Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
1 C следует, что. Из подобия треугольников AC 1 M и BCC 1 следует, что A . По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых (§ 2) CA 1 A 1 B = M Рис. Рис. Перемножим почленно три полученные пропорции. Учитывая, что отношение сонаправленных векторов равно отношению их длина отношение противоположно направленных векторов равно числу, противоположному отношению их длин (неколлинеарные векторы делить нельзя, получаем доказываемое соотношение (Прямые AA 1 , BB 1 , называются чевианами точки P Ч е в а Джованни (1648—1734) — итальянский инженер-гидравлик и геометр. Создал учение о секущих и положил начало новой синтетической геометрии. Данная теорема опубликована в 1678 году Пусть теперь прямые AA 1 , BB 1 , параллельны (рис. 60). Тогда по теореме о пропорциональных отрезках на сторонах угла (§ 2) AB 1 B 1 C = A 1 B BC и BC 1 C 1 A = BC CA 1 Поэтому равенство (9.1) также выполняется. Д оста точность. Имеем соотношение (9.1). Предстоит доказать, что прямые AA 1 , BB 1 , пересекаются водной точке или параллельны. Для двух прямых и возможны лишь два случая а) они пересекаются в некоторой точке P , б) они параллельны. Рассматривая первый случай, докажем, что прямая проходит через точку P Пусть это не так (рис. 61). Проведем прямую CP , которая пересечет в точке C 2 . Тогда по необходимому условию теоремы Чевы AB 1 B 1 C · CA 1 A 1 B · BC 2 C 2 A = Из (9.2) и (9.1) следует. Это означает, что точки и совпадают. Следовательно, точка P лежит на прямой Рис. Рис. Если прямые и параллельны, то прямая должна быть им параллельна, так как если бы пересекала BB 1 , то по доказанному выше через точку их пересечения проходила бы прямая AA 1 , что противоречит предположению AA 1 k BB 1 . Доказательство закончено. Тригонометрическая (угловая) форма теоремы Чевы. Если ввести в рассмотрение ориентированные углы a 1 = ∠BAA 1 , a 2 = = ∠A 1 AC, g 1 = ∠ACC 1 , g 2 = ∠C 1 CB, b 1 = ∠CBB 1 , b 2 = ∠B 1 BA (рис. то соотношение (9.1) теоремы Чевы можно представить в эквивалентном виде через синусы этих углов. В самом деле, по теореме синусов b 2 = AB sin и b 1 = BC sin CB 1 B 67 Так как синусы смежных (одинаково ориентированных) углов равны, то имеем равенство (с учетом направлений векторов sin b 2 BC sin b 1 Аналогично A B C A 1 B 1 C 1 a 1 a 2 b 1 b 2 g 1 g 2 Рис. 62 CA 1 A 1 B = AC sin a 2 AB sin и sin g 2 AC sin Поэтому b 2 sin b 1 · sin a 2 sin a 1 · sin g 2 sin Итак, для того, чтобы прямые AA 1 , пересекались водной точке или были параллельными, необходимо и достаточно, чтобы sin a 1 sin a 2 · sin b 1 sin b 2 · sin g 1 sin g 2 = В частности, если AA 1 , BB 1 , CC 1 — медианы треугольника ABC, то каждое из отношений в левой части равенства (9.1) равно единице, откуда с очевидностью следует пересечение их водной точке. Если же эти прямые служат биссектрисами углов треугольника, то и потому очевидно выполнение условия (9.3). Следовательно, биссектрисы углов треугольника пересекаются водной точке. Изотомическое и изогональное соответствия. Пусть прямые, BB 1 , CC 1 , проходящие через вершины треугольника ABC, пересекаются в точке P и пересекают прямые BC, CA, AB соответственно A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 P Q Рис. в точках A 1 , B 1 , C 1 . Построим точки A 2 , B 2 , симметричные соответственно точкам A 1 , B 1 , относительно середин отрезков BC, CA, AB. Тогда прямые AA 2 , BB 2 , также пересекаются водной точке (рис. 63). Докажем это. Если точки и симметричны относительно середины E отрезка, то очевидно, что. Аналогично BA 1 A 1 C = CA 2 A 2 B и CB 1 B 1 A = AB 2 B 2 C . Поэтому если соотношение) теоремы Чевы выполнено для точек A 1 , B 1 , C 1 , то оно будет выполнено и для точек A 2 , B 2 , C 2 , и обратно. Точки P и Q пересечения рассматриваемых двух троек прямых называются изотомически сопряженными относительно треугольника. Говорят, что они находятся в изотомическом соответствии, заданном треугольником ABC. 68 Пусть, далее, прямые и симметричны относительно биссектрисы угла A треугольника ABC, прямые и симметричны относительно биссектрисы угла B, и симметричны относительно биссектрисы угла C. Тогда если первая тройка прямых имеет общую точку P , то общую точку M имеет также и вторая тройка прямых. Это с очевидностью следует из угловой формы (9.3) теоремы Чевы. В самом деле, если прямая образует с прямыми AB и AC ориентированные углы и a 2 , то прямая образует си соответственно углы и a 1 . Поэтому если соотношение (9.3) имеет место для одной тройки прямых, то оно будет иметь место и для второй тройки прямых. Точки P и M называются изогонально сопряженными относительно треугольника ABC. Говорят, что они находятся в изогональном соответствии, заданном треугольником Убедитесь, что центр O описанной окружности и ортоцентр H треугольника изогонально сопряжены относительно этого треуголь- ника. З ада ч а 1. На сторонах треугольника ABC вне его построены правильные треугольники BCA 1 , и ABC 1 . Доказать, что прямые, BB 1 , пересекаются водной точке (рис. Решение. Используем обозначения углов, принятые в пи применим теорему Чевы в тригонометрическом виде. Надо доказать соотношение (9.3). Сначала будем полагать, что углы треугольника Рис. 64 ABC меньше 120 ◦ . Из треугольников ABA 1 и CAA 1 по теореме синусов имеем+ B) = a sin и+ C) = a sin где a = BC, B и C — углы треугольника Отсюда sin a 1 sin a 2 = sin(60 ◦ + B) sin(60 ◦ + и аналогично sin b 1 sin b 2 = sin(60 ◦ + C) sin(60 ◦ + A) , sin g 1 sin g 2 = sin(60 ◦ + A) sin(60 ◦ + Видим, что условие (9.3) выполнено. Значит, прямые AA 1 , BB 1 , пересекаются водной точке. Если ∠ACB = 120 ◦ , то точки B, C, коллинеарны, точки A, C, коллинеарны. Поэтому рассматриваемые прямые пересекаются в точке. Если ∠ACB > 120 ◦ , тов доказательство следует внести небольшие коррективы. Тогда прямые и будут проходить вне треугольника, и поэтому угол 60 ◦ + C заменяется углом 360 ◦ − (60 ◦ + что не изменит результата. З ада ч а 2. Через точку M проведены к окружности касательные A и M B и две произвольные секущие CD ирис. Доказать, A B C D E F M Рис. что прямые CF и DE пересекаются на прямой AB, соединяющей точки касания. Р е ш е ни е. Применим теорему Чевы в угловой форме к прямым, CF , DE, проходящим через вершины треугольника AEF . На основании теоремы синусов синусы вписанных углов пропорциональны хордам, на которые опираются эти углы. Поэтому задача сводится к доказательству равенства Из трех пар подобных треугольников и M DA, M и F D, M EB и M BF имеем соответственно A M D , DF CE = M D M E , BE BF = M E M Поскольку M A = M B, то при почленном перемножении этих трех пропорций в правой части получаем единицу, чем и закончено решение. Опущенные подробности этого решения читатель может восполнить са- мостоятельно. З ада ч а 3. Дан треугольники две точки M и N . Прямые , BM , CM пересекают прямые BC, CA, AB соответственно в точках. Прямые AN , BN , CN пересекают прямые B 1 C 1 , соответственно в точках A 2 , B 2 , рис. 66). Доказать, что прямые, B 1 B 2 , пересекаются водной точке. Р е ш е ни е. В конце параграфа 2 (задача 2) было доказано, что при центральном проектировании прямой напрямую сохраняется двойное отношение четырех точек прямой. На этом основании имеем откуда BA 1 A 1 C · C 1 A 2 A 2 B 1 = BN 1 N 1 C · C 1 M 1 M 1 B 1 Этим же путем получаем еще два аналогичных равенства: CB 1 B 1 A · A 1 B 2 B 2 C 1 = CN 2 N 2 A · A 1 M 2 M 2 C 1 , AC 1 C 1 B · B 1 C 2 C 2 A 1 = AN 3 N 3 B · B 1 M 3 M 3 A 1 Перемножим почленно три последних равенства: BA 1 A 1 C · CB 1 B 1 A · AC 1 C 1 B · C 1 A 2 A 2 B 1 · B 1 C 2 C 2 A 1 · A 1 B 2 B 2 C 1 = = BN 1 N 1 C · CN 2 N 2 A · AN 3 N 3 B · C 1 M 1 M 1 B 1 · B 1 M 3 M 3 A 1 · A 1 M 2 M 2 C 1 В силу необходимого условия теоремы Чевы произведения в первых, третьих и четвертых скобках равны единице (прямые соответствующих троек пересекаются водной точке. Отсюда следует, что и произведение во вторых скобках также равно единице, что и надо было доказать. A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 M M 1 M 2 M 3 N N 1 N 2 N 3 Рис. Упражнения. Докажите, что прямые, соединяющие вершины треугольника с точками касания противоположных им сторон с вписанной окружностью, пересекаются водной точке 9.2. Вневписанные окружности треугольника ABC касаются его сторон в точках A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что прямые AA 1 , пересекаются водной точке. Пользуясь теоремой Чевы, докажите, что высоты треугольника пересекаются водной точке. В треугольник ABC вписана полуокружность, диаметр которой принадлежит стороне BC. Стороны AB и AC касаются полуокружности соответственно в точках и B 1 . Докажите, что прямые и пересекаются на высоте треугольника ABC. 9.5. На медиане треугольника ABC взята произвольная точка. Прямые BM и CM пересекают прямые CA и BA соответственно в точках и C 1 . Докажите, что четырехугольник BCB 1 C 1 — трапеция. Докажите, что прямые, соединяющие середины сторон треугольника с серединами соответствующих высот, пересекаются водной точке. Докажите, что ортоцентр треугольника и центр описанной около него окружности находятся в изогональном соответствии относительно этого треугольника. На сторонах треугольника во внешнюю сторону построены квадраты. Докажите, что три прямые, каждая из которых соединяет вершину треугольника с серединой противоположной стороны квадрата, построенного на противоположной стороне треугольника, пересекаются водной точке. Прямые AP , BP , CP пересекают стороны BC, CA, AB треугольника соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . Около треугольника описана окружность, пересекающая вторично прямые BC, CA, AB в точках A 2 , B 2 , C 2 . Докажите, что прямые AA 2 , BB 2 , пересекаются водной точке. На основании задачи 2 § 9 выведите способ построения касательной к окружности, проходящей через данную точку M , с помощью одной линейки (без использования циркуля. В дополнение к задаче 2 § 9 докажите, что прямые AB, CE, DF пересекаются водной точке (рис. 65). 9.12. Для того, чтобы диагонали AA 1 , BB 1 , вписанного в окружность шестиугольника пересекались водной точке, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось соотношение BC 1 · CA 1 = A 1 B · B 1 C · Докажите § 10. Классические теоремы о коллинеарности трех точек. Теорема Менелая 1 . Пусть на прямых BC, CA, AB, содержащих стороны треугольника ABC, даны соответственно точки Рис. Рис. 68 B 1 , C 1 . Для того, чтобы эти точки лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы имело место равенство Необходимость. Пусть точки A 1 , B 1 , коллинеарны (рис. 67). Через вершину проведем прямую BK k A 1 B 1 , K ∈ (AC). По теореме о пропорциональных отрезках на сторонах угла (§ 2) имеем. Подстановка этих отношений в доказываемое равенство) сводит его к очевидному Достаточно ст ь. Пусть условие) выполнено. Докажем, что точки A 1 , B 1 , коллинеарны. Если бы это было не таки прямые AB и пересекались в точке C 2 , то по доказанному −1. Из этого равенства и равенства (10.1) следует, что. Следовательно, точки и C 2 совпадают. Как и условие теоремы Чевы пересечения трех прямых водной точке (или их параллельности, условие (10.1) теоремы Менелая принадлежности трех точек одной прямой эквивалентно такому a 1 sin a 2 · sin b 1 sin b 2 · sin g 1 sin g 2 = где a 1 , a 2 , b 1 , b 2 , g 1 , g 2 — ориентированные углы между прямыми согласно рис. 68. Доказательство из п. 9.2 переносится без изменений. 1 М е не лай Александрийский (I—II в. н. э) — греческий математики астроном. Жил в Риме 10.2. Теорема Гаусса. Если прямая, не проходящая через вершины треугольника ABC, пересекает его стороны BC, CA, AB соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , то середины отрезков AA 1 , BB 1 , Рис. 69 коллинеарны. Действительно, середины M , N , отрезков AA 1 , BB 1 , лежат на прямых, содержащих стороны треугольника сверши- нами в серединах сторон треугольника (п. 2.3) (рис. 69). По теореме о пропорциональных отрезках на параллельных прямых B 2 = BC 1 C 1 A , B 2 M M C 2 = CA 1 A 1 B , C 2 N N Почленным перемножением этих равенств получаем A 2 · A 2 P P B 2 · B 2 M M Поскольку точки AA 1 , BB 1 , коллинеарны, то по необходимому условию теоремы Менелая левая часть равенства равна −1. Тогда по достаточному условию этой теоремы точки M , N , P коллинеарны. Доказанная теорема Гаусса имеет обратную. Нетрудно заметить, что четыре прямые AB, BC, CA, A 1 B 1 , участвующие в теореме Гаусса, равноправны. Четверка прямых, никакие две из которых не параллельны и никакие три не проходят через одну точку, называется четырехсторонником. Прямая M N P , на которой лежат середины указанных отрезков, называется прямой Гаусса четырехсто- ронника. 10.3. Теорема Дезарга 1 . Если прямые AA 1 , BB 1 , CC 1 , соединяющие вершины треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 , пересекаются водной точке или параллельны, то точки пересечения прямых AB и A 1 B 1 , BC и, CA и если они существуют) лежат на одной прямой. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим сначала случай, когда прямые, BB 1 , пересекаются в точке S (рис. 70). Пусть (AB) ∩ (A 1 B 1 ) = = P , (BC) ∩ (B 1 C 1 ) = Q, (CA) ∩ (C 1 A 1 ) = R. По теореме Менелая для 1 Д е за р г Жирар (1591—1661) — французский математик, заложивший основы проективной и начертательной геометрии. Был архитектором и военным инженером треугольника SAB и прямой A 1 B 1 SA 1 A 1 A · AP P B · BB 1 B 1 S = По той же теореме для треугольника SBC и прямой B 1 C 1 A B C A 1 B 1 C 1 Q R R 1 P S Рис. 70 SB 1 B 1 B · BQ QC · CC 1 C 1 S = Еще раз применим теорему Менелая к треугольнику SCA и прямой C 1 A 1 : SC 1 C 1 C · CR RA · AA 1 A 1 S = После перемножения последних трех равенств получим B · BQ QC · CR RA · SA 1 A 1 A · AA 1 A 1 S × × SB 1 B 1 B · BB 1 B 1 S · SC 1 C 1 C · CC 1 C 1 S = Каждое из трех последних произведений в скобках равно 1, поэтому B · BQ QC · CR RA = А это значит, что точки P , Q, R коллинеарны. Пусть теперь прямые AA 1 , BB 1 , параллельны (рис. 71). Пусть , (BC)∩(B 1 C 1 )=Q, (P Q)∩(AC)=R, (P Рис. Предстоит доказать, что точки R и совпадают. По теореме Менелая для треугольника и прямой AC BA AP · P R RQ · QC CB = По этой же теореме для треугольника Q и прямой A 1 C 1 B 1 A 1 A 1 P · P R 1 R 1 Q · QC 1 C 1 B 1 = Так как BA AP = B 1 A 1 A 1 P и QC CB = QC 1 C 1 B 1 (п. 2.2), то из двух предыдущих соотношений следует R RQ = P R 1 R 1 Q , те. точки R и совпадают Имеет место обратная теорема Дезарга. Для ее доказательства достаточно применить прямую теорему Дезарга к треугольниками Фигура на рис. 70, иллюстрирующая теорему Дезарга, содержит точек и десять прямых, причем на каждой прямой лежат потри точки и через каждую точку проходят три прямые. Такую фигуру называют конфигурацией Дезарга. Точка S называется дезарговой точкой, а прямая дезарговой прямой двух дезарговых треугольников ABC и. Конфигурация Дезарга обладает интересным свойством любую из 10 ее точек можно взять за дезаргову точку, тогда однозначно определяются дезарговы треугольники и дезаргова прямая каждую из прямых можно принять в качестве дезарговой прямой, тогда однозначно определяются дезарговы треугольники и дезаргова точка. Проверку этого свойства оставляем читателю. Теорема Паскаля 1 для треугольника. Касательные в вершинах неравнобедренного треугольника к описанной около него окружности пересекают прямые, содержащие противоположные стороны этого треугольника, в трех точках, лежащих на одной прямой (прямой Паскаля треугольника). Для доказательства используем теорему Менелая в тригонометрической форме (10.2). Пусть касательные в точках A, B, C пересекают |