Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва

• Название: Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
• Дата: 06.09.2022
• Размер: 1.7 Mb.
• Имя файла: Ponarin-II.pdf
• Тип: Книга; #664571
• страница: 13 из 13

246

7.17.
pa
2 12
√
3, 9
pa
3 7.18.
1 2
pd
3
sin
2
f, S = 2d
2
sin f(sin f
2
+ cos f
2
).
7.19. V =
1 2
pa
2
(2b + a sin a + a cos a), S = 4pa(2b + a sin a + a cos a).
7.20.
pa
3
sin a(
1 2
+ sin a), 4pa
2
sin a(
1 2
+ sin a). 7.21.
1 2
pa
2
h.
7.22. Поставьте призму на боковое ребро. 7.23. 2
p
2
R
2
m cos f.
7.24.
pa
3
√
3 3
. Искомый объем равен сумме объемов тел вращения двух треугольников A
1
C
1
D
1
и AA
1
C
1
около диагонали AC
1
(рис. 110).
7.25. 4
pR
3
(
p + 4). Используйте теорему п. 4.4 гл. 7. Искомый объем равен сумме объемов двух тел вращения около прямой l, полученных вращением проекций цилиндра на плоскость a и на перпендикулярную ей плоскость, проходящую через l.
7.26.
1 6
pR
3
(3
p − 4
√
2).
Глава 8 8.1.
√
39.
8.2.
4Rr
(R + r)
2 8.4.
19 9
pa
2 8.5. arcsin
4 5
8.7.
ab
2c
,
bc
2a
,
ca
2b
8.8.
1 2
(2 −
√
3).
8.9. 4
pRr.
8.10.
4 9
pa
√
3.
8.11. 2
p(
√
3 − 1)R.
8.12. S =
p(r
2
+ h
2
). 8.13. S =
pr
2 8.14. Частями сферы являются сферические двуугольники с площа- дью
1 4
pa
2
(2 −
√
3) каждый и сферические четырехугольники с площа- дью
1 2
pa
2
(
√
3 − 1) каждый.
8.15.
1 6
pa
2
(2
√
3 − 3). 8.16.
3
r
6V − 3Q
p
. 8.18.
a(2b − a)
2
√
3b
2
− a
2
. 8.21.
√
3 ±
√
2 2
√
3 8.24. Три сферы, имеющие две общие точки. 8.27.
pa
3
√
2 27
(8
√
3 − 9).
Глава 9 9.5. Используйте неравенство (9.3).
9.7. Сначала докажите, что d 6 a + b + c.
9.10. Если 2a — ребро основания, l — апофема, то
R
r
=
a
2
+ l
2 2a(l − a)
Доказав это, исследуйте полученное отношение. Равенство в доказыва- емом неравенстве достигается в случае, когда центры сфер совпадают.
9.11. Рассмотрите сечение тетраэдра, параллельное его грани и со- держащее центр вписанной сферы.
9.15.Плоские углы триэдра OACD
1
равны 2
a, 2b, 2g, если O — центр прямоугольного параллелепипеда ABCDA
1
B
1
C
1
D
1 247

9.16. Используйте задачу 2.2.
9.17. Привлеките векторы n i
задачи п. 2.2 гл. 5. Из них можно по- строить косой четырехугольник. Примените к нему неравенство § 3 гл. 9.
9.18. Запишите неравенства задачи 9.17 для трех косых четырех- угольников данного тетраэдра. Кроме того, привлеките неравенство
(2.3) для суммы двугранных углов триэдра.
9.19.
S
√
S
6
√
6
. 9.21. V =
√
2 2
pR
3
. 9.22. h =
l
√
3
, V =
2
√
3
p
27
l
3
. 9.23.
8 3
pr
3 9.24.
√
2 :
√
3.
9.25. h = 2r =
3
r
4V
p
9.26.
f = 45
◦
, V =
S
√
2S
6(1 +
√
3)
3 2
9.27. R
√
2.
9.28. h =
4 3
R, V =
16 81
nR
3
· sin
2
p n
9.29. arccos
1 3
9.30. h : r =
√
2. 9.31.
2
√
3 3
. 9.32. 6R
2
. 9.33.
2
√
3 3
R. 9.34. 2
p
3
√
4V
2 9.35. 16
r
21 17
. 9.36.
4
p
√
3 81 9.37. Вершины основания пирамиды находятся на средних линиях квадрата на расстоянии
1 10
a от края. V =
8a
3 75
√
10 9.38.
2 9
V . 9.39. r =
2 3
R,
1 3
h — высота цилиндра.
Часть II
Глава 10 10.9. Две скрещивающиеся прямые имеют три оси симметрии.
10.10. Пусть прямая c — произвольная секущая данных скрещиваю- щихся прямых a и b. Если a и b — плоскости симметрии прямых a и c,
c и b, то S
b
◦ S
a
— искомый поворот.
10.12. Осью симметрии служит прямая, содержащая середины от- резков AC и BD.
10.13. Пусть дан четырехгранный угол SABCD и SA = SB = SC =
= SD. Тогда прямая, проходящая через середины отрезков AC и BD,
является осью симметрии данного угла.
10.17. S
b
◦ S
a
= S
c
◦ S
b
, поэтому S
c
= S
b
◦ S
a
◦ S
b
10.18. Используйте поворот около первой прямой на угол, величина которого равна величине двугранного угла правильного тетраэдра.
10.21. Тетраэдры OABC и O
0
A
0
B
0
C
0
равны. См. доказательство те- оремы § 5 гл. 10.
248

10.24. Рассмотрите конус с вершиной на данной прямой l, образую- щие которого наклонены к данной плоскости под углом f.
10.26. Шесть указанных плоскостей пересекаются в точке, симмет- ричной точке S относительно центроида данного тетраэдра.
10.30. cos x = 1 − 2 sin
2
f sin
2
a
2 10.31. cos x = 1 − cos
2
f sin
2
a
2 10.32. cos x = − sin
2
y + cos
2
y cos f.
10.34. Винтовое движение.
10.35. Тождественное преобразование.
10.36. Поворот около прямой, перпендикулярной плоскости парал- лелограмма.
10.37. Винтовое движение с осью OA, углом 180
◦
и вектором 2 AO,
где O — центр данной симметрии, A — его ортогональная проекция на плоскость симметрии.
10.38. Винтовое движение, ось которого параллельна l, угол равен
180
◦
. Если r ⊥ l, то имеем осевую симметрию.
10.39. Прямые a, b, c либо попарно скрещиваются и имеют общий перпендикуляр, либо лежат в одной плоскости и имеют общую точку.
10.40. Прямые a, b, c попарно перпендикулярны, при этом прямые a и b пересекаются.
10.43. Постройте две пересекающиеся прямые, соответственно па- раллельные данным прямым a и b.
10.44. Четыре поворота и четыре поворотные симметрии.
10.45. Эти точки лежат на бимедиане тетраэдра, которая является его осью симметрии.
10.46. Выполните поворот на 90
◦
около прямой, соединяющей центры граней ABCD и A
1
B
1
C
1
D
1 10.47. Винтовое движение с углом 180
◦
и осью, лежащей в плоскости данных прямых.
10.48. Композиция S
c
◦ S
b
◦ S
a при a k b k c есть осевая симметрия,
осью которой является образ прямой a при переносе на вектор r
2
, если
S
c
◦ S
b
= T
r
10.49. Переносная симметрия, плоскость которой параллельна плос- кости данной зеркальной симметрии.
10.50. Переносная симметрия. Представьте данный поворот компо- зицией двух зеркальных симметрий, плоскость одной из которых пер- пендикулярна плоскости данной зеркальной симметрии.
10.51. Поворотная симметрия.
10.52. Композиция указанных центральных симметрий есть симмет- рия относительно центра сферы.
10.53. Композиция осевых симметрий относительно перпендикуляр- ных биссектрис углов BOC и COA триэдра OABC есть зеркальная
249

симметрия S
l и отображает OB на OA. Следовательно, прямая l содер- жит биссектрису угла AOB.
10.54. Три плоскости, определяемые линиями пересечения плоско- стей граней триэдра с его высотными плоскостями (п. 8.4 гл. 10).
10.55. Пусть m, n, p — биссектрисы плоских углов триэдра Oabc,
противолежащих соответственно ребрам a, b, c. Композиция S
n
◦ S
m
◦ S
p есть поворот, отображающий луч a на себя. Поэтому задача сводится к построению оси a этого поворота. Ребра b и c — образы луча a при симметриях S
p и S
n
10.56. Прямой круговой конус (коническая поверхность) с верши- ной B и направляющей окружностью с центром в середине отрезка AB,
лежащей в плоскости симметрии точек A и B.
10.57. Композицией трех зеркальных симметрий, плоскости которых имеют единственную общую точку, является поворотная симметрия.
Искомая плоскость параллельна ее плоскости.
10.58. Данное равенство можно записать так: (Z
B
◦ Z
A
) ◦ S
m
◦ (Z
A
◦
◦ Z
B
) = S
m
, но Z
B
◦ Z
A
= T
r
, где r = 2 AB. Следовательно, T
r
◦ S
m
◦ T
r
=
= S
m
, что имеет место тогда и только тогда, когда r k m.
10.59. Пусть A
1
и B
1
— ортогональные проекции точек A и B на плос- кость a. Композиция Z
A
◦ S
a есть винтовое движение с осью A
1
A, углом
180
◦
и вектором 2 A
1
A (задача 10.37). Поэтому движение (Z
A
◦ S
a
)
2
есть перенос на вектор 4 A
1
A. Аналогично движение (S
a
◦ Z
B
)
2
есть перенос на вектор 4 BB
1
. Равенство A
1
A = BB
1
имеет место в том и только в том случае, когда середина отрезка AB принадлежит плоскости a.
10.60.
a
3 1 +
√
2 10.61.
3 2
a
3 10.62.
a
3
√
2 6(2 +
√
6)
10.63.
a
3 12
√
2 10.67. Симметрия относительно плоскости x + y + z = 1.
10.68. Симметрия относительно прямой x = y = z.
10.69. Симметрия относительно прямой
(
3y − x = 5,
z = 1.
10.70. Поворот на угол f = arccos

−
29 30

около прямой x − 5 7
=
=
y − 1 3
=
z
1 10.71. Винтовое движение с осью
(
y = 2(x − 10),
z + 2 = 0,
углом arccos
2 3
и вектором r(3, 6, 0).
10.72. Поворотная симметрия с центром (10/3, −2/3, 5/3), углом arccos
7 10
и плоскостью, перпендикулярной вектору (1, 1, −7).
10.73. Переносная симметрия относительно плоскости 2x − 4y − 5 = 0
и вектором r(0, 0, 3) переноса.
250

10.74. Переносная симметрия с плоскостью x + 2y + 3z − 7 = 0 и век- тором r(6, 12, −10).
10.75. Поворотная симметрия с центром (9, −3, 3/2), углом 90
◦
и осью, коллинеарной вектору (2, 2, 1).
10.76. Винтовое движение с осью x
1
=
y
2
=
z − 14 3
, углом 180
◦
и век- тором (−1, −2, −3).
10.77. Симметрия относительно плоскости 5x + 2y + z + 30 = 0.
10.78.
10.79.
x
0
= −
1 9
x +
8 9
y +
4 9
z,
y
0
=
8 9
x −
1 9
y +
4 9
z,
z
0
=
4 9
x +
4 9
y −
7 9
z.
x
0
=
3 4
x +
1 4
y +
r
3 8
z,
y
0
=
1 4
x +
3 4
y −
r
3 8
z,
z
0
= −
r
3 8
x +
r
3 8
y +
1 2
z.
10.80.
10.81.
x
0
=
1 9
x +
8 9
y −
4 9
z,
y
0
=
8 9
x +
1 9
y +
4 9
z,
z
0
= −
4 9
x +
4 9
y +
7 9
z.
x
0
=
11 15
x +
2 15
y +
10 15
z + 2,
y
0
=
2 15
x +
14 15
y −
5 15
z + 4,
z
0
=
2 3
x −
1 3
y −
2 3
z + 6.
10.82.
10.84.
x
0
=
4 9
x +
1 9
y +
8 9
z − 14,
y
0
=
7 9
x +
4 9
y −
4 9
z − 2,
x
0
= −
4 9
x +
8 9
y +
1 9
z + 5.
1 27


10 23
−10
−25 10
−2 2
10 25


Глава 11 11.3. 27. 11.4.
2 3
11.7. Задача сводится к предыдущей, так как искомая сфера касает- ся плоскости, симметричной одной из данных плоскостей относительно плоскости симметрии данных точек.
11.8. Примените гомотетию с центром в точке касания данной и ис- комой сфер. Эту точку можно построить.
11.10. Из условия задачи следует, что данное преобразование со- храняет величину угла между прямыми, следовательно, является подо- бием.
251

11.11. Достаточно доказать, что данное преобразование отображает каждую сферу на сферу.
11.12. Прямая, соединяющая точку пересечения трех данных плос- костей с точкой пересечения плоскостей, каждая, из которых содержит одну из данных точек и параллельна одной из данных плоскостей. Ука- занные две точки этой прямой исключаются.
11.13. Если прямые m и l скрещиваются, то искомым множеством является параллельная им плоскость. Если эти прямые пересекаются,
то искомым множеством будет содержащая их плоскость без этих пря- мых. При m k l задача теряет смысл.
11.14. Рассмотрите образ одной из данных плоскостей при гомотетии с центром в данной точке и коэффициентом −
1
k
11.17. Рассмотрите сферу, описанную около данного тетраэдра.
11.19. arccos(
3
√
2 − 1).
11.22. Внутренность многогранника, который получается отсечением от данного тетраэдра гомотетичных ему тетраэдров с центрами гомо- тетий в его вершинах и коэффициентом
1 4
Глава 12 12.7. Примите во внимание, что в аффинной системе координат,
заданной тройкой сопряженных полудиаметров эллипсоида, он имеет простейшее уравнение x
2
+ y
2
+ z
2
= 1.
12.8. 1 : 12.
12.9. Используйте аффинную эквивалентность сферы и эллипсоида.
12.11. 2x + y − 1 = 0, r(1, −3, 1).
12.12. x
0
= x + x
0
z, y
0
= y + y
0
z, z
0
= z + z
0
z.
12.13. x
0
= ax, y
0
= by, z
0
= cz.
Задачи общего содержания
8. 30
◦
, 60
◦
, 120
◦
, 60
◦
9.
1 2
Q
pS sin 2
f.
10.
1 2
(
√
p
2
+ 2 −
p).
11.
a
2
a
3
√
4
p
2
−
a
2 192
p
2
sin
3
a
2
. 12.
2
p
√
3 3
. 13. Sh < V <
4 3
Sh. 14.
√
2 6
pR
3
(
√
2 +
√
3)
3
;
1 2
pR
2
(22 + 9
√
6).
17.
1 18
pa
3
√
3.
18. d
2
= R
2
− 2
rr. 19.
1 3
R.
20.
Rr
R ± r
21. R(
√
2 − 1).
22.
2l sin a
2 +
√
2 tg a
23.
a sin a
1 + tg a
24. R =
√
4c
4
− a
2
b
2 2
√
4c
2
− a
2
− b
2
,
252

r =
ab
√
4c
2
− a
2
− b
2 2(a
√
4c
2
− a
2
+ b
√
4c
2
− b
2
)
25.
4 3
r
√
3.
26. cos x = 1 − 2 cos
2
a
2
tg
2
f
2 27.
a sin
2
w
2
√
2 cos w
2
√
− cos w(1+
√
− cos w)
. 28. 45
◦
,
27 8
pb
2
. 29.
4R
√
14 7
. 30. V =
3 2
p
2
R
3
,
S = 3
pR
2
(1 +
p). 31.
1 2
pR
3

3
p −
4
√
2 3

32.
1 2
pR
3

3
p +
4 3

33.
4269
p
320 34. 2S. 35. arctg
√
2. 36. sin x = 2(
√
2 − 1). 38. Искомый угол равен углу между вектором, перпендикулярным оси поворота и его образом. На ос- новании системы задачи № 37 вектор (a
1
− 1, b
1
, c
1
) ортогонален оси,
а его образом является вектор (1 − a
1
, −a
2
, −a
3
). 39. Образом вектора n является вектор − n. 40. Вектор (a
1
+ 1, b
1
, c
1
) ортогонален оси пово- ротной симметрии (№ 39). 41. Перенос. 46. Прямые a ∩ f
−1
(
a) и a ∩ f(a),
если f (
a) ∦ a. 47. x
0
= −x − y − z + 1, y
0
= x, z
0
= y. Неподвижен центро- ид тетраэдра ABCD. 48. Формулы обратного преобразования: x
0
= y,
y
0
= z, z
0
= −x − y − z + 1. Данная плоскость имеет уравнение x + y + z = 0,
ее образ x − 1 = 0, прообраз z − 1 = 0. 49. К цели приводит компози- ция центральных симметрии с центрами в заданных серединах сторон.
50.
3 2
6 l < 2. 51. 2 arccos(
√
3 − 1). 52. Конус, образующие которого на- клонены к плоскости основания под углом arccos
1 3
. 53.
8 3
R
2
. 55. Этот угол равен 60
◦
. 57. 3r.
253

Литература
[1] А д а м а р Ж. Элементарная геометрия. Ч. 2. Стереометрия. —
М.: Учпедгиз, 1958.
[2] А т а н а с я н Л. С. и д р. Геометрия 10–11. — М.: Просвещение,
1992.
[3] Б е в з Г. П. Геометрия тетраэдра. — Киев: Радянська школа. 1974.
[4] Г о т м а н Э. Г., С к о п е ц З. А. Решение геометрических задач аналитическим методом. — М.: Просвещение, 1979.
[5] К л о п с к и й
В. М.,
С к о п е ц
З. А.,
Я г о д о в с к и й
М. И.
Геометрия 9–10. — М.: Просвещение, 1977.
[6] Н а у м о в и ч Н. В. Геометрические места в пространстве и задачи на построение. — М.: Учпедгиз, 1962.
[7] П е р е п ё л к и н Д. И. Курс элементарной геометрии. Ч. 2. —
М.–Л.: ГИТТЛ, 1949.
[8] П о н а р и н Я. П. Элементарная геометрия. Т. 1. — М.: МЦНМО,
2004.
[9] П о н а р и н Я. П. Преобразования пространства. — Киров: Вят- ский госпедуниверситет, 2000.
[10] П р а с о л о в В. В., Ш а р ы г и н И. Ф. Задачи по стереомет- рии. — М.: Наука, 1989.
[11] Р а б и н о в и ч В. Л. Вычисление объемов с помощью принципа
Кавальери // «Квант». 1972. № 6. C. 9–12.
[12] Р о з е н ф е л ь д Б. А., С е р г е е в а Н. Д. Стереографическая проекция. — М.: Наука, 1973.
[13] С и в а ш и н с к и й И. Х. Неравенства в задачах. — М.: Наука,
1967.
[14] С к о п е ц З. А., П о н а р и н Я . И. Геометрия тетраэдра и его элементов. — Ярославль: Верхне-Волжское книжное изд-во. 1974.
[15] Ш е в е л ё в Л. Я. Объем тел вращения // «Квант». 1973. № 8.
C. 35–37.
[16] Ш к л я р с к и й Д. О., Ч е н ц о в Н. Н., Я г л о м И. М. Геомет- рические неравенства и задачи на максимум и минимум. — М.:
Наука, 1970.

Предметный указатель бимедиана тетраэдра, 91
вектор ортоцентра, 109
— центроида, 92
группа преобразований, 205
движение пространства, 183
— — винтовое, 192
двуугольник сферический, 145
избыток угловой сферического треугольника, 146
инверсия пространства, 149
клин, 100
кольцо шаровое, 126
конус касательных, 142
координаты барицентрические,
102
медиана тетраэдра, 92
— триэдра, 39
окружности сферы большие,
— — малые, 140
ориентация тройки векторов, 78
— тетраэдра, 185
ортоось триэдра, 41
ортоцентр, 109
ось конуса вписанного, 39
— — описанного, 40
— радикальная, 148
— симметрии, 184
параболоид гиперболический, 69
параллелепипед описанный, 19,
113
перенос параллельный, 183
перпендикуляр общий скрещива- ющихся прямых, 20
плоскости перпендикулярные, 18
— триэдра высотные, 41
— — медианные, 39
плоскость биссекторная, 39
— перпендикулярная прямой, 17
— радикальная, 147
— родства, 233
— серединная, 68
— симметрии, 184
поворот гомотетический, 225
— пространства, 188
пояс сферический, 144
преобразование аффинное, 228
— инволюционное, 149
— подобия, 222
— родственное, 233
принцип Кавальери, 126
проекция стереографическая, 154
произведение векторное, 79
— смешанное, 80
прямая Эйлера, 110
прямые перпендикулярные, 17
— скрещивающиеся, 19
расстояние между прямыми, 21
самосовмещение фигуры, 205
сегмент сферический, 143
— шаровой, 123
сектор шаровой, 124

симметрия зеркальная, 184
— осевая, 183
— переносная, 190
— поворотная, 192
— центральная, 183
синус Штаудта триэдра, 36
слой шаровой, 125
степень точки, 146
сфера Аполлония, 72
сферы вневписанные, 107
— ортогональные, 148
теорема Гюльдена, 129–133,
— Жергона для триэдра, 242
— косинусов для тетраэдра, 94
— — для триэдра, 34
— Лейбница, 93
— Менелая для триэдра, 87
— о задании подобия, 222
— о трех перпендикулярах, 17
— синусов для тетраэдра, 99
— — для триэдра, 35
— Чевы для триэдра, 87
тетраэдр ортогональный, 110
— ортоцентрический, 109
— равногранный, 112
тождество Бретшнайдера, 153
— Лагранжа, 161
тор, 128
точка Люилье, 172
— Монжа, 209
треугольник сферический, 46
триэдры полярные, 32
— смежные, 31
угол двугранный, 24
— между большими окружностя- ми, 45
— между плоскостями, 24
— между прямой и плоскостью,
23
— между скрещивающимися пря- мыми, 23
— трехгранный (триэдр), 31
фигуры равные (конгруэнтные),
183
формула Достора, 97
— Ньютона–Симпсона, 119
— проекций граней тетраэдра, 53
— Сервуа, 98, 121
— Штаудта, 97, 100, 152
— Юнгиуса, 99
центроид тетраэдра, 92
центр подобия, 223
— радикальный, 148
четверка прямых гиперболиче- ская, 108
эллипсоид Штейнера, 237 256