Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва

• Название: Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
• Дата: 19.02.2023
• Размер: 2.08 Mb.
• Имя файла: Ponarin-I.pdf
• Тип: Книга; #945095
• страница: 16 из 25

или же оно меняет ориентацию всех треугольников на противопо- ложную.
Подобие плоскости, сохраняющее ориентацию треугольников, называется подобием первого рода. Подобие, изменяющее ориентацию треугольников на противоположную, называется подобием второго рода.
Гомотетия — подобие первого рода

Если указан род подобия, то для его задания достаточно знать образы лишь двух точек A → A
1
, B → B
1
. Тогда для любой выбранной точки M однозначно строится ее образ при этом подобии. Если /
∈ (AB), тона основании признака подобия треугольников по двум углам на отрезке строится треугольник A
1
B
1
M
1
, подобный треугольнику и ориентированный одинаково или противоположно с треугольником ABM в зависимости от указанного рода подобия. Если ∈ (AB), то независимо от указанного рода подобия ее образом будет такая точка M
1
∈ (A
1
B
1
), что. Для ее построения достаточно известным способом разделить отрезок в данном отношении. Можно поступить и иначе сначала найти образ точки /
∈ (AB) и затем, используя пару N → N
1
, построить с помощью подобных треугольников образ точки M ∈ (Поскольку подобие данного рода задается двумя парами соответственных точек, то два подобия одного итого же рода, имеющие две общие пары соответственных точек, совпадают.
Так как композиция двух подобий одного рода есть подобие первого рода и композиция двух подобий различных родов есть подобие второго рода, то из теоремы п. 17.2 вытекают следующие следствия) всякое подобие первого рода представимо композицией гомотетии и движения первого рода) всякое подобие второго рода представимо композицией гомотетии и движения второго рода 19. Классификация подобий плоскости. Классификация подобий первого рода получается из классификации движений первого рода (на переносы и повороты) путем рассмотрения композиции гомотетии и этих движений. Композиция гомотетии и переноса, а также переноса и гомотетии есть гомотетия стем же коэффициентом, нос другим центром (задача 2.47). Поэтому остается
M
M
0
M
1
M
0
O
a
Рис. рассмотреть композиции гомотетий и
поворотов.
Композиция гомотетии и поворота с общим центром коммутативна H
k
O
= H
k
O
◦ что легко усматривается непосредственно. Действительно, если H
k
O
(M ) = и R
a
O
(M ) = M
0
, то каждая из этих композиций отображает произвольную точку M на одну и туже точку рис. 94).
228

Композиция гомотетии и поворота с общим центром называется го- мотетическим поворотом (или поворотной гомотетией).
Множество различных видов подобий первого рода очень невелико,
так как имеет место следующая теорема.
Теорема. Всякое подобие первого рода плоскости, отличное от гомотетии и движения, является гомотетическим поворотом.
Д ока за тел ь ст во. Пусть подобие f первого рода задано композицией, где k 6= 1,
a 6= 0, a 6= p, так как в противном случае подобие f было бы движением или гомотетией, что исключено условием теоремы. При A = B доказывать нечего, и поэтому считаем 6= B. Если H
k
B
(A) = A
0
, то f(A) = A
0
. Если B
0
— прообраз точки при повороте R
a
A
, те, то f(B) = B. Следовательно, подобие можно задать двумя парами точек A → A
0
, B
0
→ B (рис. 95).
O
A
A
1
A
0
B
B
1
B
0
w a
a Рис. Рассмотрим окружность w, проходящую через точки A и и касающуюся прямой в точке A. Эта окружность всегда существует,
поскольку при указанных ограничениях точки, A
0
, неколлинеарны. При этих ограничениях всегда существует и окружность, проходящая через A, B, B
0
. Эти две окружности пересекаются в точках A и O. Без сужения общности доказательства можно считать, что < p. Тогда ]AOA
1
= ]B
0
AB = ]B
0
OB Поскольку f(AB
0
) = A
0
B, то k. Рассмотрим композицию H
k
O
◦ R
a
O
. Если R
a
O
(A) =
= и R
a
O
(B
0
) = B
1
, то A
1
∈ (OA
0
), B
1
∈ (OB),
A
1
B
1
= и ]AB
0
O = ]A
1
B
1
O. Но, кроме того, ]AB
0
O = ]ABO и поэтому ]ABO =
= ]A
1
B
1
O. Значит, A
1
B
1
k A
0
B и k, откуда вытекает, что H
k
O
(A
1
) = и H
k
O
(B
1
) = B. Таким образом, композиция отображает в ив, вследствие чего она совпадает с заданным подобием f. Итак = H
k
B
◦ R
a
A
= H
k
O
◦ что по определению и есть гомотетический поворот.
Таким образом, всякое подобие первого рода есть либо гомотетия,
либо движение (поворотили перенос, либо гомотетический поворот.
Гомотетию и поворот можно считать частными случаями гомотетиче- ского поворота соответственно при a = 0 и k = 1.
229

Представление подобия первого рода коммутативной композицией поворота и гомотетии с общим центром д вуз нач но. Действительно,
если f = H
k
O
◦ R
a
O
, то замечая, что E = H
(−1)
O
◦ H
(−1)
O
= H
(−1)
O
◦ получаем Итак = H
k
O
◦ R
a
O
= H
−k
O
◦ Других аналогичных представлений заданного подобия первого рода быть не может, так как подобие, отличное от движения, не может иметь двух неподвижных точек, а для коэффициента гомотетии имеются ровно две возможности приданном он может равняться лишь k или −k. Поэтому предположение о существовании третьего представления приводит к двум полученным. Классификация подобий второго рода. Композиции гомотетии и движений второго рода есть композиции гомотетии и осевой симметрии и композиции гомотетии и переносной симметрии. Поскольку композиция гомотетии и переноса есть некоторая гомотетия, то множество всех подобий второго рода состоит только из композиций гомотетий и осевых симметрий. Рассмотрим сначала частный случай такой компо- зиции.
Композиция осевой симметрии и гомотетии, центр которой принадлежит оси симметрии, коммутативна H
k
O
= H
k
O
◦ S
l
,
O ∈ В самом деле, если H
k
O
(M ) = и S
l
(M ) = M
0
, то каждая из этих композиций переводит произвольную точку M в одну и туже точку Рис. рис. Композиция осевой симметрии и гомотетии, центр которой лежит на оси симметрии, называется гомотетической симмет- рией.
Подобия второго рода сводятся к гомо- тетическим симметриями переносным сим- метриям.
Теорема. Всякое подобие второго рода плоскости, отличное от движения, является гомотетической симметрией.
Д ока за тел ь ст во. Если f — подобие второго рода, не являющееся движением, тона основании сказанного выше положим f = H
k
O
◦ S
l
(k 6= 1). При O ∈ l доказывать нечего. Считаем, что O /
∈ l, и проведем через O прямую m перпендикулярно l. Пусть m ∩ l = A, S
l
(O) = O
1
,
230

H
k
O
(O
1
) = O
0
, H
k
O
(A) = рис. 97). Тогда f(O) = и f(A) = A
0
. Рассмотрим композицию гомотетий H
k
O
◦ H
(−1)
A
= H
−k
T
. Она отображает A
O
O
1
O
0
A
A
0
P
P
0
l Рис. 97
O
A
T
M
M
0
M
1
M
0
l Рис. на A
0
, O на O
0
. Центр T может быть построен по этим парам соответственных точек. Композиция есть подобие второго рода и также отображает A на A
0
, O на и поэтому совпадает с f. Итак, f = H
k
O
◦ S
l
= H
−k
T
◦ S
m
,
T ∈ Такое представление подобия второго рода композицией осевой симметрии и гомотетии с центром на оси симметрии д вуз нач н о.
Действительно, если f = H
−k
T
◦ S
m
, где T ∈ то замечая, что E = H
(−1)
T
◦ H
(−1)
T
= H
(−1)
T
◦ Z
T
=
= H
(−1)
T
◦ S
t
◦ S
m
, где t ⊥ m и t ∩ m = T , получаем. Итак = H
k
T
◦ S
t
= H
−k
T
◦ где t ⊥ m и t ∩ m = T Существует простой способ построения центра
T
гомотетической симметрии f = H
k
O
◦ S
l
= H
−k
T
◦ S
m
. Пусть для произвольной точки M S
l
(M ) = M
1
, H
k
O
(M
1
) = и ) = M
0
. Тогда (M
0
M
0
) ∩ m = T , так как) = рис. На основании двух последних теорем и классификации движений (п. 7.10) можно дать полную классификацию подобий плоскости. Иллюстрируем ее следующей схемой.
ПОДОБИЯ ПЛОСКОСТИ
подобия первого рода подобия второго рода гомотетические повороты переносы гомотетические симметрии переносные симметрии гомотетии повороты осевые симметрии центральные симметрии тождественное преобразование

§ 20. Угол, центр и двойные прямые подобия. Угол подобия. Рассмотрим сначала подобие первого рода. Оно представляет собой либо перенос, либо поворот, либо гомотетию, либо композицию гомотетии и поворота. При гомотетии и переносе прямая отображается на параллельную ей прямую, а при повороте угол между лучом и его образом постоянен он равен углу поворота. Следовательно,
при всяком подобии первого рода ориентированный угол между лучом и его образом постоянен для данного подобия. В частности, для гомотетии этот угол равен или Перейдем к подобиям второго рода. Представим каждое подобие второго рода композицией осевой симметрии с фиксированной осью и подобия первого рода. Поэтому каждому подобию второго рода будет отвечать также некоторый постоянный угол. Более точно ив удобном для практики виде этот факт можно сформулировать так.
Если f — подобие второго рода, l — фиксированная прямая и m произвольная прямая плоскости, то ориентированный угол a между прямой S
l
(m) и прямой f(m) не зависит от выбора прямой m и равен углу между прямой l и прямой Доказательство. Пусть f = y ◦ S
l
, где y — подобие первого рода.
Тогда f(m)=(y◦S
l
)(m) =
y(m
1
), где m
1
= S
l
(m). Как уже было выяснено раньше, угол a между и y(m
1
) постоянен для данного подобия первого рода, те. угол a между S
l
(m) и f(m) постоянен для данного подобия f второго рода и фиксированной прямой l. В частности, прибудет и a = ](l, Таким образом, как подобию первого рода, таки подобию второго рода соответствует определенный постоянный угол a, причем для подобия второго рода он существенно зависит от выбора фиксированной прямой l. Этот угол называется углом подобия. Центр подобия. При доказательствах теорем § 19 установлено,
что всякое подобие, отличное от движения, имеет неподвижную точку центр гомотетического поворота или центр гомотетической симметрии. При k 6= 1 неподвижная точка подобия единственна, так как если бы их было две, скажем, A и B, то необходимо AB = k · AB, откуда k = Из движений лишь поворот имеет единственную неподвижную точку. Остальные движения или не имеют неподвижных точек (перенос,
переносная симметрия, или же имеют их бесконечное множество (осевая симметрия, тождественное преобразование).
Единственную неподвижную точку подобия называют центром подобия В п. 19.1 вместе с доказательством теоремы найден способ построения центра подобия первого рода с помощью двух окружностей
(рис. 95). В п. 19.2 указан способ построения центра подобия второго рода, когда оно задано композицией гомотетии и осевой симметрии.
O
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
N
P
Q
Рис. Приведем без доказательства еще один простой способ построения центра подобия при задании подобия двумя парами соответственных точек с указанием рода.
Пусть подобие f указанного рода задано парами A → и B → B
1
. На отрезках AB и построим два квадрата ABCD и соответствующей роду подобия ориентации (рис. 99). Если (AB) ∩ (A
1
B
1
) = M ,
(CD) ∩ (C
1
D
1
) = N ,
(BC) ∩ (B
1
C
1
) =
= P , (AD) ∩ (A
1
D
1
) = Q, то точка O =
= (M N ) ∩ (P Q) — центр заданного подобия. Два подобия с общим центром. Пусть подобие первого рода с центром O отображает точки A и B соответственно в точки и Тогда k — коэффициент подобия и ]AOA
1
= ]BOB
1
=
=
f — угол подобия. Так как треугольники AOB и подобны, то = ]A
1
OB
1
=
y и k
1
. Это значит, что точки B и будут образами точек A и при гомотетическом повороте с центром коэффициентом и углом y. Имеем такой результат.
Если при подобии первого рода с центром O A → и B → B
1
, то существует подобие первого рода с центром O, при котором A → B и B
1 20.4. Двойные прямые подобия. Подобие первого рода, отличное от гомотетии и переноса, не имеет двойных инвариантных прямых. Подобие второго рода, отличное от движения, обладает двумя и только двумя перпендикулярными двойными прямыми. Действительно, в п. найдены две перпендикулярные прямые m и t, которые, очевидно, являются двойными. Гомотетическая симметрия при k 6= 1 не может иметь других двойных прямых, так как из всех двойных прямых гомотетии
H
k
T
(или H
−k
T
) затем при симметрии или S
m
) на себя отображаются только прямые m и Нетрудно видеть, что двойные прямые m и t подобия второго рода служат осями симметрии каждой пары соответственных при этом

подобии прямых, проходящих через центр подобия. Поэтому при известном центре подобия двойные прямые легко строятся.
Движение второго рода имеет либо единственную двойную прямую ось переносной симметрии, — либо бесконечное множество двойных прямых — ось осевой симметрии и пучок перпендикулярных ей прямых 21. Решение задач методом подобия
З ада ч а 1. Дан треугольник ABC, в котором угол при вершине прямой и проведена высота CD. Доказать, что медианы AM ив треугольнике ADC и DBC перпендикулярны.
Р е ш е ни е. Треугольник CDB подобен треугольнику ADC (C → A,
D → D, B → C), и эти треугольники одинаково ориентированы (рис. Рис. Поскольку D — неподвижная точка этого подобия и соответственные стороны треугольников перпендикулярны, то указанное подобие является композицией поворота и гомотетии H
k
D
, где k При этом подобии точки C и N отображаются на точки A и M соответственно. Поэтому отрезки и CN перпендикулярны.
З ада ч а 2. В окружность с центром O вписан четырехугольник. Поворот R
f
O
,
f 6= 180
◦
, отображает его на четырехугольник
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
M
N
P
Q
E
F
G
H
O
S
f
Рис. 101
A
1
B
1
C
1
D
1
. Доказать, что пары прямых и A
1
B
1
, BC и B
1
C
1
, CD и C
1
D
1
,
DA и пересекаются в вершинах параллелограмма.
Р е ш е ни е. Пусть (AB) ∩ (A
1
B
1
) =
=M , (BC)∩(B
1
C
1
)=N , (CD)∩(C
1
D
1
)=
= P , (DA) ∩ (D
1
A
1
) = Q (рис. 101). Ортогональные проекции E, G, H, точки O на прямые, содержащие стороны четырехугольника ABCD, являются серединами сторон и,
сле- довательно, EGHF — параллелограмм.
При точка E отображается на точку S. Имеем OE = OS,
∠OEM = ∠OSM = 90
◦
, ∠EOS = f, откуда следует, что в прямоугольном треугольнике EOM будет ∠EOM и OM = OE ·
1
cos(
f/2)
. Тогда точка есть образ точки E при композиции H
k
O
◦ R
f/2
O
, где k =
1
cos(
f/2)
234

Аналогично можно показать, что точки N , P , Q являются образами точек G, H, F при той же композиции, те. при подобии первого рода.
Отсюда следует, что четырехугольник M N P Q — образ параллелограмма при подобии и потому является также параллелограммом.
З ада ч а 3. Две окружности a и пересекаются в точках A и Доказать, что одну из них можно отобразить на другую гомотетиче- ским поворотом около точки A. Доказать, что прямая, соединяющая Рис. точку одной окружности с ее образом при этом преобразовании, проходит через вторую точку B пересечения окружностей.
Р е ш е ни е. Пусть O и O
1
— центры данных окружностей a ирис. Композиция H
k
A
◦ где f = и k =
AO
1
AO
, отображает O на O
1
, на себя и, следовательно, окружность a на окружность. Пусть M — произвольная точка окружности, отличная от A и B, и M
1
— ее образ при указанной композиции. Докажем, что точки , B, коллинеарны. Для этого достаточно показать, что ∠ABM + ∠ABM
1
= 180
◦
. Действительно. При указанном подобии дуга AM отображается на дугу, и поэтому угловые меры этих дуг равны. Следовательно + ∠ABM
1
=
1 2
`ABM
1
+
1 2
`AM
1
=
1 2
(`ABM
1
+ `AM
1
) = 180
◦
A
B
C
D
¯
B
¯
C
¯
D
O
O
1
w Рис. Таким образом, одну из точек пересечения двух окружностей можно принять за центр подобия первого рода, отображающего одну окружность на другую. Тогда прямые, проходящие через вторую точку пересечения этих окружностей, пересекают эти окружности в парах соответственных приданном подобии точек.
Отсюда следует, что центр подобия первого рода, при котором M → и N → N
1
, совпадает сточкой пересечения окружностей, описанных около треугольников M N B и M
1
N
1
B, где B = (M M
1
) ∩ (N Задача. Построить квадрат ABCD так, чтобы вершина A находилась в данной точке, а вершины B и C принадлежали данной окружности.
Р е ш е ни е. Пусть w = (O, R) — данная окружность, ABCD — искомый квадрат (рис. 103). Композиция поворота и гомотетии H
√
2
A
235

отображает B на C. Если есть образ окружности w при этой композиции, то C ∈
w ∩ w
1
. Отсюда и вытекает способ построения точки C, а затем и квадрата ABCD. Строим окружность w
1
. Ее центр является вершиной квадрата со стороной OA, а ее радиус равен R
1
√
2
. Число решений зависит от числа общих точек окружностей w и w
1
, а оно равно 2,
1 и 0, когда соответственно OA меньше, равен и больше R(1 Задача. Доказать, что прямые, содержащие высоты треугольника, пересекаются водной точке.
Р е ш е ни е. Пусть прямые и CC
1
, содержащие высоты треугольника, пересекаются в точке H. Так как треугольники и подобны (по двум углами одинаково ориентированы, то существует подобие первого рода, при котором A
1
→ A
1
, H → B, C → A. Тогда существует подобие первого рода, при котором A
1
→ A
1
, H → C, B → п. 20.3). При этом подобии лучи A
1
H и HB отображаются соответственно на лучи A
1
C и CA. Но так как (A
1
H) ⊥ (A
1
C), то и (HB) ⊥ (Рис. те. третья высота проходит через точку Задача проведен перпендикуляр BK к диагонали AC. Точки M и N — середины отрезков AK и CD соответственно.