Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
, то существует ли гомотетия, отображающая одну из них на другую? Теорема. Две неравные окружности гомотетичны дважды. Д ока за тел ь ст во. Если окружности w и имеют общий центр и радиусы r и r 1 , то гомотетии с общим центром O и коэффициентами и k 2 = − r 1 r таковы, что каждая из них отображает w на Рассмотрим случай, когда O 1 6= O и r 1 6= r. Пусть AB и A 1 B 1 — параллельные диаметры этих окружностей (рис. 79). Зададим гомотетию H O O 1 A B S A 1 B 1 S 1 w Рис. двумя парами точек O → O 1 , A → A 1 . Поскольку всякая гомотетия отображает окружность на окружность, а эта гомотетия H центр O и точку окружности w отображает на центр и точку окружности то H( w) = центром и одной точкой окружность определяется однозначно. Центром гомотетии H служит точка S = (OO 1 ) ∩ (AA 1 ), а коэффициент k равен, причем H k S (B) = B 1 . Если O 1 A 1 OA, то k = r 1 r ; если же O 1 A 1 OA, то k = Аналогичным образом гомотетия, задаваемая парами O → и → B 1 , также отображает w на w 1 . Центром этой гомотетии является точка S 1 = (OO 1 ) ∩ (AB 1 ), а ее коэффициент равен Заметим, что H −k S 1 (B) = Итаки, где k = O 1 A 1 OA , S = (OO 1 ) ∩ (AA 1 ), S 1 = (OO 1 ) ∩ (AB 1 ). Существенно, что гомотетии и не зависят от выбора пары параллельных диаметров AB и окружностей, так как каждая из них любой диаметр окружности w отображает на параллельный ему диаметр окружности w 1 . Отсюда следует, что никакой третьей гомотетии, отображающей w на w 1 , не существует. Если окружности w и касаются в точке S, то один из центров гомотетий совпадает сточкой. В самом деле, гомотетия, заданная парами, отображает w на и имеет неподвижную точку которая и будет центром гомотетии. Если две данные окружности равны, то одна из двух указанных гомотетий заменяется переносом 14. Решение задач с помощью гомотетии З ада ч а 1. Доказать, что ортогональные проекции точки, принадлежащей описанной около треугольника окружности, на прямые, содер- A B C M M 1 M 2 M 3 P 1 P 2 P 3 Рис. 80 жащие его стороны, коллинеарны (теорема Симсона). Р е ш е ни е. Пусть P 1 , P 2 , P 3 — ортогональные проекции произвольной точки M окружности, описанной около треугольника ABC, на прямые BC, CA, AB соответственно (рис. 80). Построим точки M 1 , M 2 , M 3 , симметричные точке M относительно этих прямых. По доказанному в § 8 (задача рис. 52) точки M 1 , M 2 , лежат на одной прямой. Гомотетия отображает их соответственно на точки P 1 , P 2 , P 3 , которые поэтому принадлежат прямой, являющейся образом прямой при этой гомотетии Задача. Доказать, что в неравностороннем треугольнике ABC центроид G, ортоцентр H и центр O описанной окружности лежат на одной прямой, причем GH = Решение. По свойству медиан треугольник ABC гомотетичен треугольнику с вершинами в серединах его сторон относительно точки G пересечения медиан A → A 1 , B → B 1 , C → при гомотетии с центром G и коэффициентом k = − 1 рис. 81). Соответственные стороны этих треугольников параллельны. Прямые OA 1 , OB 1 , содержат высоты треугольника A 1 B 1 C 1 . Так как гомотетия сохраняет величину угла, то высоты AH, BH, CH треугольника ABC указанной гомотетией отображаются на высоты OA 1 , OB 1 , треугольника A 1 B 1 C 1 и, A B C A 1 B 1 C 1 H O G Рис. Рис. следовательно, точка H пересечения высот треугольника ABC переходит в точку O пересечения высот треугольника. Поэтому точки и O лежат на одной прямой сцен- тром G гомотетии и GO = − 1 2 GH , откуда Прямая, содержащая центроид G, ортоцентр H и центр O описанной около треугольника окружности, называется прямой Эйлера треугольника. З ада ч а 3. Доказать, что во всяком треугольнике середины сторон, основания высот и середины отрезков, соединяющих ортоцентр с вершинами, лежат на одной окружности с центром в середине отрезка OH и радиусом, равным половине радиуса описанной около треугольника окружности. Р е ш е ни е. Рассмотрим окружность, определяемую основаниями, H 2 , высот треугольника рис. 82). Так как точки, симметричные ортоцентру H этого треугольника относительно его сторон, лежат на описанной окружности (задача то окружность w есть образ описанной окружности при гомотетии сцен- тром H и коэффициентом k = 1 2 . Поэтому ее центром является середина отрезка OH, а радиус равен. Образы K 1 , K 2 , вершин треугольника лежат на окружности w. Эти точки — середины отрезков, соединяющих ортоцентр H с вершинами A, B, C. Точки, симметричные ортоцентру треугольника относительно середин его сторон, лежат на описанной около него окружности (задача 1.11). Поэтому середины, B 1 , сторон лежат на рассматриваемой окружности Эта окружность называется окружностью девяти точек треугольника. Доказано, что окружность девяти точек треугольника касается его вписанной окружности и трех вневписанных окружностей (теорема Фейербаха). З ада ч а 4. Даны три неколлинеарные точки A, B, C, не лежащие на данной прямой l. Найти на прямой l такие точки M и N , чтобы ) k (BN ) и (CM ) ⊥ (CN Решение. Рассмотрим сначала случай, когда (AB) ∦ l. Пусть искомые точки M и N построены. Если (AB) ∩ l = O, то гомотетия с центром O, отображающая A на B, отображает M на N (рис. 83). Если, то (CM ) k (C 1 N ) и поэтому (CN ) ⊥ (C 1 N ). Отсюда Рис. следует, что точка N принадлежит окружности g с диаметром и, значит, N ∈ ( g ∩ l). Этим найден способ построения искомой точки N . Точка M строится согласно условию (AM ) k (BN ). Число решений зависит от числа общих точек окружности g и прямой. На рис. 83 имеются две пары искомых точек и N , и N 1 . (Гомотетия, отображающая B на, приводит к тем же решениям) При AB k l вместо гомотетии рассматривается параллельный перенос Традиционно гомотетия используется при решении большого класса конструктивных задач следующим образом. Условия задачи разделяются на две части, одна из которых характеризует форму, а другая размеры искомой фигуры. Используя первую часть данных, сначала вместо искомой фигуры строят гомотетичную ей, а затем по остальным данным строят искомую фигуру. Примером может служить следующая задача. З ада ч а 5. Построить треугольник по двум углами периметру. Р е ш е ни е. Два данных угла определяют форму искомого треугольника, а периметр — его размеры. Строим некоторый треугольник по двум данным углами (рис. 84). Используя заданный периметр, определим гомотетию с центром A, которая отображала бы треугольник на искомый треугольник ABC. Для этого на произвольной прямой, содержащей A, отложим отрезок AP длиной p (заданный периметр) и отрезок для которого AP 1 = AB 1 + B 1 C + Рис. Точки P и являются соответственными в требуемой гомотетии сцен- тром A. Используя их, строим вершины и C искомого треугольника ABC: B = H P 1 →P A (B 1 ), C = H P 1 →P A (C 1 ). Решение единственно. Иногда к цели приводит гомотетия, центр которой не принадлежит множеству данных точек, а находится построением. Вот пример такой задачи. З ада ч а 6. Построить окружность, касающуюся данной окружности и двух непараллельных прямых a и Решение. Пусть a — данная окружность с центром O ирис. Искомая окружность гомотетична окружности a относительно их точки касания. Этой гомотетией прямые a и b отображаются на Рис. параллельные прямые и b 1 , касающиеся и потому легко строящиеся. Если a 1 ∩ b 1 = то прямая проходит через центр гомотетии. Значит, точкой касания искомой и данной окружностей является любая из точек S и T пересечения прямой с окружностью a (если такие точки существуют. Центр C искомой окружности принадлежит оси симметрии прямых a и b и прямой SO (или T Так как существуют четыре касательные к a, параллельные данным прямыми, и потому четыре прямые, выступающие в роли прямой, то они дают, вообще говоря, восемь точек касания данной окружности с искомыми. Следовательно, максимальное число решений равно. В зависимости от расположения данных прямых и окружности оно может уменьшиться до 4. На рис. 85 показано одно из четырех решений, имеющих место в этом случае. Рассмотренный способ решения не дает полного числа решений и даже может быть вовсе непригоден, когда центр O данной окружности лежит на оси симметрии прямых a и b. 214 Задачи на доказательство и вычисление. Докажите, что образы данной точки при симметриях относительно середин сторон четырехугольника являются вершинами параллелограмма. Через точку касания двух окружностей проведены две произвольные прямые, пересекающие эти окружности вторично в точках A, и C, D, причем точки A и B лежат на одной окружности, точки C и D на другой. Докажите, что (AB) k (CD). 2.03. Через точку касания двух окружностей проведена секущая. Докажите, что касательные к окружностям в точках пересечения их с секущей параллельны. Дан треугольник ABC. Точки A 1 , B 1 , C 1 — образы точек A, B, C соответственно при симметрии с центром в произвольной точке P Докажите, что прямые, проходящие через точки A 1 , B 1 , и середины сторон BC, CA, AB соответственно, пересекаются водной точке. Найдите множество центроидов всех треугольников ABC, у которых вершины A и B постоянны, а точка C пробегает данную прямую. Все хорды окружности, имеющие общий конец, разделены в равных отношениях. Найдите множество точек деления. Докажите, что во всякой трапеции середины оснований, точка пересечения диагоналей и точка пересечения прямых, содержащих боковые стороны, лежат на одной прямой. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Докажите, что отрезок этой прямой, заключенный между боковыми сторонами, делится точкой пересечения диагоналей пополам. В трапеции ABCD с основаниями AB и CD диагонали пересекаются в точке O. Докажите, что окружности, описанные около треугольников AOB и COD, касаются. Две окружности касаются внешним образом в точке A, а общая касательная к ним касается окружностей в точках B и C. Докажите, что угол BAC прямой. Две окружности касаются внешним (соответственно внутренним) образом. Через центр гомотетии с положительным (соответственно отрицательным) коэффициентом, отображающей одну окружность на другую, проведена прямая, пересекающая окружности в гомотетич- ных точках A и B. Докажите, что из точки касания окружностей отрезок виден под прямым углом. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Хорда большей окружности касается меньшей окружности в точке P . 215 Докажите, что луч AP есть биссектриса угла M AN . Сформулируйте и докажите аналогичную теорему для случая внешнего касания окружностей. Две окружности касаются внутренним образом в точке A. Секущая пересекает окружности в точках M , N , P , Q, расположенных последовательно. Докажите, что углы M AP и N AQ равны. Две окружности касаются внешним образом. Прямая пересекает их в точках M , N , P , Q последовательно. Докажите, что из точки касания отрезки M Q и N P видны под углами, сумма которых равна 180 ◦ 2.15. Докажите, что произведение длин отрезков секущей двух окружностей от центра гомотетии окружностей до двух негомотетич- ных точек окружностей не зависит от выбора секущей. Произвольная точка P соединена с серединами A 1 , B 1 , сторон треугольника ABC. Докажите, что прямые, проведенные через его вершины A, B, C параллельно соответственно прямым A 1 , P B 1 , P C 1 , пересекаются водной точке Q и QG = 2GP , где G — центроид треугольника Задачи на построение. Проведите через данные точки M и N параллельные прямые m и n соответственно так, чтобы одна из них отображалась на другую заданной гомотетией. Через данную вне заданной окружности точку A проведите прямую, пересекающую эту окружность в точках B и C (B лежит между итак, что AB = 2BC. 2.19. Через общую точку двух окружностей проведите прямую так, чтобы эти окружности высекали на ней отрезки, отношение которых равно отношению двух данных отрезков. Через данную точку проведите прямую так, чтобы ее отрезок с концами на двух данных прямых делился данной точкой в данном отношении. В данный угол впишите окружность, проходящую через данную точку. На данной прямой l найдите точку, равноудаленную отданной прямой a и данной точки M . 2.23. Через данную точку проведите прямую, пересекающую две данные окружности под равными углами. Постройте квадрат, одна сторона которого касалась бы данной окружности, а противоположная сторона служила хордой этой окружности. Найдите отношение стороны квадрата к радиусу окружности 2.25. В данный круговой сектор впишите окружность, касающуюся боковых радиусов сектора и его дуги. Даны треугольники ABC и A 1 B 1 C 1 . Постройте треугольник A 2 B 2 C 2 такой, что (A 2 B 2 ) k (A 1 B 1 ), (B 2 C 2 ) k (B 1 C 1 ), (C 2 A 2 ) k (C 1 A 1 ) и BC, B 2 ∈ (AC), C 2 ∈ (AB). 2.27. Постройте параллелограмм по стороне, отношению диагоналей и углу между диагоналями. Постройте трапецию по двум углам при одном основании, отношению оснований и высоте. Постройте окружность, касающуюся данной окружности и данной прямой в данной ее точке. Постройте окружность, касающуюся данной окружности в данной ее точке и данной прямой. Задачи для внеклассной работы. Даны прямая a и точка A вне ее, а также прямая b и точка вне ее (a 6= b и A 6= B). Найдите условия, при которых гомотетией можно отобразить пару (a, A) на пару (b, B). 2.32. Точка B лежит на прямой l между точками A и C. На прямой, непараллельной l, взяты точки A 1 , B 1 , так, что лежит между и и A 1 B 1 : B 1 C 1 = AB : BC. Через точки A, B, C проведены параллельные прямые a, b, c соответственно, а через точки A 1 , B 1 , параллельные прямые a 1 , b 1 , c 1 , непараллельные предыдущим прямым. Докажите, что точки M = a ∩ a 1 , N = b ∩ b 1 , P = c ∩ коллинеарны. В четырехугольнике ABCD построены центроиды A 1 , B 1 , треугольников BCD, CDA, DAB, ABC соответственно. Докажите, что четырехугольник A 1 B 1 C 1 D 1 гомотетичен данному, и найдите коэффициент и центр гомотетии. Точки A 1 , B 1 , симметричны точке M относительно вершин, B, C треугольника ABC соответственно. Охарактеризуйте преобразование, где M 1 — центроид треугольника A 1 B 1 C 1 2.35. Даны три точки A, B, C. Для каждой точки M построен цен- троид G четырехугольника ABCM (этот четырехугольник может быть вырожденным. Охарактеризуйте преобразование M → G. (Центроид четырехугольника есть точка пересечения его средних линий. Стороны одного четырехугольника параллельны сторонам другого, а диагонали первого параллельны диагоналям второго. Гомотетич- ныли эти четырехугольники. Даны два гомотетичных треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 . Отрезки, BB 1 , разделены точками A 2 , B 2 , водном отношении k. 217 Вычислите площадь треугольника A 2 B 2 C 2 , если площади данных треугольников равны S и соответственно. Через данную точку S проведите прямую, пересекающую три данные прямые a, b, c, проходящие через точку M , в таких точках A, B, что отношение AB : BC равно отношению длин m и n данных отрезков. Прямые a, b, c содержат стороны некоторого треугольника. Параллельно данной прямой проведите прямую так, чтобы она пересекала прямые a, b, c соответственно в точках A, B, C, для которых отношение : BC было равно отношению длин m и n данных отрезков. На сторонах AB и AC треугольника ABC найдите точки и N такие, что BM = M N = N C. 2.41. Дан четырехугольник ABCD, диагонали которого перпендикулярны и пересекаются в точке M . Докажите, что центроиды треугольников принадлежат одной окружности. Найдите множество точек пересечения высот треугольников, вписанных в данную окружность. Найдите множество центроидов треугольников A 1 B 1 C 1 , вписанных в данный треугольник ABC. 2.44. Дан треугольник ABC. Найдите множество середин S отрезков N , если точки M и N принадлежат соответственно сторонами. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны в точке M . Через диаметрально противоположную точку проведена прямая CM 1 , пересекающая сторону AB в точке N . Докажите, что AN = BM . § 15. Композиция гомотетий 15.1. Композиция двух гомотетий. Пусть заданы две гомотетии H a A и с общим центром A и коэффициентами a и b. Для произ- A A 0 C B X X 0 X 1 Рис. вольной точки X имеем AX 1 = aAX и Следовательно, AX 0 = ( ab)AX. Это значит, что композицией двух гомотетий с общим центром является гомотетия стем же центром, коэффициент которой равен произведению коэффициентов данных гомоте- тий. При ab = 1 имеем тождественное преобразование. Эта композиция коммутативна. Найдем теперь композицию двух гомотетий и с различными центрами A и B. Пусть для произвольной точки X H a A (X) = ирис, те и BX 0 = bBX 1 218 Если H b B (A) = A 0 , то BA 0 = bBA. Отрезок есть образ отрезка при рассматриваемой композиции, причем A 0 X 0 k AX. Если эти отрезки неравны, то существует точка C = (AA 0 ) ∩ (XX 0 ). Из подобных треугольников AXC и A 0 X 0 C имеем. Кроме того ( ba)AX. Поэтому и CX 0 = ( ab)CX. Так как ( ab)CA, то точка C не зависит от переменной точки X. Это значит, что искомая композиция является гомотетией с центром C: H b B ◦ H a A = H ab C , C ∈ (Если A 0 X 0 = AX, то точка C не существует, тогда ab = 1 и XX 0 = В этом случае композиция гомотетий есть перенос. Композиция H b B ◦ H a A некоммутативна, так как она переводит A в, но образ точки A при композиции H a A ◦ не совпадает с Результатом этих исследований является такая теорема. |