Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
◦ . Из него видно, что sin f < sin y и, значит, f < y. В случае, когда углы A и B треугольника ABC острые, угол ACB разбивается плоскостью CC 1 D, перпендикулярной прямой AB, на два угла, каждый из которых на основании предыдущего вывода меньше своей проекции (рис. 43). Поэтому и угол ACB также меньше своей проекции независимо от его величины. Если один из углов A и B треугольника ABC тупой, то точка D находится вне отрезка AB и поэтому рассуждение, аналогичное пре- дыдущему, будет неверным. Обратимся к равенству (3.4), в котором для данного случая углы f и y меньше 90 ◦ . Сравнение их равносильно сравнению с единицей коэффициента cos w cos a cos b . Следовательно, априо- ри имеем следующие критерии: y < f ⇔ cos w < cos a cos b, y > f ⇔ cos w > cos a cos b, (3.12) y = f ⇔ cos w = cos a cos b. В силу экстремального свойства линейного угла двугранного угла w > a и w > b и, следовательно, cos w < cos a и cos w < cos b. Поэтому cos a cos b > > cos 2 w. Кроме того, cos 2 w < cos w < 1. При изменении a и b (они могут быть сколь угодно малыми) произведение cos a cos b изменяется непре- рывно и принимает все значения из открытого промежутка (cos 2 w, 1), 57 которому принадлежит cos w. Таким образом, каждый из трех случа- ев (3.12) может иметь место. Осталось рассмотреть случай, когда сторона CB проектируемого угла ACB параллельна плоскости проекций (рис. 45). Тогда имеет ме- сто зависимость (3.10), из которой видно, что для углов f и y, меньших 90 ◦ , будет cos f < cos y и поэтому f > y. Если же эти углы больше 90 ◦ , то смежные с ними углы 180 ◦ − f и 180 ◦ − y меньше 90 ◦ и по доказанному 180 ◦ − f > 180 ◦ − y, откуда f < y. При f = 90 ◦ из (3.10) следует y = 90 ◦ Подведем итоги. Если обе стороны угла ACB пересекают плоскость проекций (в точках A и B) и углы треугольника ABC при вершинах A и B нетупые, то ортогональная проекция этого угла больше его. Если один из указанных углов тупой, то сравнение величины f угла ACB и величины y его проекции производится по критериям (3.12). Если одна сторона проектируемого угла параллельна плоскости проекций, а другая ее пересекает, то этот угол больше своей проекции, если он острый, и меньше ее, если он тупой, а проекцией прямого угла явля- ется также прямой угол. Если одна или обе стороны проектируемого угла не пересекают плос- кость проекций и не параллельны ей, то сравнение величины этого угла с величиной его проекции осуществляется помощью смежного с ним угла или вертикального ему. К нему применимы предыдущие крите- рии. Однако существенно учитывать, что неравенство для данного угла и его проекции и неравенство для смежного угла и его проекции имеют противоположный смысл, так как сумма смежных углов постоянна. 2.4. Примеры решения задач. Полученные соотношения весьма эф- фективны в применениях. Покажем это на примерах. З а д а ч а 1. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен f. Найдите величину двугранного угла при ее осно- вании. Р е ш е н и е. Поскольку ортогональной проекцией боковой грани пи- рамиды является равнобедренный треугольник с углом 120 ◦ при его вершине, то на основании формулы (3.7) сразу получаем: tg f 2 = tg 60 ◦ cos w, откуда cos w = 1 √ 3 tg f 2 З а д а ч а 2. В правильной треугольной пирамиде SABC двугран- ный угол при основании равен a. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре. Р е ш е н и е. Пусть SA = SB = SC, плоские углы при вершине S рав- ны g, Q — середина ребра BC. Тогда ребро BC перпендикулярно плос- кости ASQ и угол AQS есть линейный угол a данного двугранного угла 58 (рис. 46). Заметив, что угол a есть ортогональная проекция угла ABS, используем соотношение (3.4). Если плоскость BCP перпендикулярна ребру SA и x — величина искомого угла BP C, то заменив в (3.4) a на 30 ◦ , b на g 2 , w на x 2 , f на 90 ◦ − g 2 , y на a, получим: sin a = cos x 2 √ 3 2 cos g 2 sin 90 ◦ − g 2 = 2 cos x 2 √ 3 , откуда cos x = 3 2 sin 2 a − 1. З а д а ч а 3. Плоский угол при вершине правильной четырехуголь- ной пирамиды равен a. Найдите угол между противоположными боко- выми гранями. A B C P Q S a g x Рис. 46 A B C D M N S O a x Рис. 47 Р е ш е н и е. Пусть M и N — середины ребер AB и CD данной пира- миды SABCD (рис. 47). Тогда угол M SN есть искомый линейный угол двугранного угла между плоскостями SAB и SCD (его ребро парал- лельно AB и CD). Угол ASD ортогонально проектируется на плоскость SM N . Используем зависимость (3.7): tg a 2 = tg x 2 cos x 2 , откуда sin x 2 = tg a 2 и cos x = 1 − 2 tg 2 a 2 З а д а ч а 4. Найдите величину угла между скрещивающимися ме- дианами двух граней правильного тетраэдра. Р е ш е н и е. Угол x между медианами DE и AF граней ABD и ADC правильного тетраэдра ABCD (рис. 48) равен углу M AF (AM DE — 59 прямоугольник). Этот угол ортогонально проектируется на угол DEF , являющийся половиной y линейного угла двугранного угла правильно- го тетраэдра. Так как AM k ED, то имеет место зависимость (3.10), на основании которой cos x = cos 2 y. Так как cos 2y = 1 3 , то cos 2 y = = 1 + cos 2 y 2 = 2 3 . Итак, cos x = 2 3 A B C D M E F f y x Рис. 48 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 K L M N P Q f w x Рис. 49 З а д а ч а 5. В кубе ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 через вершину B и середи- ны M и N ребер AD и CC 1 проведена плоскость. Найдите величину угла, под которым эта плоскость наклонена к плоскости грани ABCD. Р е ш е н и е. Сечение BM P N куба плоскостью BM N изображено на рис. 49. Линейный угол KQL искомого двугранного угла (K — се- редина DC) есть ортогональная проекция угла f = ∠NBC. Пользуясь формулой (3.9), получаем: tg f = tg x cos w, где w — величина угла меж- ду плоскостями углов f и x. Согласно условиям, определяющим се- кущую плоскость BM N , tg f = tg w = 1 2 , откуда cos w = 2 √ 5 , и поэтому 1 2 = tg x · 2 √ 5 , tg x = √ 5 4 § 3. Ортогональная проекция вектора на плоскость 3.1. Вектор ортогональной проекции вектора. Если отрезок A 1 B 1 — ортогональная проекция отрезка AB на прямую с направляющим еди- ничным вектором e, то число | AB| cos a, где a = ( \ AB, e), называется скалярной проекцией вектора AB на эту прямую, а вектор A 1 B 1 назы- вается векторной проекцией вектора AB, или вектором ортогональной 60 проекции вектора AB (рис. 50): Пр e AB = A 1 B 1 = | AB| cos a · e = (AB · e)e. (3.13) Пусть дана плоскость p и перпендикулярный ей единичный вектор e и пусть p — вектор ортогональной проекции данного вектора r на A B A 1 B 1 ¯ e Рис. 50 A P Q O ¯ e ¯ q ¯ p ¯ p ¯ r p Рис. 51 плоскость p (рис. 51). Тогда p = r − q, где q — вектор ортогональной проекции вектора r на прямую с направляющим вектором e: q = Пр e r = ( r e) e. (3.14) Так как r = p + q и p q = 0, то r 2 = p 2 + q 2 = p 2 + ( r e) 2 , откуда p 2 = r 2 − ( r e) 2 (3.15) 3.2. Решение задач. Формулы (3.14) и (3.15) удобны в применениях. Рассмотрим решения трех следующих задач. З а д а ч а 1. Докажите, что сумма квадратов ортогональных про- екций всех ребер куба на произвольную плоскость постоянна. Р е ш е н и е. Пусть a, b, c — векторы попарно перпендикулярных трех ребер куба и e — единичный вектор, перпендикулярный плоскости проекций. Тогда сумма квадратов проекций всех 12 ребер куба равна 4( a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 ), где a 1 , b 1 , c 1 — векторные проекции векторов a, b, c. Согласно (3.15) эта сумма равна 4( a 2 − ( a e) 2 + b 2 − ( b e) 2 + c 2 − ( c e) 2 ) = = 4( a 2 + b 2 + c 2 − a 2 cos 2 a − b 2 cos 2 b − c 2 cos 2 g), где a, b, g — углы векто- ра e с векторами a, b, c. Если a — длина ребра куба, то a 2 = b 2 = c 2 = a 2 и поэтому искомая сумма равна 12a 2 − 4a 2 (cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g). Учи- тывая тождество (1.1), получаем, что рассматриваемая сумма рав- на 8a 2 , т. е. не зависит от выбора плоскости проекций. 61 З а д а ч а 2. Докажите, что сумма квадратов ортогональных про- екций всех ребер правильного тетраэдра на произвольную плоскость не зависит от выбора плоскости. Р е ш е н и е. Построим для данного тетраэдра описанный паралле- лепипед — куб (п. 3.2, гл. 1). Пусть векторы a, b, c — векторы трех попарно перпендикулярных ребер этого куба. Тогда векторы a + b, b + c, c + a, a − b, a − c, b − c есть векторы ребер данного тетраэдра. По фор- муле (3.15) рассматриваемая сумма c квадратов их проекций равна: c = (a + b) 2 − (( a + b) e) 2 + ( b + c) 2 − (( b + c) e) 2 + ( c + a) 2 − (( c + a) e) 2 + + ( a − b) 2 − (( a − b) e) 2 + ( a − c) 2 − (( a − c) e) 2 + ( b − c) 2 − (( b − c) e) 2 = = 4( a 2 + b 2 + c 2 ) − 4(( a e) 2 + ( b e) 2 + ( c e) 2 ) = 12a 2 − 4a 2 (cos 2 a + cos 2 b + + cos 2 g), где a — длина ребра куба, a, b, g — углы векторов a, b, c с вектором e. Так как cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g = 1, то c = 8a 2 . Если m — длина ребра тетраэдра, то m 2 = 2a 2 и c = 4m 2 З а д а ч а 3. Докажите, что сумма квадратов расстояний от вершин правильного тетраэдра ABCD до произвольной прямой, проходящей через его центр O, не зависит от выбора прямой. Р е ш е н и е. Пусть e — единичный вектор, коллинеарный заданной прямой. Рассматриваемая сумма квадратов расстояний d i от вершин тетраэдра до этой прямой равна сумме квадратов ортогональных проек- ций векторов OA, OB, OC, OD на плоскость, перпендикулярную век- тору e. Рассмотрим куб, описанный около тетраэдра, и векторы a, b, c ребер куба, направленные в вершины A, B, C. Тогда OD = 1 2 ( a + b + c), OA = 1 2 ( a − b − c), OB = 1 2 ( b − a − c), OC = 1 2 ( c − a − b) и OA 2 = OB 2 = = OC 2 = OD 2 = R 2 , где R — радиус описанной около тетраэдра сферы. По формуле (3.15) находим: d 2 1 + d 2 2 + d 2 3 + d 2 4 = 4R 2 − 1 4 · 4(( a e) 2 + ( b e) 2 + + ( c e) 2 ) = 4R 2 − a 2 (cos 2 a + cos 2 b + cos 2 g), где a — длина ребра описан- ного куба, a, b, g — углы заданной прямой с его ребрами, cos 2 a+cos 2 b+ + cos 2 g = 1. Легко подсчитать, что a 2 = 4 3 R 2 . Следовательно, d 2 1 + d 2 2 + + d 2 3 + d 2 4 = 8 3 R 2 = const. Задачи к главе 3 3.1. В тетраэдре ABCD ребра DA, DB, DC попарно перпендику- лярны. Докажите, что площадь каждой грани, содержащей вершину D, есть средняя геометрическая величина площади ее ортогональной про- екции на плоскость ABC и площади грани ABC. 62 3.2. Докажите, что в прямоугольном тетраэдре ABCD с прямыми плоскими углами при вершине D имеет место равенство: S 2 = S 2 1 + S 2 2 + S 2 3 , где S — площадь грани ABC. (Стереометрический аналог теоремы Пи- фагора.) 3.3. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны a, b, c. Най- дите площадь сечения плоскостью, содержащей середины шести его ребер. 3.4. Основание пирамиды — ромб со стороной a. Две боковые грани перпендикулярны плоскости основания и образуют между собой угол величины b. Две другие боковые грани наклонены к плоскости осно- вания под равными углами величины a. Найдите площадь боковой по- верхности пирамиды. 3.5. Основанием прямой призмы ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 является парал- лелограмм. Постройте сечение призмы плоскостью, проходящей через середины сторон AB и AD основания и вершину C 1 . Вычислите пло- щадь сечения, если секущая плоскость наклонена к плоскости основа- ния под углом a, а площадь основания равна S. 3.6. Основание пирамиды — правильный треугольник со стороной a. Одна из боковых граней также является правильным треугольником и перпендикулярна плоскости основания. Определите площадь боковой поверхности пирамиды. 3.7. Основанием пирамиды служит равнобочная трапеция с боковой стороной a и острым углом a. Все боковые грани наклонены к плоско- сти основания под равными углами величины b. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды. 3.8. Основанием пирамиды является равнобочная трапеция, длины оснований которой равны a и b (a > b). Боковые грани наклонены к плос- кости основания под равными углами величины a. Найдите площадь полной поверхности пирамиды. 3.9. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пи- рамиды равна S, двугранный угол при основании имеет величину a. Найдите объем пирамиды. 3.10. Докажите, что сумма квадратов площадей ортогональных про- екций плоской фигуры на три попарно перпендикулярные плоскости равна квадрату площади этой фигуры. 3.11. В правильном тетраэдре ABCD точка M — середина высо- ты DH. Докажите, что прямые M A, M B, M C попарно перпендику- лярны. 63 3.12. В тетраэдре ABCD ребра DA, DB, DC попарно перпендику- лярны и равны, точка H — ортогональная проекция вершины D на плоскость ABC, точка Q симметрична точке H относительно верши- ны D. Докажите, что тетраэдр QABC правильный. 3.13. В триэдре все плоские углы прямые. Докажите, что треуголь- ник, являющиеся сечением этого триэдра плоскостью, не проходящей через его вершину, остроугольный. 3.14. Постройте прямой триэдр, ребра которого ортогонально проек- тировались бы на данную плоскость в три заданных луча. 3.15. В правильной треугольной пирамиде угол при вершине равен a, боковое ребро имеет длину l. Вычислите площадь сечения ее плоско- стью, проходящей через сторону основания перпендикулярно противо- лежащему боковому ребру. 3.16. В правильной четырехугольной пирамиде боковое ребро имеет длину l, а двугранный угол при нем равен a. Найдите объем пирамиды. 3.17. В правильной четырехугольной усеченной пирамиде угол меж- ду плоскостью, содержащей диагонали оснований, и плоскостью, прохо- дящей через сторону нижнего основания и противоположную сторону верхнего основания, равен a. Найдите отношение площадей сечений пи- рамиды этими плоскостями. 3.18. Отношение площади плоской фигуры к площади ее парал- лельной проекции на некоторую плоскость обратно отношению сину- сов углов между направлением проектирования и плоскостями данной фигуры и ее проекции. Докажите это утверждение, пользуясь ортого- нальным проектированием плоскости на плоскость. 3.19. Докажите, что отношение площадей двух фигур, лежащих в од- ной плоскости, равно отношению площадей их параллельных проекций на другую плоскость. 3.20. В правильной треугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу наклона бокового ребра к плоскости основания. Найдите этот угол. Постройте его циркулем и линейкой. Решите аналогичную задачу для правильной четырехугольной пирамиды. 64 Г л а в а 4 Геометрические места точек пространства § 1. Основные геометрические места точек пространства 1.1. Сущность задачи на нахождение ГМТ. Напомним, что геомет- рическим местом точек (ГМТ) пространства, обладающих данным свойством, называется множество всех точек пространства, каждая из которых обладает этим свойством. Все остальные точки пространства указанным свойством не обладают. ГМТ задается свойством точек, которое называется характеристическим свойством этого ГМТ (фи- гуры). Каждая задача, в которой требуется найти ГМТ по его характе- ристическому свойству, предполагает требование описать это ГМТ на- глядно через известные элементарные фигуры. Решение задачи на отыс- кание ГМТ неизбежно приводит к доказательству двух утверждений — прямого и ему противоположного: необходимо доказать, что 1) каждая точка предполагаемого (искомого) ГМТ обладает заданным свойством, 2) любая точка, не принадлежащая этой фигуре, заданным свойством не обладает. Вместо второго утверждения можно доказывать эквивалент- ное ему утверждение, обратное первому: если точка обладает заданным свойством, то она принадлежит искомой фигуре. Решение задачи на нахождение ГМТ пространства по заданному его характеристическому свойству в большинстве случаев начинается с создания предположения (гипотезы) о виде искомой фигуры, в чем существенную роль играют известные ГМТ плоскости. Потом иссле- дуются другие положения плоскости, сохраняющие заданное свойство точек, что позволяет определить вид искомой фигуры. Нередко искомое ГМТ представляет собой пересечение уже извест- ных ГМТ. Исследование полученного решения состоит в рассмотрении особых случаев взаимного расположения объектов (точек, прямых, плоскостей и др.), через которые задано характеристическое свойство точек иско- мой фигуры (ГМТ). Для примера найдем геометрическое место точек пересечения плос- костей, содержащих данную точку A, со всеми перпендикулярными им прямыми, лежащими в данной плоскости a и пересекающимися в дан- ной точке B. Пусть точка A не лежит в плоскости a и точка H — ее ортогональ- ная проекция на плоскость a (рис. 52). Пусть M — произвольная точка искомого ГМТ, т. е. M = (BM ) ∩ g, BM⊥g, BM ⊂ a, A ∈ g. По определению a⊥g (п. 2.2, гл. 1). На основании следствия из него (AH) ⊂ g. Поскольку BM⊥AM, то MH⊥BM. Следовательно, точка M A B H M a g Рис. 52 лежит на окружности с диаметром BH. Дока- жем обратное утверждение. Пусть M — произ- вольная точка окружности с диаметром BH, не совпадающая с точками B и H. Тогда угол BM H прямой и из BM ⊥M H следует BM ⊥ ⊥AM и затем BM ⊥(AM H). Значит, точка M обладает заданным свойством (является точ- кой пересечения прямой, лежащей в плоско- сти a, и плоскости, перпендикулярной этой прямой и содержащей точку A). Точки H и B также обладают этим свойством: точка H ле- жит в плоскости, проходящей через точку A и перпендикулярной BH, а точка B лежит в плоскости ABH и на пря- мой плоскости a и перпендикулярной BH. Таким образом, искомым ГМТ является окружность в плоскости a с диаметром BH. Отметим два частных случая. 1) A ∈ a. Тогда точки A и H совпадают и искомым ГМТ является та же окружность. 2) Если точки B и H совпадают, то искомым ГМТ является одна точна B. 1.2. Простейшие ГМТ пространства. Следующие девять ГМТ про- странства являются простейшими (в определенном смысле первона- чальными). I. Множество точек пространства, удаленных от данной точки O на заданное расстояние R, есть по определению сфера (O, R) с центром O радиуса R. Ее можно рассматривать и как ГМТ пространства, из кото- рых данный отрезок виден под прямым углом. II. Множество точек пространства, каждая из которых равноудале- на от двух данных точек A и B, есть плоскость c, проходящая через середину O отрезка AB перпендикулярно этому отрезку (плоскость симметрии точек A и B). Действительно, проведем через прямую AB произвольную плоскость a. Множество точек плоскости a, каждая из которых равноудалена от точек A и B, есть серединный перпендикуляр 66 к отрезку AB. Объединение всех таких перпендикуляров, получаемых во всех плоскостях a, и есть указанная плоскость c. III. Геометрическое место точек пространства, удаленных от данной плоскости a на данное расстояние h, есть пара плоскостей, параллель- ных данной плоскости a. Эти же две плоскости можно рассматривать как объединение прямых, каждая из которых параллельна плоскости a и удалена от нее на расстояние h. IV. ГМТ пространства, равноудаленных от двух данных параллель- ных плоскостей, есть параллельная им плоскость, делящая пополам любой отрезок с концами на данных плоскостях. V. ГМТ пространства, удаленных от данной прямой l на данное расстояние r, есть круговая цилиндрическая поверхность с осью l ради- уса r. Ее можно рассматривать как объединение всех прямых, каждая из которых параллельна l и удалена от нее на расстояние r, а также как объединение всех окружностей радиуса r с центрами на l в плоскостях, перпендикулярных прямой l. VI. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных параллельных прямых a и b, есть плоскость g, перпендикуляр- ная плоскости p этих прямых и содержащая среднюю линию m полосы между этими прямыми (рис. 53). a m b p g Рис. 53 a b a b O M Рис. 54 VII. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся прямых a и b, есть пара взаимно перпендику- лярных плоскостей, перпендикулярных плоскости данных прямых и со- держаших биссектрисы углов между ними (рис. 54). VIII. Геометрическое место точек, каждая из которых равноудалена от двух данных пересекающихся плоскостей, состоит из двух перпен- дикулярных плоскостей — биссекторных плоскостей двугранных углов между данными плоскостями. 67 A B C a b g O M l Рис. 55 IX. ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от трех неколлинеарных точек A, B, C есть пересечение двух геометрических мест II: плоскости g симметрии то- чек A и B и плоскости a симметрии точек B и C, т. е. прямая l = g ∩ a (рис. 55). Точка O = l ∩ (ABC) яв- ляется центром окружности, опи- санной около треугольника ABC. По этой причине прямая l называ- ется осью окружности ABC. Она принадлежит также и плоскости b симметрии точек C и A. § 2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися прямыми 2.1. Серединная плоскость скрещивающихся прямых. Найдем гео- метрическое место середин отрезков, концы каждого из которых при- надлежат двум данным скрещивающимся прямым a и b. Р е ш е н и е 1. Пусть M — произвольная точка искомого множе- ства, т. е. середина некоторого отрезка AB, A ∈ a, B ∈ b (рис. 56). Постро- им пару параллельных плоскостей a и b, содержащих соответственно M A B a b g a b Рис. 56 прямые a и b (п. 3.1, гл. 1). Проведем через точку M плоскость g, параллельную этим плоскостям. По теореме п. 3.5 гл. 1 в плос- кости g лежат середины всех отрезков с кон- цами на a и b, в частности, и середины всех отрезков с концами на прямых a и b. Плос- кость g называется серединной плоскостью скрещивающихся прямых. Обратно, пусть точка M — произвольная точка серединной плоскости g. Прямая l пе- ресечения плоскостей (M, a) и (M, b) пересекает каждую из прямых a и b. Следовательно, точка M принадлежит искомому ГМТ. Итак, геометрическим местом середин отрезков, концы каждого из которых принадлежат двум скрещивающимся прямым, является серединная плоскость g этих прямых. 68 Р е ш е н и е 2 (методом преобразований). Фиксируем точку A пря- мой a. Гомотетия с центром A и коэффициентом 1/2 отображает пря- a 0 b 0 M g A B a b Рис. 57 мую b на прямую b 0 k b (рис. 57), на которой лежат середины отрезков AB для любой точ- ки B прямой b. Аналогично фиксируем точ- ку B. Гомотетия с центром B и коэффици- ентом 1/2 отображает прямую a на прямую a 0 k a. Если перемещать одновременно точку A по прямой a, а точку B по прямой b, то объеди- нение всех прямых a 0 и b 0 — образов прямых a и b при указанных гомотетиях есть серединная плоскость g, содержащая середины всех отрез- ков AB. 2.2. Гиперболический параболоид. Поставим задачу найти ГМТ, каждая из которых равноудалена от двух скрещивающихся прямых a и b. Для этого пересечем их произвольной прямой c. На основании ГМТ VII геометрическим местом точек, каждая из которых равно- удалена от прямых a и c, есть определенная пара плоскостей c 1 и c 2 Геометрическим местом точек, каждая из которых равноудалена от пря- мых c и b есть определенная пара плоскостей c 3 и c 4 . Точки четырех прямых пересечения плоскостей c 1 , c 2 , c 3 , c 4 принадлежат искомому ГМТ. Меняя секущую прямую c, получим этим путем бесконечное множество прямых, каждая точка которых равноудалена от данных скрещивающихся прямых a и b. Объединение всех прямых этого мно- жества представляет собой поверхность, называемую гиперболическим параболоидом. Часть его изображена на рис. 58. O a b Рис. 58 Эта седлообразная поверхность изучается в вузах. Гиперболический параболоид может быть о п р е д е л е н как множество прямых, каж- дая из которых пересекает три данные попарно скрещивающиеся пря- 69 мые, параллельные одной плоскости. Тогда три данные прямые также принадлежат заданному ими гиперболическому параболоиду. Каждая принадлежащая ему прямая называется его образующей. Параболоид имеет два подмножества (два семейства) образующих: одно семейство состоит из всех секущих прямых для заданных трех прямых, а второе включает эти три прямые. Любые две образующие одного семейства скрещиваются, а любые две образующие разных семейств пересекают- ся или параллельны. Теорема. Каждая точка биссектрис l и m углов между ортого- нальными проекциями двух данных скрещивающихся прямых на их серединную плоскость равноудалена от данных прямых, т. е. принад- лежит гиперболическому параболоиду. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть AB — общий перпендикуляр данных скрещивающихся прямых a и b, g — их серединная плоскость, l — одна A B C D E F O m P b g a a b a 1 b 1 a 2 b 2 l Рис. 59 из биссектрис углов между ортогональ- ными проекциями a 2 и b 2 прямых a и b на плоскость g (рис. 59). Из произ- вольной точки P ∈ l опустим перпенди- куляры P C и P D на плоскости a и b, а также перпендикуляры P E и P F на прямые a и b. По теореме о трех пер- пендикулярах CE⊥a и DF ⊥b. Из ра- венства прямоугольных треугольников ACE и BDF следует CE = DF , а из ра- венства прямоугольных треугольников P CE и P DF следует P E = P F . Некото- рые опущенные подробности доказатель- ства читатель восполнит сам, пользуясь рис. 59. Указанные в теореме прямые l и m принадлежат к разным семействам обра- зующих гиперболического параболоида. § 3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости 3.1. Окружность Аполлония и сфера Аполлония. Найдем ГМТ про- странства, для каждой из которых отношение расстояний до двух дан- ных точек A и B одно и то же (равно данному отношению m : n двух отрезков). 70 Проведем через прямую AB произвольную плоскость a и найдем сначала множество точек плоскости a, принадлежащих искомому ГМТ- пространства. На прямой AB существуют две точки P и Q, для которых P A : P B = QA : QB = m : n. Для их построения проведем через точки A и B две параллельные прямые произвольного направления и отложим на них данные отрезки m и n как показано на рис. 60. Дальнейшее ясно из этого рисунка. Говорят, что точка P делит отрезок AB в данном от- ношении внутренним образом, а точка Q делит его внешним образом. A B P Q n m Рис. 60 A B P Q C D M N Рис. 61 Пусть точка M ∈ a принадлежит искомому ГМТ, т. е. MA : MB = = m : n. Тогда M A : M B = P A : P B = QA : QB. По свойству биссектри- сы внутреннего угла треугольника и биссектрисы его внешнего угла луч M P есть биссектриса угла AM B, а луч M Q — биссектриса его внешнего угла, смежного с углом AM B, и поэтому M P ⊥M Q. Следова- тельно, точка M лежит на окружности с диаметром P Q (рис. 61). Обратно, пусть N — произвольная точка этой окружности. Дока- жем, что N A : N B = m : n. Проведем CD k AN , B ∈ (CD). Из подобия треугольников AN P и CBP и из подобия треугольников AN Q и BDQ получаем: AN : BC = AP : P B = m : n и AN : BD = AQ : QB = m : n, отку- да BC = BD. В прямоугольном треугольнике CN D медиана N B равна половине гипотенузы CD, т. е. N B = BC. Но AN : BC = m : n и поэтому AN : N B = m : n. Таким образом, ГМТ плоскости a, для каждой из которых отноше- ние расстояний до двух данных точек A и B равно заданному отноше- нию, есть окружность с диаметром P Q. Она называется окружностью Аполлония для данного отрезка AB и данного отношения m : n. Теперь будем поворачивать плоскость a около прямой AB. В каждом ее положении получим свою окружность Аполлония с одним и тем же 71 диаметром P Q. Поэтому их объединением является сфера, называемая сферой Аполлония для данного отрезка и заданного отношения. Итак, ГМТ пространства, для каждой из которых отношение рассто- яний до данных точек A и B постоянно, есть сфера Аполлония, концы диаметра которой делят отрезок AB в заданном отношении (внутрен- ним и внешним образом). 3.2. ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрез- ка, найдем сначала для произвольной плоскости a, проходящей через прямую AB. Пусть точка M этой плоскости удовлетворяет заданно- му условию AM 2 − BM 2 = a 2 (a — данный отрезок). Проведем M C⊥ ⊥AB (рис. 62). Тогда AM 2 = AC 2 + M C 2 и BM 2 = BC 2 + M C 2 , откуда AM 2 − BM 2 = AC 2 − BC 2 = a 2 . Следовательно, любая точка перпенди- куляра M C удовлетворяет заданному условию. В каждой из плоскостей, содержащих прямую AB, имеется про- ходящий через точку C перпендикуляр к AB, каждая точка кото- рого принадлежит искомому ГМТ пространства. Объединением всех этих перпендикуляров является плоскость, перпендикулярная к пря- мой AB и содержащая ее точку C, определяемую равенством AC 2 − − BC 2 = a 2 A B C M Рис. 62 A B C D E Рис. 63 Построение точки C ∈ (AB) можно выполнить так. Построим отре- зок BD⊥AB, BD = a. Тогда серединный перпендикуляр к отрезку AD пересечет AB в искомой точке C (рис. 63). В самом деле, AC = CD, AC 2 = CD 2 = CB 2 + a 2 и AC 2 − CB 2 = a 2 . При a < AB точка C лежит внутри отрезка AB, при a = AB совпадает с B, а при a > AB — вне отрезка AB. Итак, ГМТ пространства, разность квадратов расстояний каж- дой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, есть плоскость, перпендикулярная прямой AB в точке C, определяемой условием AC 2 − BC 2 = a 2 72 3.3. ГМТ пространства, сумма квадратов расстояний каждой из ко- торых до двух данных точек A и B равна квадрату данного отрезка a, найдем аналогично решению двух предыдущих задач. Сначала рас- смотрим произвольную плоскость a, содержащую прямую AB, и в ней найдем точки искомого ГМТ. Пусть M — какая-нибудь точка этой плоскости, удовлетворяющая условию AM 2 + BM 2 = a 2 . Построим параллелограмм AM BN с диаго- A B M N O Рис. 64 налью AB (рис. 64). Тогда AB 2 + M N 2 = 2(AM 2 + + BM 2 ) = 2a 2 , откуда M N 2 = 2a 2 − AB 2 . Так как от- резки a и AB даны, то точка M принадлежит окруж- ности с центром в середине O отрезка AB радиу- са OM = 1 2 √ 2a 2 − AB 2 . Эта окружность существует при условии AB 6 a √ 2. Обратно, если точка M при- надлежит этой окружности, то из того же парал- лелограмма AB 2 + BM 2 = 1 2 (AM 2 + M N 2 ) = 1 2 (AB 2 + + (2OM ) 2 ) = 1 2 (AB 2 + 2a 2 − AB 2 ) = a 2 , т. е. точка M принадлежит искомому ГМТ плоскости a. Следовательно, ГМТ плос- кости a, удовлетворяющих заданному условию, есть окружность. P Q K a m n B C A m n r O Рис. 65 При повороте плоскости a около прямой AB центр и радиус этой окружности остают- ся неизменными. Поэтому объединением всех полученных окружностей будет сфера, явля- ющаяся искомым ГМТ пространства. Итак, ГМТ пространства, сумма квадра- тов расстояний каждой из которых до двух данных точек A и B равна квадрату данно- го отрезка a, есть сфера с центром в сере- дине отрезка AB и радиуса r = 1 2 √ 2a 2 − AB 2 (AB 6 a √ 2). Радиус r этой сферы можно построить так. На заданном отрезке a как на диа- метре построим окружность и вписанный в нее некоторый прямоугольный треугольник P QK (рис. 65). Затем построим треуголь- ник ABC по трем сторонам, две из кото- рых равны катетам m и n треугольника P QK. Тогда вершина C и середина O отрезка AB определяют радиус r = OC указанной сфе- ры. Действительно, квадрат медианы OC треугольника ABC равен OC 2 = 2m 2 + 2n 2 − AB 2 = 2a 2 − AB 2 = r 2 73 § 4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение Сущность метода геометрических мест заключается в следующем. Данная задача на построение сводится к построению некоторой точки, которая в дальнейшем давала бы возможность построить всю искомую фигуру. В процессе анализа выясняется, что эта «ключевая» точка обладает несколькими (чаще двумя) свойствами по отношению к за- данным элементам искомой фигуры. Одно из этих свойств временно оставляется в стороне и находится ГМТ, удовлетворяющих остальным свойствам. Затем привлекается отброшенное свойство и устраняется другое свойство из тех, которым должна обладать искомая «ключевая» точка. Находится ГМТ, удовлетворяющих новой совокупности свойств. Искомая точка должна принадлежать пересечению двух полученных ГМТ. Если эти два ГМТ исчерпывают всю совокупность свойств, то искомая точка (одна или несколько) найдена, а если нет, то процесс продолжается дальше до тех пор, пока все требуемые свойства не будут использованы. Для иллюстрации сказанного решим две задачи. З а д а ч а 1. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b, c, не параллельные одной плоскости, и точка D, не принадлежащая этим прямым. Постройте плоскость, которая бы пересекала эти прямые в точ- ках, являющихся вершинами параллелограмма, одна из вершин кото- рого есть точка D. Р е ш е н и е. «Ключевой» точкой может служить центр O паралле- лограмма, так как она позволяет построить неизвестные его вершины A, B, C (рис. 66). Точка O обладает двумя свойствами: 1) она являет- ся серединой отрезка DB, B ∈ b, 2) она является серединой отрезка AC A B C D O a b c l Рис. 66 74 с концами на прямых a и c. Множество точек, удовлетворяющих только первому из этих свойств, есть прямая l k b. Прямая l строится как образ прямой b при гомотетии с центром D и коэффициентом 1/2. Множество точек, обладающих только вторым свойством, есть серединная плос- кость g скрещивающихся прямых a и c (п. 2.1). Прямая l не параллельна плоскости g, так как иначе прямые a, b, c были бы параллельны g, что исключено условием задачи. Итак, центр O искомого параллелограм- ма — это точка пересечения прямой l и плоскости g, которые строятся известными способами. В условии задачи не оговорено требование, чтобы непременно B ∈ b. Возможно также B ∈ a или B ∈ c. Следовательно, существуют три плос- кости (три параллелограмма), удовлетворяющих условиям задачи. З а д а ч а 2. Постройте сферу, делящую пополам данную сферу (O, r) и содержащую три данные неколлинеарные точки A, B, C. Р е ш е н и е. Задача сводится к построению центра S искомой сфе- ры, которая пересекает данную сферу (O, r) по большой окружно- сти (радиуса r). Если M — произвольная точка этой окружности, то SM 2 − SO 2 = r 2 и SM = SA = SB = SC, т. е. SA 2 − SO 2 = r 2 . Это значит, что искомый центр S принадлежит двум ГМТ: 1) ГМТ, раз- ность квадратов расстояний каждой их которых до известных точек A и O равна квадрату данного отрезка r (п. 3.2) — плоскости, перпен- дикулярной прямой OA и 2) оси окружности ABC (ГМТ IX). Этим положение точки S определено. Определен и радиус R искомой сферы: R = SA = SB = SC. В этом построении центра S вместо точки A может быть исполь- зована точка B или точка C. Поэтому три ГМТ первого вида имеют общую точку S. Задачи к главе 4 4.1. Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M от- носительно всех плоскостей, проходящих а) через данную прямую l; б) через данную точку A. 4.2. Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M от- носительно всех прямых, проходящих через данную точку O. 4.3. Найдите ГМТ пространства, симметричных данной точке M от- носительно всех точек данной плоскости, не проходящей через точку M . 4.4. Найдите геометрическое место середин хорд данной сферы, име- ющих заданную длину. 75 4.5. Найдите геометрическое место середин хорд данной сферы, со- держащих данную точку P этой сферы. 4.6. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса r, проходящих через две данные точки A и B. 4.7. Найдите геометрическое место центров сфер, проходящих через три данные точки A, B и C. 4.8. Найдите ГМТ пространства, каждая из которых равноудалена от трех прямых, содержащих стороны данного треугольника. 4.9. Найдите геометрическое место центров сфер данного радиуса R, пересекающих данную плоскость a по окружностям радиуса r. 4.10. Найдите ГМТ пространства, делящих отрезки, соединяющие данную точку A с точками данной плоскости, в отношении m : n, где m и n — данные отрезки. 4.11. Найдите ГМТ поверхности данного куба, каждая из которых равноудалена от концов его заданной диагонали. 4.12. Найдите ГМТ пространства, из которых данный отрезок виден под углом заданной величины f. 4.13. Найдите геометрическое место середин отрезков, параллельных данной плоскости, концы которых лежат на двух данных скрещиваю- щихся прямых. 4.14. Найдите геометрическое место середин отрезков данной дли- ны d, концы которых лежат на двух данных скрещивающихся перпен- дикулярных прямых. 4.15. Найдите геометрическое место центров сфер, касающихся двух данных параллельных прямых. 4.16. Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых отношение расстояний до двух данных параллельных прямых равно m : n, где m и n — данные отрезки. 4.17. Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых разность расстояний до двух данных непараллельных плоскостей a и b равна длине данного отрезка. 4.18. Найдите ГМТ пространства, для каждой из которых сумма расстояний до двух данных непараллельных плоскостей равна длине данного отрезка. 4.19. Даны две скрещивающиеся прямые и на одной из них точ- ка A. Через них проведены две перпендикулярные плоскости, которые являются переменными. Найдите геометрическое место ортогональных проекций точки A на прямые пересечения каждой пары этих плоско- стей. 4.20. Даны прямая a и точка A. Через точку A проводится произ- вольная прямая l, скрещивающаяся с прямой a. Пусть P Q — общий 76 перпендикуляр прямых a и l, Q ∈ l. Найдите геометрическое место то- чек Q. 4.21. Точки A и B лежат в одном полупространстве от плоскости a. Прямая AB не параллельна плоскости a. Найдите геометрическое мес- то центров сфер, содержащих точки A и B и касающихся этой плос- кости. 4.22. Дан тетраэдр ABCD. Постройте плоскости, каждая из которых равноудалена от его вершин. 4.23. Постройте сферу, содержащую данную точку A и касающуюся данной сферы в ее данной точке T . 4.24. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте пря- мую, пересекающую их соответственно в точках A, B, C так, что AB = BC. 4.25. Даны две окружности, не лежащие в одной плоскости и имею- щие две общие точки. Докажите, что существует единственная сфера, которой принадлежат эти окружности. 4.26. Постройте сферу, касающуюся данной сферы (O, R) и данной плоскости a в ее данной точке A. 4.27. Постройте сферу, содержащую три данные точки, если извест- но, что ее центр находится на расстоянии d от данной точки M . 4.28. Постройте сферу, если дана принадлежащая ей окружность и касательная плоскость в одной из точек этой окружности. 4.29. Дан тетраэдр ABCD. Постройте точки, каждая из которых равноудалена от плоскостей ABC и ABD, и разность квадратов рас- стояний от точек C и D равна m 2 , где m — данный отрезок. 4.30. Постройте сферу, содержащую три данные точки A, B, C и де- лящуюся пополам данной сферой(O, R). 4.31. Дан остроугольный треугольник ABC. Постройте тетраэдр ABCD, имеющий прямые плоские углы при вершине D. 77 Г л а в а 5 Векторное и смешанное произведения векторов § 1. Определения векторного и смешанного произведений, их геометрический смысл 1.1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов. Пусть даны некомпланарные векторы OA, OB, OC, взятые в указан- ном порядке. Возможны два и только два принципиально различных случая расположения этих векторов в пространстве. Если наблюдатель смотрит внутрь трехгранного угла OABC, т. е. из того полупростран- ства относительно плоскости ABC, которое не содержит точку O, то пе- реход от точки A к точке B и затем от B к C совершается либо против часовой стрелки, либо наоборот — по часовой стрелке (рис. 67). В пер- A B C O A B C O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ a ¯ b ¯ c + − Рис. 67 вом случае упорядоченная тройка ( OA, OB, OC) называется положи- тельно ориентированной, или правой, а во втором случае эта тройка на- зывается отрицательно ориентированной, или левой. Такие названия соответствуют расположению трех пальцев — большого, указательного и среднего — правой руки или левой руки. Если наблюдатель смотрит с конца C третьего вектора к его нача- лу O, то поворот от первого вектора OA второму OB в правой тройке происходит против часовой стрелки, а в левой тройке — по часовой стрелке. Ориентация тройки векторов существенно зависит от порядка их записи. Важны два свойства ориентации тройки векторов: 1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векторов не изменится, если векторы переставлять в круговом порядке ( a, b, c) → → ( b, c, a) → ( c, a, b). 2. Ориентация тройки векторов меняется на противоположную, ес- ли в ней поменять местами два вектора: тройки ( a, b, c) и ( a, c, b) различной ориентации, тройки ( a, b, c) и ( c, b, a) противоположно ори- ентированы, тройки ( a, b, c) и ( b, a, c) также ориентированы различно. 1.2. Определение векторного произведения, его следствия. Вектор- ным произведением a × b неколлинеарных векторов a и b называ- A B C O ¯ a ¯ b ¯ p Рис. 68 ется вектор p, который удовлетворяет условиям: 1) вектор p ортогонален каждому из векторов a и b, 2) | p| = | a|| b| sin( d a, b), 3) упорядоченная тройка ( a, b, p) векторов по- ложительно ориентирована (правая) (рис. 68). Если векторы a и b коллинеарны, то по опре- делению принимается a × b = 0. Запись a × b = p означает выполнение этих т р е х условий, а не только | p| = | a × b|. Требова- ние 2 означает, что модуль векторного произведе- ния равен площади параллелограмма OACB, построенного на векторах OA и OB как на сторонах. Этими тремя условиями вектор p = a × b однозначно определен: он перпендикулярен плоскости параллелограмма, имеет указанную дли- ну и направлен в то полупространство от этой плоскости, чтобы при наблюдении от его конца в сторону плоскости поворот от a к b на наи- меньший угол совершался против часовой стрелки. Согласно определению a k b ⇔ a × b = 0. Если a × b = p, то b × a = − p, так как упорядоченные тройки ( a, b, p) и ( b, a, p) ориентированы про- тивоположно, а | a × b| = | b × a| = | a|| b| sin( d a, b), т. е. a × b = −( b × a). (5.1) Говорят, что векторное произведение антикоммутативно: при изме- нении порядка сомножителей оно меняет знак на противоположный. Поскольку | a × b| = | a|| b| sin( d a, b) и a b = | a|| b| cos( d a, b), то ( a × b) 2 + ( a b) 2 = a 2 b 2 (5.2) 79 Следовательно, площадь S параллелограмма OACB может быть вы- числена по формуле: S = q a 2 b 2 − ( a b) 2 (5.3) 1.3. Смешанное произведение трех векторов, геометрический смысл его знака и модуля. Смешанным (тройным) произведением a b c векто- ров a, b, c называется число, равное скалярному произведению ( a × b) c векторного произведения a × b на третий вектор c: a b c = ( a × b) c. (5.4) Из этого определения можно сделать следующие выводы. 1. Если векторы некомпланарны и тройка ( a, b, c) векторов пра- вая, то смешанное произведение a b c положительно, и a b c < 0, если эта тройка левая, и обратно. В самом деле, пусть a × b = p и тройка ( a, b, c) правая (рис. 69). Так как обе тройки ( a, b, c) и ( a, b, p) правые, то при одном начале O всех векторов концы векторов c и p будут в од- f O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ p Рис. 69 f O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ p Рис. 70 f O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ p Рис. 71 f O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ p h Рис. 72 ном полупространстве от плоскости (O a b). Поэтому угол f = ( d p, c) < p 2 и p c > 0, т. е. ( a × b) c = a b c > 0. Если ( a, b, c) — левая трой- ка, то f > p 2 (рис. 70). Поэтому p c < 0 и a b c < 0. Обратное утверждение вытекает из этих же соображений. 2. a b c = 0 тогда и только тогда, когда век- торы a, b, c компланарны (рис. 71). В этом случае f = p 2 , векторы a, b, c ортогональны од- ному и тему же вектору p. 3. Модуль смешанного произведения a b c некомпланарных векто- ров равен объему параллелепипеда, построенного на этих векторах как на ребрах (рис. 72). В самом деле, по формуле ортогональной (скаляр- 80 ной) проекции вектора Пр p c = | c|| cos f| = |c| | p c| | p|| c| = | a b c| | p| . Но Пр p c = = h — высота параллелепипеда, а | p| = S — площадь соответствующей грани. Поэтому | a b c| = Sh = V — объем этого параллелепипеда. § 2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений 2.1. Алгебраические свойства смешанного произведения. Смешан- ное произведение компланарных векторов не изменяется при любой перестановке его сомножителей, поскольку оно равно нулю. Пусть векторы a, b, c некомпланарны. Параллелепипед, построен- ный на них как на ребрах, при изменении порядка векторов остается без изменения. Следовательно, модуль смешанного произведения век- торов не изменяется при любой их перестановке. Знак же смешанного произведения заменяется на противоположный, если меняется ориента- ция тройки векторов. Поэтому a b c = b c a = c a b, a b c = − a c b = − c b a = − b a c, откуда a c b = c b a = b a c. Таким образом, смешанное произведение векторов не изменяется при круговой перестановке сомножителей и изменяет знак на про- тивоположный при перестановке двух сомножителей, сохраняя при этом свой модуль. Так как a b c = b c a = c a b, то согласно определению смешанного про- изведения ( a × b) c = ( b × c) a = ( c × a) b. В силу коммутативности ска- лярного произведения a b c = ( a × b) c = a( b × c) = ( c × a) b. Следовательно, знак × векторного умножения внутри смешанно- го произведения может быть поставлен между любыми двумя его сомножителями. Пусть c = c 1 + c 2 . В силу дистрибутивности скалярного умноже- ния имеем: a b c = ( a × b)( c 1 + c 2 ) = ( a × b) c 1 + ( a × b) c 2 = a b c 1 + a b c 2 , т. е. смешанное произведение дистрибутивно относительно сомножителя c. Используя предыдущее свойство, аналогично убеждаемся, что сме- шанное произведение дистрибутивно относительно любого его сомно- жителя. 81 Аналогично доказывается ассоциативное свойство: ( la)bc = a(lb)c = ab(lc) = l(abc), где l — любое действительное число. 2.2. Алгебраические свойства векторного произведения. Лемма. Если a r = b r для данных векторов a и b и любого (пере- менного) вектора r, то a = b. Д о к а з а т е л ь с т в о. Равенство a r = b r эквивалентно ( a − b) r = 0. Постоянный вектор a − b ортогонален переменному вектору r тогда и только тогда, когда вектор a − b нулевой, т. е. при a = b. Докажем ассоциативное свойство векторного произведения: ( la) × b = l(a × b). Для этого воспользуемся ассоциативностью смешанного произведения: ( la)br = l(abr), где a и b — заданные векторы, r — произвольный (переменный) вектор. На основании ассоциативного свойства скалярного умножения векторов ( la × b)r = l((a × b)r) = (l(a × b))r. Тогда по предыдущей лемме имеем: la × b = l(a × b). Для доказательства дистрибутивного свойства ( a + b) × c = ( a × c) + ( b × c) (5.5) воспользуемся дистрибутивным свойством смешанного произведения ( a + b) c r = a c r + b c r, где a, b, c — данные векторы, r — переменный вектор. Отсюда на осно- вании дистрибутивного свойства скалярного умножения имеем: (( a + b) × c) r = ( a × c) r + ( b × c) r = (( a × c) + ( b × c)) r. Так как равенство этих скалярных произведений выполняется для лю- бого вектора r, то на основании леммы получаем равенство (5.5). В качестве полезного примера докажем следующий факт. З а д а ч а. Сумма векторов n 1 , n 2 , n 3 , n 4 , перпендикулярных соот- ветственно граням BCD, CDA, DAB, ABC тетраэдра ABCD, направ- ленных в его внешнюю область и имеющих модули, численно равные площадям соответственных граней, равна нуль-вектору. 82 Р е ш е н и е. Рассмотрим векторы DA = a, DB = b, DC = c, AB = = b − a, AC = c − a. Пусть ( a, b, c) — правая тройка. Тогда 2 n 1 = c × b, 2 n 2 = a × c, 2 n 3 = b × a, 2 n 4 = ( b − a) × ( c − a) = ( b × c) − ( b × a) − ( a × c) + + ( a × a) = − c × b − b × a − a × c. Теперь уже ясно, что 2( n 1 + n 2 + n 3 + + n 4 ) = 0. § 3. Векторное и смешанное произведения в прямоугольных декартовых координатах 3.1. Координатная формула векторного произведения. Пусть i, j, k — базисные векторы прямоугольной декартовой системы координат: | i| = | j| = | k| = 1 и i j = j k = i k = 0. Если тройка ( i, j, k) — правая, то по определению векторного произведения i × i = 0, j × j = 0, k × k = 0, | i × j| = | j × k| =| k × i| = 1, (5.6) i × j = k, j × k = i, k × i = j, j × i = − k, k × j = − i, i × k = − j. (5.7) Пусть даны векторы a = a 1 i + a 2 j + a 3 k и b = b 1 i + b 2 j + b 3 k. Поль- зуясь дистрибутивным и ассоциативным свойствами векторного умно- жения и формулами (5.6) и (5.7), получаем: a × b = (a 1 i + a 2 j + a 3 k) × (b 1 i + b 2 j + b 3 k) = = (a 2 b 3 − a 3 b 2 ) i − (a 1 b 3 − a 3 b 1 ) j + (a 1 b 2 − a 2 b 1 ) k. Коэффициенты при i, j, k суть координаты векторного произведения a × b. Они являются определителями второго порядка: a × b = a 2 a 3 b 2 b 3 i + a 3 a 1 b 3 b 1 j + a 1 a 2 b 1 b 2 k. (5.8) 3.2. Координатное представление смешанного произведения. Пусть векторы a, b, c заданы своими декартовыми координатами: a(a 1 , a 2 , a 3 ), b(b 1 , b 2 , b 3 ), c(c 1 , c 2 , c 3 ). На основании формулы (5.8) и координат- ной формулы скалярного произведения имеем: a b c = ( a × b) c = a 2 a 3 b 2 b 3 c 1 + a 3 a 1 b 3 b 1 c 2 + a 1 a 2 b 1 b 2 c 3 83 Правая часть представляет собой разложение определителя третьего порядка: a b c = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 (5.9) Это и есть искомая формула. § 4. Сложные произведения векторов 4.1. Двойное векторное произведение. Вектор a × b можно снова умножить векторно на некоторый вектор c: ( a × b) × c. Это произве- O ¯ a ¯ b ¯ c ¯ a × ¯ b x y z Рис. 73 дение называется двойным векторным произве- дением. Докажем тождество: ( a × b) × c = b( a c) − a( b c), (5.10) предполагая пока, что векторы a и b неколлине- арны. Зададим прямоугольную декартову систе- му координат: ось Ox в направлении вектора a, ось Oy в плоскости (O a b). Тогда ось Oz будет па- раллельна вектору a × b (рис. 73). Пусть векторы a, b, c имеют координаты: a(a, 0, 0), b(b 1 , b 2 , 0), c(c 1 , c 2 , c 3 ). Докажем формулу (5.10). Руковод- ствуясь формулой (5.8), получаем: a × b = 0 0 b 2 0 i + 0 a 0 b 1 j + a 0 b 1 b 2 k = ab 2 k, ( a × b) × c = 0 ab 2 c 2 c 3 i + ab 2 0 c 3 c 1 j + 0 0 c 1 c 2 k = −ab 2 c 2 i + ab 2 c 1 j. Далее найдем координаты правой части (5.10). Так как a c = ac 1 и b c = = b 1 c 1 + b 2 c 2 , то b( a c) − a( b c) = (b 1 i + b 2 j)ac 1 − a i(b 1 c 1 + b 2 c 2 ) = −ab 2 c 2 i + + ab 2 c 1 j. Следовательно, равенство (5.10) истинно для a ∦ b. Если a k b, то b = la и оно проверяется без использования координат: (a × b) × c = = 0 × c = 0, чему равна и его правая часть. Скобки в двойном векторном произведении могут быть поставлены иначе: a × ( b × c). Тогда a × ( b × c) = −( b × c) × a и по формуле (5.10) получаем: a × ( b × c) = −( c( a b) − b( a c)) = b( a c) − c( a b), что не совпадает с (5.10). Итак, a × ( b × c) = b( a c) − c( a b). (5.11) 84 Формулам (5.10) и (5.11) можно дать общую формулировку: двойное векторное произведение равно разности среднего вектора, умноженно- го на скалярное произведение двух крайних, и другого вектора скобки, умноженного на скалярное произведение двух оставшихся. 4.2. Скалярное произведение двух векторных произведений. Про- изведение ( a × b)( p × q) есть смешанное произведение ( a × b) r, где r = p × q. Поэтому ( a × b)( p × q) = ( a × b) r = a( b × r) = a( b × ( p × q)) = = a( p( b q) − q( b p)) = ( a p)( b q) − ( a q)( b p). Это выражение лучше представить так: ( a × b)( p × q) = a p a q b p b q , (5.12) что легко запоминается. В частности, ( a × b) 2 = a 2 b 2 − ( a b) 2 Это совпадает с (5.2). 4.3. Векторное произведение двух векторных произведений. Произ- ведение ( a × b) × ( p × q) выразим, пользуясь формулой (5.10): ( a × b) × ( p × q) = b( a( p × q)) − a( b( p × q)) = = b( a p q) − a( b p q). (5.13) Можно также применить и формулу (5.11): ( a × b) × ( p × q) = p( a b q) − q( a b p). (5.14) 4.4. Квадрат смешанного произведения. Используя (5.10) и тожде- ство ( a b) 2 = a 2 b 2 − ( a × b) 2 , получаем последовательно: ( a b c) 2 = (( a × b) c) 2 = ( a × b) 2 c 2 − (( a × b) × c) 2 = = ( a 2 b 2 − ( a b) 2 ) c 2 − ( b( a c) − a( b c)) 2 = = a 2 b 2 c 2 − c 2 ( a b) 2 − b 2 ( a c) 2 − a 2 ( b c) 2 + 2( a b)( b c)( a c). Это выражение есть определитель третьего порядка: ( a b c) 2 = a 2 a b a c a b b 2 b c a c b c c 2 (5.15) 85 § 5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов 5.1. Тригонометрия триэдра. Возвратимся к триэдру (гл. 2). Пусть a, b, c — единичные векторы ребер триэдра Oabc и тройка ( a, b, c) пра- вая. По определению скалярного произведения cos a = bc, cos b = ca, cos g = ab, (5.16) а по определению векторного произведения sin a = |b × c|, sin b = |c × a|, sin g = |a × b|. (5.17) Угол b A между плоскостями Oab и Oac равен углу между перпенди- кулярными к ним векторами a × b и a × c. Следовательно, cos b A = ( a × b)( a × c) | a × b|| a × c| , sin b A = |( a × b) × ( a × c)| | a × b|| a × c| = b( a a c) − a( b a c) | a × b|| a × c| = a b c | a × b|| a × c| , (5.18) так как a a c = 0 и | a| = 1. Аналогичные формулы для углов b B и b C по- лучаются из (5.18) круговой перестановкой букв a, b, c. С учетом (5.17) последнюю формулу можно представить в виде: sin b A sin b sin g = abc. (5.19) Произведение трех синусов в левой части есть по определению синус Штаудта ∆(O) триэдра (п. 3.3, гл. 2). Из первой формулы (5.18) cos b A · | a × b|| a × c| = ( a × b)( a × c). Привлекая формулу (5.12), получаем: cos b A sin b sin g = (aa)(bc) − (ab)(ac). Поскольку a a = 1, то имеем: cos b A sin b sin g = cos a − cos b cos g. (5.20) Это — уже известная первая теорема косинусов для триэдра (§ 3 гл. 2). 5.2. Теорема Менелая для триэдра. Предварительно докажем такую л е м м у: если a, b, c — произвольные некомпланарные векторы, то для того чтобы векторы a + lb, b + mc, c + na были компланарны, необхо- димо и достаточно, чтобы lmn = −1. 86 Д о к а з а т е л ь с т в о. Три вектора компланарны тогда и только то- гда, когда их смешанное произведение равняется нулю: ( a + lb)(b + mc)(c + na) = abc + lmn(bca) = 0. Остальные смешанные произведения обратились в нуль по причине компланарности векторов, входящих в каждое из них. Так как a b c = = b c a 6= 0, то из последнего равенства получаем критерий 1 + lmn = 0 компланарности векторов a + lb, b + mc, c + na. Переходим к доказательству теоремы Менелая для триэдра. Теорема. Пусть в плоскостях граней BOC, COA, AOB триэдра O(ABC) проведены прямые OA 1 , OB 1 , OC 1 через его вершину. Для того чтобы эти прямые лежали в одной плоскости, необходимо и до- статочно, чтобы sin \ AOB 1 sin \ B 1 OC · sin \ COA 1 sin \ A 1 OB · sin \ BOC 1 sin \ C 1 OA = −1, (5.21) где углы считаются ориентированными соответственно в гранях. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть векторы a 1 = b + lc, b 1 = c + ma, c 1 = = a + nb коллинеарны указанным прямым. Согласно предыдущей лем- ме для их компланарности необходимо и достаточно, чтобы lmn = −1. Умножая эти равенства векторно соответственно на a 1 , b 1 , c 1 , находим: l = − b × a 1 c × a 1 , m = − c × b 1 a × b 1 , n = − a × c 1 b × c 1 (5.22) После подстановок и последующих очевидных видоизменений полу- чаем: a × b 1 b 1 × c · c × a 1 a 1 × b · b × c 1 c 1 × a = −1. (5.23) А это равносильно (5.21). 5.3. Теорема Чевы для триэдра. Пусть в плоскостях граней BOC, COA, AOB триэдра O(ABC) проведены соответственно прямые OA 1 , OB 1 , OC 1 через его вершину. Для того чтобы плоскости AOA 1 , BOB 1 , COC 1 имели общую прямую, необходимо и достаточно, чтобы sin \ AOB 1 sin \ B 1 OC · sin \ COA 1 sin \ A 1 OB · sin \ BOC 1 sin \ C 1 OA = 1, (5.24) где углы рассматриваются ориентированными в соответственных им гранях. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть по-прежнему указанные прямые кол- линеарны векторам a 1 = b + lc, b 1 = c + ma, c 1 = a + nb. Для того чтобы 87 рассматриваемые плоскости проходили через одну прямую, необходимо и достаточно, чтобы перпендикулярные к ним векторы a × a 1 , b × b 1 , c × c 1 были компланарны. Но так как a × a 1 = a × b − l(c × a), b × b 1 = b × c − m(a × b), c × c 1 = c × a − n(b × c), то согласно лемме должно быть (− l)(−m)(−n) = −1 или lmn = 1, где l, m, n имеют те же значения, что и в (5.22). Отсюда получаем: a × b 1 b 1 × c · c × a 1 a 1 × b · b × c 1 c 1 × a = 1, что равносильно доказываемому равенству (5.24). 5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра через косинусы и синусы его двугранных углов. Дан тетра- эдр ABCD. Пусть n 1 , n 2 , n 3 , n 4 — единичные векторы, перпендикуляр- ные соответственно его граням BCD, CDA, ABD, ABC и направленные в его внешнюю область. Тогда вектор n 1 × n 2 коллинеарен DC, а вектор n 3 × n 4 коллинеарен AB. Поэтому cos( \ AB, DC) = |( n 1 × n 2 )( n 3 × n 4 )| | n 1 × n 2 || n 3 × n 4 | = |( n 1 n 3 )( n 2 n 4 ) − ( n 2 n 3 )( n 1 n 4 )| | n 1 × n 2 || n 3 × n 4 | Поскольку n 1 n 3 = − cos(DB), n 2 n 4 = − cos(AC), . . . и | n 1 n 2 | = sin(DC), | n 3 n 4 | = sin(AB), то предыдущая формула дает требуемое выражение: cos( \ AB, DC) = | cos(BD) cos(AC) − cos(AD) cos(BC)| sin(DC) sin(AB) (5.25) |