиугольника. 8.6. Пусть шестиугольник вписан в окружность. Примените теорему Птолемея к четырехугольникам. Пользуясь теоремой Птолемея, докажите, что отношение a + b равно отношению основания к боковой стороне равнобедренного треугольника, угол при вершине которого постоянен. 8.9. Покажите, что вторые точки пересечения окружностей, имеющих диаметры M A, M B, M C, есть основания перпендикуляров, опущенных из точки M на прямые AB, BC, CA. 8.10. Прямая Симсона точки делит пополам отрезок, соединяющий эту точку с ортоцентром, а в равностороннем треугольнике ортоцентр и центр описанной окружности совпадают. 8.11. Воспользуйтесь рис. сменив обозначения. 8.12. Используйте упр. 8.11. 9.5. Докажите, что точками и соответственно стороны и AB делятся в равных отношениях. 9.7. Докажите равенство углов и HAC. 9.8. См. решение задачи 1 § 9. 9.11. Примените теорему Чевы к треугольнику BEF . 9.12. Аналогия с решением задачи 2 § Рассмотрите треугольники прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 10.3. См. п. 9.3. 10.5. Пусть T — точка касания вписанной в треугольник окружности со стороной AB, H 3 — основание высоты точка касания вневписанной окружности со стороной AB, L = (CT ) ∩ (IE), где E — середина высоты CH 3 . Применяя теорему Менелая к треугольнику CT H 3 , докажите, что точки L, E, коллинеарны, откуда будет следовать коллинеарность точек I, E, Z 3 268 Используйте формулы (3.12) и (5.2) длин касательных. 10.6. Примените теорему Менелая в тригонометрической форме. 10.8. Примените теорему Паскаля к вписанному шестиугольнику (замкнутой ломаной линии) ACC 1 A 1 B 1 B. 10.9. Решение аналогично п. 10.5. 10.11. Примените свойство касательных (§ 10, задача 1). Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, делят диагональ в равных отношениях. 10.12. Используйте предыдущую задачу и теорему Чевы. 10.13. Примените обратную теорему Дезарга. 10.14. Воспользуйтесь конфигурацией рис. 71. 11.3. d = a cos A + b cos a + c cos D, a — угол между AD и BC. 11.4. См. п. 3.2. 11.5. Используйте теорему косинусов для четырехугольника, вершинами которого являются два указанных центра и середины двух сторон данного треугольника. Квадрат расстояния между центрами равен 6 (a 2 + b 2 + c 2 4 √ 3S). 11.10. Используйте формулы (11.5). 11.13. Можно использовать теорему косинусов. 11.14. Примените соотношение Брет- шнайдера к вырожденному четырехугольнику ACBD. 12.3. 2S. 12.4. Соедините центроид с вершинами четырехугольника и рассмотрите восемь полученных треугольников. 12.8. Дважды примените лемму § 4. 12.9. В каждом из трех четырехугольников, на которые разбился данный четырехугольник, проведите по одной диагонали, которые не имеют общих концов, и рассмотрите образовавшиеся треугольники. Сначала докажите, что площадь треугольника равна сумме площадей треугольников AM D и M BC. 12.11. Соедините вершины A и C с серединой F диагонали BD. Четырехугольники , ABCT , ADCF равновелики. 12.12. Каждый из этих четырех четырехугольников равновелик четырехугольнику, вершинами которого являются середины диагоналей и две смежные вершины данного четырехугольника. В первом неравенстве равенство имеет место лишь в случае, когда четырехугольник ABCD вписан в окружность с диаметром. Во втором неравенстве знак равенства будет для вписанного четырехугольника с перпендикулярными диагоналями. Площадь невыпуклого четырехугольника меньше площади выпуклого четырехугольника с теми же длинами сторон. Возведите доказываемое неравенство в квадрат. 13.4. Примите во внимание, что r = ab a + b + c . 13.6. См. упр. 13.1 и привлеките + r = 1 2 (a + b). 13.8. Используйте неравенство упр. 13.2. 13.11. Пусть и G — центр описанной окружности и центроид остроугольного треугольника. Для определенности будем считать, что точка O принадлежит треугольнику ABG. Тогда AO + BO 6 AG + BG = 2 3 m a + 2 3 m b , 269 откуда m a + m b > 3R. Осталось доказать, что m c > R. 13.12. Пусть A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, CA, AB остроугольного треугольника центр описанной окружности. Тогда AA 1 6 R + OA 1 , BB 1 6 R + OB 1 , CC 1 6 R + OC 1 . Докажите, что a + 1 h b + 1 h c = 1 r и a + OB 1 h b + OC 1 h c = 1. 13.17. Используйте неравенство треугольника и (13.21). 13.19. Данное неравенство эквивалентно неравенству + b + Далее используйте известное неравенство x y + y x > 2 для положительных чисел x, y. 13.20. Используйте неравенства (13.10) и (Равенство достигается только в правильном треугольнике. 13.21. Неравенство равносильно неравенству упр. 13.22. 13.22. Для доказательства можно использовать формулу Лейбница (упр. 4.15). 13.23. Используйте упр. 13.17. 13.24. Неравенство эквивалентно неравенству упр. 13.25. Примените (13.22). 13.25. Используйте соотношения (3.18), (5.3), (5.4). 13.26. a 2 = (b − c) 2 + 2bc(1 − cos A) > 4bc · sin 2 A 2 . 13.27. Представьте площадь треугольника как сумму площадей треугольников, на которые он делится биссектрисой. 13.28. Привлеките упр. 13.26. 13.29. Используйте соотношение (3.15). 13.30. Это неравенство эквивалентно неравенству (13.20). 13.31. Примените неравенство (к треугольнику с углами p − A 2 , p − B 2 . 13.32. Идея решения та же, что ив упр. 13.31. 13.33. Используйте неравенство (13.22) между средним гармоническими средним арифметическим трех положительных чисел и неравенство (13.10). 13.37. Треугольники ABC и вписаны в одну окружность. Пользуясь теоремой синусов, докажите, что |∠CAB − ∠CBA| < |∠DAB − ∠DBA|. Далее, применяя осевую симметрию относительно серединного перпендикуляра к докажите, что точка C дальше отчем точка D. 13.39. Так как + r = R(cos A + cos B + cos C), то доказываемое неравенство R + r < c (c — наибольшая сторона треугольника) сводится к неравенству sin C > 1 2 (cos A + cos B + cos C). Поскольку 60 ◦ 6 ∠C 6 90 ◦ , тов силу) оно истинно. 13.42. Углы треугольника равны 90 ◦ − A 2 , 90 ◦ − B 2 , 90 ◦ − C 2 . Поэтому неравенство для площадей этих треугольников сводится к неравенству упр. 13.28. 13.43. Докажите и используйте неравенство a b + b c + c a > 3. 13.44. Воспользуйтесь формулой полученной в упр. 11.5. Доказываемое неравенство сводится к неравенству. Прямоугольный треугольник, в котором a = b = h √ 2. 14.2. Точка касания стороны угла с окружностью, содержащей точки A и B. 14.4. Прямоугольный равнобедренный треугольник. R : r = 1 + √ 2. 14.5. Эта сумма площадей минимальна, когда точка M является точкой пересечения диагоналей. 14.6. Центроид треугольника. Используйте соотношение Лейбница (упр. 4.15). 14.7. Центроид треугольника. Центроид треугольника. 14.9. Используйте то, что A 1 = S M CA + S M AB S M Минимум суммы равен 6, минимум произведения равен 8. 14.10. Когда точка M совпадает с ортоцентром треугольника ABC. См. решение задачи п. 3.1. 14.11. Если угол A острый, то искомая прямая перпендикулярна медиане AM . Если этот угол тупой, то искомая прямая перпендикулярна. В случае, когда угол A прямой, решением служат обе эти прямые. 14.12. Точка пересечения основания CD с прямой M где K = (AD) ∩ (BC). 14.13. См. задачу 3 § 14. Найдите квадрат суммы расстояний. Искомая точка принадлежит радикальной оси точки A и другой данной окружности. 16.3. Центр искомой окружности есть радикальный центр окружностей (A, a), (B, b), (C, c). 16.4. Центр искомой окружности принадлежит серединному перпендикуляру к отрезку AB и радикальной оси данной окружности и одной изданных точек. 16.6. Постройте радикальный центр P трех окружностей — данной окружности, искомой окружности x и произвольной окружности w пучка окружностей, пересекающихся в двух заданных точках. Если O — центр данной окружности a, то из центра искомой окружности отрезок P виден под прямым углом. 16.9. Проведите окружность с диаметром Докажите, что эта окружность и любые две из заданных окружностей имеют радикальный центр H — ортоцентр треугольника ABC. 17.1. Решение аналогично решению задачи в конце § 17. 17.2. Искомая окружность принадлежит эллиптическому пучку окружностей с постоянными точками A и B. Постройте радикальный центр данной окружности, искомой окружности и произвольной окружности этого пучка. 17.4. Если A и B — центры данных окружностей радиусов R и r, то любая точка M указанной окружности обладает свойством A M окружность Аполлония). 271 Задачи общего содержания 2 |a 2 − b 2 | tg a. 2. 1 2 √ m 2 − 4S. 3. 72. 4. 13. 5. 60 37 . 6. 3 √ 3( √ 13 − 1) 32 p 7. 2m 2 sin a sin b sin g 2 sin 2 b + 2 sin 2 g − sin 2 a . 8. 2 √ 3 9 . 9. 1 2 (7 + 9 tg a ctg b). 10. 5 : 2. 11. 11 12 12. ab(a + b) 2(a − b) tg a. 13. 8a 2 sin a cos 3 a. 14. pp(p − e)(p − f)(p − 2m), где p = 1 2 (e + f + 2m). 16. r 5 8 . 17. √ 1 − n + n 2 . 18. R : r = 3. 19. 5 : 10 : 13. 20. b 4a √ a 2 + b 2 . 21. √ 2. 22. 3 √ 3. 23. Центр описанной окружности находится вне трапеции, R : r = 3 5 √ 14. 24. 90 ◦ , 60 ◦ , 30 ◦ . 25. cos ABC = 4 5 . 26. 80(1 + или + √ 5 24 √ 5 . 31. 2 √ 3. См. упр. 4.3. 32. Проведите CK k AM и докажите, что B = AC 2 AB 2 . 34. √ 6 8 (21 − √ 105) или 6 (14 − √ 70). 36. Площадь четырехугольника равна 2 A 1 B 1 · h, где h — высота треугольника на сторону AB. 37. Постройте точку K = (DA) ∩ (M и докажите, что KM = M B. 38. 1 2 √ m 2 + n 2 . 39. В треугольнике ABC ∠B = 2∠C, R = 12, 5. 42. Можно применить формулу для квадрата медианы CO треугольника CDI. OI 2 = R 2 − 2Rr, CI 2 = r 2 − (p − Находим CD 2 = 4R 2 − ab. 43. √ 2 2 . 44. 3R 2 . 45. cos C = √ 5 − 1 2 . 47. См. соотношение (3.15). 48. h r 2m m + h . 49. Можно использовать равенство. 52. r 1 r 2 + r 2 r 3 + r 3 r 1 = r 2 3 . 54. 2 √ 3 − 3. 55. R 2 a . 56. √ ab. 58. √ Rr. 59. 3 √ 2. 60. sin DEF = 1 √ 17 . 62. h √ 5. 64. Радиус каждой окружности равен r + R + d , где R и r — радиусы данных окружностей, d расстояние между их центрами. 65. 1 2 (b 2 − a 2 ). 66. 2 pS tg b. 69. Если четырехугольники ABCD и вписаны в одну окружность и их стороны соответственно параллельны, то AA 1 = BB 1 = CC 1 = Возможны два случая 1) AC ∦ и тогда AC = A 1 C 1 , 2) AC k и тогда четырехугольники центрально симметричны Q = = |AP − AQ| = 1 2 |a + c − b − d| = M N . 71. Около четырехугольников Q и AN P D можно описать окружности. Из точек C, Q, N отрезок виден под прямыми углами. 74. p 2 + √ 5. 76. Дважды выразите по теореме косинусов. 78. Проведите диагональ пятиугольника и используйте свойство вписанного четырехугольника. 79. Примените теорему Птолемея к четырехугольнику A 1 A 2 A 4 A 5 . 80. См. вывод формулы b − c)(b + d − a − c). 82. Примените формулу (12.5). 83. Проведите через вершину B прямую, параллельную AC, и рассмотрите треугольники, образованные этой прямой, высотой BD и прямыми AP и CQ. 84. 2 ctg 2 a. 85. 2 cos A cos B cos C. 86. 2 − √ 2 или 2 (2 − √ 2). 87. 2 sin A sin B × × cos(A − B) = 1. Если CC 1 — высота треугольника ABC, то ∠OCC 1 = = |∠B − ∠A|. 96. Отношение площадей треугольников ABC и равно c a + b − c . Но a + b 6 c √ 2. 97. См. неравенство (13.5). 98. Доказательство аналогично доказательству неравенства (13.19). Рассмотрите скалярный квадрат вектора ¯ e 1 + ¯ e 2 − ¯ e 3 . 99. Если хорда длины m удалена от центра O на расстояние h и видна из точки O под углом 2 |