Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
2 + + sin x sin a 2 cos( p − w). Следовательно, cos b + cos g = 2 cos x cos a 2 , откуда cos x = cos b + cos g 2 cos a 2 З а д а ч а 3. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Найдите угол между плос- костями ABD 1 и ADC 1 38 Р е ш е н и е. Указанные плоскости пересекаются по прямой AC 1 Рассмотрим триэдр A(BC 1 D) (можно использовать рис. 12). Угол BAD прямой, косинусы углов BAC 1 и DAC 1 равны 1 √ 3 , а их синусы равны r 2 3 . Поэтому 0 = 1 √ 3 2 + r 2 3 2 cos x, откуда cos x = − 1 2 . Но угол между плоскостями по определению нетупой. Значит, он равен 60 ◦ Иное решение получается сразу, без вычислений, если заметить, что угол между указанными плоскостями равен углу между соответствен- но перпендикулярными к ним прямыми CB 1 и CD 1 , а он равен 60 ◦ , поскольку треугольник CB 1 D 1 правильный. § 4. Замечательные прямые и плоскости триэдра 4.1. Медианные плоскости триэдра. Плоскость, содержащая ребро триэдра и биссектрису противоположного плоского угла, называется A B C O A 1 B 1 C 1 G Рис. 27 медианной плоскостью этого триэдра. Теорема 1. Три медианные плоскости три- эдра имеют общую прямую. (Она называется медианой триэдра). Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим на ребрах данного триэдра от его вершины равные от- резки OA, OB, OC и проведем биссектрисы OA 1 , OB 1 , OC 1 углов BOC, COA, AOB соот- ветственно (рис. 27). Тогда отрезки AA 1 , BB 1 , CC 1 будут медианами треугольника ABC. Ес- ли G — точка их пересечения, то прямая OG является общей прямой медианных плоскостей OAA 1 , OBB 1 , OCC 1 триэдра. 4.2. Ось вписанного кругового конуса. Пусть дан двугранный угол с ребром a. Построим один из его линейных углов и проведем его биссек- трису l (рис. 28). Полуплоскость с границей a, содержащая луч l, делит данный двугранный угол на два равных двугранных угла. Она называ- ется биссекторной полуплоскостью этого угла. Плоскость, содержащая эту полуплоскость, имеет такое же название — биссекторная плоскость двугранного угла. Точна M принадлежит биссекторной плоскости двугранного угла тогда и только тогда, когда она равноудалена от плоскостей граней это- го угла. Иначе говоря, биссекторная плоскость двугранного угла есть 39 множество точек пространства, каждая из которых равноудалена от плоскостей граней этого угла. Теорема 2. Биссекторные плоскости двугранных углов триэдра имеют общую прямую, равнонаклоненную к его граням. Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, две биссекторные плоскости пересекаются по прямой p, каждая точка которой равноудалена от трех l O a M Рис. 28 граней триэдра, поэтому эта прямая ле- жит и в третьей биссекторной плоско- сти. Она образует равные углы с гранями триэдра, что видно из равенства соответ- ствующих прямоугольных треугольников (рис. 28). Построим ортогональные проекции прямой p пересечения биссекторных плос- костей триэдра на плоскости его граней. Эти прямые задают круговую коническую поверхность (круговой конус), для которой они служат образующими, а прямая p — осью. Этот конус называется вписанным в данный триэдр. Итак, общая прямая трех биссекторных плоскостей триэдра является осью кругового конуса, вписанного в этот триэдр. Вписанный в три- эдр круговой конус касается плоскостей его граней по ортогональным проекциям его оси на грани. 4.3. Ось описанного конуса. Три плоскости, каждая из которых проходит через биссектрису плоского угла триэдра перпендикулярно соответствующей грани, имеют общую прямую. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан триэдр Oabc. Рассмотрим одну из указанных плоскостей (плоскость p) и в ней произвольный луч m g/2 p M m O a m 1 b Рис. 29 с началом O (рис. 29). Применяя фор- мулу (2.7) к триэдрам Oamm 1 и Obmm 1 , где m 1 — биссектриса плоского угла g (ортогональная проекция луча m на его плоскость), убеждаемся, что луч m обра- зует равные углы с ребрами a и b данного триэдра. Это свойство является характе- ристическим для лучей плоскости p. Две из рассматриваемых плоскостей имеют общий луч l с началом O. В силу доказанного свойства он равнонакло- нен к ребрам данного триэдра и поэтому лежит и в третьей из этих плоскостей. Существует круговой конус (коническая поверхность), для которо- го общая прямая трех указанных в теореме плоскостей служит осью, 40 а ребра триэдра принадлежат образующим. Он называется конусом, описанным около данного триэдра. 4.4. Высотные плоскости и ортоось триэдра. Три плоскости, каж- дая из которых проходит через ребро триэдра перпендикулярно плос- кости противоположной грани, называются высотными плоскостями этого триэдра. Они определены однозначно, если ни одно ребро триэд- ра не перпендикулярно противоположной грани. Будем предполагать это ограничение. Теорема 3. Три высотные плоскости триэдра имеют общую пря- мую. Она называется ортоосью триэдра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим буквой a то ребро триэдра Oabc, которое не перпендикулярно остальным. Пусть плоскость p перпендику- лярна ребру a и пересекает его в точке A, а прямые, содержащие ребра b и c, — в точках B и C (рис. 30). Пусть плоскость OAM перпендикулярна A C B N M H O a c b h p Рис. 30 BC, M ∈ (BC). Плоскость OBC содержит перпендикуляр BC к плос- кости OAM , поэтому эти плоскости перпендикулярны. Построим плос- кость OCN , перпендикулярную плоскости OAB. Тогда плоскости OAM и OCN — высотные плоскости данного триэдра. Так как плоскости p и OCN перпендикулярны плоскости OAB, то прямая N C их пересе- чения перпендикулярна плоскости OAB. Прямые AM и CN — высоты треугольника ABC. Следовательно, если (AM ) ∩ (CN ) = H, то BH — третья высота этого треугольника. Поскольку OA⊥BH и AC⊥BH, то плоскость OAC перпендикулярна BH, и поэтому плоскости OAC и OBH перпендикулярны (вторая из них содержит перпендикуляр BH к первой). Итак, плоскость OBH — третья высотная плоскость триэд- ра, а прямая OH — его ортоось. 41 Следствие 1. Если плоскость p перпендикулярна ребру триэдра, то ортоцентр H треугольника ABC ее пересечения с триэдром принад- лежит ортооси триэдра. Согласно определению ортооси каждое ребро служит ортоосью три- эдра, ребрами которого является два других ребра данного триэдра и его ортоось: если h — ортоось триэдра Oabc, то a — ортоось триэд- ра Ohbc и т. д. Поэтому предыдущее следствие можно переформулиро- вать так. Следствие 2. Если плоскость перпендикулярна ортооси триэдра, то ортоцентр треугольника ее пересечения с триэдром принадлежит ортооси. Теорема 4. Если ортоось триэдра лежит внутри него, то вы- сотные плоскости триэдра пересекают соответственные им грани по лучам a 1 , b 1 , c 1 , образующим такой триэдр, для которого эти вы- сотные плоскости являются биссекторными плоскостями двугранных углов (рис. 31). A B C A 1 B 1 C 1 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H O h a 1 c 1 b b 1 a c Рис. 31 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть плоскость ABC перпендикулярна ор- тооси h триэдра Oabc. Согласно следствию 2 точка H = h ∩ (ABC) есть ортоцентр треугольника ABC. Из планиметрии известно, что лучи AH, BH, CH делят пополам углы треугольника ABC с вершинами в основа- ниях высот треугольника ABC. Так как смежные двугранные углы с об- щим ребром A 1 H прямые, то согласно (2.7) из равенства углов B 1 A 1 H и C 1 A 1 H следует равенство углов OA 1 B 1 и OA 1 C 1 . В триэдрах A 1 (OB 1 H) и A 1 (OC 1 H) соответственные плоские углы равны. Поскольку все они острые, то по теореме синусов (2.9) следует равенство соответственных двугранных углов. Итак, двугранные углы этих триэдров с общим ре- бром OA 1 равны. Аналогично и другие высотные плоскости триэдра Oabc делят пополам двугранные углы триэдра Oa 1 b 1 c 1 42 § 5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного конусов триэдра 5.1. Плоскость перпендикулярная оси конуса, описанного около три- эдра. Рассматривается круговой конус, содержащий ребра триэдра сво- ими образующими. Его ось l образует равные углы с ребрами. Рассмот- рим плоскость d, содержащую вершину триэдра и перпендикулярную оси l конуса. Ребра триэдра равнонаклонены к плоскости d. Теорема 5. Плоскость d, перпендикулярная оси описанного около триэдра конуса, проходящая через его вершину, содержит биссектри- сы углов, смежных с плоскими углами этого триэдра. Предварительно докажем следующую лемму. Лемма. Для того чтобы плоскость, проходящая через вершину угла, была равнонаклонена к его сторонам, необходимо и достаточно, чтобы она содержала биссектрису этого угла или биссектрису смеж- ного с ним угла. Д о к а з а т е л ь с т в о. Д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть плоскость a про- ходит через биссектрису m угла AOB (рис. 32). При симметрии с осью m B 0 A 0 B A A 1 O m a Рис. 32 плоскость a отображается на себя, луч OA — на луч OB. Так как осевая симмет- рия есть движение, то угол наклона луча OA к плоскости a равен углу наклона луча OB к этой плоскости. Если плоскость про- ходит через биссектрису угла A 1 OB смеж- ного с углом AOB, то по доказанному она равнонаклонена к лучам OA 1 и OB, а зна- чит, равнонаклонена к лучам OA и OB. Н е о б х о д и м о с т ь. Пусть плоскость a равнонаклонена к лучам OA и OB, при- чем они лежат в разных полупростран- ствах от плоскости a. Пусть OA 0 и OB 0 — ортогональные проекции лучей OA и OB на a. По условию углы AOA 0 и BOB 0 равны. Если m — биссектриса угла A 0 OB 0 , то при симметрии с осью m луч OA 0 отобра- жается на луч OB 0 , плоскость OAA 0 — на плоскость OBB 0 и луч OA — на луч OB. Следовательно, плоскость a проходит через биссектрису угла AOB. Если же лучи OA и OB лежат в одном полупространстве с границей a, то луч OB 1 , дополняющий луч OB до прямой, находит- ся с лучом OA в разных полупространствах от a и a равнонаклонена к ним. По доказанному плоскость a проходит через биссектрису угла AOB 1 , смежного с углом AOB. 43 Переходим к доказательству сформулированной выше теоремы. Плоскость d равнонаклонена к ребрам триэдра и она не имеет с три- эдром общих внутренних точек. На основании леммы она содержит биссектрисы углов, смежных с плоскими углами триэдра. Кроме плоскости d, существуют еще три плоскости, каждая из кото- рых равнонаклонена к ребрам данного триэдра. Эти плоскости перпен- дикулярны к осям конусов, описанных соответственно около триэдров, смежных с данным (см. п. 1.1). Каждая из них содержит биссектрисы двух плоских углов данного триэдра и биссектрису угла, смежного с его третьим плоским углом. 5.2. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса. Ось вписанного в триэдр конуса образует равные углы с его граня- ми и образует равные углы с ребрами полярного ему триэдра, по- этому служит осью описанного около него конуса. Обратно, ось опи- санного около триэдра конуса образует равные углы с гранями три- эдра, полярного данному, т. е. является для него осью вписанного конуса. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса, рав- нонаклонена к плоскостям его граней. Теорема 6. Плоскость w, перпендикулярная оси l вписанного в три- эдр конуса и проходящая через его вершину, содержит три прямые u 1 , u 2 , u 3 , каждая из которых лежит в биссекторной плоскости дву- гранного угла, смежного с одним двугранным углом данного триэд- ра, проходит через его вершину перпендикулярно соответствующему ребру. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дан триэдр Oabc. Через его вершину проведем плоскость a, перпендикулярную ребру a. Прямая u 1 = a ∩ w удовлетворяет заданным условиям. Действительно, она принадлежит биссекторной плоскости двугранного угла, смежного с двугранным уг- лом при ребре a, так как эта плоскость перпендикулярна биссекторной плоскости (l, a), а биссекторные плоскости смежных двугранных углов перпендикулярны. Так как a⊥a, то u 1 ⊥a. Аналогично строятся две дру- гие прямые u 2 и u 3 плоскости w, удовлетворяющие указанным в теореме условиям. Кроме плоскости w существуют еще три плоскости, каждая из ко- торых содержит вершину данного триэдра и равнонаклонена к плоско- стям его граней. Они перпендикулярны соответственно осям конусов, вписанных в триэдры, смежные с данным триэдром. З а д а ч а 1. Дан триэдр, ни одно ребро которого не перпендику- лярно противоположной грани. Через вершину триэдра в плоскости каждой его грани проведена прямая, перпендикулярная противополож- 44 ному ребру. Докажите, что полученные таким образом три прямые ле- жат в одной плоскости c, перпендикулярной ортооси триэдра. Р е ш е н и е. Пусть прямая p лежит в плоскости Obc и перпендику- лярна ребру a триэдра Oabc, O ∈ p. Прямая a 1 пересечения плоскости Obc с высотной плоскостью, содержащей ребро a, есть проекция пря- мой a на плоскость Obc. По теореме о трех перпендикулярах p⊥a 1 . Сле- довательно, прямая p перпендикулярна высотной плоскости и ортооси триэдра. По аналогичной причине две другие прямые, удовлетворяю- щие условиям задачи, перпендикулярны ортооси. Поэтому все три эти прямые лежат в одной плоскости c. З а д а ч а 2. Докажите, что прямые, содержащие биссектрисы уг- лов, смежных с плоскими углами триэдра, лежат в одной плоскости, равнонаклоненной к трем ребрам триэдра. Р е ш е н и е. На ребрах триэдра отложим равные отрезки OA, OB, OC. Векторы OA − OB, OB − OC, OC − OA соответственно колли- неарны указанным прямым. Сумма этих векторов равна нуль-вектору, поэтому они компланарны, а эти прямые лежат в одной плоскости, так как имеют общую точку O. По лемме пункта 5.1 эта плоскость равно- наклонена к ребрам триэдра. § 6. Начальные сведения о сферической геометрии 6.1. Основные понятия. Сферическая геометрия возникла в связи с потребностями астрономии. В сферической геометрии роль прямых играют большие окружности сферы, т. е. окружности, являющиеся се- чениями сферы плоскостями, проходящими через ее центр. Через две точки A и B сферы, не принадлежащие одному диаметру, можно про- вести единственную большую окружность, которая точками A и B раз- бивается на две дуги — два сферических отрезка. Длину меньшей из этих дуг принимают за расстояние между данными точками, которое удобно измерять величиной соответствующего центрального угла. Ес- ли углы измерять в радианах, то на сфере радиуса 1 такое измерение сферического отрезка равно обычной длине дуги. Любые две большие окружности пересекаются в двух диаметраль- но противоположных точках сферы. Поэтому в сферической геометрии нет параллельных больших окружностей. Геометрия на сфере является неевклидовой — первой из неевклидовых геометрий. Угол между большими окружностями определяется как угол меж- ду их плоскостями. А он равен углу между касательными к этим окруж- 45 ностям в точке их пересечения (рис. 33). Три большие окружности сферы разбивают ее на восемь областей, называемых сферическими треугольниками. A 1 A O Рис. 33 A B C a b c a g O Рис. 34 6.2. Связь геометрии трехгранного угла со сферической геометри- ей. Все формулы и теоремы, относящиеся к трехгранному углу, можно истолковать в терминах сферической геометрии следующим образом. Построим сферу единичного радиуса с центром в вершине O триэдра. Тогда его ребра определяют некоторый сферический треугольник ABC (рис. 34). Углы b A, b B, b C сферического треугольника ABC измеряются двугранными углами триэдра, а стороны a, b, c — его плоскими углами a, b, g. Если радиус сферы равен r, то a = a r , b = b r , g = c r — радианные меры этих углов. Отсюда каждая формула для триэдра имеет опре- деленный смысл в сферической геометрии и обратно. Так, например, равенства (2.5), (2.6), (2.9) выражают смысл теорем косинусов и теоре- мы синусов для сферического треугольника. Равенства (2.13) означают, что произведение синуса стороны сферического треугольника и синуса соответствующей его высоты постоянно для данного треугольника. Полярным триэдрам соответствуют на сфере полярные сфериче- ские треугольники ABC и A 0 B 0 C 0 , между сторонами и углами ко- торых имеет место полярная зависимость: a + b A 0 = b + b B 0 = c + b C 0 = p и a 0 + b A = b 0 + b B = c 0 + b C = p. Биссекторной плоскости двугранного угла триэдра соответствует биссектриса сферического треугольника. Поэтому теорема пункта 4.2 означает, что биссектрисы сферического треугольника пересекаются 46 в одной точке, равноудаленной от его сторон. Биссектрисе плоского угла триэдра соответствует середина стороны сферического треуголь- ника. Согласно теореме пункта 4.1 медианы сферического треугольника пересекаются в одной точке. Теорема п. 4.3 гласит: серединные перпен- дикуляры к сторонам сферического треугольника пересекаются в одной точке. Теорема об ортооси (п. 4.4) может быть переформулирована так: высоты сферического треугольника пересекаются в одной точке. Описанный и вписанный конусы триэдра высекают на сфере «ма- лые» окружности — соответственно описанную и вписанную окружно- сти треугольника на сфере. Нет надобности переводить на язык сферической геометрии все фор- мулы и теоремы этой главы. Читатель при желании может это сде- лать сам. Задачи к главе 2 2.1. Докажите, что триэдры равны, если равны их соответственные двугранные углы. 2.2. Луч OM лежит внутри триэдра O(ABC). Докажите, что сумма плоских углов триэдра O(ABC) больше суммы плоских углов триэдра |