Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
7.5. Плоскость делит перпендикулярный ей диаметр шара в отноше- нии l. В каком отношении эта плоскость делит объем шара? 7.6. Сфера касается четырех ребер куба, принадлежащих одной его грани, и касается противоположной грани. Найдите отношение объема куба к объему шара, ограниченного данной сферой. 7.7. Шар касается всех ребер куба. Найдите объем части шара, за- ключенной внутри куба, если его ребро имеет длину 2a. 7.8. Найдите отношение объема шарового сегмента к объему шара, если дуга осевого сечения сегмента соответствует центральному углу a. 7.9. Вычислите объем пересечения двух равных шаров радиуса R, расстояние между центрами которых равно 2a. 136 7.10. Сегмент круга, вмещающий угол 135 ◦ , вращается около диа- метра, проходящего через конец хорды этого сегмента. Найдите объем тела вращения, если длина хорды равна a. 7.11. В шаровой сектор вписан шар. Найдите отношение их объемов, если центральный угол сектора равен a. 7.12. Конус и полушар имеют общее основание и лежат в одном полупространстве от его плоскости. Радиус полушара равен R, а образу- ющая конуса равна диаметру основания. Вычислите объем пересечения конуса и полушара. 7.13. Вычислите отношение объемов тел вращения треугольника око- ло его стороны и около прямой, проходящей через его вершину парал- лельно данной стороне. 7.14. Докажите, что отношение объемов тел вращения паралле- лограмма около его смежных сторон обратно отношению длин этих сторон. 7.15. Касательная к окружности в точке C пересекает прямую, со- держащую диаметр AB, в точке D. Определите объем тела вращения треугольника ACD около прямой AB, если радиус окружности равен R, а дуга BC содержит 60 ◦ 7.16. Площадь поверхности вращения центрально-симметричного многоугольника около непересекающей его прямой, лежащей в плоско- сти этого многоугольника, равна произведению его периметра и дли- ны окружности, радиус которой равен расстоянию от центра симмет- рии многоугольника до оси вращения (теорема Г ю л ь д е н а). Дока- жите. 7.17. Правильный шестиугольник вращается около прямой, лежащей в его плоскости, параллельной его стороне и удаленной от нее на дли- ну апофемы. Вычислите площадь поверхности и объем тела вращения, если длина стороны шестиугольника равна a. 7.18. Прямоугольник вращается около прямой, проходящей через его вершину параллельно диагонали. Найдите объем и площадь поверхно- сти тела вращения, если длина диагонали равна d, а угол между ними равен f. 7.19. Квадрат ABCD со стороной a вращается около прямой, уда- ленной от ближайшей его вершины A на расстояние b и составляющей угол a со стороной AB. Найдите площадь поверхности и объем тела вращения. 7.20. Ромб со стороной a и острым углом a вращается около прямой, лежащей в плоскости ромба, параллельной его стороне и удаленной от нее на расстояние a 4 . Вычислите объем и площадь поверхности тела вращения. 137 7.21. Параболоидом вращения называется тело вращения параболы y = kx 2 около оси Oy. Пользуясь формулой Ньютона–Симпсона, найдите объем сегмента параболоида вращения при 0 6 x 6 a, 0 6 y 6 h. 7.22. Докажите формулу объема параболоида вращения, получен- ную в предыдущей задаче, по принципу Кавальери, сравнив его с пря- мой треугольной призмой высотой h, основанием которой является пря- моугольный равнобедренный треугольник с катетом a. 7.23. Найдите объем тела, полученного вращением круга радиуса R около оси, наклоненной к его плоскости под углом f, если ортого- нальная проекция оси на его плоскость удалена от центра круга на расстояние m > R. 7.24. Найдите объем тела, полученного вращением куба с ребром a около его диагонали. 7.25. Плоскость a параллельна плоскости основания цилиндра, име- ющего радиус R и высоту 2R, и удалена на 2R от центра цилиндра. Прямая l лежит в плоскости a и находится на расстоянии 2R от проек- ции центра цилиндра на плоскость a. Найдите объем тела, полученного вращением цилиндра около оси l. 7.26. Четверть круга радиуса R вращается около касательной к его дуге в середине этой дуги. Вычислите объем полученного тела вра- щения. 138 Г л а в а 8 Сфера § 1. Касательные плоскости и прямые. Малые окружности сферы 1.1. Касательные плоскости к сфере. Плоскость, имеющая со сфе- рой единственную общую точку, называется касательной плоскостью к этой сфере. Она перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания, и обратно. Теорема 1. Если прямая и сфера не имеют общих точек, то су- ществуют две и только две плоскости, касательные к этой сфере и содержащие данную прямую. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть даны сфера F и не пересекающая ее прямая m. Проведем через центр O сферы плоскость c, перпендику- лярную прямой m и пересекающую ее в точке P (рис. 112). Плоскость c пересекает сферу по большой окружности w. В этой плоскости име- a b w c a b O P A m B Рис. 112 ются две и только две касательные a и b к окружности w, содержа- щие точку P . Плоскости a = (m, a) и b = (m, b) — касательные плоскости к сфере F . Действительно, так как m ⊥ c, то m ⊥ OA и m ⊥ OB. Кро- ме того, OA ⊥ a и OB ⊥ b по свой- ству касательных к окружности. По- скольку OA ⊥ m и OA ⊥ a, то OA ⊥ a. Аналогично OB ⊥ b. Следовательно, плоскости a и b касаются сферы F в точках A и B и содержат заданную прямую m. Всякая иная плоскость, содержащая прямую m, проходит в одной из пар вертикальных двугран- ных углов с ребром m и граничными полуплоскостями плоскостей a и b и поэтому либо не имеет общих точек со сферой, либо пересекает ее. 1.2. Малые окружности сферы. Плоскость a, не содержащая центр данной сферы и пересекающая ее, пересекает сферу по окружности, называемой малой окружностью сферы. Пусть P P 1 — диаметр сфе- ры, перпендикулярный плоскости a малой окружности g, (P P 1 ) ∩ a = Q (рис. 113). Точка Q есть центр окружности g (в плоскости a). Кроме то- го, малая окружность g имеет еще два сферических центра — точки P и P 1 , так как все дуги P N для любой точки N ∈ g равны и все дуги P 1 N также равны. Меньшая из этих дуг (ее радианная мера меньше p 2 ) на- зывается сферическим радиусом малой окружности g. Через всякие три точки сферы, не лежащие на большой окружно- сти, проходит единственная малая окружность сферы. В самом деле, через три данные точки сферы проходит единствен- ная плоскость, которая пересекает сферу по малой окружности, т. к. по условию они не лежат на большой окружности. P a g O P 1 Q N Рис. 113 w g O P A t Рис. 114 Теорема 2. Для каждой точки A малой окружности сферы су- ществует единственная ее большая окружность, касающаяся данной малой окружности в точке A и перпендикулярная ее сферическому ра- диусу, проведенному в точку касания (рис. 114). Д о к а з а т е л ь с т в о. Две окружности сферы называются каса- тельными друг другу, если они имеют единственную общую точку. В точке касания они имеют общую касательную прямую — линию пе- ресечения плоскостей данных окружностей. Пусть дана малая окружность g сферы и на ней точка A. Проведем к окружности g в точке A касательную t. Она принадлежит плоскости этой окружности. Центр O сферы и прямая t определяют плоскость ис- комой большой окружности w, касающейся g в точке A. Очевидно, эта окружность w единственная. Если P — сферический центр окружно- 140 сти g, то OP ⊥ t и поэтому прямая t перпендикулярна плоскости OP A. Следовательно, окружность w ортогональна дуге P A. 1.3. Касательные прямые к сфере. Прямая называется касательной к сфере, если она имеет с ней единственную общую точку. Прямая называется касательной к окружности пространства, если она лежит в плоскости этой окружности и имеет с ней единственную общую точку. Из этих двух определений следует: если прямая касается окружно- сти, лежащей на сфере, то она касается также этой сферы. Обратное утверждение неверно. Касательная прямая к сфере не обязана касать- ся окружности этой сферы, даже если она и имеет с ней единственную общую точку. Если прямая t касается сферы, то существует единственная большая окружность w этой сферы, касающаяся данной прямой. По свойству касательной к окружности прямая t перпендикулярна радиусу OA сфе- ры, проведенному в точку касания. Следовательно, объединение всех касательных прямых к сфере в данной ее точке A есть касательная плоскость к сфере в этой точке, поскольку каждая из касательных прямых перпендикулярна одному радиусу OA. Теорема 3. Объединение всех касательных прямых к сфере, про- ходящих через данную ее внешнюю точку A, есть конус вращения. Множество всех точек касания есть малая окружность сферы. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана сфера (O, R). Произвольная плос- кость c, проходящая через прямую OA, пересекает сферу по большой окружности w. Проведем к этой окружности касательную AT и будем вращать плоскость c около прямой OA (рис. 115). Тогда окружность w c r C w Φ g O T A R Рис. 115 141 опишет данную сферу, а касательная AT — конус Φ с вершиной A, при этом точка T касания опишет малую окружность g сферы — окруж- ность касания конуса Φ со сферой. Конус Φ называется конусом касательных к сфере, содержащих за- данную ее внешнюю точку A. Радиус r окружности касания равен r = T C = OT · AT OA = R √ OA 2 − R 2 OA 1.4. Пересечение двух сфер. Пусть даны сферы (O 1 , R 1 ) и (O 2 , R 2 ). Если |R 1 − R 2 | < O 1 O 2 < R 1 + R 2 , то эти сферы имеют общую окруж- ность. В самом деле, проведем произвольную плоскость a через линию O 1 O 2 центров этих сфер. Она пересекает сферы, по большим окруж- ностям w 1 и w 2 . Из планиметрии известно, что при указанных неравен- ствах окружности w 1 и w 2 пересекаются в двух точках A и B (рис. 116). При вращении плоскости a около прямой O 1 O 2 окружности w 1 и w 2 опишут данные сферы, а точки A и B — окружность, принадлежащую каждой из этих сфер. w 1 w 2 R 1 R 2 A B O 1 O 2 Рис. 116 O a b c d A B C D M N P Q Рис. 117 З а д а ч а. В четырехгранный угол Oabcd вписана сфера, касающа- яся его граней Oab, Obc, Ocd, Oda соответственно в точках M , N , P , Q. Касательная прямая к сфере из точки A ребра a пересекает ребро b в точке B. Касательная к сфере из точки B пересекает ребро c в точ- ке C. Касательная из точки C пересекает ребро d в точке D. Докажите, что точки D, Q, A коллинеарны (рис. 117). 142 Р е ш е н и е. Прямые OM , ON , OP , OQ касаются сферы и поэтому эти отрезки равны. Точки касания лежат в одной плоскости (на ма- лой окружности сферы). Имеем четыре пары соответственно равных треугольников (по трем сторонам): OAM и OAQ, OBM и OBN , ON C и OP C, ODP и ODQ. Из этих равенств вытекают равенства углов: \ AM O = [ AQO = a, \ OM B = \ ON B = b, \ ON C = \ OP C = g, \ OP D = \ OQD = d, причем a + b = b + g = g + d = p. Отсюда a = g и b = d и поэтому a + d = p. Из равенства [ AQO + \ OQD = p следует коллинеарность точек A, Q, D. § 2. Площадь сферы и ее частей 2.1. Площадь сферы. Пусть V — объем шара, ограниченного за- данной сферой (O, R). Дадим радиусу шара некоторое приращение e, вследствие чего объем V получит соответствующее приращение ∆V . О п р е д е л е н и е. Площадью S сферы (O, R) называется предел от- ношения ´V e при e → 0. Выведем формулу площади сферы. По формуле объема шара ∆V = 4 3 p(R + e) 3 − 4 3 pR 3 = 4 3 p(R 3 + 3R 2 e + 3Re 2 + e 3 − R 3 ) = = 4 3 pe(3R 2 + 3R e + e 2 ). Отсюда lim e→0 ´V e = lim e→0 4 3 p(3R 2 + 3R e + e 2 ) = 4 pR 2 . Итак, S = 4 pR 2 (8.1) Согласно определению производной функции и определению площа- ди сферы S = V 0 R , т. е. площадь сферы есть производная объема шара, ограниченного этой сферой, по его радиусу. 2.2. Площадь сферического сегмента. Плоскость, пересекающая сферу, делит ее на две части, называемые сферическими сегментами. Каждому сферическому сегменту соответствует шаровой сегмент и ша- ровой сектор, границы которых содержат данный сферический сегмент. О п р е д е л е н и е. За площадь сферического сегмента по определе- нию принимается предел отношения приращения объема соответству- ющего шарового сектора к приращению радиуса, когда приращение радиуса стремится к нулю. Найдем формулу площади сферического сегмента, пользуясь фор- мулой (7.6) объема шарового сектора: V = 2 3 pR 2 h. Чтобы получить функцию одного переменного R, выразим высоту h через радиус R и 143 R h f ε Рис. 118 половину f центрального угла сектора: h = R − − R cos f, где f не зависит от приращения e ра- диуса (рис. 118). Тогда V = 2 3 pR 3 (1 − cos f). Согласно определению площади S сферического сегмента S = lim e→0 ´V e = V 0 R = 2R 2 p(1 − cos f) = = 2R · pR(1 − cos f) = 2pRh. Таким образом, площадь сферического сегмента с высотой h радиуса R вычисляется по формуле S = 2 pRh. (8.2) Можно не пользоваться операцией дифференцирования, а найти предел ´V e при e → 0 непосредственно: ∆V = 2 3 p(1 − cos f)((R + e) 3 − R 3 ) = 2 p 3 (1 − cos f)e(3R 2 + 3R e + e 2 ), lim e→0 ´V e = 2 p 3 (1 − cos f)3R 2 = 2 pR 2 (1 − cos f). 2.3. Площадь сферического пояса. Сферическим поясом называет- ся часть сферы, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Расстояние h между этими секущими плоскостями назы- вается высотой сферического пояса. Площадь сферического пояса, очевидно, равна разности площадей двух сферических сегментов: S = 2 pRh 1 − 2 pRh 2 = 2 pR(h 1 − h 2 ) = 2 pRh. Таким образом, площадь сферического пояса вычисляется по той же формуле (8.2), что и площадь сферического сегмента. 2.4. Площадь сферы, сферического сегмента и сферического поя- са как поверхностей вращения. Впишем в полуокружность радиуса R правильную ломаную линию ABCDEF (рис. 119). За площадь сфе- ры, образованной вращением полуокружности около ее диаметра AF , принимается предел, к которому стремится площадь S n поверхности, образованной вращением около того же диаметра правильной ломаной линии, вписанной в эту полуокружность, когда ее стороны неограни- ченно убывают (число сторон неограниченно возрастает). 144 A B C D E F B 1 C 1 D 1 E 1 O r r r r Рис. 119 По следствию леммы о площади поверхности вращения отрезка (§ 4 гл. 7) S n = AB 1 · 2 pr +B 1 C 1 · 2 pr +. . .+E 1 F · 2 pr =2R ·2pr, где r — длина серединного перпендикуляра каж- дого звена ломаной от его середины до оси враще- ния. Согласно предыдущему определению площа- ди сферы S сферы = lim n→∞ S n = lim n→∞ 4 pRr. Поскольку при n → ∞ расстояние r стремится к ра- диусу R, то S сферы = 4 pR 2 Если взять не всю полуокружность, а некоторую ее дугу с вписанной в нее правильной ломаной линией, то этим же путем получим формулы площади сферического сегмента и сферического пояса. 2.5. Площадь сферического двуугольника и сферического треуголь- ника. Пересечение двух полусфер называется сферическим двуугольни- ком (рис. 33). Его стороны — две большие полуокружности, а верши- ны — две диаметрально противоположные точки сферы. Величина площади двуугольника характеризуется радиусом r сфе- ры и его углом a < p. Отношение площади S двуугольника к площади 4 pr 2 сферы равно a : 2p. Поэтому S = 2 ar 2 (8.3) Пользуясь этой формулой площади двуугольника, выведем формулу площади сферического треугольника. Пусть b A, b B, b C — величины углов A B C B 1 C 1 A 1 O Рис. 120 сферического треугольника ABC, являюще- гося пересечением трех полусфер (рис. 120). Взятые попарно, они образуют своим пере- сечением три пары сферических двууголь- ников, покрывающих всю сферу. При этом треугольник ABC и симметричный ему тре- угольник A 1 B 1 C 1 относительно центра O сфе- ры входят в эти двуугольники по три раза каждый. Остальная часть сферы покрывает- ся двуугольниками без наложений. Так как площади треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 рав- ны, то площадь сферы меньше суммы площа- 145 дей всех шести двуугольников на 4S, где S — искомая площадь тре- угольника ABC: 4 pr 2 = 2(2r 2 b A + 2r 2 b B + 2r 2 b C) − 4S, откуда S = r 2 ( b A + b B + b C − p). (8.4) Существенно, что разность d = b A + b B + b C − p > 0 в силу неравен- ства (2.3). Она называется угловым избытком сферического треуголь- ника. Итак, площадь сферического треугольника пропорциональна его угловому избытку : S = r 2 d. (8.5) § 3. Радикальная плоскость, радикальная ось и радикальный центр сфер 3.1. Степень точки относительно сферы. Прямая, имеющая со сфе- рой две общие точки, называется секущей к этой сфере. Теорема. Если через точку, не принадлежащую данной сфере, про- ведена к ней произвольная секущая, то произведение отрезков секу- щей, соединяющих данную точку с точками пересечения ее со сферой, не зависит от выбора секущей. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть через данную точку M проведены какие-нибудь две секущие AB и CD к данной сфере (O, R) (рис. 121). Их плоскость пересекает сферу по окружности. По соответствующей теореме планиметрии ([8], § 2) M A · M B = M C · M D. Это равенство сохранится, если одну секущую фиксируем, а другую будем менять. A O B C D M T R Рис. 121 146 |