Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
1 + CD 1 = AD 1 + B 1 C. Это значит, что в четырехугольник можно вписать окружность) Пусть выполнено условие BB 1 + DB 1 = DD 1 + BD 1 , что равносильно без ограничения общности рассуждений можно полагать, что эти разности положительны. Отложим DE = ирис. Тогда EB 1 = F B 1 , треугольники B 1 EF , DD 1 E, BD 1 F являются равнобедренными. Биссектрисы их углов при вершинах B 1 , D, B являются серединными перпендикулярами к сторонам треугольника ED 1 F . Точка I пересечения этих перпендикуляров равноудалена от сторон четырехугольника и потому служит центром вписанной в него окружности. A B C D B 1 D 1 I F E Рис. Рис. Задача. Через точки A и B пересечения двух окружностей проведены произвольные секущие M AN и P BQ (точки M и P лежат на A B M N P Q Рис. одной окружности, аи на другой. Доказать, что прямые M P и N Q параллельны (рис. Решение. Углы M и ABQ равны, так как каждый из них дополняет угол ABP до. Аналогично ∠N = ∠ABP . Но так как + ∠ABQ = 180 ◦ , то ∠M + ∠N = вследствие чего M P k N Задача. Даны четыре прямые, никакие три из которых не проходят через одну точку. Доказать, что окружности, описанные около четырех треугольников, образованных этими прямыми, имеют общую точку. Р е ш е ни е. Шесть точек попарного пересечения данных четырех прямых обозначены на рис. 51. Пусть P — вторая точка пересечения окружностей BDF и CDE. Тогда ∠BAC + ∠BP C = ∠BAC + ∠BP D + + ∠DP C. Сумма этих трех углов равна сумме углов треугольника , те. равна 180 ◦ , так как ∠BP D = ∠BF D и ∠DP C = каждый из них в сумме с углом DEC составляет 180 ◦ ). Равенство + ∠BP C = означает, что точка P лежит на окружности ABC. Аналогично доказывается, что через точку P проходит окружность Задача. Доказать, что в описанном четырехугольнике середины диагоналей лежат на одной прямой с центром его вписанной окружности (теорема Ньютон а). Р е ш е ни е. Пусть четырехугольник ABCD описан около окружности с центром O, точки M и N — середины диагоналей AC и BD. Тогда N — медиана треугольника M BD (рис. 52). Согласно лемме п. 4.1 для A B C D E F P Рис. Рис. того, чтобы точка O принадлежала прямой M N , необходимо и достаточно, чтобы треугольники OBM и ODM были равновелики. Докажем это. Имеем+ S CDO = 1 2 (AB + CD)r, S BCO + S ADO = 1 2 (BC + где r — радиус окружности. По необходимому условию описанного четырехугольника. Следовательно+ S CDO = S BCO + S ADO = 1 Так как S ABM = и S ADM = S CDM , то+ S CDM = S BCM + S ADM = 1 Вычтем из равенства (7.1) равенство (7.2): S ABO − S ABM = S BCM − что эквивалентно S M AO + S M BO = S M CO + S M DO . Но поскольку S M AO = = S M CO , то из последнего равенства следует S M BO = S M DO , чем и заканчивается доказательство Упражнения. Решите задачу 4.2, пользуясь критерием вписанного четырехугольника. В четырехугольнике ABCD сумма углов BAC и ACD равна сумме углов BCA и CAD и равна 90 ◦ . Докажите, что диагонали четырехугольника перпендикулярны. Около окружности описана равнобочная трапеция. Докажите, что ее высота есть среднее геометрическое оснований. Докажите, что в описанном четырехугольнике равны суммы углов, под которыми видны из центра вписанной окружности противоположные стороны. В четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ACD, касаются. Каждая из четырех окружностей внешне касается двух других. Докажите, что точки касания лежат на одной окружности. Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон ив точках D и E. Докажите, что точки пересечения прямой DE с биссектрисами углов B и C лежат на одной окружности с точками B и C. 7.8. Биссектрисы углов, образованных противоположными сторонами выпуклого четырехугольника, перпендикулярны. Докажите, что около этого четырехугольника можно описать окружность. В треугольник ABC вписана окружность и к ней проведена касательная, параллельная стороне AB. Найдите длину отрезка, отсекаемого на этой касательной сторонами треугольника, если известны длины a, b, c сторон данного треугольника. Докажите, что площадь прямоугольной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению ее оснований. Докажите, что площадь равнобочной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна произведению среднего арифметического и среднего геометрического ее оснований. Докажите, что квадраты расстояний центра окружности, вписанной в четырехугольник, до двух его противоположных вершин относятся как произведения сторон, сходящихся в этих вершинах. Внутри треугольника ABC взята точка M . Прямые M A, M B, M C пересекают стороны BC, CA, AB треугольника соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что если два из четырехугольников C 1 , BC 1 M A 1 , CA 1 M являются описанными, то и третий также является описанным 7.14. Дан четырехугольник ABCD, отличный от трапеции и параллелограмма. Через вершины A и C проведены прямые, параллельные соответственно CD и AB и пересекающие прямые BC и AD соответственно в точках и D 1 . Если четырехугольник ABCD является описанным, то и четырехугольник описанный. Если же четырехугольник является вписанным, то вписанным будет и четырехугольник. Докажите. В окружность вписан четырехугольник с перпендикулярными диагоналями. Основания перпендикуляров, опущенных из точки пересечения диагоналей на стороны, являются вершинами второго четырехугольника. Докажите, что в него можно вписать окружность и около него можно описать окружность. Из основания каждой высоты треугольника опущены перпендикуляры на две другие его стороны. Докажите, что основания всех шести перпендикуляров лежат на одной окружности. Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что ортогональные проекции точки их пересечения на стороны лежат на одной окружности. Докажите обратное утверждение. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Докажите, что в четырехугольник, вершинами которого служат ортогональные проекции точки пересечения диагоналей на стороны, можно вписать окружность. Четырехугольник вписан в одну окружность и описан около другой. Докажите, что точки касания вписанной окружности делят противоположные стороны четырехугольника в равных отношениях. Четырехугольник вписан в окружность и описан около окружности. Докажите, что прямые, соединяющие точки касания противоположных сторон, перпендикулярны. Для того, чтобы в трапецию ABCD с основаниями BC и можно было вписать окружность, необходимо и достаточно выполнения одного из двух равенств B + BP = DP, T C + AP = AD + где P — точка пересечения боковых сторон, T — проекция D на BC. 7.22. Трапеция ABCD является описанной тогда и только тогда, когда ее основания BC и AD имеют отношение tg A 2 : tg B 2 7.23. В трапецию вписана окружность. Найдите площадь трапеции, если известны длина a одного основания и длины m и n отрезков, на которые делится точкой касания одна из боковых сторон (отрезок m примыкает к данному основанию. Постройте четырехугольник по четырем его сторонам, если около него можно описать окружность 8. Теорема Симсона и теорема Птолемея В дополнение к основным критериям вписанного четырехугольника 7) докажем еще два других — теорему Симсона и теорему Птолемея. 8.1. Теорема Симсона 1 . Для того, чтобы четыре точки принадлежали одной окружности, необходимо и достаточно, чтобы ортогональные проекции одной из них натри прямые, определяемые тремя остальными точками, были коллинеарны. Прямая, на которой лежат эти проекции, называется прямой Сим- сона точки окружности, описанной около треугольника. Докажем необходимость указанного в теореме условия существования описанной около четырехугольника ABCD окружности. A B C D A 1 B 1 C 1 Рис. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность и A 1 , B 1 , C 1 — ортогональные проекции вершины D на прямые, CA, AB соответственно (рис. Из точек и сторона CD видна под прямыми углами, поэтому четырехугольник вписан в окружность с диаметром CD. Точно также четырехугольник вписан в окружность с диаметром AD. Отсюда следуют равенства вписанных в эти окружности углов ∠A 1 B 1 C и ∠ADC 1 = Кроме того, ∠DAC 1 = ∠DCA 1 , так как каждый из этих углов в сумме с углом составляет 180 ◦ . Это последнее равенство влечет за собой равенство углов ив прямоугольных треугольниках и. В результате имеем равенство углов A 1 B 1 C и AB 1 C 1 , которое означает коллинеарность точек A 1 , B 1 , C 1 , ибо точки A, B 1 , C колли- неарны. 1 Роберт Сим сон шотландский математик, пропагандист геометрии древних ученых. Историки не нашли данной теоремы в его работах. В действительности она была получена в 1797 году Вильямом У о л лесом Достаточность. Пусть точки A 1 , B 1 , коллинеарны. Построим окружности с диаметрами AD и CD. Первая из них содержит точки B 1 и C 1 , вторая — точки и B 1 . Из равенства вертикальных углов AB 1 C 1 и A 1 B 1 C следует равенство углов и и затем равенство углов и DCA 1 . Поэтому ∠DAB + ∠DCB = и, значит, четырехугольник ABCD вписан в окружность. Теорему Симсона можно сформулировать еще так ортогональные проекции точки на прямые, содержащие стороны треугольника, коллинеарны тогда и только тогда, когда эта точка лежит на описанной около этого треугольника окружности. Теорема Птолемея 1 . Для того, чтобы около четырехугольника можно было описать окружность, необходимо и достаточно, чтобы сумма произведений его противоположных сторон равнялась произведению диагоналей. Эта теорема может быть получена как следствие предыдущей теоремы Симсона. Пусть четырехугольник ABCD вписан в окружность. Пользуясь теми же обозначениями и окружностью с диаметром по теореме синусов получим A 1 B 1 = CD sin ∠A 1 CB 1 = CD sin рис. 53). По теореме синусов из треугольника ABC имеем AB = = 2R sin ∠BCA (R — радиус окружности ABC). Поэтому · Аналогично · и · Так как точки A 1 , B 1 , коллинеарны и+ B 1 C 1 = то · CD 2R + BC · AD 2R = CA · или · CD + BC · AD = CA · Здесь существенно использован тот факт, что точка лежит между точками и C 1 . Это всегда имеет место при расположении точек A, B, C, D на окружности в данной последовательности. Обратно, если соотношение (8.3) выполнено, то точка D лежит на окружности, описанной около треугольника ABC. В самом деле, для 1 Клавдий Птолемей (II в. н. э) — древнегреческий ученый-астроном, комментатор Евклида, доказывал его Пятый постулат любой точки D плоскости и ее ортогональных проекций A 1 , B 1 , на прямые BC, CA, AB имеем равенства (8.1), в силу которых (8.3) принимает вид 2R + B 1 C 1 · 2R = C 1 A 1 · откуда A 1 B 1 + B 1 C 1 = C 1 A 1 . Это означает, что точки A 1 , B 1 , коллинеарны. По достаточному условию теоремы Симсона точка D лежит на d c b f Рис. окружности Второе доказательство соотношения П толем е я. Построим на диагонали вписанного четырехугольника ABCD точку так, что ∠ADK = ∠BDC (рис. 54). Тогда треугольники и BDC подобны, откуда AD : BD = = AK : BC. Из подобия треугольников DKC и (∠DKC = ∠DAB и ∠DCK = ∠DBA) имеем : BD = KC : AB. Эти пропорции дают равенства и AB · DC = BD · KC, при сложении которых получим · BC + AB · DC = BD(AK + KC) = BD · Третье доказательство соотношения П толем е я, без использования дополнительных построений, основано на теореме косинусов. Для сокращения записи положим AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = e, BD = f . Из треугольников ABC и ACD по теореме косинусов имеем ∠ABC = a 2 + b 2 − e 2 2ab и ∠ADC = c 2 + d 2 − e 2 Поскольку ∠ABC + ∠ADC = 180 ◦ , то cos ∠ABC + cos ∠ADC = 0 и поэтому a 2 + b 2 − e 2 2ab + c 2 + d 2 − e 2 2cd = 0, откуда e 2 = cd(a 2 + b 2 ) + ab(c 2 + d 2 ) ab + cd = (ac + bd)(ad + bc) ab + Аналогично f 2 = (ab + cd)(ac + bd) ad + Значит ) 2 = (ac + bd) 2 , ef = ac + Попутно получены полезные выражения (8.4) квадратов диагоналей вписанного четырехугольника, из которых следует равенство e f = ad + bc ab + cd , (8.5) 62 те. диагонали вписанного четырехугольника относятся как суммы произведений сторон, сходящихся в концах диагоналей. З ада ч а 1. Доказать, что точки, симметричные точке, принадлежащей описанной около треугольника окружности, относительно сторон этого треугольника, лежат на прямой, проходящей через ортоцентр этого треугольника. Р е ш е ни е. Пусть D — точка на описанной около треугольника окружности и A 1 B 1 C 1 — прямая Симсона этой точки (рис. 55). Гомотетия с центром D и коэффициентом k = 2 переводит точки A 1 , соответственно в точки A 2 , B 2 , C 2 , симметричные точке D относительно. Следовательно, точки A 2 , и C 2 коллинеарны. Докажем, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на этой прямой. Для этого выполним такие построения P — вторая точка пересечения прямой CH с окружностью, (DP ) ∩ (AB) = E, (HE) ∩ (DC 1 ) = Точки H и P симметричны относительно AB (задача 4.2). Тогда прямые и KH, а также точки D и K симметричны относительно. Значит, точки K и совпадают. Предстоит доказать, что прямые и совпадают. Прямые и B 1 C 1 параллельны, поскольку гомотетичны. Покажем, что HC 2 k B 1 C 1 . В силу подобия треугольников EHP и углы DP H и DC 2 H равны. С другой стороны точки A, C 1 , и D лежат на одной окружности. Поэтому ∠DC 2 H = ∠DC 1 B 1 . Следовательно, HC 2 k и B 1 C 1 k B 2 C 2 , откуда следует, что H ∈ (Рис. Задача. Доказать, что четыре ортоцентра четырех треугольников, образованных четырьмя попарно пересекающимися прямыми, никакие три из которых не проходят через одну точку, принадлежат одной прямой Решение. На основании задачи 2 § 7 четыре окружности, описанные около треугольников ABC, AEF , DCE, BDF , имеют общую точку (рис. 51). Каждые два из этих треугольников имеют по две общих прямых из четырех заданных, вследствие чего четыре прямые Симсона точки P относительно этих треугольников совпадают. Согласно предыдущей задаче, ортоцентры этих треугольников лежат на общей прямой Симсона точки P (рис. 56). Она называется прямой Обера четырехсто- ронника. З ада ч а 3. Дана полуокружность с диаметром AB. Построить вписанную в нее трапецию ABCD, в которую можно вписать окружность. A B C D E F H 1 H 2 H 3 H 4 Рис. 56 A B C D O b a m m x Рис. Решение. Так как искомая трапеция вписана в окружность, то она равнобочная. Она легко строится, если будет найдена боковая сторона. Обозначим AB = a, CD = b, AC = BD = m. Согласно требованиям задачи имеем a + b = 2x (условие описанного четырехугольника теорема Птолемея — условие вписанного четырехугольника основание трапеции служит диаметром данной окружности. Подставляя b = 2x − a ив равенство x 2 + ab = m 2 , получаем уравнение x 2 + ax − a 2 = 0 относительно искомой боковой стороны x. Обращаясь к п. 2.7, вспоминаем, что x есть отрезок золотого сечения данного диаметра AB = a. Построение его уже известно (рис. 18). Окружность (A, x) пересекает данную полуокружность в искомой точке D (рис. 57). Трапеция всегда существует и единственна. Упражнения 8.1. Докажите соотношение Птолемея для вписанного четырехугольника, пользуясь теоремой синусов 8.2. Если точка M лежит на окружности, описанной около правильного треугольника ABC, то один из отрезков M A, M B, M C равен сумме двух других (теорема Помпе ю. Докажите. Если точка P лежит на дуге CD окружности, описанной около квадрата ABCD, то P A(P A + P C) = P B(P B + P D). Докажите. Через вершину A параллелограмма ABCD проведена произвольная окружность, пересекающая вторично прямые AB, AC, AD соответственно в точках B 1 , C 1 , D 1 . Докажите, что · AC 1 = AB · AB 1 + AD · AD 1 8.5. Точки A, B, C, D — последовательные вершины правильного семиугольника. Докажите, что. Произведение больших диагоналей вписанного шестиугольника равно сумме произведений его сторон, взятых через одну, и произведений его противоположных сторон на не пересекающую их большую диагональ. Докажите. Произвольная окружность, проходящая через вершину данного угла, отсекает на его сторонах и биссектрисе соответственно отрезки a, b, c. Докажите, что отношение a + b не зависит от положения окружности. В окружность вписан четырехугольник ABCD. Докажите, что если диагональ BD является биссектрисой одного из углов четырехугольника, то BD 2 = AB · BC + AD · DC. Докажите обратную теорему. Теорема С аль м она. Если через точку окружности проведены три произвольные хорды, на которых как на диаметрах построены окружности, то эти три окружности попарно пересекаются вторично в трех коллинеарных точках. Докажите. Прямая Симсона точки P окружности, описанной около правильного треугольника, делит пополам радиус OP . Докажите. Прямая Симсона точки P описанной около треугольника окружности параллельна прямой AQ, где Q — точка пересечения окружности с перпендикуляром, проведенным через точку P к стороне BC. Докажите. Величина угла между прямыми Симсона двух точек M и N лежащих на описанной около треугольника окружности, равна угловой мере дуги M N . Докажите § 9. Теорема Чевы Теорема Чевы 1 является критерием пересечения трех прямых водной точке и потому находит широкое применение в задачах на доказательство и вычисление. Теорема Чевы. Пусть на прямых AB, BC, CA, определяющих треугольник ABC, даны точки C 1 , A 1 , B 1 . Для того, чтобы прямые, BB 1 , пересекались водной точке или были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы Необходимость. Пусть прямые AA 1 , BB 1 , пересекаются в точке P . Проведем через вершину A треугольника ABC прямую, параллельную прямой BC (рис. 58 и 59). Из подобия треугольников и BB |