Я. П. Понарин элементарная геометрия том 1 планиметрия, преобразования плоскости москва
 Скачать 2.08 Mb.
|
|
наименьшая? Р е ш е ни е. Пусть AB = 1, AA 1 = x. Четырехугольник является квадратом (поворот около центра данного квадрата на 90 ◦ ). Его A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O Рис. площадь равна A 1 B 2 1 = x 2 + (1 − x) 2 = 2x 2 − 2x + Эта функция имеет минимум прите. когда вершины второго квадрата являются серединами сторон данного квадрата. З ада ч а 2. Из всех трапеций, вписанных в данную окружность и имеющих общим основанием диаметр окружности, найти ту, у которой периметр наибольший. Р е ш е ни е. Пусть R — радиус окружности — боковая сторона, y — меньшее основание трапеции. Тогда по теореме Пифагора каждая диагональ трапеции равна x 2 . На основании теоремы Птолемея 4R 2 − x 2 = x 2 + 2R · y, откуда y = 2R 2 − и поэтому периметр трапеции равен 2x + y + 2R = 1 R (−x 2 + 2Rx). Функция −x 2 + 2Rx принимает наибольшее значение при x = R. А тогда и y = R. Итак, наибольший периметр имеет трапеция, у которой боковые стороны и меньшее основание равны радиусу окружности. З ада ч а 3. На сторонах AB и BC прямоугольника ABCD даны точки N и P , BN = n, BP = m. Через произвольную точку M отрезка проведены прямые M E и M F , параллельные сторонам прямоугольника (рис. 104). Найти максимальное и минимальное значение площади S прямоугольника M F DE, если BC = a, AB = b. x A B C D K M N P E F T a b m Рис. 104 112 Решение. Пусть x, y — длины сторон DE и EM прямоугольника. Тогда M K = EA = a − x, KN = AK − AN = y + n − b. Из подобия треугольников M KN и P BN имеем − x y + n − b = m n , откуда y = 1 m (−nx + an + bm − mn). Поэтому = xy = 1 m (−nx 2 + (an + bm − mn)x), x > a − Так как a > m и b > n, то an + bm − mn = (a − m)n + bm > 0. Функция+ (an + bm − mn)x имеет максимум при x 0 = an + bm − Исследуем, при каком условии x 0 6 a. Неравенство an + bm − mn 2n 6 a эквивалентно условию mn > bm − an, или b n − a m 6 1. При этом условии площадь S прямоугольника M F DE максимальна и равна + bm − mn) 2 Прибудет. В этом случае на промежутке [a − m, функция S строго возрастает. Поэтому она принимает при x = a − m минимальное значение b(a − m) и при x = a максимальное значение a(b − n). Итак, площадь S прямоугольника M F DE минимальна, когда точка M совпадает с P . Свое максимальное значение она принимает при mn > bm − an во внутренней точке M отрезка P N , а при mn < bm − an в конечной точке N В случае максимума площади S для внутренней точки M отрезка N эту точку M можно построить с помощью отрезка DE = по полученной формуле, представив ее в виде 2 (a − m) + bm Искомый отрезок DE равен полусумме отрезков CP = a − m и BT = bm при условии AT k P N : DE = 1 2 (CP + BT ), AT k P Это значит, что отрезок DE равен средней линии любой трапеции с основаниями, равными CP и BT . Условие DE > CP (x > a − m) эквивалентно. В случае, когда BT = CP , те. когда mn = an − bm максимальное значение достигается при M = P . 113 Упражнения. Из всех прямоугольных треугольников сданной высотой найдите треугольник наименьшего периметра. Дан острый угол и на одной его стороне отрезок AB. Постройте на другой стороне угла такую точку C, чтобы угол ACB был наибольшим. Внутри квадрата дана точка M . Проведите через нее прямую, отсекающую от квадрата треугольника) минимальной площади, б) максимальной площади. Из всех прямоугольных треугольников найдите тот, у которого отношение минимально. Найдите это отношение. На диагонали AC трапеции ABCD (AB k CD) найдите точку рис. 105), для которой сумма площадей треугольников AM P и CM Рис. минимальна (P Q k AB). 14.6. Дан треугольник ABC. Найдите точку, сумма квадратов расстояний которой до вершин треугольника минимальна. Дан четырехугольник ABCD. Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний до его вершин минимальна. Найдите внутри данного треугольника точку, произведение расстояний от которой до сторон треугольника максимально. Внутри треугольника ABC взята точка M , через которую проведены прямые M A, M B, M C, пересекающие соответственно стороны треугольника в точках A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что сумма A 1 + BM M B 1 + + CM M и произведение A 1 · BM M B 1 · CM M достигают минимума в цен- троиде треугольника. Через точку M , лежащую внутри остроугольного треугольника, проведены прямые M A, M B, M C, пересекающие стороны, CA, AB соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 . При каком положении точки M периметр треугольника наименьший. Проведите через вершину A треугольника ABC прямую так, чтобы сумма расстояний до нее от вершин B и C была наибольшей. Рассмотрите случаи острого, прямого и тупого углов сданной вершиной треугольника. На основании AB трапеции ABCD дана точка M . Постройте на основании CD такую точку N , чтобы площадь четырехугольника, полученного при пересечении прямых AN , BN , CM , DM , была наибольшей. Докажите, что минимальная сумма расстояний внутренней точки треугольника до его вершин равна r 1 2 (a 2 + b 2 + c 2 + 4 √ 3S). § 15. Экстремальные свойства правильных многоугольников 15.1. Изопериметрическая задача. В предыдущем параграфе (п. 14.1) было доказано, что из всех треугольников данного периметра наибольшую площадь имеет правильный треугольник. В § было доказано, что из всех четырехугольников сданными сторонами наибольшую площадь имеет вписанный четырехугольник. Его всегда можно построить (упр. 7.24). Покажем, что из всех прямоугольников данного периметра 2p наибольшую площадь имеет квадрат. Действительно, площадь S прямоугольника равна = x(p − x) = p 2 4 − p 2 − откуда видно, что максимальна она тогда и только тогда, когда p/2 − x = = 0, те. когда x = p − x = p/2. Следовательно, прямоугольник — квадрат. Такого рода задачи называют изопериметрическими задачами. В общей формулировке изопериметрическая задача такова среди плоских фигур заданного множества, имеющих равные периметры (длины граничных кривых ), найти ту, которая имеет наибольшую площадь. Эта сложная задача решалась для различных множеств фигур в течение веков швейцарскими геометрами Г. Крамером, С. Лю- илье и Я. Штейнером. Основным методом решения изопериметрических задач служит вариационное исчисление. Я. Штейнер доказал, что из всех плоских фигур данного периметра наибольшую площадь имеет круг. Доказательство Штейнера кратко и изящно, но содержит существенный пробел он предположил (ноне доказал, что фигура максимальной площади существует. А это представляет собой одну из трудных задач, решение которой далеко не эле- ментарно. Ниже рассмотрим решение (неполное) изопериметрической задачи для многоугольников. Предположив существование многоугольника заданного периметра и имеющего максимальную площадь, докажем, что таковым является правильный многоугольники только он. Общие свойства изопериметрических фигур максимальной площади рассмотрим для множества многоугольников 1 ◦ . Многоугольник, имеющий заданный периметр и наибольшую площадь, необходимо выпуклый. В самом деле, если бы невыпуклый многоугольник ABCDE (рис. 106) данного периметра имел наибольшую площадь, то, отразив вершину A его угла, большего 180 ◦ , от внешней диагонали BE в точку F , мы получили бы многоугольник большей площади итого же периметра. Всякая прямая, делящая пополам заданный периметр многоугольника максимальной площади, делит пополам и его площадь. Это свойство также просто доказывается с помощью осевой симметрии методом от противного. Пусть прямая m делит пополам периметр многоугольника ABCDE (рис. 107), те, ноне делит пополам его площадь S P EDCQ > S P ABQ . Отразив многоугольник P EDCQ от этой прямой m, получим многоугольник EDCQC 0 D 0 E 0 , имеющий вдвое большую площадь, чем S P EDCQ , т. е. большую, чем площадь данного многоугольника ABCDE, и равный с ним периметр. Если полученный многоугольник невыпуклый, то согласно его можно заменить многоугольником того же периметра еще большей площади. A B C D E F Рис. Рис. Для множества произвольных плоских фигур доказательства этих двух свойств по существу ничем не отличаются от изложенных. Они принадлежат Я. Штейнеру. 15.3. Две подготовительные задачи, которые будут нужны для доказательства основного экстремального свойства правильных многоуголь- ников. З ада ч а 1. Из всех треугольников, имеющих данную сторону c и данный периметр 2p, найти треугольник наибольшей площади. Р е ш е ни е. По формуле Герона S 2 = p(p − a)(p − b)(p − c), где p и p − c постоянны. Поэтому S максимальна тогда и только тогда, когда максимально произведение (p − a)(p − b). Но поскольку сумма (p − a) + + (p − b) = c постоянна, то произведение (p − a)(p − b) максимально лишь при равенстве сомножителей p − a = p − b, те. при a = b (п. Итак, из всех треугольников, имеющих данную сторону и данный периметр, наибольшую площадь имеет треугольник, в котором равны две другие стороны. З ада ч а 2. В данный угол вписана окружность. На большей (меньшей) из дуг, на которые она делится точками касания со сторонами угла, найти точку, в которой касательная к этой окружности отсекает отданного угла треугольник минимальной (максимальной) площади. Р е ш е ни е. Пусть P Q — касательная к окружности в произвольной точке M большей из указанных дуг окружности (рис. 108). Когда точка M приближается к одной из точек касания, площадь треугольника неограниченно увеличивается. Поэтому имеет смысл A B E P Q A 1 B 1 E 1 P 1 Q 1 C O K M Рис. искать минимум этой площади. Проведем касательную AB все- редине E этой дуги и сравним площади треугольников P QC и. Очевидно, S P QC > на разность S BQK − S AP K . Следовательно, минимум площади S P достигается, когда M совпадает с E. Проведя аналогичные рассуждения для произвольной точки меньшей дуги, приходим к выводу, что максимум площади треугольника P 1 Q 1 C будет в случае, когда точка совпадает с серединой E этой дуги. Итак, если в данный угол вписана окружность, то касательные к этой окружности в точках ее пересечения с биссектрисой угла отсекают от угла треугольник максимальной площади (по сравнению с другими касательными в точках меньшей дуги окружности) и треугольник минимальной площади (по сравнению с другими касательными в точках большей дуги. Оба эти треугольника равнобедренные. Изопериметрическая теорема для многоугольников. Из всех многоугольников заданного периметра сданным числом сторон наибольшую площадь имеет правильный многоугольник. Д ока за тел ь ст во. Пусть многоугольник A 1 A 2 . . . A n имеет заданный периметр 2p и максимальную площадь (существование его предполагаем, доказательство неэлементарно). На основании свойства п. 15.2) он выпуклый. Докажем, что он правильный. Зафиксируем все его вершины, кроме одной вершины A i . Тогда в треугольнике будет постоянна сторона и постоянна сумма двух других сторон (периметр многоугольника задан. Этот треугольник имеет максимальную площадь, когда A i занимает такое положение, что A i A i−1 = задача 1 п. 15.3). Так как вершина A i произвольная из всех вершин данного многоугольника, то все его стороны равны. Зафиксируем теперь (независимо от предыдущего фиксирования вершин) все прямые, на которых лежат стороны выпуклого многоугольника, кроме одной прямой A i A i+1 . Докажем, что прилежащие к этой стороне a углы многоугольника равны. Отсюда будет следовать в силу произвольности выбора этой стороны, что все углы многоугольника равны. Рассмотрим три мыслимых случая 1) прямые, содержащие смежные с a стороны, пересекаются в точке O, лежащей в другой полуплоскости O A i A 0 i A i+1 A 0 i+1 Рис. Рис. от прямой a i , нежели данный многоугольник) точка O их пересечения лежит водной полуплоскости с многоугольником от прямой a i , 3) эти прямые парал- лельны. Первый случай представлен рисунком. В треугольник впишем окружность. Сумма площади c этого треугольника и площади S многоугольника постоянна, так как все прямые фиксированы, кроме прямой, а она на эту сумму не влияет. Поэтому S максимальна лишь тогда, когда минимальна c. На основании задачи 2 п. 15.3 треугольник должен быть равнобедренными значит, углы многоугольника при вершинах и должны быть равны. Для другой касательной многоугольник имеет меньшую площадь и тот же периметр (теорема п. Во втором случае построим вневписанную окружность треугольника рис. 110). Разность c − S площади треугольника и площади многоугольника постоянна (в силу условия фиксирования прямых. Поэтому c и S достигают максимума одновременно. На основании задачи 2 предыдущего пункта это будет лишь тогда, когда треугольник OA i A i+1 равнобедренный, что влечет равенство углов многоугольника при вершинах A i и A i+1 . Для другой касательной площадь многоугольника будет меньше, а периметр останется тем же, так как A 0 i A i + A i A i+1 = A i+1 A 0 i+1 + это следует из описанных четырехугольников A i BCA i+1 , и В третьем случае, когда A i−1 A i k рис. 111), проведем диагональ. Полученная трапеция имеет заданную высоту h, заданный периметр и заданную боковую сторону A i−1 A i+2 . Следовательно x a Рис. будет постоянна сумма l = a + b + x, x = = A i A i+1 . Площадь 2 (a + b)h этой трапеции будет максимальна при максимальной сумме a + b = l − x, те. при минимальной боковой стороне x, что имеет место лишь при условии. Значит, ив этом случае углы многоугольника при вершинах A i и равны. Поскольку прямая произвольна, то многоугольник максимальной площади должен иметь все равные углы. Итак, многоугольник максимальной площади при заданном периметре должен быть равносторонними равноугольным одновременно, т. е. правильным. Следствие. Нетрудно подсчитать, что площадь правильного угольника с периметром 2p равна p 2 ctg 180 ◦ n . По доказанной теореме для любого угольника стем же периметром имеет место так называемое изопериметрическое неравенство 6 1 n в котором равенство достигается лишь для правильного n-угольника. Из неравенства (15.1) следует, что из всех угольников данной площади (при фиксированном n) наименьший периметр имеет правильный угольник. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, вписанных в данную окружность. Из множества всех угольников сданным числом сторон, вписанных в одну окружность, правильный многоугольник имеет наибольшую площадь и наибольший периметр. Д ока за тел ь ст во. Пусть вписанный в данную окружность w n- угольник M не является правильным. Тогда у него обязательно найдется сторона, меньшая стороны a вписанного в эту окружность правильного угольника M 0 . He сужая общности доказательства, можно полагать также, что у M имеется сторона, большая a. Этого не случится лишь тогда, когда многоугольник M полностью вписан в дугу окружности w, меньшую й части этой окружности. В этом случае многоугольник M будет целиком лежать внутри меньшего сегмента, стягиваемого хордой длины a. А тогда, очевидно, S M < S M 0 . Оставляя теперь этот случай в стороне как не противоречащий доказываемой теореме, будем менять местами стороны многоугольника M , чтобы наибольшая и наименьшая его стороны оказались соседними. Это всегда B B 1 C A Рис. можно сделать, так как изменение порядка двух смежных сторон AB и BC вписанного многоугольника сохраняет площадь треугольника (рис. 112) и поэтому сохраняет площадь многоугольника. Повторяя эту операцию нужное число раз, можно сделать соседними любые две стороны вписанного многоугольника. Пусть AB — наименьшая сторона и BC наибольшая сторона после этих перестановок (если они были необходимы. На дуге ABC окружности w построим точку такую, что хорда равна стороне a правильного вписанного многоугольника M 0 (AB < AB 1 < BC). Площадь треугольника больше площади треугольника ABC, так как они имеют общую сторону, а высота первого больше высоты второго. Таким образом, первоначальный вписанный многоугольник M оказался замененным некоторым вписанным многоугольником M 1 , имеющим большую площадь, чем M и одну сторону AB 1 , равную a. Если полученный многоугольник не является правильным, то продолжим описанный процесс, получая новые вписанные многоугольники большей и большей площади. Не более чем через n шагов этот процесс закончится правильным многоугольником, для которого S M i > Доказательство максимальности периметра по существу не отличается от предыдущего стой лишь разницей, что приходится использовать свойство, доказанное в п. 14.2 (задача 1), согласно которому из двух вписанных треугольников, имеющих общую сторону, больший периметр имеет тот, у которого больше высота, опущенная на эту сторону. Экстремальное свойство правильного многоугольника из множества многоугольников, описанных около одной окружности. Из множества всех угольников сданным числом сторон, описанных около одной окружности, правильный угольник имеет наименьшую площадь и наименьший периметр Доказательство. Пусть M и M 0 — произвольный и правильный угольники, описанные около данной окружности w. Опишем около окружность и рассмотрим круг K, для которого эта окружность является границей. Площадь многоугольника равна разности S K − − ( c 1 + c 2 + . . . + c n ) между площадью круга K и суммой площадей) сегментов этого круга, отсекаемых сторонами Рис. многоугольника рис. 113). Важно заметить, что стороны многоугольника M отсекают от круга сегменты, равные тем, которые отсекаются сторонами многоугольника M 0 , нов отличие от первых они могут иметь непустые пересечения. Поэтому площадь c, занимаемая объединением вторых сегментов, будет меньше c 1 + c 2 + . . . + c за счет наложений и непустых пересечений). Пусть K ∩ M = заштриховано на рис. Имеем S F = S K − c > S K − ( c 1 + c 2 + . . . + c n ) = Так как площадь S и периметр 2p многоугольника M , описанного около окружности w радиуса r, связаны зависимостью S = pr, то при заданном r наименьшие значения S и p достигаются одновременно, т. е. по доказанному выше для правильного n-угольника. З ада ч а. Пусть R 1 , R 2 , R 3 — расстояния от точки M до вершин треугольника ABC. Доказать, что+ R 2 + R 3 > 2 p √ 3S > где r — радиус вписанной в треугольник ABC окружности. Р е ш е ни е. Построим точки, симметричные точке M относительно сторон треугольника ABC. Соединив их последовательно с вершинами данного треугольника, получим шестиугольник с площадью 2S и периметром. Используем изопериметрическое неравенство) при n = 6: 2S 6 1 6 (R 1 + R 2 + откуда+ R 2 + R 3 > Так как S > √ 27r 2 (13.31), то+ R 2 + R 3 > Равенство достигается только для правильного треугольника и его центра § 16. Радикальная ось и радикальный центр окружностей. Степень точки относительно окружности. Возвратимся к теореме о хордах и секущих (§ 2). Пусть через внешнюю относительно окружности w(O, R) точку M проведена произвольная секущая, пересекающая эту окружность в точках A ирис, и касательная M T Тогда M A · M B = M T 2 = OM 2 − R 2 . Эта величина не зависит от выбора секущей, а зависит от выбора точки M Если точка M лежит внутри окружности w, то проведем через нее две хорды — произвольную хорду AB и хорду CD, перпендикулярную (рис. 115). Тогда M A · M B = M C · M D = −M C 2 = −(OC 2 − OM 2 ) = = OM 2 − R 2 . Наконец, в случае, когда M ∈ w, очевидно, OM 2 − R 2 = Рис. Рис. Итак, величина OM 2 − при заданной окружности w(O, R) зависит только от положения точки M . Она называется степенью точки относительно окружности w. Степени точек, лежащих вне окружности, положительны. Степени точек, лежащих внутри окружности отрицательны. Степени точек окружности w равны нулю. Радикальная ось двух окружностей определяется как множество точек плоскости, каждая из которых имеет равные степени относительно этих окружностей. Теорема. Если две данные окружности (O 1 , R 1 ) и (O 2 , R 2 ) некон- центрические, то их радикальная ось существует и является прямой линией. Д ока за тел ь ст во. Пусть точка M имеет равные степени относительно данных окружностей O 1 M 2 − R 2 1 = O 2 M 2 − R 2 2 , откуда O 1 M 2 − − O 2 M 2 = R 2 1 − R 2 2 . Для определенности полагаем R 1 > R 2 . Если R 1 = то O 1 M = O 2 M и поэтому искомое множество точек M есть серединный перпендикуляр к отрезку O 1 O 2 . При R 1 > построим отрезок a, для которого R 2 1 − R 2 2 = a 2 , и построим произвольный прямоугольный треугольник с катетом BC = a, но такой, чтобы AB + AC > рис. 116, б. Тогда окружности (O 1 , AB) и (O 2 , AC) пересекаются и их общие точки M и N принадлежат искомому множеству. Действительно O 2 M 2 = AB 2 − AC 2 = BC 2 = a 2 = R 2 1 − R 2 2 A B C a R 2 R 1 б) O 1 O 2 M N а) Рис. Итак, искомое множество точек непусто. Докажем теперь, что это множество точек есть прямая линия, перпендикулярная линии центров данных окружностей. Пусть M — фиксированная точка, а X произвольная точка этого множества. Тогда O 1 M 2 − O 2 M 2 = O 1 X 2 − − и поэтому O 1 M 2 + O 2 X 2 − O 1 X 2 − O 2 M 2 = 0. С другой стороны, согласно формуле (11.2) O 1 M 2 + O 2 X 2 − O 1 X 2 − O 2 M 2 = 2O 1 O 2 · XM Рис. Рис. Следовательно, O 1 O 2 · XM = 0 и O 1 O 2 ⊥ XM для любой точки X радикальной оси. Поскольку точка фиксирована, то радикальная ось двух окружностей есть прямая, проходящая через M перпендикулярно линии центров данных окружностей (рис. 116, а. Построение точки M уже рассмотрено. Если данные окружности пересекаются (рис. 117), то точки пересечения имеют равные (нулевые) степени относительно этих окружностей. Следовательно, их радикальная ось — прямая, содержащая эти точки. Если данные окружности касаются внешним или внутренним образом, то их радикальная ось совпадает с общей касательной в точке касания окружностей (рис. Если окружности лежат одна вне другой, не касаясь, то середина M их общей касательной имеет равные степени относительно их и потому принадлежит радикальной оси (рис. 119). 123 Понятие радикальной оси двух окружностей остается в силе ив том случае, когда одна из них вырождается в точку — нулевую окружность. При R 2 = 0 степень точки M относительно такой окружности будет равна O 2 M 2 . Поэтому радикальная ось окружности (O 1 , R 1 ) и точки есть множество точек, степень каждой из которых относительно этой окружности равна квадрату расстояния ее до точки рис. Рис. Рис. 120 16.3. Характеристические свойства точек радикальной оси окружностей. Кроме свойства точек радикальной оси, через которое она опре- O 1 O 2 T Рис. 121 l A O 1 O 2 r Рис. делена, точки этой оси имеют еще другие замечательные свойства, используемые при решении конструктивных задач. Напомним сначала понятие ортогональных окружностей. Две пересекающиеся окружности называются ортогональными, если касательные к ним в их общей точке перпендикулярны (рис. Центр каждой из двух ортогональных окружностей лежит на касательной к другой в их общей точке. С вой ст во. Внешние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси являются центрами окружностей, каждая из которых ортогональна обеим данным окружностям. Обратно, если окружность ортогональна двум данным окружностям, то ее центр принадлежит их радикальной оси. В самом деле, если точка A принадлежит радикальной оси l окружностей и и лежит вне этих окружностей, то касательные, проведенные из точки A к этим окружностям, имеют равные длины r (рис. 122). Тогда окружность (A, r) ортогональна каждой изданных окружностей Обратно, если окружность (A, r) ортогональна каждой из окружностей и a 2 , то ее центр A есть точка пересечения касательных к этим окружностям в их точках пересечения с окружностью (A, r). Тогда эти l A O 1 O 2 r Рис. касательные имеют равные длины, поэтому точка A имеет равные степени относительно окружностей и, следовательно, лежит на их радикальной оси. С вой ст во. Внутренние относительно каждой из двух данных окружностей точки их радикальной оси являются центрами окружностей, каждая из которых делится пополам обеими данными окружностями. Обратно, если две данные окружности делят пополам третью окружность, то ее центр лежит на радикальной оси этих окружностей. Действительно, пусть точка A принадлежит радикальной оси l окружностей и и лежит внутри каждой из них (рис. 123). Равенство степеней точки A относительно окружностей означает равенство полухорд этих окружностей, содержащих точку A и перпендикулярных соответственно O 1 A и O 2 A (п. 16.1). Поэтому окружность (A, r), где r длина указанных полухорд, делится пополам каждой из окружностей и a 2 . Доказательство обратного утверждения также просто. Радикальный центр трех окружностей. Это понятие основано наследующей теореме. Теорема. Если центры трех окружностей неколлинеарны, то три радикальные оси этих окружностей, взятых попарно, имеют общую точку. В самом деле, пусть радикальная ось a окружностей a и g и радикальная ось b окружностей b и g пересекаются в точке P (рис. 124). A B C P a b a Рис. Тогда точка P имеет равные степени относительно каждой из трех окружностей a, b, g. Поэтому она лежит на радикальной оси окружностей a и Определение. Общая точка радикальных осей трех окружностей, взятых попарно, называется радикальным центром этих окружностей. Построение радикальной оси двух окружностей рассмотрено в п. 16.2 вместе с доказательством теоремы о радикальной оси. Введение понятия радикального центра трех окружностей позволяет значительно упростить построение радикальной оси в случае, когда эти окружности не пересекаются, что выполнено на рис. 124 для окружностей a и b. Этот способ остается в силе ив случае, когда одна из окружностей a и b лежит внутри другой. Упражнения 16.1. Постройте окружность, ортогональную к трем данным окружностям. На данной окружности найдите точку, чтобы касательные из нее к другой данной окружности были равны отрезку от искомой точки доданной точки A. 16.3. Постройте окружность, касательные к которой, проведенные изданных точек A, B, C, были бы равны соответственно трем данным отрезкам a, b, c. 16.4. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и B и ортогональную данной окружности a. 16.5. Постройте окружность данного радиуса, ортогональную двум данным окружностям. Через две данные точки A и B проведите окружность, делящуюся данной окружностью a пополам. Через две данные точки A и B проведите окружность, которая делила бы данную окружность пополам. Постройте окружность, которая делилась бы пополам каждой из трех данных окружностей. При каких условиях она существует. На сторонах BC, CA, AB остроугольного треугольника взяты соответственно три произвольные точки A 1 , B 1 , C 1 . Докажите, что три общие хорды пар окружностей с диаметрами AA 1 , BB 1 , пересекаются в ортоцентре треугольника ABC. § 17. Пучки окружностей. Определение пучка окружностей. Виды пучков. Предварительно убедимся в истинности такого утверждения. Если прямая l является радикальной осью окружностей a и b и является радикальной осью окружностей b и g, то она есть также и радикальная ось окружностей a и g и центры этих трех окружностей коллинеарны. Действительно, по определению радикальной оси и условию доказываемого утверждения произвольная точка P прямой l имеет равные степени относительно окружностей a и b и равные степени относительно окружностей b и g и, значит, равные степени относительно окружностей и g. Поэтому точка P принадлежит радикальной оси окружностей и g. Поскольку P — любая точка прямой l, то l — радикальная ось окружностей a и g. Каждая из трех прямых, содержащих центры двух окружностей, перпендикулярна l. Следовательно, эти три прямые совпадают, те. центры окружностей a, b, g коллинеарны. Важным примером множества окружностей, каждые две из которых имеют одну и туже радикальную ось, является множество всех окружностей, имеющих две общие точки A и B. Тогда прямая AB и есть радикальная ось каждых двух окружностей из этого множества (рис. 125). Как увидим далее, этот пример не является единственным Рис. Определение. Множество всех окружностей, каждые две из которых имеют одну и туже радикальную ось l, называется пучком окружностей. Прямая l называется радикальной осью этого пучка. Центры всех окружностей пучка лежат на одной прямой, перпендикулярной его радикальной оси. Рассмотрим три возможных случая, приводящих к классификации пучков окружностей) Пусть какие-либо две окружности пучка пересекаются в точках и B. Тогда эти точки принадлежат их радикальной оси и должны иметь равные (нулевые) степени относительно каждой окружности пучка. Следовательно, любая окружность пучка проходит через эти точки. Таким образом, пучок состоит из окружностей, имеющих две общие точки. Такой пучок называется пучком пересекающихся окружностей, A l Рис. или эллиптическим пучком окружностей (рис. 125). 2) Пусть какие-либо две окружности пучка касаются в точке A (внутренним или внешним образом. Тогда их радикальная ось l есть общая касательная к ним в точке A. Любая третья окружность пучка по определению имеет туже радикальную ось с первыми двумя и потому касается прямой l в точке Итак, пучок состоит из всех окружностей, попарно касающихся в общей точке. Такой пучок называется параболическим пучком окружностей (рис. 126). 3) Пусть какие-либо две окружности пучка не имеют общих точек. Тогда и любые две окружности этого пучка не будут иметь общих точек так как в противном случае через их общие точки проходили бы все окружности пучка. Но выбранные первоначально две окружности пучка не пересекаются. Пучок непересекающихся окружностей называется гиперболическим пучком окружностей. Построение окружностей этого пучка рассмотрим чуть позже. Критерии пучка окружностей. Задание пучка. Докажем два необходимых и достаточных условия того, что некоторое множество окружностей есть пучок. К р и тер и й 1. Множество всех окружностей, ортогональных одной окружности, центры которых лежат на одной прямой, есть пучок окружностей. В самом деле, возьмем две произвольные окружности и из заданного множества M окружностей, центры которых лежат на прямой и которые ортогональны данной окружности w с центром рис. 127). По свойству точек радикальной осип) точка A принадлежит радикальной оси l окружностей и a 2 . Но эта прямая l не зависит от выбора окружностей и из заданного множества M , так как она проходит через постоянную точку A перпендикулярно заданной прямой m. Итак, любые две окружности заданного множества имеют одну и туже радикальную ось. Следовательно, это множество M ¯ m Рис. окружностей принадлежит пучку окружностей с радикальной осью Обратно, пусть x — произвольная окружность пучка с радикальной осью l, которому принадлежат окружности и a 2 . Тогда ее центр лежит на линии центров окружностей и a 2 , те. на прямой m, и окружность ортогональна w (свойство точек радикальной оси. Итак, заданное множество окружностей есть пучок окружно- стей. Следствие. Если некоторая окружность ортогональна двум окружностям пучка, то она ортогональна каждой окружности этого пучка. К р и тер и й 2. Множество всех окружностей, ортогональных двум данным окружностям, есть пучок окружностей. Действительно, центры всех окружностей заданного множества принадлежат радикальной оси двух данных окружностей. На основании критерия 1 это множество окружностей есть пучок окружностей Из определения пучка окружностей и его критериев вытекают способы задания пучка окружностей) двумя принадлежащими ему окружностями) окружностью этого пучка и его радикальной осью) линией центров окружностей пучка и одной ортогональной им окружностью) двумя окружностями, ортогональными окружностям пучка. Ортогональные пучки окружностей. Из следствия и критерия предыдущего пункта следует, что существует бесконечное Рис. Рис. 129 I 1 I 2 O 1 O 2 T A l r w Рис. множество окружностей, каждая из которых ортогональна каждой окружности данного пучка окружностей, и это множество есть также пучок окружностей. Такие два пучка окружностей называются ортогональными или сопряженными пучками окружностей. Радикальная ось одного из них является линией центров другого и наоборот. Ясно, что если один из двух ортогональных пучков окружностей параболический, то и второй также параболический (рис. 128). Если же данный пучок гиперболический, то ортогональный ему пучок является эллиптическими наоборот (рис. 129). Однако этот факт требует пояснения. Пусть даны две непересекающиеся окружности и b. Построим их радикальную ось l и возьмем на ней произвольную точку рис. 130). Длина r касательных из точки к окружностями больше, чем расстояние от точки A до линии центров окружностей. Поэтому окружность) пересекает прямую в двух точках I 1 , I 2 . Итак, произвольная окружность w пучка окружностей, ортогонального данному гиперболическому пучку, пересекает радикальную ось O 1 O 2 своего пучка. Через точки пересечения проходят все окружности пучка, те. он эллиптический Общие точки и окружностей эллиптического пучка называются предельными точками ортогонального ему гиперболического пучка. Задание окружности данного пучка. Если задан пучок окружностей, то некоторую его окружность можно выделить из пучка заданием одной ее точки, так как имеет место теорема. Теорема. Через каждую точку плоскости, не принадлежащую радикальной оси пучка окружностей, проходит одна и только одна окружность этого пучка. Д ока за тел ь ст во. Для эллиптического и параболического пучков теорема очевидна (рис. 125 и 126). В первом пучке эта окружность определяется тремя неколлинеарными точками, а во втором — двумя точками и касательной водной из них. Рассмотрим гиперболический пучок окружностей. Пусть он задан непересекающимися окружностями ирис. и дана точка M , не принадлежащая радикальной оси l этих окружностей. Построим произвольную окружность w, ортогональную окружностями. Она принадлежит сопряженному пучку окружностей, который является эллиптическим. Поэтому легко строится окружность этого пучка, содержащая заданную точку M (она описана около треугольника. Теперь осталось построить искомую окружность которая проходит через M и ортогональна b. Касательная кв точке пересекает прямую в центре X этой окружности w a 1 a 2 b Рис. 131 O X M l m x Рис. Остался без внимания один частный случай, когда M ∈ (O 1 O 2 ). Тогда предыдущий способ бессилен, хотя искомая окружность x существует. В этом случае построим окружность g с центром в точке O пересечения радикальной оси l и линии центров данного пучка, ортогональную ирис. Построим радикальную ось m окружности g и точки M. Она пересекает линию центров в центре X искомой окружности (критерий Единственность окружности пучка, содержащей данную точку M доказывается рассуждением от противного. Пусть через M проходят две окружности и пучка, заданного окружностями и a 2 . Тогда через точку M должны проходить все окружности пучка, что невозможно, поскольку M не принадлежит радикальной оси пучка. З ада ч а. Построить окружность, содержащую две данные точки и B и касающуюся данной окружности Решение. Искомая окружность x принадлежит эллиптическому пучку окружностей, пересекающихся в точках A и B. Пусть w — произвольная окружность этого пучка, пересекающая данную окружность в точках M ирис. Радикальные оси AB, M N и t окружностей, взятых попарно, пересекаются в радикальном центре P который можно построить, так как прямые AB и M N имеются. Далее строятся точки T и касания с окружностью a прямых t и t 1 , проходящих через точку P , а по ними центры X и искомых окружностей. Исследование незатруднительно. Возможны 2, 1, 0 решений t 1 a w x Рис. Упражнения 17.1. Постройте окружность, касающуюся двух данных окружностей, при этом одной из них в данной точке. Постройте окружность, проходящую через две данные точки и B и касающуюся данной прямой. Постройте окружность, касающуюся данной окружности w и данной прямой в данной ее точке A. 17.4. Докажите, что два центра гомотетий двух окружностей являются концами диаметра окружности, которая принадлежит пучку окружностей, заданному двумя данными окружностями 18. Полярное соответствие. Поляра точки относительно окружности. Точки A и B называются сопряженными относительно окружности w(O, R), если · OB = Из условия (18.1) непосредственно следует) угол AOB либо острый, либо нулевой) точка M сопряжена сама себе тогда и только тогда, когда она принадлежит базисной окружности w, так как · OM = R 2 ⇔ M ∈ w; 3) центр O окружности w не имеет сопряженной ему точки, поскольку равенство ¯ 0 · OB = противоречиво) если точка A 6= O лежит внутри окружности w, то сопряженная ей точка B лежит вне ее, так как из равенства OA · OB cos ∠AOB = при OA < R следует OB > Из равенства (18.1) легко также усматривается, что для заданной точки A, отличной от O, имеется бесконечное множество сопряженных Рис. с нею точек B, удовлетворяющих условию cos f = R 2 OA = где OB и f = ∠AOB переменные, а точка постоянная точка луча OA (рис. Отрезок можно построить как четвертый пропорциональный к отрезкам R, R, OA: OA : R = R : OB 0 . Точка B 0 — единственная точка прямой OA, сопряженная сточкой относительно w. Равенство OB cos f = OB 0 ( f — острый угол) говорит о том, что точка является ортогональной проекцией точки B напрямую Следовательно, множеством всех точек, сопряженных сданной точкой A относительно окружности w, является прямая BB 0 , перпендикулярная к прямой OA. Она называется поля рой точки A относительно данной окружности w. Точка A по отношению к своей по- ляре называется полюсом этой прямой. Центр O окружности w не имеет поляры. Прямые, содержащие не имеют полюсов. Существует несколько способов построения поляры данной точки относительно данной окружности w. Пока рассмотрим два из них. Очевидно, достаточно построить лишь одну точку поляры a точки точку ее пересечения с прямой OA. С этой целью проведем диаметр CD окружности w, перпендикулярный OA (рис. 135). Пусть Рис. 135 O A B Q P a Рис. 136 P p Рис. 137 (AC) ∩ w = P , (P D) ∩ (OA) = B. Тогда точка точка поляры a. Действительно, из подобия прямоугольных треугольников и BOD имеем OA/OC = OD/OB, те. Поляра a точки A проходит через B перпендикулярно Если точка A — точка окружности w, то ее полярой является касательная кв этой точке, поскольку каждая точка окружности сопряжена сама себе. Теорема. Если точка A лежит вне окружности w, то ее поляра содержит точки касания двух касательных, проведенных к w через точку Действительно, если AP и AQ — касательные к w ирис, то из прямоугольного треугольника AOP имеем, те. точка B сопряжена с A относительно Следствие. Если точка A лежит вне окружности w, то ее поляра a содержит общую хорду окружности w и окружности с диаметром Другой способ построения поляры точки основан на утверждении задачи 2 § 9: точка пересечения диагоналей вписанного четырехугольника принадлежит поляре точки пересечения его противоположных сторон. Отсюда следует способ построения поляры точки P одной линейкой. Через точку P проводим три секущие к базисной окружности w (рис. 137). Тогда поляра p точки P проходит через точки пересечения диагоналей полученных вписанных четырехугольников. Точки ее пересечения с окружностью суть точки касания двух касательных к окружности, проходящих через P . Поляра позволяет построить касательные к окружности одной линейкой. Принцип построения поляры точки P остается тем же ив том случае, когда точка P лежит внутри базисной окружности w. 18.2. Свойство взаимности поляр. Поляры точек относительно окружности обладают замечательным свойством если точка B лежит на поляре a точки A, то точка A лежит на поляре b точки В самом деле, из того, что точка B лежит на поляре a точки A, следует, что точки A и B сопряжены относительно окружности w. Поэтому точка A лежит на поляре b точки B (рис. На основании этого свойства взаимности поляр поляра c точки пересечения прямых a и b проходит через полюсы A и B этих прямых b c Рис. Из негоже следует поляры всех точек прямой проходят через полюс этой прямой. Отсюда очевиден способ построения полюса данной прямой надо на этой прямой взять две произвольные точки, построить их поляры, тогда общая точка этих поляр и будет полюсом данной прямой. Автополярный треугольник. Построенный выше треугольник ABC (рис. 138) обладает замечательным свойством каждая его сторона является полярой противоположной вершины, каждая вершина есть полюс противолежащей стороны. Всякий треугольник, обладающий этим свойством, называется автополярным треугольником относительно окружности Центр O окружности w является ортоцентром автополярного относительно нее треугольника, так как по свойству поляры OA ⊥ a, OB ⊥ b, OC ⊥ c. Автополярный треугольник ABC всегда тупоугольный, причем вершина тупого угла лежит внутри окружности w, а две другие вершины — вне ее. В самом деле, точка и ее поляра всегда лежат водной полуплоскости от прямой, проходящей через центр O окружности w параллельно этой поляре. Если бы точка O оказалась внутри треугольника то предыдущее условие не могло быть выполнено. Поэтому ортоцентр 134 треугольника ABC лежит вне этого треугольника и, значит, он тупо- угольный. Если точки A и B внешние относительно w, то их поляры a и b пересекаются во внутренней относительно w точке C. Обратно, если точка C внутренняя, то ее поляра состоит только из внешних точек (п. 18.1, свойство 4). Таким образом, одна и только одна из вершин ав- тополярного треугольника лежит внутри окружности w. Вершина C автополярного треугольника ABC, внутренняя относительно w, лежит внутри треугольника OAB и является его ортоцентром, поэтому треугольник остроугольный, а угол ACB тупой. Полярное соответствие относительно окружности. Принцип двойственности. Если дана окружность с центром O, то между множеством точек плоскости (с исключенной точкой O) и множеством прямых (кроме прямых, содержащих точку O) устанавливается взаимно однозначное соответствие каждой точке соответствует ее поляра и каждой прямой соответствует ее полюс. При этом множеству всех точек прямой соответствует множество всех прямых пучка, и обратно. Это соответствие называется полярным соответствием относительно окружности. Полярное соответствие естественным образом приводит к принципу двойственности в геометрии, который заключается в следующем. A B C D M N P Рис. 139 A B C D E F a b c Рис. Для любой конфигурации, состоящей из точек и прямых, в которой определенные точки лежат на определенных прямых, существует двойственная ей конфигурация из прямых и точек, в которой определенные прямые проходят через определенные точки. Например, фигуре, состоящей из четырех точек A, B, C, D, никакие три из которых не лежат на одной прямой, и шести прямых, соединяющих эти точки попарно (рис. 139), двойственна фигура, состоящая из четырех прямых a, b, c, d, никакие три из которых не пересекаются водной точке, и шести точек, в которых попарно пересекаются эти четыре прямые (рис. Первая фигура называется полным четы- рехвершинником (полным четырехугольником, а вторая — полным четырехсто- ронником. В полном четырехвершиннике 135 ABCD прямые AB, BC, CD, DA, AC, называются его сторонами, точки M = (AC) ∩ (BD), N = (AB) ∩ (CD), P = (BC) ∩ (AD) называются его диагональными точками, а прямые N , M P , P N — его диагоналями. В полном четырехстороннике abcd прямые a, b, c, d называются его сторонами, точки A = a ∩ d, B = a ∩ b, C = b ∩ c, D = c ∩ d, E = a ∩ c, F = b ∩ d — вершинами, а прямые AC, BD, EF — диагоналями. Окружности w как множеству всех ее точек двойственна фигура, представляющая собой множество всех касательных к w (поляр точек. А это последнее множество прямых определяет туже самую окружность w как кривую, касающуюся каждой прямой данного мно- жества. Каждой теореме о конфигурации прямых и точек соответствует двойственная теорема о двойственной конфигурации точек и прямых. Вторую (двойственную) теорему можно получить из первой взаимной заменой слов: точка — прямая, полюс — поляра, лежит на проходит через, коллинеарные точки прямые, пересекающиеся водной точке, трехвершинник (треугольник трехсторонник (треугольник), четырехвершинник — четырехсторонник, касательная — точка касания и т. д. Обе теоремы двойственны друг другу, те. одна из теорем верна если и только если верна вторая. П р им ер. Обратимся к теореме Паскаля (§ 10): точки пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника лежат на A B C D E F P Рис. одной прямой. В полярном соответствии относительно описанной около него окружности вершинам этого шестиугольника соответствуют касательные в этих вершинах. Следовательно, вписанному шестиугольнику соответствует описанный шестисторонник (шестиугольник. Точкам пересечения противоположных сторон вписанного шестиугольника соответствуют прямые, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника. Итак, теореме Паскаля будет двойственна теорема в описанном шестиугольнике прямые, соединяющие его противоположные вершины (те. большие диагонали), пересекаются водной точке (рис. Французский математик Шарль Б р и ан ш он) доказал эту теорему в 1806 г, поэтому она носит его имя — теорема Бриан- шона. Простых прямых доказательств ее не имеется. П р им ер. В описанном четырехугольнике прямая, содержащая точки касания двух смежных сторон, и прямая, содержащая точки касания двух остальных сторон, пересекаются на продолжении диагонали этого четырехугольника (рис. 142). Этому предложению двойственно предложение во вписанном четырехугольнике точка пересечения касательных в двух смежных вершинах и точка пересечения касательных в двух оставшихся вершинах лежат на одной прямой сточкой пересечения двух противоположных сторон (рис. 143). Наблюдательный читатель без труда заметит, что в этих двух разных на первый взгляд предложениях по существу содержится один и тот же факт. Доказательству подлежит только одно из этих предложений. Проще доказывается первое. Сделайте это в качестве несложного упражнения. Рис. Рис. Пример Пусть A и B — две произвольные точки, a и b — их поляры относительно окружности с центром O, ∠AOB = f. Тогда угол между прямыми a ив котором лежит точка O, равен 180 ◦ − f. Следствием этого факта является взаимная двойственность двух утверждений) во вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 ◦ , 2) если O — центр окружности, вписанной в четырехугольник, то + ∠COD = ∠BOC + ∠AOD = Упражнения. Докажите, что диаметрально противоположные точки одной окружности только тогда сопряжены относительно другой, когда эти окружности ортогональны 18.2. Точка M — середина стороны AB треугольника ABC, H — его ортоцентр. Докажите, что C · M H = 1 4 AB 2 18.3. Точки A и B сопряжены относительно окружности тогда и только тогда, когда квадрат расстояния между ними равен сумме их степеней относительно этой окружности. Докажите. Четырехугольник вписан в окружность. Докажите, что треугольник с вершинами в точках пересечения его противоположных сторон и точке пересечения диагоналей является автополярным относительно этой окружности. Точки A и A 1 , B и сопряжены относительно окружности Докажите, что точки C = (AB) ∩ (A 1 B 1 ) и C 1 = (AB 1 ) ∩ (A 1 B) также сопряжены относительно w. Докажите, что окружности с диаметрами, принадлежат одному пучку. Дан тупоугольный треугольник. Докажите, что существует единственная окружность, относительно которой этот треугольник является автополярным. Постройте эту окружность. Даны три окружности, центры которых не лежат на одной прямой. Найдите множество точек, для каждой из которых три сопряженные ей точки относительно данных окружностей совпадают. Дана окружность и на ней точка A. С помощью одной линейки постройте касательную к окружности в точке A. 18.9. Дан прямоугольник с центром в центре O окружности w. Докажите, что его образом в полярном соответствии относительно w является ромб. Постройте конфигурацию, двойственную конфигурации Пап- па (упр. 10.9). Сформулируйте теорему, двойственную теореме Паппа. 18.11. Сформулируйте теорему, двойственную теореме Брианшона для описанного четырехугольника (упр. Задачи общего содержания. Стороны параллелограмма равны a и b, а угол между диагоналями равен a. Найдите площадь параллелограмма. Площадь ромба равна S, сумма длин его диагоналей равна Найдите длину стороны ромба. Высота и биссектриса прямоугольного треугольника, проведенные через вершину прямого угла, равны соответственно 3 и 4. Найдите площадь треугольника 4. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3 √ 39 и BC = √ 39, ∠BAD = 30 ◦ , ∠ADC = 60 ◦ . Через точку D проведена прямая, делящая трапецию на равновеликие части. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции. Найдите сторону квадрата, вписанного в прямоугольный треугольник с катетами 3 и 4. Одна сторона квадрата принадлежит гипотенузе. В треугольнике ABC биссектриса AK перпендикулярна медиане , угол ABC равен 120 ◦ . Найдите отношение площади треугольника к площади описанного около него круга. Даны углы a, b, g треугольника ABC и медиана AM = m. Вычислите его площадь. В трапеции ABCD длина основания AD равна. Диагонали ее пересекаются в точке K, AK = 1, KD = 2, ∠BAC = ∠DAC. Найдите площадь треугольника ABC. 9. Угол при основании равнобедренного треугольника равен a. В каком отношении делит площадь этого треугольника прямая, делящая его основание в отношении 2 : 1 и составляющая острый угол b с меньшей частью основания. Прямая AD делит медиану BM треугольника ABC в отношении : 1, считая от точки B. В каком отношении эта прямая делит площадь треугольника ABC? 11. На сторонах AB, BC, CD, DA выпуклого четырехугольника взяты соответственно точки K, L, M , N , делящие их соответственно в отношениях 2 : 1, 1 : 3, 1 : 1, 1 : 5. Площадь четырехугольника равна 1. Найдите площадь шестиугольника AKLCM N . 12. Найдите площадь трапеции с основаниями a и b (a > b), у которой диагонали перпендикулярны, а угол между боковыми сторонами равен a. 13. В прямоугольной трапеции ABCD меньшее основание AD равно, боковая сторона CD, не перпендикулярная к основаниям, равна Точка E — середина CD, угол CBE равен a. Найдите площадь данной трапеции. Вычислите площадь трапеции, если даны длины e и f ее диагоналей и длина m отрезка, соединяющего середины ее оснований. Через вершину C прямого угла треугольника ABC проведена прямая l, перпендикулярная медиане CM треугольника ABC. Точки и B 1 — ортогональные проекции вершин A и B напрямую. Докажите, что 1) площадь трапеции AA 1 B 1 B вдвое больше площади треугольника 2) 4AA 1 · BB 1 = A 1 B 2 1 16. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 6 и 5. Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей. Точка D лежит на стороне AC правильного треугольника Найдите отношение радиусов окружностей, описанных около треугольников и ABC, если AD : AC = n. 18. Две окружности касаются внутренним образом. Прямая, проходящая через центр меньшей окружности, пересекает большую окружность в точках A и D, а меньшую — в точках B и C. Найдите отношение радиусов окружностей, если AB : BC : CD = 2 : 4 : 3. 19. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану натри равных отрезка. Найдите отношение сторон треугольника. В прямоугольном треугольнике длины катетов равны a и b (a < Найдите радиус окружности, проходящей через середину меньшего катета и касающейся гипотенузы в ее середине. В прямоугольном треугольнике ABC проведена высота CD на гипотенузу AB. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники BDC и ADC, если BC = 4, AC = 3. 22. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны в точке D, а вневписанная окружность касается стороны BC в точке. Найдите длину DE, если радиусы этих окружностей равны 3 и а угол BCA равен 120 ◦ 23. Трапеция ABCD с основаниями BC = 2 и AD = 10 такова, что в нее можно вписать окружность и около нее можно описать окружность. Определите положение центра описанной окружности относительно трапеции. Найдите отношение радиусов этих окружностей. Точка E лежит на стороне AC правильного треугольника точка K — середина отрезка AE. Прямая, проходящая через точку перпендикулярно AB, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD. 25. Равнобедренные треугольники ABC (AB = BC) и A 1 B 1 C 1 (A 1 B 1 = B 1 C 1 ) равны. Точки A 1 , B 1 , лежат соответственно на лучах, BA, AC вне данного треугольника ABC. Стороны и перпендикулярны. Найдите углы треугольника ABC. 26. Окружность с центром на гипотенузе AB прямоугольного треугольника пересекает гипотенузу в точках N и L, касается катета в точке M и касается катета BC. Найдите AB, если M N : AN = и AM = 10/27. 140 27. Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке Докажите, что центры окружностей, описанных около треугольников, OBC, OCD, ODA, являются вершинами параллелограмма. Докажите, что если угол между диагоналями четырехугольника равен то четырехугольники параллелограмм равновелики. 28. Точки P и Q — середины сторон BC и CD выпуклого четырехугольника. Докажите, что если прямые AP и AQ делят диагональна три равные части, то четырехугольник — параллелограмм. Две равные окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и а через точку B проведена прямая, перпендикулярная CD. Эта прямая пересекает окружности в точках E и F . Докажите, что точки C, D, E, F являются вершинами ромба. Через точку M диагонали AC четырехугольника ABCD проведена прямая, параллельная AB и пересекающая BC в точке N . Докажите, что если треугольники DAM и DBN равновелики, то AB k DC. Сформулируйте и докажите обратное утверждение. В треугольнике ABC угол B тупой, AC = 6. Центр окружности, описанной около треугольника ACH (H — ортоцентр треугольника, лежит на окружности ABC. Найдите радиус окружности ABC. 32. В прямоугольном треугольнике ABC проведена прямая через вершину A и середину высоты CD, пересекающая катет BC в точке M Докажите, что B = cos 2 A. 33. Точка I — центр вписанной в треугольник ABC окружности. Докажите, что центр окружности, описанной около треугольника принадлежит биссектрисе угла ACB. 34. В треугольнике ABC проведена биссектриса BD. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABD, если AB = 21, BC = и cos BAC = 5 7 35. Площадь выпуклого четырехугольника ABCD равна S, а его диагонали пересекаются в точке M . Докажите, что если площади и треугольников M AB и M CD удовлетворяют условию √ S 1 + √ S 2 = √ S, то данный четырехугольник есть трапеция. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, пересекает сторону AC в точке и сторону BC в точке B 1 . Через вершину проведена произвольная прямая, пересекающая сторону AB в точке D. 141 Докажите, что площадь четырехугольника есть среднее геометрическое площадей треугольников CAB и CA 1 B 1 . Сформулируйте и докажите обратное утверждение. Через точку M проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A и B. Через точку A проведена прямая, перпендикулярная диаметру BD и пересекающая его в точке N . Докажите, что прямая D делит отрезок AN пополам. Диагональ BD трапеции ABCD равна m, а длина боковой стороны равна n. Найдите CD, если CD = CA = CB. 39. В треугольнике ABC AB = 20, AC = 24. Известно, что вершина центр вписанной окружности и точка пересечения биссектрисы угла со стороной BC лежат на окружности, центр которой принадлежит стороне. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника. Для того, чтобы ортоцентр треугольника ABC лежал на прямой, содержащей его среднюю линию, параллельную AB, необходимо и достаточно, чтобы cos C = cos A cos B. Докажите. В окружность радиуса R вписан треугольник ABC. Докажите, что IC 2 = ab − 4Rr и 4R 2 − где I — центр вписанной окружности, а точка D диаметрально противоположна вершине C. 42. В треугольнике ABC построена точка D, симметричная центру вписанной окружности относительно центра O описанной окружности. Докажите, что CD 2 = 4R 2 − BC · AC. 43. В окружности w с центром O проведены два перпендикулярных радиуса OA и OB. Через вершину A треугольника OAB и центр вписанной в него окружности проведена хорда окружности w. Вычислите отношение AM : M A 1 44. В окружность радиуса R вписан правильный треугольник Через вершину C проведена произвольная прямая, пересекающая прямую в точке M , а окружность — вторично в точке N . Вычислите произведение CM · CN . 45. Вычислите угол при вершине C равнобедренного треугольника, если центр его описанной окружности принадлежит прямой, проходящей через ортогональные проекции вершин A и B на противоположные стороны. В параллелограмме ABCD AC = AB √ 2. Докажите, что угол между диагоналями равен углу между его сторонами 47. Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению sin A + sin B sin C = sin 2A + sin 2B sin Докажите, что оно эквивалентно равенству cos A + cos B = 1. 48. В прямоугольном треугольнике длины медианы и высоты, проведенных к гипотенузе, равны m и h. Найдите длину биссектрисы прямого угла. Докажите соотношение для произвольного треугольника ABC: IA 2 bc + IB 2 ca + IC 2 ab = 1. 50. Докажите соотношение для произвольного треугольника ABC: 2S = IA 2 sin A + IB 2 sin B + IC 2 sin C. 51. Докажите, что радиусы r i вневписанных окружностей треугольника удовлетворяют равенству+ r 2 r 3 + r 3 r 1 = p 2 52. Найдите зависимость между радиусами вневписанных окружностей прямоугольного треугольника. Докажите соотношение для произвольного треугольника ABC: r + r 1 + r 2 − r 3 = 4R cos C. 54. В квадрат вписан правильный треугольник так, что одна его вершина совпадает с вершиной квадрата. Найдите отношение площади треугольника к площади квадрата. Серединный перпендикуляр к стороне AB треугольника пересекает его высоту в точке K. Серединный перпендикуляр к стороне BC пересекает туже высоту в точке M . Радиус описанной окружности равен R, BK = a. Найдите M B. 56. Точка O — центр окружности, описанной около треугольника. Прямая, проходящая через B перпендикулярно OA, пересекает в точке K. Прямая, проходящая через C перпендикулярно пересекает AB в точке M . Найдите BC, если BK = a, CM = b. 57. На стороне BC ромба ABCD взята точка P . Окружность, описанная около треугольника ABP , пересекает вторично прямую BD в точке Q. Окружность, описанная около треугольника CP Q, пересекает вторично прямую BD в точке L. Докажите, что точки A, P , L лежат на одной прямой 58. Две окружности радиусов R и r касаются внутренним образом в точке A. Прямая, перпендикулярная линии центров, пересекает одну окружность в точке B, другую — в точке C. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. 59. В треугольнике ABC угол C равен 60 ◦ , радиус описанной окружности равен 2 √ 3. Точка D делит сторону AB в отношении 2 : 1, считая от точки A. Найдите площадь треугольника ABC, если CD = 2 √ 2. 60. Дан прямоугольный треугольник ABC (∠C = 90 ◦ ). Вершина треугольника DEF лежит между A и B, точка A лежит между D и Треугольники ABC и DEF имеют общую среднюю линию LK, параллельную. Площадь четырехугольника DKLB равна 5/8 площади треугольника ABC. Найдите угол DEF . 61. В выпуклом четырехугольнике ABCD AD = DB, ∠CAD = 30 ◦ , ∠ABC = 150 ◦ . Докажите, что диагональ AC делит угол BCD пополам. Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h. Докажите, что вершины острых углов этого треугольника и проекции основания высоты на катеты лежат на одной окружности. Докажите, что эта окружность делит высоту в золотом отношении. Найдите длину хорды этой окружности, отсекаемой на прямой, содержащей высоту. Докажите, что отрезок общей внешней касательной к двум окружностям, заключенный между общими внутренними касательными, равен длине общей внутренней касательной. Две окружности a и b, лежащие вне друг друга, пересекают их линию центров в наиболее удаленных друг от друга точках A и B, A ∈ a, B ∈ b. Через точку A проведены две касательные к окружности b, через — две касательные к a. Построены две окружности, одна из которых касается первых двух касательных и окружности a изнутри, а другая касается вторых двух касательных и окружности b изнутри. Докажите, что эти окружности равны. Каждая диагональ четырехугольника имеет длину a, а сумма его средних линий равна b. Вычислите площадь четырехугольника. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AM и , O — центр описанной окружности. Найдите сторону AC, если площадь четырехугольника OM BN равна S, ∠ABC = b. 67. В окружности проведены две пересекающиеся хорды AB и На хорде AB взята точка M так, что AM = AC, а на хорде CD точка N такая, что DN = DB. Докажите, что если точки M и N не совпадают, то прямая M N параллельна прямой AD. 144 68. Если одна из сторон четырехугольника является диаметром описанной около него окружности, то проекции сторон, прилежащих к этой стороне, напрямую, содержащую четвертую сторону, равны. Докажите. В окружность вписаны два четырехугольника с соответственно параллельными сторонами. Докажите, что диагонали одного четырехугольника соответственно равны диагоналям другого. Дан четырехугольник ABCD. Окружности, вписанные в треугольники и ACD, касаются диагонали AC в точках P и Окружности, вписанные в треугольники ABD и BCD, касаются диагонали в точках M и N . Докажите, что P Q = M N . 71. Через вершину A квадрата ABCD проведены два луча, образующие угол 45 ◦ . Один луч пересекает сторону BC в точке M и диагональ в точке N , другой — сторону CD в точке P и диагональ BD в точке. Докажите, что точки C, M , N , P , Q лежат на одной окружности. Докажите, что отрезки, соединяющие точки касания противоположных сторон описанного четырехугольника, равны тогда и только тогда, когда четырехугольник имеет пару равных противоположных углов. Если в выпуклом четырехугольнике ABCD ни одна из диагоналей не делится другой диагональю пополам, тоне существует такой точки O, чтобы треугольники AOB, BOC, COD, DOA были равнове- лики. Докажите. В равнобочную трапецию вписана окружность и около этой трапеции описана окружность, центр которой принадлежит основанию трапеции. Найдите отношение радиусов этих окружностей. В окружность вписан четырехугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями. Докажите, что прямые, проходящие через середины его сторон перпендикулярно противоположным сторонам, проходят через точку пересечения диагоналей этого четырехугольника. В окружность вписан четырехугольник ABCD, в котором диагональ проходит через середину диагонали AC. Докажите, что AB 2 + BC 2 + CD 2 + DA 2 77. В окружность вписан четырехугольник ABCD, диагонали которого пересекаются в точке M . Докажите, что точка M является серединой тогда и только тогда, когда BA : AD = DC : CB. 78. Докажите, что в пятиугольнике, вписанном в окружность, сумма любых двух углов, не прилежащих к одной стороне, больше 180 ◦ 79. Дан правильный семиугольник A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 . Докажите, что 4 = A 1 A 2 2 + A 1 A 3 · A 1 A 4 145 80. Докажите, что площадь S четырехугольника ABCD можно вычислить по формуле (p − a)(p − b)(p − c)(p − d) + 1 4 (e 2 f 2 − (ac + bd) 2 ). 81. Вычислите площадь четырехугольника по четырем его сторонам, если углы между его противоположными сторонами равны. Докажите, что квадрат площади описанного около окружности четырехугольника ABCD равен abcd sin 2 B + D 2 83. Через точку M , взятую на высоте BD треугольника ABC, проведены прямые AM и CM , которые пересекают стороны BC и соответственно в точках P и Q. Докажите, что ∠P DB = ∠QDB. 84. В четырехугольнике острый угол между диагоналями равен Через каждую вершину проведена прямая, перпендикулярная диагонали, не проходящей через эту вершину. Найдите отношение площади четырехугольника, ограниченного этими прямыми, к площади данного четырехугольника. Известны углы треугольника ABC, каждый из которых меньше. Найдите отношение площади треугольника с вершинами в основаниях его высот к площади треугольника ABC. 86. Две окружности касаются сторон прямого угла, одна проходит через центр другой. Найдите отношение их радиусов. Одна из высот треугольника видна из центра описанной около него окружности под прямым углом. Найдите зависимость между углами этого треугольника. Докажите, что если для треугольника ABC имеет место равенство, то этот треугольник является прямоугольным равнобедренным. Вписанная окружность касается сторон треугольника ABC в точках A 1 , B 1 , C 1 , а вневписанные окружности касаются этих сторон в точках A 2 , B 2 , C 2 . Докажите, что треугольники A 1 B 1 C 1 , и A 2 B 2 C 2 равновелики. 90. Докажите, что если ортоцентр треугольника лежит на его окружности девяти точек, то треугольник прямоугольный. Три равные попарно пересекающиеся окружности имеют общую точку H. Докажите, что вторые точки пересечения этих окружностей являются вершинами треугольника, для которого точка H — ортоцентр, а описанная окружность равна данным окружностям 92. Через точки пересечения двух окружностей проведены параллельные секущие. Докажите, что отрезки этих секущих, заключенные внутри окружностей, равны. Докажите, что прямые, соединяющие середины дуг, стягиваемых противоположными сторонами вписанного в окружность четырехугольника, перпендикулярны. Три окружности попарно касаются друг друга внешним образом. Докажите, что общие касательные к данным окружностям в их точках касания пересекаются водной точке. На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC взята произвольная точка P . Докажите, что окружности, описанные около треугольников и BP C, ортогональны. В прямоугольном треугольнике ABC проведены перпендикуляр к гипотенузе AB и биссектрисы CE и CF углов ACD и Докажите, что S CEF > 1 + √ 2. 97. Докажите, что для углов любого треугольника ABC имеет место неравенство n √ sin A + n √ sin B > n √ sin C, n ∈ N. 98. Докажите неравенство для произвольного треугольника ABC cos 2A + cos 2B − cos 2C 6 3 2 99. Докажите, что в окружности радиуса R сумма длины ее хорды и ее расстояния до центра не больше R √ 5. 100. Дан прямоугольник со сторонами a и b. Две окружности радиусов и построены так, что каждая из них проходит через вершины одной из двух смежных сторон и касается противоположной стороны. Доказать, что R 1 + R 2 > 5 8 (a + b). 101. Продолжения медиан AA 1 , BB 1 , треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках A 2 , B 2 , соответственно. Докажите, что 6 9 4 102. Около окружности радиуса r описан четырехугольник Докажите, что AB + CD > 4r. 103. Около окружности описан четырехугольнику которого k BC. Докажите, что AB + CD > 2 √ S (S — его площадь 104. Через центр I вписанной в треугольник окружности проведена прямая, отсекающая от него треугольник с площадью S. Докажите, что > 2r 2 (r — радиус вписанной окружности. Для произвольного треугольника докажите неравенство+ m 2 b + m 2 c )(h 2 a + h 2 b + h 2 c ) > 27S 2 106. Докажите, что для любого треугольника ABC 3a 2 + 3b 2 − c 2 > Когда имеет место равенство. Докажите, что площадь выпуклого четырехугольника не превышает суммы квадратов его сторон и диагоналей. Докажите, что для произвольного треугольника ABC и произвольной точки M выполняется неравенство · M C 2 + BC · M A 2 + CA · M B 2 |