Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
В каком случае имеет место равенство? 4. Если сумма плоских углов триэдра равна 180 ◦ , то сумма косинусов его двугранных углов равна единице. Докажите. 5. Докажите, что биссекторная плоскость двугранного угла тетра- эдра делит противолежащее ребро в отношении площадей граней, об- разующих этот угол. 6. Докажите, что для любого тетраэдра ABCD имеет место соотно- шение: S 2 1 + S 2 2 − 2S 1 S 2 cos (CD) = S 2 3 + S 2 4 − 2S 3 S 4 cos (AB). 7. В параллелепипеде длины диагоналей одной грани равны a и a 1 , другой — b и b 1 , третьей — c и c 1 . Вычислите площадь грани с диагона- лями a и a 1 8. Основанием пирамиды является квадрат. Величины двугранных углов при основании относятся как 1 : 2 : 4 : 2. Найдите их. 9. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольный тре- угольник с острым углом f и площадью S. Площадь боковой грани равна Q. Найдите объем призмы. 10. Два цилиндра, высоты которых равны a и b, имеют равные раз- вертки боковых поверхностей. Найдите отношение a : b, при котором площадь полной поверхности одного цилиндра вдвое больше площади поверхности другого. 11. Развертка боковой поверхности конуса представляет собой кру- говой сектор с углом с a радиан и хордой a. Вычислите объем конуса. 12. Две противоположные вершины куба являются центрами осно- ваний цилиндра, а остальные лежат на поверхности этого цилиндра. Найдите отношение объемов цилиндра и куба. 13. Высота усеченной пирамиды равна h, а площадь ее среднего се- чения равна S. Найдите область изменения ее объема. 14. Около сферы радиуса R описан конус, в котором три образу- ющих попарно перпендикулярны. Вычислите объем конуса и площадь его полной поверхности. 15. Выпуклый многогранник, все вершины которого лежат в двух параллельных плоскостях, называется призматоидом. Докажите, что его объем можно вычислить по формуле (7.2) Ньютона–Симпсона. 16. Параллельные прямые, проходящие через вершины тетраэдра ABCD, пересекают плоскости его граней, противолежащих этим вер- шинам, соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Докажите, что объем тетраэдра A 1 B 1 C 1 D 1 втрое больше объема тетраэдра ABCD. 17. Диагональ куба с ребром a служит осью цилиндра, окружно- сти оснований которого касаются граней куба в их центрах. Вычислите объем цилиндра. 18. Радиус сферы, описанный около тетраэдра, равен R. Радиусы описанной и вписанной окружностей одной его грани равны r и r. Опре- делите расстояние от центра описанной сферы до центра окружности, вписанной в выбранную грань. 19. Три сферы радиуса R касаются одной плоскости и попарно каса- ются друг друга. Найдите радиус сферы, касающейся данной плоскости и всех трех данных сфер. 20. В каждый из трехгранный углов тетраэдра вписана сфера. Эти четыре сферы имеют равные радиусы и имеют общую точку. Вычис- лите их радиус, если даны радиусы R и r описанной и вписанной сфер данного тетраэдра. 21. Три цилиндра радиуса R имеют попарно перпендикулярные оси и каждые два имеют единственную общую точку на их образующих. Найдите наибольший радиус шара, который пройдет через зазор между цилиндрами. 22. Вычислите длину ребра куба, вписанного в конус, образую- щая которого имеет длину l и наклонена к плоскости основания под углом a. 23. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды имеет длину a и наклонено к плоскости основания под углом a. В пирамиду вписан равносторонний цилиндр так, что его нижнее основание лежит в плос- кости основания пирамиды. Найдите высоту цилиндра. 24. В тетраэдре два противоположных ребра имеют длины a и b, остальные ребра имеют длину c. Вычислите радиусы описанной и впи- санной сфер этого тетраэдра. 25. Сфера радиуса r касается всех ребер треугольной пирамиды. Ее центр находится на высоте пирамиды внутри нее на расстоянии r √ 3 от вершины. Докажите, что пирамида правильная и найдите ее высоту. 239 26. Грани двугранного угла величины a касается конуса по его обра- зующим. Найдите угол между этими образующими, если угол осевого сечения конуса равен f. 27. Угол между смежными боковыми гранями правильной четырех- угольной пирамиды равен w, длина стороны основания равна a. Сфе- ра касается ее описанной сферы и боковых граней. Вычислите ее ра- диус. 28. Основанием пирамиды T ABC является прямоугольный тре- угольник ABC, в котором угол BAC равен 60 ◦ . Ребро T A перпендику- лярно плоскости основания. Биссектриса AD угла BAC имеет длину b. Расстояние между прямыми T B и AD равно b 2 . Найдите угол между прямыми T C и AD и площадь описанной сферы. 29. Сфера радиуса R делит каждое из ребер AB, BC, CD, DA тетра- эдра ABCD на три равные части и содержит середины ребер AC и BD. Найдите высоту тетраэдра, опущенную из вершины D. 30. Два полукруга радиуса R расположены в плоскости так, что один конец полуокружности каждого служит центром полуокружно- сти другого. Вычислите объем тела вращения и площадь его поверх- ности, образованного вращением объединения этих полукругов около касательной, проведенной из конца одной полуокружности к другой полуокружности. 31. Круговой сектор радиуса R с центральным углом 270 ◦ вращается около касательной, проведенной к его дуге в ее середине. Подсчитайте объем полученного тела вращения. 32. Сектор, равный 3 4 круга радиуса R, вращается около касатель- ной к его дуге в конце этой дуги. Определите объем полученного тела вращения. 33. Прямоугольник с длинами его сторон 3 и 4 вращается около его диагонали. Найдите объем тела вращения. 34. Площадь сферы равна S. Найдите наименьшую площадь поверх- ности описанного около нее конуса. 35. В правильной треугольной пирамиде боковая грань имеет за- данную постоянную площадь и наклонена к плоскости основания под углом a. При каком значении a расстояние от центра основания до бо- ковой грани будет наибольшим? 36. Найдите наибольшую возможную величину угла между плоско- стью боковой грани и не принадлежащим ей боковым ребром правиль- ной четырехугольной пирамиды. 37. Докажите, что координаты направляющего вектора p (p 1 , p 2 , p 3 ) оси поворота и оси винтового движения, заданных формулами (10.1), 240 находятся из системы (a 1 − 1)p 1 + b 1 p 2 + c 1 p 3 = 0, a 2 p 1 + (b 2 − 1)p 2 + c 2 p 3 = 0, a 3 p 1 + b 3 p 2 + (c 3 − 1)p 3 = 0 при условии a 1 − 1 b 1 c 1 a 2 b 2 − 1 c 2 a 3 b 3 c 3 − 1 = 0. 38. Докажите, что угол f поворота (и винтового движения), задан- ного формулами (10.1), определяется формулой: cos f = 1 2 (a 1 + b 2 + c 3 − 1), 0 < f 6 p. 39. Движение второго рода задано формулами (10.1). Докажите, что вектор n(n 1 , n 2 , n 3 ), ортогональный плоскости симметрий (зеркальной, переносной, поворотной), определяется из системы: (a 1 + 1)n 1 + b 1 n 2 + c 1 n 3 = 0, a 2 n 1 + (b 2 + 1)n 2 + c 2 n 3 = 0, a 3 n 1 + b 3 n 2 + (c 3 + 1)n 3 = 0. 40. Докажите, что угол f поворотной симметрии, заданной форму- лами (10.1), определяется формулой: cos f = 1 2 (a 1 + b 2 + c 3 ), 0 < f 6 p, a 1 + b 2 + c 3 6= 1. 41. Найдите композицию осевых симметрий пространства, оси ко- торых содержат последовательно взятые стороны вписанного в окруж- ность четырехугольника. 42. В тетраэдр вписана сфера. Касательные плоскости к ней, парал- лельные граням тетраэдра, своим пересечением образуют новый тетра- эдр. Докажите, что он равен данному тетраэдру. 43. Если преобразование пространства отображает каждую плос- кость на параллельную ей плоскость или на себя, то оно является го- мотетией или переносом. Докажите. 44. Постройте сферу, вписанную в данный триэдр и содержащую заданную точку. 45. Дан тетраэдр ABCD. Прямая пересекает плоскости BCD, CDA, DAB, ABC соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 . Докажите, что середины отрезков AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 принадлежат одной плоскости. 46. В данной плоскости a найдите пару соответственных прямых при заданном аффинном преобразовании пространства. 47. Точки A, B, C, D некомпланарны. Аффинное преобразование пространства задано парами точек: A → B, B → C, C → D, D → A. На- пишите формулы этого преобразования в аффинной системе координат 241 с началом D и базисными векторами e 1 = DA, e 2 = DB, e 3 = DC. Най- дите неподвижные точки этого преобразования. 48. Напишите формулы аффинного преобразования, обратного пре- образованию, заданному в предыдущей задаче № 47. Найдите уравнения образа и прообраза плоскости, проходящей через точку D параллельно плоскости ABC, при преобразовании задачи № 47. 49. Постройте неплоский пятиугольник, если даны середины всех его сторон. 50. Шаровой сегмент целиком расположен внутри цилиндра и имеет с ним общие основание и высоту. В каких пределах может изменяться отношение l объема цилиндра к объему сегмента? 51. Площадь поверхности шара и его объем равны соответствен- но площади боковой поверхности и объему сегмента некоторого шара. Определите величину дуги осевого сечения сегмента. 52. Из множества всех конусов с данной площадью S полной поверх- ности найдите тот, который имеет наибольший объем. 53. В сферу радиуса R вписан куб и на его гранях вне него по- строены правильные пирамиды с вершинами на сфере. Найдите объем полученного многогранника. 54. Докажите, что максимальная площадь ортогональной проекции прямоугольного параллелепипеда на плоскость вдвое больше площади треугольника, образованного диагоналями трех граней параллелепипе- да, имеющих общую вершину. 55. В правильный триэдр SABC вписана произвольная сфера с цен- тром O. Касательная плоскость к ней, проведенная через вершину S триэдра, пересекает две его грани по лучам SM и SN . Докажите, что величина двугранного угла при ребре SO триэдра SOM N не зависит от выбора касательной плоскости, содержащей вершину S. 56. Четыре прямые AM, BM, CM, DM , проходящие через вершины тетраэдра ABCD и его внутреннюю точку M , пересекают противопо- ложные этим вершинам грани соответственно в точках A 1 , B 1 , C 1 , D 1 Докажите, что имеют место соотношения: M A 1 AA 1 + M B 1 BB 1 + M C 1 CC 1 + M D 1 DD 1 = 1, M A AA 1 + M B BB 1 + M C CC 1 + M D DD 1 = 3 (теорема Ж е р г о н а для триэдра). 57. Через внутреннюю точку M тетраэдра ABCD проведены четы- ре плоскости, параллельные соответственно его граням, и в каждый из полученных отсеченных тетраэдров вписана сфера. Найдите сумму радиусов этих сфер, если радиус вписанной в данный тетраэдр сферы равен r. 242 Ответы, указания Часть I Глава 1 1.12. 2 : 1, считая от вершины S. Сначала постройте общую прямую плоскости сечения и плоскости основания. 1.13. a 8 p3(a 2 + 4h 2 ). 1.21. Сечение — правильный шестиугольник с вершинами в середи- нах ребер куба. 1.23. Перпендикуляры к биссекторным плоскостям. 1.25. r a 4 + b 4 a 2 + b 2 1.26. arctg 2 √ 2. 1.27. arctg 2 √ 2 5 1.28. arccos 1 4 1.29. a или a √ 5 . 1.30. arccos 2 3 , arccos 1 6 . 1.31. arctg r 3 2 . 1.32. 2ab √ a 2 + 2b 2 1.33. Проекция искомой прямой на плоскость основания куба парал- лельна диагонали основания. 1.34. 1) 30 ◦ , 2) 45 ◦ . 1.35. 60 ◦ . 1.36. arccos(sin a · sin b). 1.38. arctg √ 5 4 1.39. tg x = √ 2 cos 2 a sin a . 1.40. arctg 1 2 tg a . 1.41. a √ 3 2 . 1.42. ah √ a 2 + 4h 2 Глава 2 2.4. sin x = 2 √ 3 cos a 2 2.5. cos x = cos a 1 + cos a 2.6. cos x = 3 2 sin 2 f − 1. 2.7. cos x = √ 3 3 tg a 2 2.9. 1 2 ( b + g − a). 2.10. cos x = 1 − 2 tg 2 a 2 2.11. tg x = √ 2 ctg a 2 2.12. 90 ◦ 2.13. cos x = r 1 3 (1 + 2 cos a). 2.14. cos x = r 2(1 + 2 cos a) 3(1 + cos a) . 2.15. a √ 3 ctg a 2 2.18. Смотрите задачу 2 п. 5.2 гл. 2. 2.20. Сначала постройте развертку искомого тетраэдра по аналогии с п. 2.1 гл. 2. 2.21. Отложите на ребрах искомого триэдра равные отрезки OA, OB, OC. По заданным углам можно построить отрезки AB, BC, CA и треугольник ABC. Затем, пользуясь разверткой (рис. 24), постройте триэдр OABC. 2.24. Проведите плоскость, перпендикулярную общей прямой дан- ных плоскостей. 2.25. См. задачу 1 § 5 гл. 2. 2.26. В произведении ∆ = sin b A sin b sin g замените sin b A, пользуясь равенством (2.10). Полученное выражение преобразуйте к заданному виду. 2.28. Разверните поверхность пирамиды на плоскость основания, разрезав ее по боковому ребру. 2.30. arccos(ctg a), arcsin 1 √ 2 sin a Глава 3 3.3. 3 4 p(ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 3.4. a 2 sin b(1 + sin a) cos a 3.5. 7S 8 cos a 3.6. 1 4 a 2 · ( √ 3 + √ 15). 3.7. a 2 sin a(1 + cos b) cos b 3.8. (a + b) √ ab cos 2 a 2 cos a 3.9. 1 6 S · tg a 2 r S cos a 1 + cos a 3.14. Используйте задачи 1 и 2 § 2 гл. 1. 3.15. l 2 sin 2 a 2 q 4 cos 2 a 2 − 1. 3.16. −2l 3 cos a cos a 2 3 sin 3 a 2 3.17. 2 cos a. Рассмотрите ортогональную проекцию второго сечения на плоскость первого сечения. 3.20. cos x = 1 3 ( √ 7 − 1). Глава 4 4.1. а) окружность, б) сфера. 4.2. Сфера. 4.3. Плоскость. 4.4. Сфера, концентричная данной. 4.5. Сфера с диаметром AO (A — данная точка, O — центр данной сферы) с исключенной точкой A. 4.6. Окружность, если AB < 2r; точка, если AB = 2r; пустое множе- ство, если AB > 2r. 4.7. Ось окружности ABC. 4.8. Четыре прямых. 4.9. Две плоскости, параллельные плоскости a. 4.10. Плоскость, параллельная данной. 244 4.11. См. задачу № 1.21. 4.13. Прямая серединной плоскости. 4.14. Окружность серединной плоскости с центром в точке пере- сечения проекций данных прямых. Радиус этой окружности равен r d 2 − 1 2 a 2 , где a — расстояние между данными прямыми. 4.15. Плоскость. 4.16. Окружность. 4.17. Четыре полуплоскости. Найдите сначала точки искомого ГМТ в плоскости, перпендикулярной данным. 4.18. Четыре полосы (четырехгранная призматическая поверх- ность), перпендикулярным сечением которых является прямоугольник с вершинами на данных плоскостях. 4.19. Окружность в плоскости, проходящей через точку A перпен- дикулярно той из данных прямых, которая не содержит точку A. 4.20. Круговая цилиндрическая поверхность, диаметрально противо- положными образующими которой являются прямая a и параллельная ей прямая, содержащая точку A. Эти две прямые исключаются. 4.21. Линия пересечения половины круговой цилиндрической по- верхности с плоскостью. Глава 5 5.1. a k b. 5.2. 14. 5.3. 5. 5.4. 1 8 p(ab) 2 + (bc) 2 + (ca) 2 5.5. AC = DB, S = 1 4 | AB × DC| = 3 √ 3. 5.7. 1/12. 5.8. 8/3. 5.10. По условию существуют числа x, y, z, для которых x( a × b) + + y( b × c) + z( c × a) = 0. Отсюда следует компланарность векторов a, b, c и затем коллинеарность векторов a × b, b × c, c × a. 5.11. Используйте задачу п. 2.2 гл. 5. 5.12. 3. 5.13. 11. 5.14. sin f = 4 √ 2 45 5.15. cos f = 18 √ 374 5.16. ( a × b) × c = (−7, 14, −7), a × ( b × c) = (10, 13, 19). 5.18. Прямые, данные в условии задачи, коллинеарны соответствен- но векторам a × ( b × c), b × ( c × a), c × ( a × b). 5.20. 1 + abg (1 + a)(1 + b)(1 + g) , S 1 S = V OA 1 B 1 C 1 V OABC , где O — произвольная точка вне плоскости ABC. 5.22. Привлеките формулу (5.9) и примените правило умножения двух определителей. 245 Глава 6 6.3. Сфера с центром в центроиде тетраэдра. 6.6. Дважды примените формулу (6.7). 6.10. 1 3 √ 2S 1 S 2 S 3 6.11. abc ab + bc + ca 6.12. √ 3l 3 sin a cos 2 a 2(4 − 3 cos 2 a) 3 2 6.13. d 3 3 sin a 2 (1 + 2 cos a) 6.15. √ 3 2 h 3 6.19. 5 27 6.20. k 2 (k + 3) 1 + 3k 6.22. 4 √ 2 − 5. 6.23. 2 1 + √ 5 6.24. Пара плоскостей, содержащих прямую CD. Одна из них про- ходит через середину ребра AB, а другая параллельна ему. Прямая CD исключается. 6.25. Четыре прямые: DS, DA 1 , DB 1 , DC 1 , где S — центроид грани ABC, а точки A 1 , B 1 , C 1 симметричны вершинам A, B, C относительно середин противоположных сторон треугольника ABC. 6.26. Пять точек: центроид данного тетраэдра и четыре точки, сим- метричные его вершинам относительно центроида. 6.29. См. п. 2.2 гл. 6. 6.31. См. задачу 2 п. 2.1 гл. 1. Искомая точка удалена от грани ABC на расстояние p − DA 1 · DB 1 6.37. Докажите равенство S 1 J A + S 2 J B + S 3 J C + S 4 J D = 0 и срав- ните его с (6.2). 6.42. В равногранном тетраэдре диаметр вписанной сферы равен по- ловине его высоты. 6.43. Преобразуйте формулу (6.42). Глава 7 7.1. pS √ 2S 3 cos 3 a √ sin 3 2 a 7.3. cos a = 1 + √ 17 8 7.4. 252 p и 720p. 7.5. l 2 ( l + 3) 1 + 3 l . 7.6. 384 125 p . 7.7. 1 3 pa 3 (30 − 16 √ 2). 7.8. sin 4 a 4 2 + cos a 2 7.9. 2 3 p(R − a) 2 (2R + a). 7.10. 1 12 pa 3 √ 2. 7.11. “ 1 + sin a 2 ” 3 4 sin a 2 cos 2 a 4 7.12. 1 12 pR 3 (8 − √ 3). 7.13. 1 : 2. 7.15. 3 4 pR 3 7.16. Сначала, пользуясь леммой п. 4.1 гл. 7, найдите площадь по- верхности, образованной вращением двух симметричных друг другу сторон. |