Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
Доказать, что треугольник BM N прямоугольный (рис. Решен и е. Из подобия треугольников и DCA следует. Представляя MN = = 1 2 (AD + KC), подвергнем векторы AD и KC композиции гомотетии с коэффициентом l и поворота на 90 ◦ , центры которых считаем произвольными. Тогда AD → CD = BA, KC → BK и поэтому (§ 10) M N → 1 2 (BA + BK) = BM . Значит, M N ⊥ BM Задача. Стороны BC, CA, AB треугольника ABC перпендикулярны соответственно сторонам B 1 C 1 , C 1 A 1 , треугольника. Доказать, что окружности с диаметрами AA 1 , BB 1 , имеют общую точку. Р е ш е ни е. Соответственные углы данных треугольников равны, поэтому треугольники подобны. Подобие, при котором A → A 1 , B → B 1 , C → C 1 , есть гомотетический поворот на около некоторой точки Рассматриваемые окружности с диаметрами AA 1 , BB 1 , проходят через точки Q = (AC) ∩ (A 1 C 1 ), P = (BC) ∩ (B 1 C 1 ), L = (AB) ∩ (A 1 B 1 ) 236 соответственно (рис. 105). На основании результата задачи 3 они пересекаются в центре O подобия. A B C A 1 B 1 C 1 P Q L O Рис. Задача. В треугольнике ABC угол C отличен от прямого. Точки и являются основаниями высот и BB 1 . Доказать, что A B C A 1 B 1 A 2 B 2 l Рис. Рис. треугольник A 1 B 1 C подобен треугольнику и найти коэффициент подобия. Р е ш е ни е. Замечаем, что треугольники и ABC ориентированы противоположно (рис. 106 и 107). Поэтому надо отыскать подобие второго рода, при котором один из них отображается на другой. Если один из углов A или прямой, то решение задачи общеизвестно. Поэтому считаем, что эти углы непрямые, и рассмотрим два случая 1) угол C острый, 2) угол C тупой. Симметрией относительно биссектрисы l угла треугольник ABC отображается на причем A 2 ∈ (BC), B 2 ∈ (AC). Из треугольников и BB 1 C имеем A 1 C = AC|cos ∠C| и = BC|cos ∠C|. Так как AC = A 2 C и BC = то A 1 C = A 2 C|cos ∠C| и B 1 C = B 2 C|cos ∠C|. Если учесть расположение точек в каждом из рассматриваемых случаев, то можно записать CA 2 cos ∠C и CB 1 = CB 2 cos ∠C. Это значит, что H cos ∠C C (A 2 ) = и H cos ∠C C (B 2 ) = B 1 . Таким образом, подобие ∠C C ◦ S l отображает треугольник ABC на A 1 B 1 C и поэтому они подобны с коэффициентом |cos ∠C|. 237 Задача. В четырехугольнике ABCD диагонали неперпендику- лярны. Точки и C 1 — ортогональные проекции вершин A и C на A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 A 2 B 2 C 2 D 2 O l Рис. прямую BC, а точки и D 1 — ортогональные проекции вершин B и D напрямую. Доказать, что четырехугольник подобен четырехугольнику (рис. Решение. Аналогично предыдущему симметрией относительно биссектрисы острого угла f между диагоналями отображаем четырехугольник на четырехугольник Так как OA 1 = OA cos f, OB 1 = OB cos f, OC 1 = OC cos f, OD 1 = OD cos f и OA = = OA 2 , OB = OB 2 , OC = OC 2 , OD = то OA 1 = OA 2 cos f, OB 1 = OB 2 cos f, OC 1 = OC 2 cos f, OD 1 = OD 2 cos Отсюда с учетом взаимного расположения точек заключаем, что гомотетией четырехугольник отображается на четырехугольник. Следовательно, подобие H cos f O ◦ S l отображает четырехугольник на четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 , что и требовалось установить. З ада ч а 10. В треугольнике ABC высоты AA 1 , BB 1 , пересекаются в точке H. Доказать, что биссектрисы углов и BCC 1 перпендикулярны. Р е ш е ни е. Прямоугольные треугольники и подобны и ориентированы противоположно (рис. 109). Представим подобие второго рода, заданное парами точек H → H, A → C, C 1 → A 1 , композицией Рис. осевой симметрии относительно биссектрисы l угла и некоторого подобия f первого рода. Если треугольник симметричен треугольнику AC 1 H относительно l, то соответственные при подобии f стороны треугольников и CA 1 H перпендикулярны. Следовательно, угол подобия f равен 90 ◦ . Биссектрисы и m соответственных при этом подобии углов и A 1 CH являются парой соответственных прямых и также перпенди- кулярны. З ада ч а 11. Построить четырехугольник, диагональ которого является биссектрисой угла A, если известны стороны AB и AD, диагональ AC и разность углов B и D. 238 Решен и е. Пусть такой четырехугольник ABCD построен (рис. 110). Рассмотрим гомотетическую симметрию с центром A, осью и парой соответственных точек D → B. Тогда коэффициент этого A B C D C 1 Рис. подобия равен k = AB AD . Если C 1 — образ точки C при этом подобии, то ∠ABC 1 = = ∠ADC и угол C 1 BC равен заданной разности углов ABC и ADC. Так как k · AC, то отрезок строится на основании пропорции AD : AB = = AC : AC 1 . Задача сводится к построению вершины B, а она обладает двумя свойствами отрезок AB известен, а отрезок виден из B под заданным углом. Следовательно, точку B можно построить как точку пересечения окружности (A, AB) и дуг окружностей, стягиваемых известной хордой и вмещающих заданный угол, равный разности углов и D. Построение точки D очевидно. Число решений зависит от числа общих точек окружности (A, AB) и указанных дуга их может быть не более двух. Полученные два четырехугольника симметричны относительно общей диагонали AC. В соответствии с требованиями к задаче на построение они представляют собой одно ее решение. Задачи 2.58. Если преобразование плоскости отображает каждую прямую напрямую и угол — на равный ему угол, то оно является подобием. Докажите. 2.59. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины C прямого угла проведена высота CD. Каким подобием можно отобразить треугольник на треугольник ABC? 2.60. Через точку M проведены к окружности две секущие, встречающие ее соответственно в точках A и B, C и D. Какими подобиями второго рода отрезок AC отображается на отрезок BD? 2.61. Даны две неравные окружности с различными центрами. Какими подобиями можно отобразить одну из них на другую. Подобие первого рода задано двумя парами соответственных точек A → B, B → C (AB → BC). Докажите, что OC : OA = k 2 , где O центр и k — коэффициент подобия. На данной прямой найдите пару соответственных точек при заданном подобии первого рода. Постройте окружность сданным центром, касающуюся своего образа при заданном подобии 2.65. Даны два одинаково ориентированных квадрата OABC и. Докажите, что прямые AA 1 , BB 1 , пересекаются водной точке. Найдите угол между лучами и BB 1 , и CC 1 2.66. Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AB. Построены высота CD и перпендикуляр DE к стороне BC (E ∈ (Точка M — середина отрезка DE. Докажите, что отрезки AE и перпендикулярны. Дан квадрат ABCD. Точки P и Q лежат на сторонах AB и соответственно, причем BP = BQ. Проведена высота BK треугольника C. Докажите, что (DK) ⊥ (QK). 2.68. Из произвольной точки M окружности, описанной около треугольника ABC, проведены перпендикуляры M и M к сторонами. Точки P и Q — середины отрезков AB и соответственно. Докажите, что ∠P QM = 90 ◦ . Докажите, что угол между прямыми AB и равен углу OM C, где O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. 2.69. Треугольник является образом треугольника ABC при повороте около центра описанной окружности на угол a < 180 ◦ . Докажите, что точки пересечения соответственных сторон этих треугольников являются вершинами треугольника, подобного треугольнику Найдите коэффициент подобия. Треугольник ABC поворотом около точки P описанной около него окружности отобразился на треугольник A 1 B 1 C 1 . Докажите, что точки пересечения соответственных сторон коллинеарны. Прямая, проходящая через одну из точек пересечения окружностей и w 1 , пересекает их вторично в точках A и A 1 . Докажите, что величина угла между касательными к окружности в точках A и не зависит от выбора секущей. Две окружности пересекаются в точках A и B, через которые проведены произвольные секущие M N и P Q, пересекающие вторично одну окружность в точках M и P , а другую — в точках N и Q соответственно. Докажите, что хорды M P и N Q параллельны. Прямые m и n пересекаются в точке S под углом f. Через точку проведены прямые a и b. Точки A и B — ортогональные проекции точки M ∈ m на прямые a и b, точки и B 1 — ортогональные проекции точки N ∈ n на прямые a и b. Найдите угол между прямыми и A 1 B 1 2.74. Точки A, B, M коллинеарны. На отрезках AM и M B построены квадраты водной полуплоскости с границей AB. Около квадратов описаны окружности, пересекающиеся в точке N . Найдите множество точек N при различном выборе точки M на прямой AB. 240 2.75. Через точку пересечения хорд AC и BD окружности проведены прямые m и n, перпендикулярные к прямыми соответственно. Докажите, что ∠(m, (AC)) = ∠(n, (BD)). 2.76. При подобии f второго рода f(a) = b и f(b) = c. Докажите, что прямые a и c параллельны. В треугольнике ABC AC > CB. Касательная в точке C копи- санной около треугольника окружности пересекает прямую AB в точке. Точки M и N — середины отрезков BD и CD соответственно. Докажите, что биссектриса угла ADC образует равные углы с прямыми и CM . 2.78. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Точки и симметричны точками относительно биссектрисы угла AOB. Докажите, что углы и равны. Даны точки A(2; 1) и B(−3; 2), имеющие указанные координаты относительно некоторой прямоугольной декартовой системы координат. Постройте ее оси и базисные векторы. Постройте правильный треугольник, две вершины которого принадлежат данной окружности, а проекция одной из них на противоположную сторону совпадает сданной точкой. Постройте четырехугольник по четырем его сторонам, если около него можно описать окружность. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику, так, чтобы его вершины лежали по одной на трех данных параллельных прямых. Точки M 1 , M 2 , являются образами точки M при поворотах, R a B , с различными центрами. Докажите, что точки M 1 , M 2 , коллинеарны тогда и только тогда, когда коллинеарны точки A, B, C. 2.84*. Даны три поворота R a A , R b B , R g C . Найдите множество всех точек, для которых точки M 1 = R a A (M ), M 2 = R b B (M ), M 3 = R g C (M коллинеарны, если a = b = 180 ◦ , g = −90 ◦ 2.85. Постройте треугольник, подобный данному треугольнику, так, чтобы одна его вершина находилась в данной точке, а две другие лежали по одной на двух данных окружностях. Постройте параллелограмм по отношению диагоналей и углу между ними так, чтобы его вершины лежали по одной на прямых, содержащих стороны данного параллелограмма ABCD. 2.87. Даны две окружности, прямая l и принадлежащая ей точка Постройте треугольник ABC такой, что прямая l содержит биссектрису угла A, вершины B и C лежат соответственно на данных окружностях и отношение сторон AB и AC равно отношению двух данных отрезков 2.88. Подобие первого рода задано парой соответственных точек, коэффициентом и углом. Постройте центр этого подобия. Подобие второго рода задано своей осью и парой соответственных точек. Постройте центр подобия и найдите его коэффициент. На окружности даны четыре точки. Среди расстояний между ними нет равных. Найдите множество центров подобий второго рода, при которых любые две изданных точек отображаются на две оставшиеся. Неравные отрезки AB и лежат на одной прямой. Постройте двойные прямые подобия второго рода, заданного парами точек → A 1 , B → B 1 2.92. Докажите, что центры подобий первого и второго рода, при которых один изданных неравных квадратов отображается на другой центров, принадлежат одной окружности. В треугольнике ABC проведены высоты и BB 1 . Постройте центр и двойные прямые подобия второго рода, при котором A → A 1 , B → B 1 2.94. Постройте центр подобия, представляющего собой композицию данной гомотетии и данного гомотетического поворота. Даны два подобных противоположно ориентированных треугольника и A 1 B 1 C 1 . Докажите, что отрезки AA 1 , BB 1 , можно разделить в таких равных отношениях, чтобы точки деления принадлежали одной прямой. Квадраты ABCD и RP BQ одинаково ориентированы и расположены так, что точки P и Q принадлежат прямыми соответственно. Докажите, что окружности, построенные на отрезках AR, BP , CB, DQ как на диаметрах, пересекаются водной точке. Даны два правильных противоположно ориентированных треугольника и A 1 B 1 C 1 . Докажите, что тройки точек, делящих отрезки, и CC 1 ; AB 1 , и CA 1 ; AC 1 , ив отношении k = AB : A 1 B 1 , принадлежат соответственно трем прямым, которые пересекаются водной точке. На сторонах треугольника ABC построены подобные одинаково ориентированные треугольники ABC 1 , CBA 1 , ACB 1 . Докажите, что параллелограмм. Даны два подобных (негомотетичных) одинаково ориентированных треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Прямые AA 1 , и пересекаются в точке P . Докажите, что точки A, B, C, P принадлежат одной окружности и точки A 1 , B 1 , C 1 , P также принадлежат одной окружности. Треугольники ABC, A 1 B 1 C 1 , подобны и одинаково ориентированы. Тройки точек A, A 1 , A 2 ; B, B 1 , B 2 ; C, C 1 , коллинеарны. Докажите, что центры подобий, отображающих каждый из этих треугольников на другие, совпадают. 2.101.В условиях предыдущей задачи докажите, что точки A, B, C делят соответственно отрезки A 1 A 2 , B 1 B 2 , в равных отношениях. На сторонах AB, BC и CA отрицательно ориентированного треугольника ABC с неравными сторонами построены положительно ориентированные подобные треугольники ABP , BCQ, CAR, в которых. Докажите, что композиция трех гомотети- ческих поворотов с центрами P , Q, R и некоторым коэффициентом k на углы есть гомотетия с центром в точке B. 2.103. Стороны правильного треугольника ABC разделены по обходу его границы в отношении k точками A 1 , B 1 , C 1 . Стороны треугольника разделены по обходу его границы в отношении 1/k точками A 2 , B 2 , C 2 . Докажите, что треугольники ABC иго- мотетичны. Найдите коэффициент гомотетии. Обобщите результат для правильных многоугольников. Докажите, что ортогональные проекции точки описанной около треугольника окружности на прямые, содержащие стороны этого треугольника, лежат на одной прямой (теорема Симсона). 2.105. Боковые стороны AD и BC трапеции ABCD повернуты около своих середин на углы 90 ◦ , после чего они занимают положения и B 1 C 1 . Докажите, что A 1 B 1 = C 1 D 1 2.106. Дано множество всех подобных друг другу треугольников, у которых вершина A фиксирована, а вершина B принадлежит данной прямой. Найдите множество вершин C этих треугольников. Найдите множество точек пересечения прямых пучка сцен- тром S со своими образами при заданном подобии первого рода. Найдите множество точек пересечения прямых пучка параллельных прямых со своими образами при заданном подобии первого и второго рода. Окружность a проходит через вершины A и B треугольника. Найдите множество вершин X треугольников AM X, подобных треугольнику ABC и противоположно ориентированных с ним, если вершина M перемещается по окружности a. 2.110. Даны правильные одинаково ориентированные треугольники и A 1 B 1 C 1 . Прямые AB и A 1 B 1 , BC и B 1 C 1 , CA и пересекаются в точках M , N , P соответственно. Докажите, что окружности AA 1 ), (N BB 1 ), (P CC 1 ) имеют общую точку. Даны два подобных одинаково ориентированных треугольника и A 2 B 2 C 2 . Отрезки A 1 A 2 , B 1 B 2 , разделены точками A, 243 B, C водном отношении. Докажите, что треугольник ABC подобен треугольниками. Даны окружность w и точка M. Найдите множество образов точки M при всех поворотах плоскости, где P ∈ w и a — фиксированный угол поворота. При повороте около центра I вписанной в треугольник окружности этот треугольник отобразился на треугольник Докажите, что углы треугольника с вершинами в точках (BC) ∩ (B 1 C 1 ), B 2 = (CA) ∩ (C 1 A 1 ), C 2 = (AB) ∩ (A 1 B 1 ) не зависят от угла поворота 22. Параллельное проектирование плоскости на плоскость Зададим две плоскости a и и не параллельную им прямую l. Каждой точке M плоскости a поставим в соответствие такую точку плоскости a 1 , что прямая M параллельна l. Этим условием задано взаимно однозначное отображение плоскости a на плоскость a 1 , которое называется параллельным проектированием плоскости a на плоскость в направлении прямой l. Прямые и плоскости, параллельные прямой l, называются проектирующими прямыми и проектирующими плоскостями. Рассмотрим свойства этого отображения. С вой ст во. Проекция прямой есть прямая a a 1 m Рис. Действительно, все прямые, проектирующие точки A, B, C, . . . прямой плоскости a, лежат водной проектирующей плоскости. Прямая пересечения этой плоскости с плоскостью является образом (проекцией) прямой m (рис. Свойство. Проекции параллельных прямых параллельны. В самом деле, плоскости, проектирующие заданные параллельные прямые плоскости a, параллельны. Поэтому линии их пересечения с плоскостью также параллельны. С вой ст во. Отношение проекций двух отрезков, лежащих на одной прямой или на параллельных прямых, равно отношению данных отрезков Рассмотрим сначала случай, когда данные отрезки AB и CD лежат на одной прямой (рис. 112). Проектирующие прямые AA 1 , BB 1 , параллельны и лежат водной проектирующей плоскости. Поте- ореме о пропорциональных отрезках имеем. Пусть теперь Рис. данные отрезки AB иле- жат на параллельных прямых. Построим произвольный параллелограмм, в котором вершины C и D лежат на прямой. Согласно свойствами его проекцией будет параллелограмм, вершины и которого лежат на прямой A |