Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
O A B M R Рис. 122 сферы и к определенной большой окружности. Тогда ([8], § 16) M A · M B = M T 2 = OM 2 − R 2 Если точка M находится внутри сферы, то прове- дем через нее плоскость, перпендикулярную OM (рис. 122). Тогда M A · M B = −M A 2 = −(R 2 − OM 2 ) = OM 2 − R 2 В случае, когда точка M принадлежит сфере, то OM 2 − R 2 = 0. Таким образом, величина OM 2 − R 2 при заданной сфере зависит только от положения точки M . Эта величина называется степенью точки относительно сферы (O, R). Степени точек, лежащих вне сферы, положительны. Степени точек, лежащих внутри сферы, отрицательны, а лежащих на сфере, — равны нулю. 3.2. Радикальная плоскость двух сфер. Найдем множество Φ точек пространства, каждая из которых имеет равные степени относитель- но двух данных неконцентрических сфер (O, R) и (O 1 , R 1 ). Рассмот- рим произвольную плоскость a, содержащую линию центров этих сфер. Она пересекает сферы по большим окружностям w и w 1 . Подмножество точек искомого множества Φ, принадлежащих плоскости a, есть ради- кальная ось l окружностей w и w 1 ([8], § 16). Если плоскость a вращать около линии центров, то окружности w и w 1 опишут данные сферы, а прямая l — плоскость g, являющуюся искомым множеством Φ. Для концентрических сфер равенство OM 2 − R 2 = OM 2 − R 2 1 невыполнимо, т. е. множество Φ пусто. Итак, если две данные сферы неконцентрические, то геометриче- ским местом точек пространства, каждая из которых имеет равные степени относительно этих сфер, есть плоскость g, перпендикуляр- ная линии центров этих сфер. Плоскость g называется радикальной плоскостью данных сфер. Радикальная ось l двух больших окружностей w и w 1 , лежащих в се- кущей плоскости a, определяет положение радикальной плоскости этих сфер. Построение прямой l известно из планиметрии. В частности, если 147 данные сферы имеют общую окружность, то их радикальная плоскость совпадает с плоскостью этой окружности. 3.3. Радикальная ось трех сфер и радикальный центр четырех сфер. Теорема. Если центры трех сфер неколлинеарны, то радикальные плоскости этих сфер, взятых попарно, имеют общую прямую. Эта прямая называется радикальной осью этих трех сфер. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны сферы S 1 , S 2 , S 3 . Так как их цен- тры не лежат на одной прямой, то радикальная плоскость g 12 сфер S 1 и S 2 пересекает радикальную плоскость g 23 сфер S 2 и S 3 по некоторой прямой d, которая является геометрическим местом точек, каждая из которых имеет равные степени относительно всех трех сфер. Следова- тельно, прямая d лежит в радикальной плоскости g 13 сфер S 1 и S 3 Радикальная ось d трех сфер совпадает с перпендикуляром к плос- кости центров этих сфер и содержит радикальный центр трех больших окружностей, по которым эта плоскость пересекает данные сферы. Теорема. Если центры данных четырех сфер некомпланарны, то шесть радикальных плоскостей этих сфер, взятых попарно, имеют общую точку, которая называется радикальным центром данных че- тырех сфер. Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как центры S i (i = 1, 2, 3, 4) сфер неком- планарны, то три радикальные плоскости сфер S 1 и S 2 , S 2 и S 3 , S 3 и S 4 имеют единственную общую точку C, которая имеет равные степени относительно всех сфер S i и поэтому лежит в остальных трех ради- кальных плоскостях. Радикальный центр C четырех сфер является точкой пересечения четырех радикальных осей этих сфер, взятых по три. 3.4. Ортогональные сферы. Две сферы называются ортогональны- ми, если центр каждой из них лежит в касательной плоскости к другой в общей точке данных сфер. Согласно этому определению необходимым и достаточным условием ортогональности сфер (O 1 , R 1 ) и (O 2 , R 2 ) является соотношение R 2 1 + R 2 2 = O 1 O 2 2 Оно означает, что квадрат радиуса каждой из двух ортогональных сфер равен степени ее центра относительно другой сферы. По аналогии с соответствующими планиметрическими свойствами точек радикальной оси двух окружностей доказываются следующие свойства. 1. Внешние относительно каждой из двух сфер точки их радикаль- ной плоскости являются центрами сфер, каждая из которых ортого- нальна обеим данным сферам. Обратно, если сфера S ортогональна 148 сферам S 1 и S 2 , то центр сферы S лежит в радикальной плоскости сфер S 1 и S 2 2. Внешняя относительно каждой из трех сфер точка их ради- кальной оси является центром сферы, ортогональной каждой из трех данных сфер. Обратно, если сфера S ортогональна каждой из трех сфер S 1 , S 2 , S 3 , то ее центр принадлежит радикальной оси этих трех сфер. 3. Если радикальный центр C четырех сфер лежит вне каждой из этих сфер, то он является центром единственной сферы, ортогональной каждой из четырех данных сфер. § 4. Инверсия пространства относительно сферы 4.1. Определение инверсии и его следствия. Инверсией простран- ства относительно данной сферы (O, R) называется такое преобразова- ние пространства, при котором каждая точка M , отличная от точки O, отображается на точку M 0 , лежащую на луче OM и удовлетворяющую условию: OM · OM 0 = R 2 (8.6) Сфера (O, R) называется сферой инверсии, а ее центр O и радиус R — центром инверсии и радиусом инверсии. В этом определении точки M и M 0 равноправны (взаимно инверс- ны): если M → M 0 , то и M 0 → M при одной и той же инверсии, т. е. O M T M 0 w Рис. 123 преобразование, обратное заданной инверсии относительно сферы w, совпадает с этой инверсией. Поэто- му инверсия является инволюцион- ным преобразованием (инволюци- ей) пространства. Каждая точка сферы w инвер- сии неподвижна при этой инвер- сии. Любая плоскость, содержащая прямую OM , пересекает сферу w по большой окружности. Следователь- но, построение образа M 0 точки M при инверсии относительно сферы сводится к построению образа точки M при инверсии плоскости отно- сительно этой окружности ([8], с. 254) (рис. 123). 149 Аналогично инверсии плоскости выводятся координатные формулы инверсии пространства относительно сферы x 2 + y 2 + z 2 = R 2 . Если точ- ка M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) — образ точки M (x, y, z), то x 0 = R 2 x x 2 + y 2 + z 2 , y 0 = R 2 y x 2 + y 2 + z 2 , z 0 = R 2 z x 2 + y 2 + z 2 (8.7) Как и при инверсии плоскости, расстояние A 0 B 0 между образами точек A и B связано с расстоянием AB соотношением: A 0 B 0 = AB · R 2 OA · OB (8.8) 4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностей при ин- версии. Достаточно ограничиться лишь формулировками результатов, так как они получаются непосредственно из планиметрических свойств. Плоскость (прямая) без точки O, проходящая через центр O ин — версии, отображается на себя. 1. Образом сферы S, содержащей центр инверсии, является плос- кость, перпендикулярная линии центров этой сферы и сферы инверсии и удаленная от центра инверсии на расстояние R 2 2r (r — радиус сфе- ры S). Образом плоскости, не содержащей центр инверсии, является сфера, проходящая через центр инверсии. Ее диаметром является от- резок OA, где A — образ ортогональной проекции центра O на данную плоскость. 2. Образом сферы g, не содержащей центр инверсии, является сфе- ра g 0 , также не содержащая центр инверсии. Центры сфер w, g, g 0 коллинеарны. (Центры сфер g и g 0 не соответствуют друг другу при инверсии относительно сферы w.) Так как прямая и окружность суть линии пересечения плоскостей и сфер, то имеем: 3. Образом окружности является прямая, если эта окружность со- держит центр инверсии, и является окружность в противном случае. 4. Если сфера g ортогональна сфере w инверсии, то сфера g отобра- жается этой инверсией на себя (инвариантна при инверсии). 5. Если сфера g содержит две взаимно инверсные точки при инвер- сии относительно сферы w, то сферы g и w ортогональны. Теорема. Две взаимно инверсные окружности принадлежат одной сфере или одной плоскости. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если окружности a и a 0 лежат в одной плос- кости, то доказывать нечего. Пусть точки A и B окружности a неколли- 150 O A B a A 0 B 0 a 0 c Рис. 124 неарны с центром O инверсии. Их образы A 0 и B 0 принадлежат окружности a 0 (рис. 124). Точ- ки A, B, A 0 , B 0 лежат на одной окружности c (планиметрическое свойство). Окружности a и c имеют две общие точки A и B, поэтому за- дают определенную сферу S (задача 4.25). Эта сфера совпадает со своим образом при инвер- сии, так как ортогональна сфере w инверсии: степень OA · OA 0 = R 2 центра O сферы w от- носительно сферы S равна квадрату радиуса сферы w. Следовательно, сфера S, содержащая окружность a, содержит и ее образ a 0 4.3. Инвариантность величины угла между кривыми при инверсии. Как и при инверсии плоскости относительно окружности, величина угла между двумя кривыми сохраняется при инверсии пространства от- носительно сферы. Этот факт непосредственно вытекает из следующей леммы. Лемма. Если g 0 — образ кривой g при инверсии пространства, то касательные t и t 0 соответственно к кривым g и g 0 в соответствен- ных точках A и A 0 симметричны относительно плоскости c симмет- рии этих точек (рис. 125). O A M A 0 M 0 a b h m l c g g 0 t t 0 Рис. 125 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть M и M 0 — соответственные точки кри- вых g и g 0 при заданной инверсии. Тогда точки A, A 0 , M , M 0 лежат на окружности m. Касательные a и b к ней в точках A и A 0 симметричны от- 151 носительно серединного перпендикуляра h к отрезку AA 0 (в плоскости l окружности m). Если точка M приближается к точке A по кривой g, то точка M 0 приближается к точке A 0 по кривой g 0 . Получаем множе- ство окружностей m с общей хордой AA 0 в плоскостях l. При этом все перпендикуляры h к хорде AA 0 (в каждой плоскости l) принадлежат плоскости c симметрии точек A и A 0 . Переменные касательные a и b к переменной окружности m симметричны относительно c. По опреде- лению касательной к кривой касательная t к кривой g в точке A есть предельное положение секущей AM при M → A, при этом a → t и b → t 0 (так как M 0 → A 0 ). Поскольку при любом положении точки M ∈ g пря- мые a и b симметричны относительно плоскости c, то в предельном положении касательные t и t 0 будут симметричны относительно c. Из доказанной леммы сразу следует инвариантность величины угла между кривыми при инверсии. Действительно, пусть даны кривые a и b, имеющие общую точку A. Их образы a 0 и b 0 при инверсии пересекаются в соответственной точке A 0 . Угол между касательными в точке A к кри- вым a и b равен углу между касательными в точке A 0 к кривым a 0 и b 0 в силу симметричности этих углов относительно плоскости симметрии точек A и A 0 4.4. Вывод второй формулы Штаудта для объема тетраэдра. Пусть дан тетраэдр ABCD и DA = a, DB = b, DC = c, BC = a 1 , CA = b 1 , AB = c 1 , R — радиус описанной около него сферы. Надо доказать, что 6V R = Q, (8.9) где 16Q 2 = (aa 1 + bb 1 + cc 1 )(bb 1 + cc 1 − aa 1 )(cc 1 + aa 1 − bb 1 )(aa 1 + bb 1 − cc 1 ). Зададим инверсию с центром D произвольного радиуса r. Описанная сфера (O, R) отображается этой инверсией на плоскость, содержащую H A B C A 0 B 0 C 0 D Рис. 126 образы A 0 , B 0 , C 0 вершин A, B, C данного тетра- эдра (рис. 126). Тогда 2R = r 2 DH , где DH — высота тетраэдра A 0 B 0 C 0 D (п. 4.2, свойство 2). Согласно формуле (6.11) V A 0 B 0 C 0 D V ABCD = DA 0 · DB 0 · DC 0 DA · DB · DC , или S A 0 B 0 C 0 · DH 3V = DA 0 · DB 0 · DC 0 DA · DB · DC (8.10) По свойствам инверсии DA 0 = r 2 a , DB 0 = r 2 b , DC 0 = r 2 c и B 0 C 0 = r 2 · BC DB · DC = r 2 a 1 bc = r 2 aa 1 abc , C 0 A 0 = r 2 bb 1 abc , A 0 B 0 = r 2 cc 1 abc 152 Следовательно, стороны треугольника A 0 B 0 C 0 пропорциональны соот- ветственно числам aa 1 , bb 1 , cc 1 с коэффициентом пропорциональности k = r 2 abc . Поэтому имеем: S A 0 B 0 C 0 = k 2 Q, k 2 = r 4 (abc) 2 Заменим в равенстве (8.10) входящие в него величины найденными вы- ражениями: k 2 Q 2R · 3V = r 6 abc · abc , откуда 6V R = Q, где Q — площадь треугольника с длинами его сторон aa 1 , bb 1 , cc 1 4.5. Стереометрическое обобщение тождества Бретшнайдера. Рас- смотрим другой хороший пример применения инверсии — обобщение известного соотношения Бретшнайдера для плоского четырехугольни- ка ([8], с. 85) на тетраэдр и косой (пространственный) четырехугольник. Зададим инверсию с центром в вершине D данного тетраэдра ABCD произвольного радиуса r. Описанная около него сфера отобразится этой инверсией на плоскость A 0 B 0 C 0 . По теореме косинусов для треугольника A 0 B 0 C 0 имеем: A 0 C 02 = A 0 B 02 + B 0 C 02 − 2A 0 B 0 · B 0 C 0 cos \ A 0 B 0 C 0 По формуле (8.8) A 0 C 0 = AC · r 2 DA · DC , A 0 B 0 = AB · r 2 DA · DB , B 0 C 0 = BC · r 2 DB · DC Так как прямые A 0 B 0 и B 0 C 0 являются образами окружностей DAB и DBC, то они параллельны соответственно касательным к этим окруж- ностям в центре D инверсии. Поэтому угол A 0 B 0 C 0 равен углу между этими касательными, т. е. углу f между окружностями DAB и DBC. Выполнив подстановки, получаем: AC 2 · r 4 DA 2 · DC 2 = = AB 2 · r 4 DA 2 · DB 2 + BC 2 · r 4 DB 2 · DC 2 − 2r 4 · AB · BC · cos f DA · DB 2 · DC , что после очевидных упрощений дает: (AC · BD) 2 = (AB · CD) 2 + (BC · DA) 2 − 2AB · BC · CD · DA cos f, (8.11) где f — величина угла между окружностями DAB и DBC. По внешнему виду тождество (8.11) в точности совпадает с тожде- ством Бретшнайдера для плоского четырехугольника ABCD, в кото- ром f — также угол между окружностями DAB и DBC, равный сумме углов b A и b C этого четырехугольника. 153 Следствие. Окружности, описанные около двух граней тетраэдра, пересекаются под тем же углом, что и окружности, описанные около двух других его граней. В самом деле, соотношение (8.11) для косого четырехугольника ABCD симметрично относительно его диагоналей AC и BD. Угол между окружностями DAB и DBC можно заменить углом между окружностями DAC и BAC, сохранив при этом остальные элементы этого соотношения. § 5. Стереографическая проекция 5.1. Определение и свойства стереографической проекции. Стерео- графической проекцией называется центральная проекция сферы (O, R) из ее точки S на плоскость p, касающуюся этой сферы в диаметрально O S M M 0 N p Рис. 127 противоположной точке N (рис. 127). Иногда в качестве плоскости p проекций принимают параллельную ей экватори- альную плоскость сферы. Если задать инверсию пространства относительно сферы (S, 2R), то эта ин- версия отобразит первоначальную сфе- ру (O, R) на ту же самую плоскость p, причем инверсными точками M и M 0 будут те же точки, которые являются соответственными при ранее заданной стереографической проекции. Таким образом, стереографическая проекция сферы (O, R) на множестве точек этой сферы совпадает с инверсией пространства относитель- но сферы (S, 2R). В этом смысле можно сказать, что стереографическая проекция есть частный случай инверсии. Из этой простой связи инверсии и стереографической проекции из свойств инверсии сразу следуют свойства стереографической проекции. 1. Окружности сферы, содержащие центр S проекции, проектиру- ются на плоскость p в прямые, а окружности, не содержащие точку S, в окружности. 2. Обратно, прямые и окружности плоскости p проектируются на сферу в окружности, соответственно проходящие или не проходящие через центр проектирования. 154 3. Стереографическая проекция сохраняет величины углов между кривыми, лежащими на данной сфере. Пусть окружность w сферы стереографически проектируется на окружность w 0 плоскости p. Найдем способ построения центра окруж- ности w 0 по заданной окружности w. Заметим для этого, что центром любой окружности является точка пересечения прямых, пересекающих эту окружность ортогонально. Прямые плоскости проекций служат проекциями окружностей сферы, содержащих центр S проектирования и пересекающих ортогонально окружность w. Поэтому плоскости этих окружностей проходят через вершину K конуса касательных к сфе- ре, для которого данная окружность w является окружностью касания (рис. 128). Сами окружности указанного множества проходят через C O S N p K C 0 w w 0 Рис. 128 точку C пересечения сферы с прямой SK. Следовательно, центром окружности w 0 будет точка C 0 пересечения прямой SK с плоскостью проекций. 5.2. Координатные формулы стереографической проекции. Зада- дим прямоугольную декартову систему координат так, чтобы плоскость Oxy совпадала с плоскостью проекций, а ось Oz содержала центр S проектирования. В этой системе координат сфера имеет уравнение x 2 + y 2 + (z − R) 2 = R 2 155 Пусть точка M (x, y, z) сферы проектируется в точку M 0 (x 0 , y 0 , 0). Надо выразить координаты x 0 и y 0 через x, y, z. Так как векторы SM и SM 0 коллинеарны, то SM 0 = k SM . Точка S имеет координаты (0, 0, 2R). Поэтому это векторное равенство эквивалентно трем координатным: x 0 = kx, y 0 = ky, 2R = k(2R − z). Исключим из этих уравнений параметр k. В результате получаем искомые формулы стереографической проекции: x 0 = 2Rx 2R − z , y 0 = 2Ry 2R − z , z 0 = 0. (8.12) Полезно иметь также формулы обратного отображения. Так как x = x 0 k , y = y 0 k , z = 2R 1 − 1 k и точка M (x, y, z) принадлежит сфе- ре, то x 0 k 2 + y 0 k 2 + 2R 1 − 1 k − R 2 = R 2 , откуда k = 1 4R 2 (x 02 + y 02 + 4R 2 ). После замены параметра k этим выражением получаем формулы обрат- ного отображения: x = 4R 2 x 0 x 02 + y 02 + 4R 2 , y = 4R 2 y 0 x 02 + y 02 + 4R 2 , z = 2R(x 02 + y 02 ) x 02 + y 02 + 4R 2 (8.13) Задачи к главе 8 8.1. Три попарно перпендикулярные хорды сферы радиуса 8 пере- секаются в точке M , удаленной от центра сферы на расстояние √ 41. Длины двух хорд равны 12 и 14. Найдите расстояние от центра сферы до третьей хорды. 8.2. Сфера вписана в усеченный конус, радиусы оснований которого равны R и r. Найдите отношение площади сферы к площади боковой поверхности конуса. 8.3. Около шара описан усеченный конус. Докажите, что отношение площадей их поверхностей равно отношению объемов. 156 8.4. Сфера делит каждое из ребер куба на три равные части. Найдите площадь сферы, если ребро куба имеет длину a. 8.5. Вершина конуса находится в центре сферы, основание конуса касается этой сферы. Площадь полной поверхности конуса равна пло- щади сферы. Найдите угол между образующей конуса и его высотой. 8.6. Три окружности не лежат в одной плоскости и попарно касают- ся. Докажите, что эти окружности принадлежат одной сфере. 8.7. На плоскости лежат три сферы, каждая из которых касается двух других. Расстояния между точками касания сфер с плоскостью равны соответственно a, b, c. Вычислите радиусы сфер. 8.8. В куб с ребром a вписана сфера. Другая сфера касается трех граней куба и первой сферы. Определите ее радиус. 8.9. В конус вписаны две сферы радиусов R и r, касающиеся друг друга и боковой поверхности конуса, причем большая сфера касается основания конуса. Определите площадь боковой поверхности усечен- ного конуса, отсеченного от данного конуса плоскостями окружностей касания сфер с данным конусом. 8.10. Каждое ребро правильной четырехугольной пирамиды имеет длину a. Высота пирамиды является диаметром сферы. Найдите длину кривой пересечения поверхности пирамиды и сферы. 8.11. Основание правильной четырехугольной пирамиды вписано в большую окружность сферы радиуса R, а угол при вершине равен 30 ◦ . Найдите длину кривой пересечения этих поверхностей. 8.12. Выразите площадь сферического сегмента через его высоту h и радиус r основания. 8.13. Через центр O сферы радиуса r проведена произвольная сфе- ра w. Докажите, что площадь сферического сегмента сферы w, отсечен- ного сферой (O, r), не зависит от выбора сферы w. 8.14. Найдите площади частей, на которые плоскости граней куба с ребром a разбивают описанную около него сферу. 8.15. Ребро правильного тетраэдра ABCD имеет длину a. Сфера касается ребер AB, AC, AD в точках B, C, D. Найдите площадь части сферы, лежащей внутри тетраэдра. 8.16. Объем шарового сегмента равен V . Цилиндр с тем же основа- нием и той же высотой имеет объем Q. Найдите высоту сегмента. 8.17. Для того чтобы существовала сфера, касающаяся всех ребер тетраэдра, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противопо- ложных ребер были равны. Докажите. 8.18. Найдите радиус сферы, касающейся всех ребер правильной тре- угольной пирамиды, если ребро ее основания имеет длину a, а длина бокового ребра равна b. 157 8.19. Докажите, что если две малых окружности сферы касаются, то их сферические центры и точка касания лежат на большой окружности. 8.20. На сфере даны три малых окружности. Постройте окружность сферы, делящую пополам каждую из данных окружностей. 8.21. На сфере радиуса r лежат три окружности радиуса r 2 , каса- ющиеся друг друга. Определите радиус окружности сферы, которая касается трех данных окружностей. 8.22. Докажите, что отрезок общей касательной двух сфер, заклю- ченный между точками касания, делится пополам радикальной плоско- стью этих сфер. 8.23. К двум сферам проведены две общие касательные AB и CD. (A, B, C, D — точки касания). Докажите, что проекции отрезков AC и BD на линию центров сфер равны. 8.24. Три плоскости имеют общую точку P . Найдите образ этой фи- гуры при инверсии, центр которой не совпадает с точкой P . 8.25. Даны три сферы, имеющие две общие точки A и B. Постройте сферу, содержащую данную точку M и касающуюся трех данных сфер. 8.26. На сфере даны точки A и B и окружность g. Постройте окруж- ность сферы, проходящую через данные точки A и B и касающуюся окружности g. 8.27. Шар касается всех ребер правильного тетраэдра, длина ребра которого равна 2a. Найдите объем пересечения шара и тетраэдра. 158 Г л а в а 9 Стереометрические неравенства и экстремумы § 1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств Доказательство геометрических неравенств — большое искусство, требующее знания специальных технических приемов, набор которых достаточно широк и овладение всеми весьма сложно. Основные из этих приемов были изложены в планиметрии [8]. Существенно используются известные алгебраические неравенства. Рассмотрим некоторые из них. 1.1. Неравенство Коши. Классическое неравенство Коши для сред- него геометрического и среднего арифметического неотрицательных чи- сел a 1 , a 2 , . . . , a n (n > 2) — это неравенство: n √ a 1 a 2 . . . a n 6 1 n (a 1 + a 2 + . . . + a n ), (9.1) в котором равенство достигается лишь при равенстве этих чисел. Сравнительно простое д о к а з а т е л ь с т в о этого неравенства по- лучено В. В. Прасоловым в 1999 г. методом полной математической ин- дукции. Приводим его. Для n = 2 неравенство (9.1) следует из очевидного неравенства ( √ a 1 − √ a 2 ) 2 > 0. Предположим, что оно истинно для n − 1 положи- тельных чисел и докажем, что оно выполняется для n чисел, которые расположим в неубывающем порядке: a 1 6 a 2 6 . . . 6 a n . Если a 1 = a n , то имеем равенство 9.1. Далее будем полагать, что a 1 < a n . Обозначим 1 n (a 1 + . . . + a n ) = A n . Тогда a 1 < A n < a n и поэтому (a 1 − A n )(A n − a n ) = A n (a 1 + a n − A n ) − a 1 a n > 0, откуда A n (a 1 + a n − A n ) > a 1 a n , a 1 + a n − A n > 0. На основании индук- тивного предположения применим неравенство Коши к n − 1 числам a 2 , a 3 , . . . , a n−1 , a 1 + a n − A n : 1 n − 1 (a 2 + a 3 + . . . + a n−1 + a 1 + a n − A n ) n−1 > > a 2 a 3 . . . a n−1 (a 1 + a n − A n ). Легко проверить, что основание степени в левой части полученного неравенства равно A n . Поэтому, умножив это неравенство на A n , по- лучим: A n n > a 2 a 3 . . . a n−1 A n (a 1 + a n − A n ) > a 1 a 2 . . . a n , так как A n (a 1 + a n − A n ) > a 1 a n Итак, из предположения, что неравенство Коши истинно для n − 1 положительных чисел, доказано, что оно истинно для n чисел. Согласно методу индукции неравенство Коши будет истинно для любого нату- рального числа n, причем равенство имеет место лишь при равенстве чисел a 1 = a 2 = . . . = a n Следствие. Для любых положительных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n (a 1 + a 2 + . . . + a n ) 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n > n 2 (9.2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно (9.1) a 1 + a 2 + . . . + a n > n n √ a 1 a 2 . . . a n , а также 1 a 1 + 1 a 2 + . . . + 1 a n > n n r 1 a 1 a 2 . . . a n . Перемножив эти равенства почленно, получим (9.2). Равенство имеет место лишь при a 1 = a 2 = = . . . = a n 1.2. Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел. Докажем, что для любых действительных чисел a 1 , a 2 , . . . , a n (a 1 + a 2 + . . . + a n ) 2 6 n(a 2 1 + a 2 2 + . . . + a 2 n ). (9.3) Для этого напишем тождественное равенство: a 2 1 + a 2 2 + . . . + a 2 n = a 2 1 + a 2 2 + . . . + a 2 n Поскольку a 2 1 + a 2 2 > 2a 1 a 2 , a 2 1 + a 2 3 > 2a 1 a 3 , . . . , a 2 n−1 + a 2 n > 2a n−1 a n , то, сложив эти равенства с предыдущим тождеством, получим (9.3). 1.3. Тождество Лагранжа и неравенство Коши–Буняковского. Для любых двух векторов имеем место тождество (п. 4.3 гл. 5): ( a × b) 2 = a 2 b 2 − ( a b) 2 160 Если (a 1 , a 2 , a 3 ) и (b 1 , b 2 , b 3 ) — ортонормированные координаты век- торов a и b, то предыдущее тождество на основании формулы (5.8) эквивалентно следующему: a 1 a 2 b 1 b 2 2 + a 2 a 3 b 2 b 3 2 + a 3 a 1 b 3 b 1 2 = = (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 )(b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 ) − (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ). (9.4) Это тождество называется именем французского математика Ж. Ла- гранжа (1736–1813). Так как левая часть этого тождества неотрицательна, то из него следует такое неравенство: (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 )(b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 ) > (a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 ) 2 , (9.5) причем равенство имеет место при a × b = 0, т. е. тогда и только то- гда, когда векторы a и b коллинеарны (числа a 1 , a 2 , a 3 соответственно пропорциональны числам b 1 , b 2 , b 3 ). Неравенство (9.5) называется неравенством Коши–Буняковского. § 2. Получение неравенств из тождественных равенств Если определенные величины некоторого тождества всегда неотри- цательны или всегда неположительны, то из этого тождества может быть получено неравенство. Примером этому является предыдущее неравенство Коши–Буняковского. Кроме того, в имеющемся тождестве некоторые величины могут быть заменены большими (или меньшими) величинами. Рассмотрим некоторые примеры. П р и м е р 1. Докажите, что сумма квадратов расстояний произ- вольной точки P пространства до вершин тетраэдра ABCD не меньше четверти суммы квадратов длин его ребер. Равенство имеет место для центроида G тетраэдра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим скалярный квадрат вектора P G = 1 4 ( P A + P B + P C + P D): 16P G 2 = P A 2 + P B 2 + P C 2 + P D 2 + + 2( P A · P B + P A · P C + P A · P D + P B · P C + P B · P D + P C · P D). 161 Заменим удвоенные скалярные произведения по теореме косинусов: 16P G 2 = 4(P A 2 + P B 2 + P C 2 + P D 2 )− − (AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2 ). Так как 16P G 2 > 0, то из полученного тождества имеем неравенство: 4(P A 2 + P B 2 + P C 2 + P D 2 ) > > AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2 (9.6) Равенство выполняется лишь при совпадении точек P и G. В частности, если точка P совпадает с центром O описанной около тетраэдра сферы, то левая часть этого неравенства равна 16R 2 и тогда AB 2 + AC 2 + AD 2 + BC 2 + BD 2 + CD 2 6 16R 2 (9.7) Равенство имеет место при совпадении точек O и G, т. е. для равногран- ного тетраэдра. П р и м е р 2. Докажите, что медиана тетраэдра меньше среднего арифметического его ребер, выходящих из той же вершины. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если M — центроид грани ABC тетраэдра ABCD, то DM = 1 3 ( DA + DB + DC). По свойству модуля суммы векторов | DM | < 1 3 (DA + DB + DC). П р и м е р 3. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 AA 2 1 < 1 4 (AB 2 1 + BC 2 1 + CD 2 1 + DA 2 1 ). (9.8) Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть AB = x, AD = y, AA 1 = z. По свойству диагоналей параллелепипеда AB 2 1 + CD 2 1 = 2x 2 + 2z 2 и BC 2 1 + DA 2 1 = = 2y 2 + 2z 2 . Следовательно, AB 2 1 + BC 2 1 + CD 2 1 + DA 2 1 = 4z 2 + 2(x 2 + y 2 ). Так как x 2 + y 2 > 0, то AB 2 1 + BC 2 1 + CD 2 1 + DA 2 1 > 4z 2 Тождественные равенства часто используются при получении (до- казательстве) неравенств из известных уже неравенств. П р и м е р 4. Привлечем равенство (6.30) для произвольного тетра- эдра: 1 h 1 + 1 h 2 + 1 h 3 + 1 h 4 = 1 r 162 На основании неравенства (9.2) (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) 1 h 1 + 1 h 2 + 1 h 3 + 1 h 4 > 4 2 Следовательно, (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) · 1 r > 16, откуда h 1 + h 2 + h 3 + h 4 > 16r. (9.9) Равенство имеет место при h 1 = h 2 = h 3 = h 4 , т. е. для равногранного тетраэдра. П р и м е р 5. Докажите, что для любого тетраэдра h 1 h 2 h 3 h 4 > 256r 4 (9.10) Д о к а з а т е л ь с т в о. Согласно неравенству Коши 1 4 1 h 1 + 1 h 2 + 1 h 3 + 1 h 4 > 4 r 1 h 1 h 2 h 3 h 4 , откуда 1 4r > 1 4 √ h 1 h 2 h 3 h 4 и 1 (4r) 4 > 1 h 1 h 2 h 3 h 4 , что эквивалентно доказываемому неравенству (9.10). П р и м е р 6. Докажите, что для любого тетраэдра 4(S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 ) 6 (aa 1 ) 2 + (bb 1 ) 2 + (cc 1 ) 2 (9.11) Д о к а з а т е л ь с т в о. По теореме пункта 2.2 гл. 6 4(S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 ) = AB · CD sin( \ AB, CD) 2 + + BC · AD sin( \ BC, AD) 2 + AC · BD sin( \ AC, BD) 2 В силу ограниченности функции синуса правая часть этого равенства не больше (aa 1 ) 2 + (bb 1 ) 2 + (cc 1 ) 2 . Отсюда и следует доказываемое нера- венство. Равенство выполняется тогда и только тогда, когда каждый из трех синусов равен единице, т. е. когда противоположные ребра тетра- эдра перпендикулярны (тетраэдр ортоцентрический). 163 § 3. Некоторые избранные неравенства 3.1. Неравенства для углов триэдра, тетраэдра и косого четырех- угольника. Сумма углов наклона ребер триэдра к плоскостям противополож- ных им граней заключена между суммой плоских углов этого триэдра и половиной этой суммы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a 1 , b 1 , g 1 — величины указанных уг- лов наклона и a, b, g — величины плоских углов триэдра O(ABC). По свойству угла между прямой и ее ортогональной проекцией на плос- кость a 1 < b, b 1 < g, g 1 < a. Поэтому a 1 + b 1 + g 1 < a + b + g. Пусть ор- тогональная проекция OA 1 ребра OA образует с ребрами OB и OC соответственно углы f 1 и f 2 . По свойству плоских углов для триэдров O(ABA 1 ) и O(ACA 1 ) имеем соответственно: a 1 > | g − f 1 | и a 1 > | b − f 2 |. Отсюда 2 a 1 > | g − f 1 | + | b − f 2 | > | b + g − (f 1 + f 2 )| = b + g − a. Аналогич- но 2 b 1 > g + a − b и 2g 1 > a + b − g. Сложив последние три неравенства, получаем: 2( a 1 + b 1 + g 1 ) > a + b + g. Таким образом, 1 2 ( a + b + g) < a 1 + b 1 + g 1 < a + b + g. (9.12) Неравенство доказано. Сумма внутренних углов косого четырехугольника ABCD мень- ше 2 p. Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании неравенства для плоских углов триэдра имеем: \ ABC < \ ABD + \ CBD, \ BCD < \ ACD + \ ACB, \ ADC < \ ADB + \ BDC, \ BAD < \ CAD + \ BAC. Сумма c = \ BAD + \ ABC + \ BCD + \ ADC внутренних углов косого четы- рехугольника ABCD меньше суммы углов треугольников ABC, ABD, ACD, BCD, уменьшенной на c: c < 4p − c. Значит, c < 2p. Сумма косинусов всех двугранных углов тетраэдра не превосхо- дит 2, а их произведение не больше 1/729. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть n i — единичные векторы, ортогональ- ные граням данного тетраэдра, направленные соответственно во внеш- нюю область относительно тетраэдра. Тогда ( n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) 2 > 0, 164 | n i | = 1. Это неравенство эквивалентно неравенству: 4 + 2 4 X i,j=1; i j > 0. Если a ij — меры двугранных углов тетраэдра, то n i n j = − cos a ij и из последнего неравенства получаем: 4 X i,j=1; i 6 2. (9.13) Знак равенства имеет место только для равногранного тетраэдра. В самом деле, рассмотрим векторы, введенные в задаче § 2 гл. 5. Эти векторы имеют равные модули в случае равногранного тетраэдра. Так как сумма их равна нуль-вектору, то и для единичных векторов n i , участвующих в доказательство неравенства (9.13), сумма равна нулево- му вектору. Поэтому для равногранного тетраэдра в этом неравенстве имеет место равенство. Далее, на основании неравенства Коши 1 6 4 X i,j=1; i > 6 v u u t 4 Y i,j=1; i Учитывая неравенство (9.13), отсюда получаем: 4 Y i,j=1; i 6 1 3 6 = 1 729 (9.14) Доказательство окончено. 3.2. Неравенства для прямоугольного тетраэдра. В таком тетраэдре OABC ребра OA, OB, OC попарно перпендикулярны. Примем следу- ющие обозначения: OA = a, OB = b, OC = c, S 1 , S 2 , S 3 , S — площади граней OBC, OCA, OAB, ABC соответственно, h — высота тетраэдра, проведенная к грани ABC, R и r — радиусы описанной и вписанной сфер, V — объем. На основании неравенства (9.3) (S 1 + S 2 + S 3 ) 2 6 3(S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 ). Поскольку S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 = S 2 , то S < S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 6 √ 3S. (9.15) 165 Левое из этих неравенств совпадает с неравенством п. 1.3 гл. 3 для тетраэдра общего вида. Так как S = 3V h , S 1 = 3V a , S 2 = 3V b , S 3 = 3V c , то неравенство (9.15) равносильно такому: 1 h < 1 a + 1 b + 1 c 6 √ 3 h (9.16) Принимая во внимание, что V = 1 6 abc, на основании неравенства Коши получаем: S 1 + S 2 + S 3 = 1 2 (ab + bc + ca) > 1 2 · 3 3 √ ab · bc · ca. Таким образом, S 1 + S 2 + S 3 > 3 2 3 √ 36V 2 (9.17) Разделим равенство S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 = S 2 на (3V ) 2 . В результате будем иметь соотношение: 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 = 1 h 2 (9.18) Используя неравенство Коши, получаем: 1 h 2 = 1 a 2 + 1 b 2 + 1 c 2 > 3 3 r 1 a 2 · 1 b 2 · 1 c 2 , откуда V > √ 3 2 h 3 (9.19) и поэтому S > 3 √ 3 2 h 2 (9.20) Достроим тетраэдр OABC до прямоугольного параллелепипеда. Учитывая, что радиус R описанной сферы равен половине диагонали этого параллелепипеда, а медиана OM тетраэдра — трети диагонали. Так как высота h не больше медианы OM , то h 6 2R 3 , т. е. 2R > 3h. (9.21) Поскольку согласно (6.30) 1 r = 1 h + 1 a + 1 b + 1 c , то 2R · 1 r > 3 1 + h 1 a + 1 b + 1 c На основании (9.16) h 1 a + 1 b + 1 c 6 √ 3. Следовательно, 2R r > 3(1 + √ 3). (9.22) 166 Во всех полученных неравенствах знак равенства имеет место лишь при a = b = c. 3.3. Неравенства для произвольного тетраэдра. Во всяком тетра- эдре произведение длин двух противоположных ребер меньше суммы произведений других противоположных ребер: aa 1 < bb 1 + cc 1 (9.23) Д о к а з а т е л ь с т в о. По доказанному в п. 4.4 гл. 8 существует тре- угольник, длины сторон которого пропорциональны числам aa 1 , bb 1 , cc 1 Поэтому для него выполняется неравенство (9.23) на основании нера- венства треугольника. Для любого тетраэдра радиус R описанной сферы не меньше утро- енного радиуса вписанной сферы: R > 3r, (9.24) причем R = 3r только для правильного тетраэдра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть A 1 , B 1 , C 1 , D 1 — центроиды граней тетраэдра ABCD. По свойству центроида тетраэдр A 1 B 1 C 1 D 1 гомоте- тичен тетраэдру ABCD относительно его центроида G с коэффици- ентом −1/3. Поэтому радиус r сферы A 1 B 1 C 1 D 1 равен 1 3 R. Но сфера A 1 B 1 C 1 D 1 не меньше сферы, вписанной в тетраэдр ABCD, так как вписанная сфера вся лежит внутри тетраэдра ABCD кроме точек касания, а сфера A 1 B 1 C 1 D 1 может и пересекать его грани. Следова- тельно, r 6 r = 1 3 R. Равенство r = 1 3 R будет выполняться лишь в случае совпадения сфе- ры A 1 B 1 C 1 D 1 с вписанной в тетраэдр ABCD сферой, т. е. тогда и только тогда, когда его центроид совпадает с центром вписанной сферы. В этом случае его медианы AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 совпадают с высотами. Сле- довательно, тетраэдр является ортоцентрическим и имеет равные высо- ты (каждая из них равна 4r). Поэтому тетраэдр ABCD равногранный. Из равенств a 2 + a 2 1 = b 2 + b 2 1 = c 2 + c 2 1 и a = a 1 , b = b 1 , c = c 1 следует ра- венство всех ребер. Значит, тетраэдр является правильным. Докажем, что S 1 + S 2 + S 3 + S 4 6 8 √ 3 3 R 2 (9.25) Д о к а з а т е л ь с т в о. На основании неравенства (13.11) из плани- метрии ([8], с. 142) имеем: 4 √ 3S 1 6 a 2 1 + b 2 + c 2 , 4 √ 3S 3 6 a 2 + b 2 + c 2 1 , 4 √ 3S 2 6 a 2 + b 2 1 + c 2 , 4 √ 3S 4 6 a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 167 Сложив эти равенства почленно, получаем: 4 √ 3(S 1 + S 2 + S 3 + S 4 ) 6 2(a 2 + b 2 + c 2 + a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ) 6 2 · 16R 2 Здесь использовано неравенство (9.7). Из полученного неравенства сле- дует неравенство (9.25). Равенство выполняется лишь для правильного тетраэдра. Из неравенств (9.24) и (9.25) следует: V 6 8 √ 3 27 R 3 (9.26) В самом деле, V = 1 3 (S 1 + S 2 + S 3 + S 4 )r 6 1 3 · 8 √ 3 3 R 2 · R 3 = 8 √ 3 27 R 3 § 4. Стереометрические экстремумы 4.1. Экстремумы как следствия нестрогих неравенств. Если имеет- ся неравенство x > a (x 6 a), где величина a постоянна, а величина x переменна, то a является минимальным (максимальным) значением величины x. Для примера рассмотрим неравенство (9.25), в котором R постоян- но и равенство выполняется только для правильного тетраэдра. Рас- смотрим множество всех тетраэдров, вписанных в сферу радиуса R. Из неравенства (9.25) следует, что максимальная площадь их поверх- ностей будет равна 8 √ 3 3 R 2 , ее имеет правильный тетраэдр, вписанный в данную сферу. Итак, из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, наибольшую площадь поверхности имеет правильный тетраэдр. Аналогично, из неравенства (9.26) следует, что из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, наибольший объем имеет правильный тет- раэдр. Рассмотрим множество всех прямоугольных параллелепипедов с данной диагональю d. Требуется найти тот из них, который имеет наи- большую площадь S его полной поверхности. Пусть a, b, c — измерения параллелепипеда. Тогда S = 2(ab + bc + ca) 6 2(a 2 + b 2 + c 2 ) = 2d 2 , при этом равенство имеет место лишь при a = b = c, т. е. тогда и только тогда, когда параллелепипед является кубом. 168 4.2. Экстремумы суммы и произведения положительных чисел. Об- ратимся снова к неравенству (9.1) Коши, в котором равенство дости- гается только при равенстве чисел a 1 = a 2 = . . . = a n . Из него можно сделать следующие выводы. 1. Если сумма n положительных чисел постоянна, то их произведе- ние максимально тогда и только тогда, когда эти числа равны. 2. Если произведение n положительных чисел постоянно, то их сум- ма минимальна тогда и только тогда, когда эти числа равны. З а д а ч а 1. Из множества всех прямоугольных параллелепипе- дов с заданной суммой ребер найдите параллелепипед максимального объема. Р е ш е н и е. Пусть a, b, c — измерения прямоугольного параллеле- пипеда и сумма a + b + c постоянна. Тогда abc максимально при a = b = c. Геометрически это означает, что из всех прямоугольных параллелепи- педов с одной и той же суммой ребер наибольший объем имеет куб. З а д а ч а 2. В сферу радиуса R вписана правильная четырехуголь- ная пирамида. Найдите наибольшую площадь ее боковой поверхности. Р е ш е н и е. Пусть h — высота, l — апофема, x — половина стороны основания пирамиды. Тогда площадь S ее боковой поверхности равна S = 4 · 1 2 l · 2x = 4lx. Так как l 2 = h 2 + x 2 и (x √ 2) 2 = h(2R − h) (полови- на диагонали основания есть средняя геометрическая величина между высотой h и ее дополнением 2R − h до диаметра сферы), то S = 4lx = 2h √ 4R 2 − h 2 Площадь S максимальна тогда и только тогда, когда максимальна вели- чина S 2 = 4h 2 (4R 2 − h 2 ). Рассмотрим произведение h 2 (4R 2 − h 2 ). Сумма h 2 + (4R 2 − h 2 ) = 4R 2 его сомножителей постоянна. Поэтому оно прини- мает наибольшее значение только при условии равенства сомножителей h 2 = 4R 2 − h 2 , т. е. при h = R √ 2. Следовательно, максимальная площадь S боковой поверхности пи- рамиды равна 2R √ 2 √ 4R 2 − 2R 2 = 4R 2 З а д а ч а 3. В сферу вписан конус. Найдите угол при вершине осе- вого сечения конуса, при котором конус имеет наибольшую площадь S боковой поверхности. Р е ш е н и е. Пусть R — радиус сферы, r — радиус основания кону- са, l — образующая конуса, 2 a — искомый угол при вершине его осевого сечения. Тогда r = l sin a, l = 2R cos a и поэтому S = prl = 4pR 2 sin a cos 2 a. Требуется найти значение a, при котором площадь S максимальна. Оно 169 совпадает с тем его значением, при котором S 2 максимальна. Предста- вим sin 2 a cos 4 a = 4(1 − cos 2 a) · cos 2 a 2 · cos 2 a 2 . Сумма (1 − cos 2 a) + cos 2 a 2 + + cos 2 a 2 = 1 постоянна (не зависит от a). Следовательно, произведение sin 2 a cos 4 a, а значит, и произведение sin a cos 2 a максимально при усло- вии (1 − cos 2 a) = cos 2 a 2 , откуда cos 2 a = 2 3 и cos 2 a = 1 3 З а д а ч а 4. Из всех конусов данного объема V найдите конус с наи- меньшей образующей. Р е ш е н и е. Пусть l, h, r — образующая, высота и радиус основания конуса. Тогда V = 1 3 pr 2 h, V 2 = 1 9 p 2 r 4 h 2 = 4 p 2 9 · r 2 2 · r 2 2 · h 2 и l 2 = r 2 + h 2 = = r 2 2 + r 2 2 + h 2 . Так как произведение r 2 2 · r 2 2 · h 2 по условия постоянно, то сумма r 2 2 + r 2 2 + h 2 минимальна при r 2 2 = h 2 . А тогда V = 2 3 ph 3 и поэтому h 3 = 3V 2 p , l 2 = r 2 + h 2 = 3h 2 , l = h √ 3 = √ 3 3 r 3V 2 p З а д а ч а 5. Через данную внутри трехгранного угла точку M про- ведите плоскость, отсекающую от него тетраэдр наименьшего объема. Р е ш е н и е. Пусть искомая плоскость a пересекает ребра данно- го триэдра в точках A, B, C и точка M ∈ a. Зададим аффинную си- стему координат Oxyz, координатные оси которой содержат ребра OA, OB, OC триэдра. Пусть точки A, B, C, M имеют координаты: A(a, 0, 0), B(0, b, 0), C(0, 0, c), M (x 0 , y 0 , z 0 ). Тогда плоскость a бу- дет иметь уравнение x a + y b + z c = 1 и поэтому для координат точки M выполняется равенство: x 0 a + y 0 b + z 0 c = 1. При заданном триэдре объем тетраэдра OABC согласно формуле (6.11) Штаудта зависит только от произведения abc, так как его плоские углы при вершине O постоянны. Поскольку сумма x 0 a + y 0 b + z 0 c постоянна, то произведение x 0 y 0 z 0 abc макси- мально при условии x 0 a = y 0 b = z 0 c = 1 3 . Но произведение x 0 y 0 z 0 постоянно, поэтому необходимо и достаточно, чтобы число abc было минималь- ным, а следовательно, был минимальным и объем тетраэдра OABC. Таким образом, равенства a = 3x 0 , b = 3y 0 , c = 3z 0 представляют реше- ние поставленной задачи. А они показывают, что точка M (x 0 , y 0 , z 0 ) является центроидом треугольника ABC что и позволяет построить этот треугольник (рис. 129): OM 1 = x 0 , OM 2 = y 0 , OM 3 = z 0 , OA = 3x 0 , OB = 3y 0 , OC = 3z 0 4.3. Сведение задачи к планиметрической часто используется при решении стереометрических задач, в частности, и при нахождении экс- тремумов. Рассмотрим несколько примеров. 170 З а д а ч а 1. Даны точки A, B и прямая m, не лежащие в одной плос- кости. Требуется найти на прямой m такую точку X, чтобы 1) сумма AX + BX была наименьшей, 2) разность |AX − BX| была наибольшей. A B C x y z O M M 1 M 2 M 3 Рис. 129 A B B 1 X m Рис. 130 Р е ш е н и е. Если точки A и B лежат в одной плоскости с прямой m (по разные стороны от нее), то решение задачи общеизвестно: искомая точка X есть точка пересечения прямых AB и m. При заданных услови- ях выполним поворот плоскости (m, B) около прямой m до совмещения ее с плоскостью (m, A) в том направлении, чтобы образ B 1 точки B при этом повороте оказался по другую сторону от прямой m, нежели точка A (рис. 130). Тогда искомой точкой X будет точка пересечения прямых m и AB 1 , так как AX + BX = AX + BX 1 = AB 1 , а расстоя- ние AB 1 наименьшее. Аналогично решается и вторая часть задачи о максимуме разности A B D 1 C D O M P Q h l Рис. 131 |AX − BX| с той лишь разницей, что поворот нужно выполнять в другом направлении, чем в первой части за- дачи. З а д а ч а 2. В правильной тре- угольной пирамиде сторона основа- ния равна a. Какой наименьший пери- метр может иметь сечение пирамиды плоскостью, проходящей через апофе- му, если высота пирамиды относится к боковому ребру как √ 2 : √ 3? Р е ш е н и е. Пусть ABCD — дан- ная пирамида, DO — ее высота, DP — апофема, P ∈ (AB) (рис. 131). Пусть треугольник DP Q — сечение пи- рамиды, Q ∈ (BC). Так как сторона DP постоянна, то сумма P Q + DQ 171 по условию должна быть минимальной. На основании решения преды- дущей задачи точка Q является точкой пересечения прямой BC с пря- мой P D 1 , где D 1 — образ вершины D при повороте треугольника BCD во внешнюю сторону пирамиды до совмещения с плоскостью ABC. Теперь нетрудно подсчитать минимальный периметр сечения DP Q: DP + P Q + QD = DP + P D 1 . Если l — длина бокового ребра пирамиды, то l 2 = h 2 + AO 2 . По условию h 2 = 2 3 l 2 . Так как AO = 2 3 AM = 2 3 · a √ 3 2 = = a √ 3 3 , то l 2 = 2 3 l 2 + 1 3 a 2 , откуда l = a. Тогда по теореме косинусов из треугольника P BD 1 имеем: P D 2 1 = a 2 2 + a 2 − 2 · a 2 · a cos 120 ◦ = 7 4 a 2 Поэтому минимальный периметр сечения DP Q равен a √ 3 2 + a √ 7 2 = = a 2 ( √ 3 + √ 7). § 5. Точка Люилье тетраэдра 5.1. Задача Люилье. Найдите точку, для которой сумма квадратов расстояний до плоскостей граней данного тетраэдра минимальна. Р е ш е н и е. Пусть d i (i = 1, 2, 3, 4) — нормальные координаты (п. 4.2, гл. 6) искомой точки L относительно данного тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 . Согласно тождеству (9.4) Лагранжа (d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4 )(S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 ) = = (d 1 S 1 + d 2 S 2 + d 3 S 3 + d 4 S 4 ) + 4 X i,j=1; i6=j (d i S j − d j S i ) 2 , (9.27) где S i — площади граней тетраэдра. Величина P(d i S j − d j S i ) 2 неотрица- тельна и обращается в нуль тогда и только тогда, когда все d i S j − d j S i = = 0, т. е. при условии d 1 S 1 = d 2 S 2 = d 3 S 3 = d 4 S 4 (9.28) В этом и только в этом случае правая часть тождества (9.27) минималь- на, а следовательно, минимальна и сумма c=d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4 , поскольку сумма S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 и сумма d 1 S 1 + d 2 S 2 + d 3 S 3 + d 4 S 4 = 3V посто- янны. Тогда из того же тождества (9.27) min c = 9V 2 S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 , 172 откуда 1 min c = 1 h 2 1 + 1 h 2 2 + 1 h 2 3 + 1 h 2 4 Таким образом, решением поставленной задачи является единствен- ная точка L, расстояния которой до плоскостей граней тетраэдра со- ответственно пропорциональны площадям этих граней. Это свойство обнаружил швейцарский математик Симон Люилье (1750–1840), чье имя и носит точка L. Отметим без доказательства, что в точке Люилье тетраэдра пере- секаются три плоскости, каждая из которых проходит через одну из бимедиан и середину соответствующего общего перпендикуляра двух скрещивающихся ребер тетраэдра. Она лежит также в плоскости, со- держащей середины общих перпендикуляров скрещивающихся ребер. 5.2. Барицентрические координаты точки Люилье. Выразим ба- рицентрические координаты l i = d i h i точки Люилье тетраэдра через площади его граней. Обозначим равные отношения (9.28) буквой t: t = d i S i = d i S i S 2 i . По свойству ряда равных отношений t = d 1 S 1 + d 2 S 2 + d 3 S 3 + d 4 S 4 S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 = 3V S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 Тогда l i = d i h i = d i S i h i S i = S 2 i t 3V Итак, l i = S 2 i S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 + S 2 4 , (9.29) т. е. барицентрические координаты точки Люилье тетраэдра пропор- циональны квадратам площадей соответственных граней. 5.3. Точка Люилье — центроид ее тетраэдра проекций. Тетраэдр M 1 M 2 M 3 M 4 , вершины которого являются ортогональными проекция- ми M i точки M на плоскости граней тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 называется тетраэдром проекций точки M относительно тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 Теорема. Точка L Люилье тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 является цен- троидом ее тетраэдра проекций L 1 L 2 L 3 L 4 относительно тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 Д о к а з а т е л ь с т в о 1. Привлечем векторы n i , ортогональные граням тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 , модули которых численно равны пло- щадям S i соответственных граней. Согласно задаче § 2 гл. 5 их сумма 173 равна нуль-вектору. Положим LL i = d i . Тогда d i = | d i | · n i | n i | = d i S i n i и поэтому d 1 + d 2 + d 3 + d 4 = d 1 S 1 n 1 + d 2 S 2 n 2 + d 3 S 3 n 3 + d 4 S 4 n 4 На основании (9.28) d 1 + d 2 + d 3 + d 4 = d i S i ( n 1 + n 2 + n 3 + n 4 ) = 0. По необходимому и достаточному признаку центроида (п. 1.3 гл. 6) точ- ка L — центроид тетраэдра L 1 L 2 L 3 L 4 Д о к а з а т е л ь с т в о 2. Если M i — ортогональные проекции точки M 6= L на плоскости граней тетраэдра A 1 A 2 A 3 A 4 , то по свойству точки L имеем: LL 2 1 + LL 2 2 + LL 2 3 + LL 2 4 < M M 2 1 + M M 2 2 + M M 2 3 + M M 2 4 Но так как M M 2 i < M L 2 i , то LL 2 1 + LL 2 2 + LL 2 3 + LL 2 4 < M L 2 1 + M L 2 2 + M L 2 3 + M L 2 4 Таким образом, сумма квадратов расстояний точки L до вершин тетра- эдра L 1 L 2 L 3 L 4 минимальна. На основании характеристического свой- ства центроида (следствие из теоремы Лейбница) точка L — центроид тетраэдра L 1 L 2 L 3 L 4 § 6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра Было уже замечено (п. 4.1), что из всех тетраэдров, вписанных в данную сферу, наибольшую площадь поверхности и наибольший объ- ем имеет правильный тетраэдр. Из тех же неравенств (9.25) и (9.26) вытекает, что из всех тетраэдров с заданной площадью поверхности правильный тетраэдр имеет минимальную описанную сферу, из всех равновеликих тетраэдров правильный тетраэдр имеет минимальную описанную сферу. На основании неравенства (9.24) правильный тетраэдр имеет ми- нимальное отношение R : r = 3 радиусов описанной и вписанной сфер. Ниже рассматриваются другие экстремальные свойства правильно- го тетраэдра. 174 6.1. Тетраэдр минимальной площади поверхности с данным основа- нием и данной высотой. С целью получения экстремальных свойств правильного тетраэдра, решим подготовительную, но важную задачу. Даны треугольник ABC и отрезок h. Найти тетраэдр ABCD с за- данной высотой h, который имел бы минимальную площадь поверх- ности. Очевидно, для этого достаточно найти положение проекции H ис- комой вершины D на плоскость ABC. Пусть x, y, z ориентированные расстояния точки H до сторон треугольника ABC (нормальные коор- динаты точки H относительно треугольника ABC). Известно, что ax + by + cz = 2S, (9.30) где a, b, c — длины сторон треугольника, S — его площадь. Следова- тельно, нам нужно найти минимум суммы площадей трех других граней искомого тетраэдра, или минимум выражения: a √ h 2 + x 2 + b p h 2 + y 2 + c √ h 2 + z 2 Временно фиксируем z, т. е. проекцию H будем искать на прямой, па- раллельной стороне AB. Тогда в силу (9.30) ax + by = const и мы ищем точку H такую, чтобы величина c = a √ h 2 + x 2 + b p h 2 + y 2 была минимальной, а значит, была минимальной и величина c 2 = (ax + by) 2 + a 2 h 2 + b 2 h 2 + 2ab( p h 4 + h 2 (x 2 + y 2 ) + x 2 y 2 − xy). Но так как (ax + by) 2 , a 2 h 2 , b 2 h 2 , 2ab постоянны, то достаточно найти минимум величины m = ph 4 + h 2 (x 2 + y 2 ) + x 2 y 2 − xy. Разложим ( m + xy) 2 = h 4 + h 2 (x 2 + y 2 ) + x 2 y 2 по степеням y: h 2 y 2 − 2 mxy + h 4 + h 2 x 2 − m 2 = 0. (∗) Чтобы y было действительным, необходимо, чтобы дискриминант этого трехчлена был неотрицательным: m 2 x 2 − h 2 (h 4 + h 2 x 2 − m 2 ) > 0, или m 2 (x 2 + h 2 ) − h 4 (x 2 + h 2 ) > 0, 175 откуда m 2 > h 4 . Минимальным значением m является h 2 . Подстановкой m = h 2 в (∗) получаем: h 2 (x − y) 2 = 0, откуда x = y. Значит, точка H, для которой при фиксированном z минимальна площадь поверхности тетраэдра, лежит на биссектрисе угла ACB. Отсюда следует, что основанием H высоты искомого тетраэдра яв- ляется, центр окружности, вписанной в данный треугольник ABC (рис. 132). A B C D H h a b c x y z Рис. 132 6.2. Правильный тетраэдр — объект с экстремальными свойствами. Среди всех равновеликих тетраэдров наименьшую площадь поверхно- сти имеет правильный тетраэдр. Д о к а з а т е л ь с т в о. По доказанному в предыдущем пункте в тет- раэдре с минимальной площадью его поверхности при заданном объеме тетраэдра основаниями высот являются центры окружностей, вписан- ных в грани. Поэтому в нем будут равны каждые три двугранных угла с общей гранью, а следовательно, и равны все двугранные углы. Со- гласно второй теореме косинусов для триэдра равны все плоские углы тетраэдра. Так как все грани — правильные треугольники, то тетра- эдр — правильный. Обратимся к равенству 3V = Sr, где S — площадь поверхности тет- раэдра, r — радиус его вписанной сферы. Если его объем V задан, то при минимальной площади S будет максимальным r. Следовательно, на основании предыдущего свойства из всех равновеликих тетраэдров максимальную вписанную сферу имеет правильный тетраэдр. Из всех тетраэдров, описанных около данной сферы, минимальный объем имеет правильный тетраэдр. В самом деле, отношение R : r минимально (равно 3) только для пра- вильного тетраэдра. Следовательно, из всех тетраэдров, описанных око- ло данной сферы, правильный тетраэдр имеет минимальную описанную 176 сферу. В неравенстве (9.26) равенство выполняется только для правиль- ного тетраэдра. Но при минимальном R будет минимальным и V . Обратимся еще раз к соотношениям 3V = Sr и r 6 1 3 R, из которых следует: V 6 1 9 SR, (9.31) где равенство достигается только для правильного тетраэдра. Тогда при заданной площади S его поверхности из (9.25) находится R 2 = √ 3 8 S. Правая часть неравенства (9.31) оказалась постоянной. Следовательно, объем V тетраэдра максимален, когда этот тетраэдр правильный. Итак, из всех тетраэдров с постоянной площадью поверхности максимальный объем имеет правильный тетраэдр. Следствие. Для любого тетраэдра имеет место неравенство: S > 6 2 q √ 3V 2 (9.32) Действительно, неравенство (9.31) выполняется для произвольного тетраэдра, а максимум V достигается при R 2 = √ 3 8 S для правильного тетраэдра. Поэтому V 2 6 1 81 S 2 R 2 = √ 3 81 · 8 S 3 , откуда следует (9.32). Задачи к главе 9 В задачах 9.1–9.18 требуется доказать неравенства. 9.1. Сумма двух противоположных ребер тетраэдра меньше суммы остальных четырех ребер. 9.2. Сумма трех ребер тетраэдра, имеющих общую вершину, больше полусуммы трех других его ребер. 9.3. Бимедиана (средняя линия) тетраэдра меньше полусуммы двух его противоположных ребер, которые она не пересекает. 9.4. Сумма трех произведений длин противоположных ребер тетра- эдра меньше удвоенной суммы произведений длин ребер при одной вер- шине, взятых попарно. 9.5. Сумма длин всех ребер тетраэдра не превышает 4 √ 6R. 9.6. Сумма длин всех ребер тетраэдра больше сумма расстояний его внутренней точки до вершин, но меньше утроенной этой суммы рассто- яний. 177 9.7. Если a, b, c — длины ребер параллелепипеда, d — длина одной из его диагоналей, то a 2 + b 2 + c 2 > 1 3 d 2 9.8. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с точкой противопо- ложной грани и содержащий центр описанной сферы, не меньше от- резка, соединяющего ту же вершину с центром окружности, описанной около противоположной грани. 9.9. Сумма медиан любого тетраэдра удовлетворяет неравенствам: 16r 6 m 1 + m 2 + m 3 + m 4 6 16 3 R, в которых равенства достигаются для равногранного тетраэдра. 9.10. Для правильной четырехугольной пирамиды имеет место нера- венство R > (1 + √ 2)r. 9.11. Радиус вписанной окружности любой грани тетраэдра больше радиуса его вписанной сферы. 9.12. В прямоугольном тетраэдре площадь S грани, лежащей против прямого триэдра, удовлетворяет неравенству S √ 3 6 2R 2 , а сумма площадей трех других граней не меньше 9 2 h 2 9.13. Если каждое ребро четырехугольной пирамиды имеет длину a, то для ее объема V выполняется неравенство V 6 4 √ 3 27 a 3 9.14. Если плоскость наклонена к граням прямого триэдра под угла- ми a, b, g, то cos a + cos b + cos g 6 √ 3. 9.15. Сумма углов, образованных диагональю прямоугольного па- раллелепипеда с его ребрами, меньше 180 ◦ 9.16. Сумма углов, под которыми видны ребра тетраэдра из произ- вольной его внутренней точки, больше 3 p. 9.17. Сумма двугранных углов тетраэдра при четырех его ребрах, образующих косой четырехугольник, меньше 2 p. 9.18. Сумма всех двугранных углов тетраэдра заключена между 2 p и 3 p. 9.19. Докажите, что из всех прямоугольных параллелепипедов с по- стоянной площадью S поверхности наибольший объем имеет куб. Вы- числите этот наибольший объем. 178 9.20. Докажите, что из множества параллелепипедов, вписанных в данную сферу, наибольший объем имеет куб. 9.21. Из множества цилиндров, вписанных в сферу радиуса R, най- дите объем того цилиндра, который имеет наибольшую площадь боко- вой поверхности. 9.22. Из всех конусов с данной образующей l найдите конус наиболь- шего объема. 9.23. Среди всех конусов, описанных около сферы радиуса r, найдите конус наименьшего объема. Вычислите этот объем. 9.24. В данную сферу вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите отношение радиуса цилиндра к радиусу сферы. 9.25. Консервная банка данного объема V имеет форму цилиндра. |