Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва

• Название: Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
• Дата: 06.09.2022
• Размер: 1.7 Mb.
• Имя файла: Ponarin-II.pdf
• Тип: Книга; #664571
• страница: 1 из 13

Я. П. ПОНАРИН
ЭЛЕМЕНТАРНАЯ
ГЕОМЕТРИЯ
Том 2
СТЕРЕОМЕТРИЯ,
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРОСТРАНСТВА
Москва
Издательство МЦНМО, 2006

УДК 514.112
ББК 22.151.0
П56
Понарин Я. П.
П56
Элементарная геометрия: В 2 т. — Т. 2: Стереометрия, преоб- разования пространства. — М.: МЦНМО, 2006.— 256 с.: ил.
ISBN 5-94057-170-0
ISBN 5-94057-223-5 (том 2)
Пособие предназначено для учащихся старших классов школ с математи- ческой специализацией. Оно содержит углубленное и расширенное изложение геометрии. В нем изложена теория прямых и плоскостей, трехгранных углов,
тетраэдров, сфер и других тел. Рассмотрены методы доказательства геомет- рических неравенств и нахождения экстремумов. Много внимания уделено преобразованиям пространства — движениям, подобиям и аффинным преоб- разованиям. Книга включает около 500 задач для самостоятельного решения с указаниями и ответами.
Книга может быть использована для внеклассной работы с учащимися,
для самообразования учителей, для спецкурсов и спецсеминаров по элемен- тарной геометрии в педагогических вузах.
ББК 22.151.0
Яков Петрович Понарин
Элементарная геометрия. Том 2.
Стереометрия, преобразования пространства.
Редактор Семенов А. В.
Подписано в печать 14.12.2005 г. Формат 60 × 90 1
/
16
. Бумага офсетная № 1.
Печать офсетная. Печ. л. 16. Тираж 2000 экз. Заказ №
Издательство Московского центра непрерывного математического образова- ния. 119002, Москва, Большой Власьевский пер., 11. Тел. [phone].
Отпечатано с готовых диапозитивов в ОАО «Можайский полиграфический комбинат». 143200, г. Можайск, ул. Мира, д. 93.
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине «Математическая книга», Большой Власьевский пер., д. 11. Тел. [phone]. E-mail: [e-mail]
ISBN 5-94057-170-0
ISBN 5-94057-223-5 (том 2)
c
Понарин Я. П., 2006.
c
МЦНМО, 2006.

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
Часть I. Стереометрия
Глава 1. Прямые и плоскости
§ 1. Параллельные прямые и плоскости
. . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.1. Параллельность прямой и плоскости (15). 1.2. Параллель- ность двух плоскостей (16).
§ 2. Перпендикулярные прямые и плоскости . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости (17). 2.2. Перпен- дикулярность двух плоскостей (18).
§ 3. Скрещивающиеся прямые . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.1. Параллельные плоскости, заданные двумя скрещивающими- ся прямыми (19). 3.2. Описанный параллелепипед (19). 3.3. Об- щий перпендикуляр скрещивающихся прямых (20). 3.4. Построе- ние и вычисление длины общего перпендикуляра векторным ме- тодом (22). 3.5. Пропорциональные отрезки на скрещивающихся прямых (22).
§ 4. Углы между прямыми и плоскостями . . . . . . . . . . . . . . . 23
Угол между скрещивающимися прямыми (23). Угол между пря- мой и плоскостью (23). 4.3. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями (24). 4.4. О сущности стереометрической задачи на построение (25).
Задачи к главе 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
Глава 2. Трехгранный угол
§ 1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры
. . . . 31 1.1. Трехгранный угол и его элементы (31). 1.2. Полярные три- эдры (32).
§ 2. Неравенства для углов триэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1. Сумма плоских углов триэдра (32). 2.2. Аналог неравенства треугольника (33). 2.3. Сумма двугранных углов триэдра (33).
2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра (34).
§ 3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра . . . . . . . 34

3.1. Две теоремы косинусов (34). 3.2. Теорема синусов для триэд- ра (35). 3.3. Следствия из теоремы синусов (36). 3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра (36). 3.5. Приме- нение теорем косинусов в решении задач (38).
§ 4. Замечательные прямые и плоскости триэдра . . . . . . . . . . . 39 4.1. Медианные плоскости триэдра (39). 4.2. Ось вписанного кру- гового конуса (39). 4.3. Ось описанного конуса (40). 4.4. Высотные плоскости и ортоось триэдра (41).
§ 5. Плоскости, перпендикулярные осям описанного и вписанного конусов триэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.1. Плоскость перпендикулярная оси конуса, описанного около триэдра (43). 5.2. Плоскость, перпендикулярная оси вписанного в триэдр конуса (44).
§ 6. Начальные сведения о сферической геометрии . . . . . . . . . . 45 6.1. Основные понятия (45). 6.2. Связь геометрии трехгранного угла со сферической геометрией (46).
Задачи к главе 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
Глава 3. Ортогональное проектирование
§ 1. Свойства ортогонального проектирования
. . . . . . . . . . . . 50 1.1. Ортогональное проектирование как частный вид параллель- ного проектирования (50). 1.2. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры (51). 1.3. Формула проекций граней тетраэд- ра (53). 1.4. Пример задачи (54).
§ 2. Ортогональная проекция угла
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 2.1. Общая формула ортогональной проекции угла (54). 2.2. Част- ные случаи (55). 2.3. Сравнение величины угла и величины его ортогональной проекции (57). 2.4. Примеры решения задач (58).
§ 3. Ортогональная проекция вектора на плоскость
. . . . . . . . . 60 3.1. Вектор ортогональной проекции вектора (60). 3.2. Решение задач (61).
Задачи к главе 3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
Глава 4. Геометрические места точек пространства
§ 1. Основные геометрические места точек пространства . . . . . . 65 1.1. Сущность задачи на нахождение ГМТ (65). 1.2. Простейшие
ГМТ пространства (66).
§ 2. ГМТ пространства, задаваемые двумя скрещивающимися пря- мыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 2.1. Серединная плоскость скрещивающихся прямых (68). 2.2. Ги- перболический параболоид (69).
4

§ 3. Три ГМТ пространства, аналогичные ГМТ плоскости . . . . . 70 3.1. Окружность Аполлония и сфера Аполлония (70). ГМТ про- странства, разность квадратов расстояний (72). ГМТ простран- ства, сумма квадратов расстояний (73).
§ 4. Метод ГМТ в стереометрических задачах на построение . . . . 74
Задачи к главе 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
Глава 5. Векторное и смешанное произведения векторов
§ 1. Определения векторного и смешанного произведений, их гео- метрический смысл . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 1.1. Ориентация упорядоченной тройки некомпланарных векто- ров (78). 1.2. Определение векторного произведения, его след- ствия (79). 1.3. Смешанное произведение трех векторов, геомет- рический смысл его знака и модуля (80).
§ 2. Алгебраические свойства смешанного и векторного произведений 81 2.1. Алгебраические свойства смешанного произведения (81).
2.2. Алгебраические свойства векторного произведения (82).
§ 3. Произведения в декартовых координатах . . . . . . . . . . . . . 83 3.1. Координатная формула векторного произведения (83).
3.2. Координатное представление смешанного произведения (83).
§ 4. Сложные произведения векторов . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.1. Двойное векторное произведение (84). 4.2. Скалярное произ- ведение двух векторных произведений (85). 4.3. Векторное про- изведение двух векторных произведений (85). 4.4. Квадрат сме- шанного произведения (85).
§ 5. Некоторые геометрические приложения произведений векторов 86 5.1. Тригонометрия триэдра (86). 5.2. Теорема Менелая для три- эдра (86). 5.3. Теорема Чевы для триэдра (87). 5.4. Выражение косинуса угла между противоположными ребрами тетраэдра че- рез косинусы и синусы его двугранных углов (88).
Задачи к главе 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88
Глава 6. Тетраэдр
§ 1. Медианы и бимедианы тетраэдра. Центроид . . . . . . . . . . . 91 1.1. Бимедианы (средние линии) тетраэдра (91). 1.2. Медианы тетраэдра (92). 1.3. Свойства центроида тетраэдра (93).
§ 2. Площади граней тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 2.1. Теорема косинусов для тетраэдра (94). Сумма квадратов пло- щадей граней тетраэдра (95). 2.3. Зависимость между косинусами двугранных углов тетраэдра (96).
§ 3. Объем тетраэдра и объем клина . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5

3.1. Первая формула Штаудта (97). 3.2. Формулы Достора (97).
3.3. Формула Сервуа (98). 3.4. Теоремы синусов для тетраэд- ра (99). 3.5. Выражение объема тетраэдра через длины его ребер
(формула Юнгиуса) (99). 3.6. Вторая формула Штаудта (100).
3.7. Объем клина (100).
§ 4. Барицентрические координаты точки . . . . . . . . . . . . . . . 102 4.1. Определение (102). 4.2. Аффинный и метрический смысл ба- рицентрических координат (103). 4.3. Расстояние между двумя точками, заданными относительно тетраэдра (103).
§ 5. Сферы, касающиеся плоскостей граней тетраэдра . . . . . . . . 105 5.1. Условия существования и число сфер, касающихся плоско- стей граней тетраэдра (105). 5.2. Зависимость между радиусами вписанной и вневписанных сфер и высотами тетраэдра (107).
§ 6. Ортоцентрический тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 6.1. Высоты тетраэдра. Определение и критерий ортоцентриче- ского тетраэдра (108). 6.2. Вектор ортоцентра (109). 6.3. Харак- теристические свойства ортоцентрического тетраэдра (110).
§ 7. Равногранный тетраэдр . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 7.1. Определение и характеристическое свойство равногранно- го тетраэдра (112). 7.2. Свойства углов равногранного тетраэд- ра (112). 7.3. Критерии равногранного тетраэдра (113). 7.4. Фор- мулы для равногранного тетраэдра (114).
Задачи к главе 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115
Глава 7. Вычисление объемов тел
§ 1. Формула Ньютона–Симпсона и ее применение . . . . . . . . . . 119 1.1. Вывод формулы Ньютона–Симпсона (119). 1.2. Объем пира- миды и усеченной пирамиды (120). 1.3. Объем клина (121).
§ 2. Объем шара и его частей
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123 2.1. Объем шара и шарового сегмента (123). 2.2. Объем шарового сектора (124). 2.3. Объем шарового слоя и шарового кольца (125).
§ 3. Принцип Кавальери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 3.1. Сущность принципа Кавальери (126). 3.2. Объем шара и ша- рового сегмента (127). 3.3. Объем тора (128).
§ 4. Объем тела вращения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 4.1. Лемма о площади поверхности, образованной вращением отрезка (129). 4.2. Объем тела вращения треугольника (130).
4.3. Объем тела вращения центрально-симметричной фигу- ры (132). 4.4. Эквивалентная замена вращающейся фигуры (133).
4.5. Замена оси вращения (134).
Задачи к главе 7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 6

Глава 8. Сфера
§ 1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы . 139 1.1. Касательные плоскости к сфере (139). 1.2. Малые окружно- сти сферы (140). 1.3. Касательные прямые к сфере (141). 1.4. Пе- ресечение двух сфер (142).
§ 2. Площадь сферы и ее частей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143 2.1. Площадь сферы (143). 2.2. Площадь сферического сегмен- та (143). 2.3. Площадь сферического пояса (144). 2.4. Площадь сферы, сферического сегмента и сферического пояса как поверх- ностей вращения (144). 2.5. Площадь сферического двуугольника и сферического треугольника (145).
§ 3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 3.1. Степень точки относительно сферы (146). 3.2. Радикальная плоскость двух сфер (147). 3.3. Радикальная ось трех сфер и ра- дикальный центр четырех сфер (148). 3.4. Ортогональные сфе- ры (148).
§ 4. Инверсия пространства относительно сферы . . . . . . . . . . . 149 4.1. Определение инверсии и его следствия (149). 4.2. Образы плоскостей и сфер, прямых и окружностей при инверсии (150).
4.3. Инвариантность величины угла между кривыми при инвер- сии (151). 4.4. Вывод второй формулы Штаудта для объема тет- раэдра (152). 4.5. Стереометрическое обобщение тождества Брет- шнайдера (153).
§ 5. Стереографическая проекция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154 5.1. Определение и свойства стереографической проекции (154).
5.2. Координатные формулы стереографической проекции (155).
Задачи к главе 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
Глава 9. Стереометрические неравенства и экстремумы
§ 1. Классические алгебраические неравенства, используемые для доказательства геометрических неравенств . . . . . . . . . . . . 159 1.1. Неравенство Коши (159). 1.2. Сравнение квадрата суммы и суммы квадратов действительных чисел (160). 1.3. Тождество
Лагранжа и неравенство Коши–Буняковского (160).
§ 2. Получение неравенств из тождественных равенств
. . . . . . . 161
§ 3. Некоторые избранные неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . 164 3.1. Неравенства для углов триэдра, тетраэдра и косого четырех- угольника (164). 3.2. Неравенства для прямоугольного тетраэд- ра (165). 3.3. Неравенства для произвольного тетраэдра (167).
7

§ 4. Стереометрические экстремумы
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 4.1. Экстремумы как следствия нестрогих неравенств (168).
4.2. Экстремумы суммы и произведения положительных чи- сел (169). Сведение задачи к планиметрической (170).
§ 5. Точка Люилье тетраэдра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 5.1. Задача Люилье (172). 5.2. Барицентрические координаты точки Люилье (173). 5.3. Точка Люилье — центроид ее тетраэдра проекций (173).
§ 6. Экстремальные свойства правильного тетраэдра . . . . . . . . . 174 6.1. Тетраэдр минимальной площади поверхности с данным осно- ванием и данной высотой (175). 6.2. Правильный тетраэдр — объ- ект с экстремальными свойствами (176).
Задачи к главе 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177
Часть II. Преобразования пространства
Глава 10. Движения пространства
§ 1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии про- странства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 1.1. Определения движения и равных фигур (183). 1.2. Пере- нос (183). 1.3. Центральная симметрия (183). 1.4. Осевая симмет- рия (183). 1.5. Зеркальная симметрия (184). 1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий (184).
§ 2. Общие свойства движений пространства . . . . . . . . . . . . . 185 2.1. Два рода движений пространства (185). 2.2. Множества непо- движных точек движений пространства (185). 2.3. Инварианты движений пространства (186). 2.4. Признак зеркальной симмет- рии (188).
§ 3. Поворот пространства около оси . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188 3.1. Поворот как частный вид движения (188). 3.2. Признак пово- рота (189). 3.3. Представление поворота композициями симмет- рий (189).
§ 4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение . . . 190 4.1. Переносная симметрия (190). 4.2. Поворотная симмет- рия (192). 4.3. Винтовое движение (192).
§ 5. Конструктивное задание движения пространства . . . . . . . . 193 5.1. Теорема о задании движения (193). 5.2. Следствия (195).
§ 6. Классификация движений пространства
. . . . . . . . . . . . . 195 6.1. Движения второго рода (195). 6.2. Движения первого ро- да (196).
8

§ 7. Координатные формулы движений пространства . . . . . . . . 197 7.1. Вывод формул движений (197). Матрица движения (198).
7.3. Формулы обратного движения (200). 7.4. О критериях част- ных видов движений (200). 7.5. Формулы частных видов движе- ний при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат (201).
§ 8. Композиции движений пространства
. . . . . . . . . . . . . . . 202 8.1. Композиция поворота и переноса (202). 8.2. Композиция зер- кальной и осевой симметрий (202). 8.3. Композиция двух пово- ротов (203). 8.4. Композиция трех зеркальных симметрий (203).
8.5. Композиция симметрий относительно трех попарно скрещи- вающихся прямых (205).
§ 9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба . . . . 205 9.1.
Группа самосовмещений правильного тетраэдра
(205).
9.2. Группа самосовмещений куба (207).
§ 10. Решение задач с использованием движений пространства . . . 208
Задачи к главе 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211
Глава 11. Подобия пространства
§ 1. Гомотетия пространства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 219 1.1. Обзор теории (219). 1.2. Композиция гомотетии и перено- са (220). 1.3. Гомотетия пространства в задачах (220).
§ 2. Преобразования подобия . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222 2.1. Определение и инварианты подобий пространства (222). Ко- ординатные формулы подобий пространства (222). 2.3. Центр по- добия пространства (223). 2.4. Построение центра подобия перво- го рода плоскости (223). 2.5. Классификация подобий простран- ства (224).
Задачи к главе 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 225
Глава 12. Аффинные преобразования
§ 1. Начала теории аффинных преобразований пространства . . . . 228 1.1. Определение аффинного преобразования пространства и его следствия (228). 1.2. Задание аффинного преобразования про- странства (228). 1.3. Координатные формулы аффинного преоб- разования (229).
§ 2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании
. . . . 231 2.1. Выражение смешанного произведения векторов в аффин- ных координатах (231). 2.2. Зависимость между объемом тела и объемом его образа при аффинном преобразовании простран- ства (231).
9

§ 3. Родство . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233 3.1. Определение и свойства родства (233). 3.2. Представление аффинного преобразования пространства композицией подобия и родства (234).
§ 4. Метод аффинных преобразований в геометрических задачах . 234 4.1. Сущность метода аффинных преобразований (234). 4.2. При- меры решения задач методом аффинных преобразований (235).
Задачи к главе 12 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 236
Задачи общего содержания
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
Ответы, указания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254
Предметный указатель . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 255 10

Предисловие
Эта книга предназначена для учащихся школ, лицеев, гимназий с математической специализацией. Она является непосредственным продолжением учебного пособия [8] того же автора. Обе эти книги содержат углубленное изложение планиметрии и стереометрии для же- лающих знать больше школьного уровня и научиться лучше решать задачи. Их содержание находится, образно говоря, посредине между школьной и вузовской геометриями.
К написанию книги автора побудило большое желание привлечь внимание педагогов-математиков к неиспользуемому стереометрическо- му арсеналу, обладающему значительным потенциалом в образователь- ном и воспитательном аспектах. Возрастающее стремление к «урезани- ям» математического содержания среднего образования может иметь в будущем непоправимые негативные последствия. Не являясь сторон- ником «широкого охвата», автор хочет помочь желающим иметь воз- можность овладевать геометрическим богатством.
Книга состоит из двух частей. Первая часть — собственно стереомет- рическая, вторая содержит преобразования пространства — движения,
подобия, аффинные преобразования. Содержание не регламентировано заранее заданной программой. Оно сложилось в процессе многолетней работы автора со студентами педагогического института (университе- та), а также с учащимися физико-математического лицея г. Кирова и с учащимися Белорецкой компьютерной школы Башкортостана.
Автор не ставил целью пересказывать материал действующих школь- ных учебников, а стремился углубить и расширить его, показать приме- нение излагаемых фактов к решению содержательных математических задач. Единственным отступлением от этого принципа служит первая глава «Прямые и плоскости», которая по существу является вводной к всему остальному материалу, но и она имеет оригинальные подхо- ды к некоторым определениям и доказательствам теорем. Ее полезно прочитать читателю, даже хорошо знающему школьный учебник.
В имеющейся учебной литературе геометрические преобразования пространства освещены недостаточно. Изложение либо фрагментарно,
либо архаично с точки зрения терминологии и методов доказательств.
Удалось изложить теорию преобразований пространства с существен- ными упрощениями.
Важной частью содержания пособия являются задачи, в основном заимствованные из задачного материала отечественной учебной лите- ратуры. Их количество не очень велико, однако вполне достаточно для достижения поставленной цели. Обращаем внимание читателя, что раз-
11

бор приведенных авторских решений и самостоятельное решение задач из списков, данных в конце каждой главы, должно составить необхо- димую часть его работы. Учитывая критические замечания педагогов,
пользующихся пособием [8], автор решил отказаться от развернутых
«указаний», а ограничиться только подсказками и ответами.
Нельзя обещать легкого чтения книги. Надеемся на желание и на- стойчивость читателя. Предполагается знание действующих школьных учебников.
Пособие может быть использовано в педагогических вузах при под- готовке учителей математики для чтения спецкурсов и проведения спецсеминаров, темами которых могут служить выбранные главы. Ав- тор надеется, что книга окажет помощь в самообразовании учителей и во внеклассной работе с учащимися, в частности, при подготовке к математическим олимпиадам.
Я. П. Понарин
12

Часть I
Стереометрия

Г л а в а 1
Прямые и плоскости
§ 1. Параллельные прямые и плоскости
1.1. Параллельность прямой и плоскости. Прямая и плоскость на- зываются параллельными, если они не имеют общих точек.
Из этого определения сразу следует к р и т е р и й параллельности прямой и плоскости.
Теорема 1. Прямая m параллельна плоскости a тогда и только тогда, когда в этой плоскости существует некоторая прямая p, па- раллельная данной прямой m.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m k a. Проведем через прямую m про- извольную плоскость b, пересекающую плоскость a (рис. 1). Тогда прямая p пересечения плоскостей a и b параллельна прямой m, так как в противном случае прямая m пересекала бы плоскость a. Обратно,
если в плоскости a имеется некоторая прямая p, параллельная пря- мой m, то m k a, поскольку если бы m пересекала a, то их общая точка лежала бы на прямой p, что противоречит условию m k p.
Очевидно, при m k a в плоскости a существует бесконечное множе- ство (пучок ) прямых, каждая из которых параллельна m. Доказанный критерий мог бы быть принят в качестве определения параллельности прямой и плоскости.
a b
p m
Рис. 1
a b
a b
l m
Рис. 2
Теорема 2. Если прямая m параллельна каждой из двух пересека- ющихся плоскостей a и b, то она параллельна их линии пересечения.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть m k a и m k b. Согласно теореме 1
в плоскости a существует прямая a, параллельная m, в плоскости b существует прямая b, параллельная m (рис. 2). Тогда a k b (транзитив- ность параллельности прямых). По той же теореме 1 a k b и, значит,

прямая a параллельна прямой l =
a ∩ b, так как иначе a пересекала бы b. Из m k a и l k a следует m k l.
Обратное утверждение очевидно на основании достаточного условия критерия параллельности прямой и плоскости.
Теорема 3. Если три плоскости попарно пересекаются и не имеют общей прямой, то прямые их пересечения либо имеют общую точку,
либо параллельны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны плоскости a, b и g и b ∩ g = a,
g ∩ a = b, a ∩ b = c. По условию прямая c не лежит в плоскости g. Для нее возможны только два случая: либо прямая c пересекает плоскость g
в некоторой точке M , либо c k g. В первом случае будет M ∈ a и M ∈ b,
т. е. M ∈
a ∩ b ∩ g. Тогда точка M будет общей точкой прямых a, b и c
(рис. 3, а). Во втором случае по теореме 2 будет c k a и c k b (рис. 3, б).
M
c b
a a
b g
а)
c b
a a
b g
б )
Рис. 3 1.2. Параллельность двух плоскостей. Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек.
Теорема 4. Если в одной из двух данных плоскостей существуют две непараллельные прямые, каждая из которых параллельна другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны плоскости a и b, прямые a и b непараллельны и лежат в плоскости a, a k b, b k b. Если бы плоскости a и
b пересекались по некоторой прямой l, то по теореме 2 было бы a k l и b k l, откуда a k b, что противоречит условию теоремы.
Если плоскости параллельны, то любая прямая одной плоскости параллельна другой плоскости. Если же плоскости пересекаются, то в каждой из них имеется пучок параллельных прямых, параллельных другой плоскости (все они параллельны линии пересечения этих плос- костей).
З а д а ч а. Плоскости a и a
1
пересекаются по прямой a. Соответ- ственно параллельные им плоскости b и b
1
пересекаются по прямой b.
Доказажите, что прямые a и b параллельны.
Р е ш е н и е. Из a k b и a ⊂ a следует a k b. С равным правом a k b
1
По теореме 2 будет a k b.
16

§ 2. Перпендикулярные прямые и плоскости
2.1. Перпендикулярность прямой и плоскости. Две пересекающиеся прямые называются перпендикулярными, если один из углов между ни- ми равен своему смежному. Две скрещивающиеся прямые называются перпендикулярными, если перпендикулярны соответственно параллель- ные им пересекающиеся прямые.
Прямая и плоскость называются перпендикулярными, если эта пря- ная перпендикулярна каждой прямой, лежащей в данной плоскости.
Теорема 5 (признак перпендикулярности прямой и плоскости). Если прямая перпендикулярна каждой из д в у х непараллельных прямых данной плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямые a и b непараллельны и лежат в плоскости a; прямая h им перпендикулярна, m — произвольная прямая плоскости a (рис. 4). Докажем, что h⊥m. Для этого выберем ненулевые h
m a
b a
O
Рис. 4
O
A
1
A
h l
l
1
m a
Рис. 5
векторы a, b, h, m, коллинеарные соответ- ственно прямым a, b, h, m. Вектор m раз- ложим по неколлинеарным векторам a и b:
m = x a + y b. Согласно распределительному за- кону скалярного умножения m h = x( a h) + y( b h).
По условию теоремы a h = 0 и b h = 0. Тогда и m h = 0, т. е. h⊥m. По определению перпенди- кулярности прямой и плоскости и в силу про- извольного выбора прямой m плоскости a пря- мая h перпендикулярна этой плоскости.
Далее традиционным способом можно по- строить плоскость, проходящую через данную точку перпендикулярно данной прямой, т. е.
доказать существование такой плоскости, и доказать существование и единственность перпендикуляра к плоскости, содержащего данную точку ([2], с. 39–41).
Теорема 6 (о трех перпендикулярах). Для того чтобы прямая m,
лежащая в плоскости a (или в плоскости, ей параллельной), была перпендикулярна наклонной к плоскости a, необходимо и достаточно,
чтобы эта прямая m была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость a.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямая l = (AO) — наклонная к плоско- сти a, h = (AA
1
) — перпендикуляр к a. Тогда (OA
1
) = l
1
— ортогональная проекция прямой l на a (рис. 5). Пусть m ⊂ a, m⊥l
1
. Тогда h⊥m по
17

определению перпендикулярности прямой и плоскости и прямая m пер- пендикулярна плоскости (OAA
1
) (теорема 5). Поэтому m⊥l. Обратно,
если предположить, что m⊥l, то будет следовать m⊥l
1
З а д а ч а 1. В тетраэдре OABC ребра OA, OB, OC попарно пер- пендикулярны. Докажите, что основание H высоты OH этого тетраэд-
A
B
C
O
H
h
Рис. 6
ра есть ортоцентр треугольника ABC (рис. 6).
Р е ш е н и е.
Поскольку OA⊥OB и OA⊥
⊥OC, то OA⊥(OBC) и поэтому OA⊥BC. Пря- мая AH есть проекция прямой OA на плос- кость ABC. Так как BC⊥OA, то по теореме 6
BC⊥AH. Аналогично AB⊥CH и CA⊥BH, т. е.
точка H — ортоцентр треугольника ABC.
З а д а ч а 2. На перпендикуляре h к плос- кости остроугольного треугольника ABC в его ортоцентре H выбрана точка O так, что угол
AOB является прямым. Докажите, что углы
BOC и COA также прямые.
Р е ш е н и е. По условию OH⊥(ABC) и BC⊥AH (рис. 6). По теоре- ме о трех перпендикулярах BC⊥AO. Из того, что AO⊥BC и AO⊥OB
следует AO⊥OC. Аналогично BO⊥OC.
2.2. Перпендикулярность двух плоскостей. Плоскость a называет- ся перпендикулярной плоскости b, если она содержит перпендикуляр h b
a h
p l
O
Рис. 7
к плоскости b (рис. 7):
a⊥b ⇐⇒ (∃h ⊂ a | h⊥b).
В этом определении плоскости a и b занима- ют неравноправное положение. Поэтому на- до доказать, что из a⊥b следует b⊥a. Для этого построим в плоскости b перпендику- ляр p к прямой l пересечения плоскостей a
и b в точке O = b ∩ h. Тогда p⊥a, так как h⊥p и p⊥l. Следовательно, в плоскости b
существует перпендикуляр p к плоскости a. Согласно принятому опре- делению b⊥a.
Следствие. Если плоскости a и b перпендикулярны, то все перпен- дикуляры к плоскости b, проведенные из точек плоскости a, лежат в плоскости a, поскольку каждый из них параллелен одному и тому же перпендикуляру h ⊂
a.
Теорема 7. Если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей, то прямая их пересечения перпендикулярна этой (третьей)
плоскости.
18

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a⊥g, b⊥g и a∩b=l. Тогда l⊥g. В самом деле, через произвольную точку P прямой l проведем перпендикуляр p к плоскости g. На основании предыдущего следствия он принадлежит как плоскости a, так и плоскости b, следовательно, совпадает с пря- мой l.
§ 3. Скрещивающиеся прямые
3.1. Параллельные плоскости, заданные двумя скрещивающимися прямыми. Две прямые называются скрещивающимися, если не суще- ствует плоскости, которой они обе принадлежат.
Теорема 8. Существует единственная пара параллельных плоско- стей, каждая из которых содержит одну из двух данных скрещиваю- щихся прямых и параллельна другой из них.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b
(рис. 8). Через произвольную точку M прямой a проведем прямую b
1
,
параллельную прямой b. Прямые a и b
1
непараллельны, поэтому задают плоскость a, параллельную прямой b (теорема 1). Аналогично через произвольную точку N прямой b проведем прямую a
1
k a. Плоскость b,
заданная прямыми a
1
и b, параллельна плоскости a. Пара плоскостей a и
b — единственная. Действительно, если бы существовала аналогичная пара (
a
1
,
b
1
), т. е.
a ∩ a
1
= a,
b ∩ b
1
= b и a
1
k b
1
, то согласно утверждению задачи § 1 прямые a и b оказались бы параллельными, что противоречит их выбору.
M
N
a b
1
a
1
b a
b
Рис. 8
D
A
1
B
1
C
D
1
A
B
C
1
Рис. 9 3.2. Описанный параллелепипед. Рассмотрим тетраэдр ABCD. Пря- мые AB и CD, BC и AD, AC и BD определяют три пары параллельных плоскостей (теорема 8), которые своим пересечением образуют паралле- лепипед, называемый описанным параллелепипедом данного тетраэдра
(рис. 9). Ребра тетраэдра служат диагоналями граней его описанного
19

параллелепипеда. В частности, если тетраэдр ABCD правильный, то его описанный параллелепипед — куб.
3.3. Общий перпендикуляр скрещивающихся прямых. Отрезок с концами на двух данных скрещивающихся прямых, перпендикуляр- ный каждой из этих прямых, называется общим перпендикуляром этих скрещивающихся прямых. Так называют также и прямую, содержащую этот отрезок.
Теорема 9. Для двух данных скрещивающихся прямых существует единственный общий перпендикуляр. Его длина меньше длины любого другого отрезка с концами на этих прямых.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть прямые a и b скрещиваются. Докажем сначала существование их общего перпендикуляра. Для этого выберем p
A
a
O
M
M
1
C
K
b
B
D
b
1
H
h
Рис. 10
некоторую плоскость p перпендикуляр- ную прямой a (рис. 10), и построим пер- пендикуляр M M
1
на эту плоскость из произвольной точки M ∈ b. Плоскость w,
определяемая прямыми M M
1
и b, пере- секает плоскость p по прямой b
1
(ортого- нальной проекции прямой b). Из точки
O =
p ∩ a проведем перпендикуляр OH
на прямую b
1
, H ∈ b
1
. Далее строим
HB k a (B ∈ b) и BA k OH (A ∈ a). То- гда отрезок AB и является общим пер- пендикуляром данных скрещивающих- ся прямых a и b. В самом деле, так как OH⊥b
1
, то OH⊥b (теорема о трех перпендикулярах). Поскольку OH⊥a, то AB⊥a. Так как AB k OH, то
AB⊥b.
Докажем теперь единственность общего перпендикуляра данных прямых a и b. Допустим, что отрезок CD — также общий перпенди- куляр этих прямых. Тогда как AB, так и CD перпендикулярны плос- кости w = (b, b
1
), поскольку оба они перпендикулярны прямым b и BH
этой плоскости. Следовательно, AB k CD. Оказалось, что прямые a и b принадлежат плоскости ACD, что противоречит условию их скрещи- вания.
Наконец, покажем, что AB < CD, где CD — любой отрезок с концами на прямых a и b, отличный от их общего перпендикуляра AB. Пусть
CK⊥
w, K ∈ w. Тогда CK = AB, CD — наклонная к w и, значит, CK <
< CD, а потому AB < CD.
Описанное в этом доказательстве построение есть один из возмож- ных способов построения общего перпендикуляра скрещивающихся прямых.
20

О п р е д е л е н и е. Длина общего перпендикуляра двух скрещиваю- щихся прямых называется расстоянием между этими прямыми.
Для вычисления расстояния между скрещивающимися прямыми нет необходимости строить их общий перпендикуляр, так как AB = OH.
Искомое расстояние равно также расстоянию между параллельными плоскостями a и b, существование которых утверждается теоремой 8.
A
B
C
A
1
B
1
C
1
O
O
1
P
H
Q
Рис. 11
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
Рис. 12
З а д а ч а 1. В правильной треуголь- ной призме ABCA
1
B
1
C
1
все ребра имеют длину a. Постройте общий перпендику- ляр прямых BC и AB
1
(рис. 11) и найди- те его длину.
Р е ш е н и е. В качестве плоскости p
служит плоскость AOO
1
(O и O
1
— се- редины ребер BC и B
1
C
1
). Прямая AB
1
проектируется на нее в прямую AO
1
В плоскости p построим перпендикуляр
OH к прямой AO
1
. В прямоугольном тре- угольнике AOO
1
катеты OO
1
и AO соот- ветственно равны a и a
√
3 2
. Перпендику- ляр OH делит гипотенузу AO
1
в отноше- нии квадратов прилежащих катетов, т. е.
AH : HO
1
=

a
√
3 2

2
: a
2
= 3 : 4. Это отно- шение сохраняется на изображении, что и определяет положение точки H. Да- лее проводим HP k BC и P Q k OH, полу- чая P Q — общий перпендикуляр прямых
BC и AB
1
. Так как AO · OO
1
= AO
1
· OH,
то OH = P Q = a r
3 7
З а д а ч а 2. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
с ребром a найдите расстояние между прямыми AB
1
и BC
1
Р е ш е н и е. Искомое расстояние рав- но расстоянию между параллельными плоскостями AB
1
D
1
и BDC
1
(рис. 12), ко- торые делят диагональ CA
1
куба на три равные части (задача 1.19).
Руководствуясь теоремой о трех перпендикулярах, убеждаемся, что эта диагональ перпендикулярна указанным плоскостям. Следователь- но, расстояние между прямыми AB
1
и BC
1
, равно
1 3
CA
1
=
a
√
3 3
21

Для решения задачи не потребовалось строить общий перпенди- куляр.
3.4. Построение и вычисление длины общего перпендикуляра век- торным методом. Решим ту же задачу 2 векторно. Выберем вектор- ный базис ( a, b, c), где a = BA, b = BC, c = BB
1
(рис. 13). Пусть P
и Q — некоторые точки соответственно прямых BC
1
и AB
1
. Положим
BP = x BC
1
= x( b + c), AQ = y AB
1
= y( c − a). Тогда P Q = P B + BA +
+ AQ = −x( b + c) + y( c − a) = (1 − y) a − x b + (y − x) c. Найдем такие чис- ла x и y, чтобы вектор P Q был ортогонален векторам BC
1
и AB
1
, т. е.
A
B
C
D
A
1
B
1
C
1
D
1
a b
c
P
Q
Рис. 13
чтобы имели место равенства:
(
((1 − y) a − x b + (y − x) c)( b + c) = 0,
((1 − y) a − x b + (y − x) c)( c − a) = 0.
Полагая
| a| = | b| = | c| = 1
и учитывая,
что a b = b c = c a = 0, получаем систему:
(
2x − y = 0,
x − 2y + 1 = 0,
из которой x =
1 3
, y =
2 3
. Точки P и Q искомо- го общего перпендикуляра строятся согласно полученным равенствам
BP =
1 3
BC
1
и AQ =
2 3
AB
1
. А так как P Q =
1 3
( a − b + c), то P Q
2
=
1 3
a
2
,
P Q =
a
√
3 3.5. Пропорциональные отрезки на скрещивающихся прямых. Если две скрещивающиеся прямые u и v пересечены параллельными плоско- a
b g
u l
v
A
B
C
A
1
B
1
C
1
B
2
C
2
Рис. 14
стями a, b, g, . . . , то отрезки,
отсекаемые ими на одной прямой,
пропорциональны соответственным отрезкам на другой прямой (рис. 14):
AB
A
1
B
1
=
BC
B
1
C
1
= . . .
Для доказательства через точку A =
= u ∩
a проведем прямую l парал- лельно прямой v. Пусть прямая l пе- ресекает плоскости b, g, . . . в точ- ках B
2
, C
2
, . . . Тогда A
1
B
1
= AB
2
,
B
1
C
1
= B
2
C
2
, . . . и
AB
A
2
B
2
=
BC
B
2
C
2
= . . . ,
откуда и следует сформулированное утверждение.
22

§ 4. Углы между прямыми и плоскостями
4.1. Угол между скрещивающимися прямыми определяется как угол между пересекающимися прямыми, соответственно параллель- ными данным прямым. Для корректности этого определения следует,
a b
a
1
b
1
a
2
b
2
O
1
O
2
Рис. 15
конечно, показать, что этот угол не зависит от выбора точки, через которую проводятся прямые, параллельные данным.
Пусть даны скрещивающиеся прямые a и b и через точку O
1
проведены прямые a
1
k a и b
1
k b, а через точку O
2
проведены прямые a
2
k a и b
2
k b. Тогда a
1
k a
2
и b
1
k b
2
(рис. 15).
Перенос пространства на вектор O
1
O
2
отоб- ражает a
1
на a
2
и b
1
на b
2
, следовательно,
угол ∠(a
1
, b
1
) на угол ∠(a
2
, b
2
), и потому эти углы равны. Напомним, что мера угла меж- ду пересекающимися прямыми по определению не больше 90
◦
, а между двумя лучами — не больше 180
◦
З а д а ч а. Даны три попарно перпендикулярные скрещивающиеся прямые a, b, c. Прямая l образует с ними соответственно углы a, b, g.
Докажите, что cos
2
a + cos
2
b + cos
2
g = 1.
(1.1)
Р е ш е н и е. Пусть a, b, c — единичные векторы, коллинеарные соот- ветственно данным прямым, r — вектор, коллинеарный прямой l. Пусть r = x a + y b + z c. Тогда r a = x, так как a
2
= 1 и a b = a c = 0. Аналогично r b = y и r c = z. Находим, что r
2
= (x a + y b + z c)
2
= x
2
+ y
2
+ z
2
= ( r a)
2
+
+ ( r b)
2
+ ( r c)
2
= r
2
cos
2
a + r
2
cos
2
b + r
2
cos
2
g. Отсюда и следует равен- ство (1.1).
4.2. Угол между прямой и плоскостью определяется как угол между этой прямой и ее ортогональной проекцией на данную плоскость. Это b
ggggggggggggggggggggg g f
O
B
l m
1
m
A
H
p
Рис. 16
определение основано на свойстве: угол f
между данной прямой m, не перпендику- лярной и не параллельной плоскости p,
и ее ортогональной проекцией m
1
на эту плоскость меньше угла g между пря- мой m и любой другой прямой l плоско- сти p (рис. 16).
Д о к а з а т е л ь с т в о.
Пусть AH⊥
p,
тогда AH⊥l. Если m ∩
p = O и B ∈ l, то
OB · HA = 0, поэтому OB( OA − OH) = 0,
23

OA · OB = OB · OH, откуда OA · OB cos g = OB · OH cos b (b = \
BOH),
cos g =
OH
OA
cos b. Итак,
cos g = cos f cos b.
(1.2)
Поскольку 0 < cos b < 1, то cos g < cos f, откуда g > f.
Если m⊥
p, то угол между m и p принимается равным 90
◦
, так как прямая m перпендикулярна по определению любой прямой плоскости p.
В случае m k p угол между ними по определению считается нулевым.
4.3. Двугранный угол. Угол между двумя плоскостями. Всякая плоскость делит пространство на два полупространства, для которых она является общей границей. Пусть даны две непараллельные плоскос- ти a и b. Фиксируем по одному полупространству с границами a и b.
О п р е д е л е н и е. Пересечение двух полупространств с непарал- лельными граничными плоскостями называется двугранным углом.
Двугранный угол ограничен двумя полуплоскостями, которые назы- ваются его гранями. Общая прямая граней называется ребром двугран- ного угла. Пересечение двугранного угла и плоскости, перпендикуляр- ной к его ребру, называется линейным углом двугранного угла. Мера линейного угла принимается за меру двугранного угла, которую для простоты также называют линейным углам двугранного угла. Мера f
двугранного угла находится в промежутке от 0
◦
до 180
◦
: 0
◦
6 f 6 180
◦
Величину f меньшего из двугранных углов, определяемых пересека- ющимися плоскостями, называют углом между этими плоскостями.
Если они параллельны, то угол между ними считается равным 0
◦
. Итак,
по определению угол между плоскостями не больше 90
◦
Теорема 10. Угол f между плоскостями a и b больше любого угла g,
который является их пересечением плоскостью, перпендикулярной только к одной из двух данных плоскостей.
fffffffffffffffffffff f
g w
a b
O
P
H
A
Рис. 17
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть AH⊥
a, A ∈
∈
b, H ∈ a, плоскость OAH — плоскость ли- нейного угла f двугранного угла ∠(a, b), P —
произвольная точка его ребра, отличная от точки O (рис. 17). Тогда плоскость P AH пер- пендикулярна a, но не перпендикулярна b.
Докажем, что f > g. Угол \
OHP =
w — ли- нейный угол двугранного угла между плос- костями OHA и AHP . Поэтому S
OHA
=
= S
AHP
cos w, cos w =
OH
P H
, откуда OA · OH sin f = P A · P H sin g ·
OH
P H
и sin g = sin f
OA
P A
. Так как
OA
P A
< 1, то sin g < sin f и поэтому g < f.
24

Заметим, что угол между плоскостями равен углу между соответ- ственно перпендикулярными к ним прямыми.
З а д а ч а. Плоскость c образует с тремя попарно перпендикулярны- ми плоскостями w
1
,
w
2
,
w
3
соответственно углы a, b, g. Докажите, что cos
2
a + cos
2
b + cos
2
g = 1.
Р е ш е н и е. Прямые a =
w
2
∩
w
3
, b =
w
3
∩
w
1
, c =
w
1
∩
w
2
попарно пер- пендикулярны (теорема 7). Если прямая l перпендикулярна плоско- сти c, то углы между прямой l и соответственно прямыми a, b, c равны a, b, g. В силу утверждения задачи пункта 4.1 имеет место доказывае- мое равенство.
4.4. О сущности стереометрической задачи на построение. Не суще- ствует чертежных инструментов, позволяющих строить в пространстве неплоские фигуры. По этой причине задачи на построение в стереомет- рии по своему существу принципиально отличаются от конструктив- ных задач планиметрии. Стереометрические построения выполняются лишь мысленно, в уме. Они являются задачами на доказательство существования фигуры, удовлетворяющей требуемым условиям. Это доказательство должно состоять из конечного числа шагов, состоящих из элементарных (простейших) «построений», выполняемых на основе следующих аксиом.
А1. Прямая считается построенной, если даны (построены) две ее точки или две плоскости, линией пересечения которых служит эта прямая.
А2. Плоскость считается построенной, если даны (построены) опре- деляющие ее элементы (три неколлинеарные точки, две прямые этой плоскости, прямая и не принадлежащая ей точка).
A3. Если даны (построены) прямая и не параллельная ей (и не со- держащая ее) плоскость, то считается построенной их точка пересе- чения.
А4. Сфера считается построенной, если даны (построены) ее центр и принадлежащая ей точка.
Кроме того, используются следующие общие принципы (общие ак- сиомы) стереометрических построений.
П1. В построенной плоскости может быть выполнено любое постро- ение, выполнимое в планиметрии с помощью циркуля и линейки.
П2. Фигура считается построенной, если построены определяющие ее элементы.
Решение конструктивной стереометрической задачи за редкими ис- ключениями сопровождается чертежом (рисунком), который может быть принципиально двух различных типов. Первый тип — эскизный
25

рисунок («аксиоматический чертеж»), иллюстрирующий основные этапы построения. При его выполнении допускается определенный про- извол, если он не приводит к противоречиям с требуемыми условиями задачи. К этому типу относятся, например, рисунки 1–10 этой книги и большинство чертежей школьных учебников. Второй тип — проек- ционный чертеж, то есть плоское изображение, выполненное на основе свойств параллельного проектирования (см. пособие [2], приложение 1).
Например, здесь чертежи 11, 12, 13 выполнены на основе свойств па- раллельного проектирования. Построения на проекционном чертеже однозначно соответствуют пространственным построениям в оригинале изображаемой фигуры. Рассмотрим пример решения конструктивной стереометрической задачи с выполнением аксиоматического чертежа.
З а д а ч а. В данной плоскости a через данную точку A проведите прямую, которая образует угол заданной величины y с данной пря- мой m, не параллельной и не перпендикулярной плоскости a.
Р е ш е н и е. Проведем сначала небольшой анализ. Пусть прямая x —
искомая и O = m ∩
a (рис. 18). В плоскости a проведем через точку O
прямую l k x. Угол между прямыми m и l равен заданному углу y.
Пусть прямая m
1
— ортогональная проекция заданной прямой m на плоскость a. Из точки M ∈ m опустим перпендикуляр MH на плос- кость a, H ∈ m
1
, а из точки H — перпендикуляр HB на l. Тогда по теореме о трех перпендикулярах M B⊥l. Задача, очевидно, сводится к построению точки B.
yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy y
fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff f
m
O
H
B
M
m
1
l
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
A
a x
Рис. 18
yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy yyyyyyyyyyy y
fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff fffffffffff f
O
M
H
B
0
B
0 0
Рис. 19
Чтобы построить точку B, в плоскости M OH строим прямоуголь- ный треугольник M OB
0
по гипотенузе OM и данному острому углу y
(рис. 19). (Заметим, что таких треугольников два.) Далее в данной плос- кости a строим окружность с диаметром OH и в ней хорду OB = OB
0
Прямая OB параллельна искомой прямой x 3 A.
26

По свойству п. 4.2 острый угол y должен быть больше угла f между прямой m и плоскостью a. Иначе задача не имеет решения. При этом условии задача имеет два решения. При y = f решение единственно:
l = m
1
, x k m
1
Задачи к главе 1 1.1. Для того чтобы две прямые были параллельны, необходимо и до- статочно, чтобы любая плоскость, пересекающая одну из них, пересе- кала и другую. Докажите.
1.2. Для того чтобы две плоскости были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы любая прямая, пересекающая одну из них, пересе- кала и другую. Докажите.
1.3. Постройте прямую, проходящую через данную точку и пересе- кающую две данные скрещивающиеся прямые.
1.4. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте пря- мую, которая пересекает две из них и параллельна третьей.
1.5. Постройте прямую, которая проходит через данную точку A,
параллельна данной плоскости a и пересекает данную прямую l.
1.6. Даны n (n > 3) прямых, каждые две из которых пересекаются.
Докажите, что эти прямые либо пересекаются в одной точке, либо все принадлежат одной плоскости. В частности, оба эти случая могут иметь место одновременно.
1.7. Дано изображение пятиугольной призмы и прямых a и b, пе- ресекающихся в точке M . Прямая a пересекает боковую поверхность призмы в данных точках P и Q, а прямая b — в данной точке S. По- стройте изображение второй точки пересечения прямой b с поверхно- стью призмы.
1.8. Треугольники ABC и A
1
B
1
C
1
расположены в пространстве так,
что прямые AA
1
, BB
1
, CC
1
пересекаются в одной точке или параллель- ны. Докажите, что имеет место один из трех случаев: 1) прямые, со- держащие соответственные стороны этих треугольников, пересекаются в точках одной прямой; 2) две из них параллельны прямой, содержащей точки пересечения других соответственных сторон (прямых); 3) соот- ветственные стороны данных треугольников параллельны. (Теорема
Д е з а р г а.)
1.9. Дано изображение параллелепипеда и трех точек на его попарно скрещивающихся ребрах. Постройте изображение сечения этого парал- лелепипеда плоскостью, определяемой данными точками.
27

1.10. Дано изображение четырехугольной пирамиды и трех точек
A, B, C, лежащих на ее боковых гранях. Постройте изображение сече- ния пирамиды плоскостью ABC.
1.11. Постройте изображение сечения шестиугольной призмы плос- костью, проходящей через диагональ основания и заданную точку на ее боковой поверхности.
1.12. Основанием пирамиды SABCD служит трапеция ABCD, от- ношение оснований AD и BC которой равно 2. Постройте изображение сечения пирамиды плоскостью, проходящей через вершину D и середи- ны ребер SA и SB. Найдите отношение, в котором эта плоскость делит ребро SC.
1.13. Через каждую из двух данных скрещивающихся диагоналей боковых граней правильной треугольной призмы проведена плоскость,
параллельная другой диагонали. Постройте изображения сечений приз- мы этими плоскостями и докажите, что они равны. Вычислите их пло- щадь, если сторона основания призмы равна a а высота призмы равна h.
1.14. Даны три скрещивающиеся попарно перпендикулярные пря- мые. Расстояние между каждыми двумя из них равно a. Найдите пло- щадь параллелограмма, две вершины которого расположены на одной прямой, а две оставшиеся — на двух других прямых.
1.15. Если три плоскости имеют общую точку и перпендикулярны некоторой плоскости, то они имеют общую прямую. Докажите.
1.16. Известно, что вне плоскости данного параллелограмма суще- ствует точка, равноудаленная от его сторон. Докажите, что этот парал- лелограмм является ромбом.
1.17. Даны три попарно скрещивающиеся прямые a, b, c, параллель- ные одной плоскости. Переменная прямая l пересекает данные прямые.
Докажите, что отношение отрезков, отсекаемых прямыми a, b, c на пря- мой l, постоянно.
1.18. Даны три попарно скрещивающиеся прямые. Постройте парал- лелепипед, три ребра которого принадлежат этим прямым.
1.19. Докажите, что в параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
диаго- наль AC
1
делится плоскостями B
1
CD
1
и A
1
BD на три равные части.
1.20. Докажите, что диагональ AC
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
перпен- дикулярна плоскостям B
1
CD
1
и A
1
BD.
1.21. Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через его центр перпендикулярно диагонали.
1.22. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
диаго- наль AC
1
перпендикулярна плоскости A
1
BD. Докажите, что этот па- раллелепипед является кубом.
28

1.23. Даны две пересекающиеся плоскости. Докажите, что имеют- ся два направления таких, что каждая плоскость, равнонаклоненная к данным, параллельна либо одному, либо другому направлению.
1.24. В тетраэдре противоположные ребра равны соответственно в каждой из трех пар. Докажите, что три прямые, каждая из которых содержит середины двух противоположных ребер (бимедианы тетра- эдра) попарно перпендикулярны.
1.25. Прямоугольник ABCD с длинами a и b сторон перегнут по диагонали BD так, что плоскости ABD и BCD стали перпендикуляр- ны. Найдите длину диагонали AC в полученном косом четырехуголь- нике.
1.26. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Найдите угол между плоскостью грани BB
1
C
1
C и плоскостью, проходящей через диагональ BC
1
этой грани и середину ребра AD куба.
1.27. В правильном тетраэдре ABCD точки B
1
и C
1
— середины BD
и CD. Найдите угол между плоскостями ABC и AB
1
C
1 1.28. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
найдите угол между прямыми AB
1
и BC
1
, если AB =
√
5AA
1 1.29. В правильной треугольной призме ABCA
1
B
1
C
1
косинус угла между прямыми AB
1
и BC
1
равен
1 4
, сторона основания имеет длину a.
Найдите длину бокового ребра.
1.30. Найдите величину угла между скрещивающимися медианами двух граней правильного тетраэдра.
1.31. В правильной четырехугольной пирамиде угол наклона боко- вого ребра к плоскости основания равен углу наклона этого ребра к не содержащей его боковой грани. Найдите этот угол.
1.32. В правильной четырехугольной призме ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
най- дите длину перпендикуляра, опущенного из вершины B
1
на плоскость
ACD
1
, если AB = a, AA
1
= b.
1.33. Постройте прямую, которая проходит через данную точку M
ребра A
1
D
1
куба ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
, пересекает ребро AB и образует равные углы с прямыми AB и A
1
D
1 1.34. Найдите угол наклона малой диагонали правильной ше- стиугольной призмы к плоскости ее основания, если диагональ бо- ковой грани наклонена к плоскости основания под углом 1) 45
◦
,
2) 60
◦
1.35. Дан куб ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
. Вычислите угол между плоскостями
AB
1
C
1
и A
1
B
1
C.
29

1.36. Непересекающиеся диагонали двух смежных боковых граней прямоугольного параллелепипеда наклонены к плоскости основания под углами a и b. Найдите угол между этими диагоналями.
1.37. Требуется пересечь три данные попарно скрещивающиеся пря- мые двумя параллельными плоскостями так, чтобы они высекали на этих прямых отрезки заданных длин.
1.38. В кубе ABCDA
1
B
1
C
1
D
1
проведена плоскость через его вер- шину B и середины ребер AD и CC
1