Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
При каком отношении ее высоты к диаметру на ее изготовление потре- буется минимальное количество жести? 9.26. Площадь полной поверхности правильной четырехугольной пи- рамиды равна S. При каком угле наклона бокового ребра к плоскости основания пирамида имеет наибольший объем? 9.27. Правильная четырехугольная пирамида с высотой h вписана в сферу радиуса R. При каком значении h площадь боковой поверхности пирамиды наибольшая? 9.28. В сферу радиуса R вписана правильная n-угольная пирамида. При какой высоте она имеет максимальный объем? Найдите его. 9.29. В сферу вписан конус. Найдите угол при вершине осевого се- чения конуса, при котором он имеет наибольшую площадь боковой по- верхности. 9.30. Найдите размеры конической палатки (без дна) заданной вме- стимости, на изготовление которой требуется минимальное количество материала. 9.31. Длины двух противоположных ребер тетраэдра переменны и равны, а каждое из остальных ребер имеет длину 1. При какой длине переменных ребер тетраэдр имеет максимальный объем? 9.32. В сферу радиуса R вписана правильная шестиугольная призма, имеющая наибольшую площадь боковой поверхности. Вычислите эту наибольшую площадь. 9.33. В сферу радиуса R вписана правильная n-угольная призма, имеющая максимальный объем. Найдите ее высоту. 9.34. Рассматривается множество правильных треугольных призм данного объема V . Около каждой из них описан цилиндр. Найдите ми- нимальную площадь поверхности цилиндра. 9.35. Измерения прямоугольного параллелепипеда равны 2, 4, 8. По- стройте сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через его 179 диагональ и пересекающей ребро длины 4, которое скрещивается с этой диагональю, если сечение имеет наименьшую площадь. Вычислите пло- щадь этого сечения. 9.36. В правильную четырехугольную пирамиду, диагональное сече- ние которой — правильный треугольник, вписан цилиндр максимально- го объема так, что его ось параллельна диагонали основания пирамиды. Найдите отношение объемов цилиндра и пирамиды. 9.37. Из квадратного листа жести со стороной a требуется вырезать развертку правильной четырехугольной пирамиды так, чтобы вершины квадрата склеивались в вершину пирамиды. Как это сделать, чтобы по- лучить пирамиду наибольшего объема? Найдите объем этой пирамиды. 9.38. Объем тетраэдра равен V . Все вершины параллелепипеда ле- жат на поверхности тетраэдра, причем три грани параллелепипеда принадлежат трем граням тетраэдра. Найдите наибольший возможный объем такого параллелепипеда. 9.39. В конус с радиусом R основания и высотой h вписан цилиндр наибольшего объема. Найдите радиус основания и высоту цилиндра. 180 Часть II Преобразования пространства Г л а в а 10 Движения пространства § 1. Перенос, центральная, осевая и зеркальная симметрии пространства 1.1. Определения движения и равных фигур. Движением простран- ства называется отображение пространства на себя, при котором со- храняются расстояния между точками: если A и B — любые две точки пространства, а A 1 и B 1 — их образы, то A 1 B 1 = AB. Из этого условия следует, что образы двух различных точек различны, т. е. движение есть обратимое отображение пространства на себя и потому является преобразованием пространства. Фигура F 1 называется равной (конгруэнтной) фигуре F , если суще- ствует движение f , отображающее F на F 1 : f (F ) = F 1 Ясно, что отношение равенства фигур рефлексивно, симметрично и транзитивно, т. е. является отношением эквивалентности. 1.2. Перенос. Переносом T r пространства на вектор r называется A B A 1 B 1 ¯ r ¯ r Рис. 133 N N 1 M M 1 O Рис. 134 преобразование, при котором каждая точка M отображается на такую точку M 1 , что M M 1 = r, где r — заданный вектор. Так как AB = A 1 B 1 для любых двух точек A и B и их образов A 1 и B 1 , то перенос T r есть движение пространства (рис. 133). 1.3. Центральная симметрия. Симметрией от- носительно точки O (центральной симметри- ей) Z O пространства называется преобразование пространства, которое точку O отображает на се- бя, а любую другую точку M отображает на такую точку M 1 , что точка O является серединой отрез- ка M M 1 (рис. 134). Легко видеть, что централь- ная симметрия пространства является движением: M 1 N 1 = M N для любых двух точек M и N и их образов M 1 и N 1 , M 1 N 1 = − M N . 1.4. Осевая симметрия. Симметрией пространства относительно данной прямой l (осевой симметрией) S l называется преобразование, которое каждую точку прямой l отображает на себя, а любую другую точку M пространства отображает на такую точку M 1 , что прямая l служит серединным перпендикуляром к отрезку M M 1 . Прямая l назы- вается осью симметрии. Докажем, что осевая симметрия пространства есть движение. Пусть S l (A) = A 1 и S l (B) = B 1 (рис. 135) точки A 0 , B 0 — середины отрез- ков AA 1 и BB 1 . Тогда AB = AA 0 + A 0 B 0 + B 0 B, A 1 B 1 = A 1 A 0 + A 0 B 0 + + B 0 B 1 = − AA 0 + A 0 B 0 − B 0 B. Так как AA 0 · A 0 B 0 = 0 и B 0 B · A 0 B 0 = = 0, то AB 2 = AA 0 2 + A 0 B 0 2 + B 0 B 2 + 2 AA 0 · B 0 B = A 1 B 1 2 , и значит, A 1 B 1 = AB. 1.5. Зеркальная симметрия. Симметрией пространства относи- тельно данной плоскости a (зеркальной симметрией S a ) называется преобразование пространства, при котором каждая точка плоскости a отображается на себя, а всякая другая точка M переходит в такую точ- ку M 1 , что плоскость a перпендикулярна к отрезку MM 1 и делит его пополам. Плоскость a называется плоскостью симметрии. Зеркальная симметрия S a пространства есть движение. В самом деле, пусть S a (A) = A 1 и S a (B) = B 1 (рис. 136). Рассмотрим плоскость w, A A 0 A 1 B B 0 B 1 l Рис. 135 A A 0 A 1 B B 0 B 1 l a w Рис. 136 содержащую прямые AA 1 и BB 1 . Она перпендикулярна плоскости a симметрии и отображается этой симметрией на себя. На множестве то- чек плоскости w симметрия S a представляет собой осевую симметрию этой плоскости w относительно прямой l = a ∩ w, а она, как известно, есть движение, и поэтому AB = A 1 B 1 Говорят, что зеркальная симметрия S a индуцирует в неподвижной плоскости w (w ⊥ a) осевую симметрию с осью l = a ∩ w. Аналогичная терминология будет использоваться и далее: если при движении f про- странства некоторая плоскость отображается на себя, то движение f индуцирует некоторое движение этой плоскости. 1.6. Представление переноса композициями зеркальных и осевых симметрий. Композиция зеркальных симметрий относительно двух параллельных плоскостей есть перенос пространства, вектор которо- го перпендикулярен этим плоскостям, направлен от плоскости первой 184 симметрии к плоскости второй симметрии и имеет модуль, равный удвоенному расстоянию между плоскостями. Обратно, всякий перенос пространства представим такой композицией, при этом одна из плос- костей симметрии может быть любой плоскостью, перпендикулярной вектору переноса. Композиция осевых симметрий относительно двух параллельных прямых есть перенос пространства, вектор которого перпендикулярен этим прямым, направлен от оси первой симметрии к оси второй сим- метрии и имеет модуль, равный удвоенному расстоянию между осями. Обратно, всякий перенос пространства может быть представлен такой композицией, при этом одна из осей может быть любой прямой, пер- пендикулярной вектору переноса. Доказательства этих утверждений полностью аналогичны плани- метрическим ([8], c. 183–184). § 2. Общие свойства движений пространства 2.1. Два рода движений пространства. Пусть дан тетраэдр ABCD. Возможны два и только два случая: упорядоченная тройка ( DA, DB, DC) векторов является положительно ориентированной (правой) или же она является отрицательно ориентированной (левой). Говорят, что в первом случае тетраэдр ABCD ориентирован положительно, а во втором — он ориентирован отрицательно. Ориентация тетраэдра су- щественно зависит от порядка записи его вершин. Можно доказать, что если при движении пространства некоторый тетраэдр и его образ имеют одинаковую ориентацию, то это свойство имеет место для любой пары соответственных при этом движении тет- раэдров. В этом случае движение пространства называется движением первого рода. Если же движение отображает некоторый тетраэдр на тет- раэдр противоположной ориентации, то этим свойством обладает любая пара соответственных при этом движения тетраэдров. Такое движение пространства называется движением второго рода. Сравнением ориентации тетраэдра и его образа обнаруживаем, что перенос и осевая симметрия пространства являются движениями пер- вого рода (хотя осевая симметрия плоскости — движение второго ро- да), а центральная и зеркальная симметрии пространства — движения второго рода (однако центральная симметрия плоскости — движение первого рода. 2.2. Множества неподвижных точек движений пространства. Из рас- смотренных в § 1 движений перенос не имеет неподвижных точек, при 185 центральной симметрии неподвижна единственная точка — центр сим- метрии, при осевой симметрии неподвижна каждая точка оси симмет- рии, зеркальная симметрия отображает на себя каждую точку плоско- сти симметрии. Эти движения не имеют других неподвижных точек, кроме указанных. Есть еще один случай: множеством неподвижных то- чек тождественного движения является все пространство. Итак, в рассмотренных примерах множествами неподвижных точек являются пустое множество, одна точка, прямая, плоскость и все про- странство. Покажем, что других случаев быть не может. Теорема 1. Если при движении неподвижны две точки A и B, то неподвижна каждая точка прямой AB. Действительно, пусть X — любая точка прямой AB, отличная от точек A и B. Прямая AB отображается на себя. Если X → X 1 и X 1 6= X, то A — середина отрезка XX 1 , так как X 1 ∈ (AB) и AX = AX 1 . Но тогда BX 6= BX 1 , что противоречит определению движения. Значит, точки X и X 1 совпадают. Теорема 2. Если при движении неподвижны три неколлинеарные точки A, B, C, то неподвижна каждая точка содержащей их плос- кости. В самом деле, по предыдущей теореме неподвижна каждая точ- ка прямых AB, BC, CA. Если X — произвольная точка плоскости ABC, не принадлежащая этим прямым, и (AX) ∩ (BC) = K, то точ- ка K неподвижна. По теореме 1 будет неподвижна каждая точка пря- мой AK, в том числе и точка X. При (AX) k (BC) рассмотрим пря- мые BX или CX. Теорема 3. Если при движении неподвижны четыре некомпланар- ные точки, то неподвижна каждая точка пространства. Доказательство аналогично предыдущему. 2.3. Инварианты движений пространства. Для движений простран- ства сохраняет силу теорема об образе прямой при движениях плос- кости вместе с ее доказательством: движение отображает каждую прямую на прямую ([8], с. 155). Теорема 1. Движение пространства отображает каждую плос- кость на плоскость. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть плоскость a задана неколлинеарными точками A, B, C и при движении f A → A 1 , B → B 1 , C → C 1 . Точки A 1 , B 1 , C 1 также неколлинеарны и определяют некоторую плоскость a 1 Докажем, что f ( a) = a 1 . Пусть X — произвольная точка плоскости a и f (X) = X 1 . Тогда X 1 принадлежит a 1 . В самом деле, образами прямых AB, BC, CA являются соответственно прямые A 1 B 1 , B 1 C 1 , C 1 A 1 . Если (AX) ∩ (BC) = K, то f (K) = K 1 ∈ (B 1 C 1 ) и прямая A 1 X 1 принадлежит a 1 , 186 поскольку A 1 ∈ a 1 и K 1 ∈ a 1 . Поэтому X 1 ∈ a 1 . Аналогично доказывает- ся, что прообраз любой точки плоскости a 1 принадлежит плоскости a (используется обратное движение f −1 ). Итак, f ( a) = a 1 При любом преобразовании образом пересечения множеств являет- ся пересечение их образов. В частности, при движении пространства прямая пересечения плоскостей отображается на прямую пересечения их образов. При переносе и центральной симметрии плоскость отобра- жается либо на параллельную ей плоскость, либо на себя, при этом на себя отображается каждая плоскость, параллельная вектору переноса и каждая плоскость, содержащая центр симметрии. Осевая симметрия отображает на себя каждую плоскость, содержа- щую ее ось, и каждую плоскость, перпендикулярную оси. Зеркальная симметрия, кроме плоскости симметрии, отображает на себя каждую плоскость, перпендикулярную плоскости симметрии. Теорема 2. Движение пространства сохраняет параллельность прямых, параллельность плоскостей и параллельность прямой и плос- кости. В самом деле, образы двух параллельных прямых лежат в одной плоскости и не могут пересекаться, так как иначе точка пересечения не имела бы своего прообраза. К этому же противоречию приходим при предположении пересечения образов двух параллельных плоско- стей или образов параллельных прямой и плоскости. Поскольку движение сохраняет отношение «лежать между» для трех точек прямой, т. е. сохраняет порядок точек на прямой, то имеет место теорема: Теорема 3. Движение пространства отображает отрезок на от- резок, луч на луч, полуплоскость на полуплоскость, полупространство на полупространство. Из определения движения и определения конгруэнтных фигур сле- дует теорема: Теорема 4. Движение пространства сохраняет величину угла между прямыми, величину угла между плоскостями и величину уг- ла между прямой и плоскостью. В самом деле, угол между образами двух пересекающихся прямых равен углу между этими прямыми по определению равных (конгруэнт- ных) фигур. Угол между скрещивающимися прямыми определяется че- рез угол между пересекающимися прямыми и параллельность прямых, а потому также инвариантен при движениях. В частности, сохраняет- ся перпендикулярность прямых. Отсюда следует инвариантность угла между плоскостями и угла между прямой и плоскостью. В частности, сохраняется перпендикулярность двух плоскостей, прямой и плоскости. 187 2.4. Признак зеркальной симметрии. В качестве примера примене- ния инвариантов движения докажем такую теорему. Теорема. Если множеством неподвижных точек движения про- странства является плоскость, то это движение является зеркаль- ной симметрией относительно этой плоскости. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем произвольную точку X, не принад- лежащую плоскости a неподвижных точек движения f, и проведем пер- X X 1 O a Рис. 137 пендикуляр XO к a, O ∈ a (рис. 137). По условию f (O) = O и f ( a) = a. В силу сохранения перпендику- лярности прямой и плоскости при движении f и един- ственности перпендикуляра к a в точке O прямая XO отображается на себя. Поскольку все неподвижные точ- ки — это только точки плоскости a, то f(X) = X 1 6= X, X 1 ∈ (XO), XO = X 1 O. По определению зеркальной сим- метрии f = S a § 3. Поворот пространства около оси 3.1. Поворот как частный вид движения. Не существует поворота пространства около точки по той причине, что нет разумного способа устанавливать направление такого поворота. Однако можно естествен- ным образом ввести понятие поворота около ориентированной прямой (оси). О п р е д е л е н и е. Поворотом R f l пространства около оси l на за- данный ориентированный угол f называется такое преобразование про- f l M M 1 O a Рис. 138 странства, при котором в каждой плоскости, перпендикулярной прямой l, индуцируется по- ворот на угол f около точки ее пересечения с прямой l (рис. 138). Осевая симметрия S l представляет собой частный вид поворота — поворот на ±180 ◦ : S l = R ±180 ◦ l Ориентация прямой l (оси поворота) позво- ляет однозначно ориентировать углы в каждой плоскости, перпендикулярной l. Теорема. Поворот пространства около оси есть движение (пер- вого рода). Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть R f l (A) = A 1 и R f l (B) = B 1 (рис. 139). Согласно определению поворота каждая плоскость, перпендикулярная оси поворота, отображается этим поворотом на себя. Рассмотрим плос- 188 кость a (перпендикулярную l), в которой лежат точки B и B 1 . Пусть C и C 1 — ортогональные проекции на a точек A и A 1 . Если l ∩ a = O, то l A 1 B 1 C 1 A B C O Q a f f f Рис. 139 в плоскости a имеем поворот R f O этой плоскости, который отображает B и C на B 1 и C 1 соответственно. Поскольку поворот плоскости есть дви- жение, то BC = B 1 C 1 . Из равных прямоугольных треугольников ABC и A 1 B 1 C 1 следует AB = A 1 B 1 , что и нужно было доказать. Два соот- ветственных тетраэдра, например ABCO и A 1 B 1 C 1 O, ориентированы одинаково, т. е. поворот — движение первого рода. 3.2. Признак поворота. Если множеством неподвижных точек движения пространства является прямая, то оно является пово- ротом около этой прямой. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть при движении f пространства непо- движна каждая точка прямой l и нет других неподвижных точек. Через произвольную точку M / ∈ l проведем плоскость a перпендикулярно l (рис. 138). Если a ∩ l = O, то O — единственная неподвижная точка плоскости a. В силу инвариантности при движении перпендикулярности прямой и плоскости f ( a) = a. Поэтому движение f индуцирует в плос- кости a некоторый поворот R f O (признак поворота плоскости). Угол f не может зависеть от выбора плоскости a, так как каждая плоскость, проходящая через прямую l отображаемся на плоскость, содержащую прямую l. По определению f = R f l 3.3. Представление поворота композициями симметрий. Рассмот- рим композицию f = S b ◦ S a двух зеркальных симметрий относительно пересекающихся плоскостей a и b, a ∩ b = l. Все точки прямой l непо- движны при f и только они. По теореме п. 3.2 эта композиция есть поворот R f l . При рассмотрении образа M 0 произвольной точки M / ∈ l легко замечается, что угол f равен удвоенному ориентированному углу между плоскостями a и b. 189 Обратно, если задан поворот R f l пространства, то легко строится (неоднозначно) пара плоскостей a и b, для которых S b ◦ S a = R f l . Имен- но, за одну из них можно взять любую плоскость, содержащую ось l поворота, а другая удовлетворяет условиям: a ∩ b = l, (d a, b) = 1 2 f. Итак, композиция двух зеркальных симметрий относительно двух пересекающихся плоскостей есть поворот около прямой их пересече- ния на удвоенный ориентированный угол между плоскостями. Обрат- но, любой поворот пространства может быть представлен такой композицией (бесконечно многими способами). В частности, осевая симметрия пространства есть коммутативная композиция двух зеркальных симметрий, плоскости которых перпенди- кулярны и содержат ось симметрии. l O u v 1 2 f Рис. 140 Далее рассмотрим композицию f = S v ◦ S u двух осевых симметрий, оси u и v которых пе- ресекаются в точке O (рис. 140). Проведем пер- пендикуляр l к плоскости (uv) в точке O. Пред- ставим S u и S v композициями зеркальных сим- метрий: S u = S (uv) ◦ S (ul) , S v = S (vl) ◦ S (uv) Находим: S v ◦ S u = S (vl) ◦ S (uv) ◦ S (uv) ◦ S (ul) = S (vl) ◦ ◦ S (ul) = R f l , поскольку S (uv) ◦ S (uv) — тождествен- ное преобразование. Итак, S v ◦ S u = R f l Таким образом, композиция двух осевых симметрий относительно пересекающихся прямых есть поворот пространства около перпенди- кулярной им прямой проходящей через точку их пересечения, на удво- енный ориентированный угол между осями данных симметрий. Обратно, всякий поворот пространства можно представить (раз- личными способами) композицией двух осевых симметрий. Их оси пер- пендикулярны оси поворота, пересекается на ней и образуют между собой (ориентированный) угол, равный половине угла поворота. § 4. Переносная и поворотная симметрии, винтовое движение 4.1. Переносная симметрия. Композиция зеркальной симметрии S a и переноса T r ( r k a) параллельно плоскости a симметрии коммутатив- на (рис. 141): T r ◦ S a = S a ◦ T r . Ее называют переносной (скользящей) симметрией W r a пространства. 190 Отметим очевидные свойства переносной симметрии. 1. Переносная симметрия пространства является движением второ- го рода (как композиция движения второго рода и движения первого рода). 2. Переносная симметрия не имеет неподвижных точек. 3. Любой отрезок M M 1 , соединяющий точку, не лежащую в плоско- сти a симметрии, с ее образом, делится плоскостью симметрии пополам. 4. Каждая плоскость, параллельная вектору r переносной симмет- рии и перпендикулярная плоскости a симметрии, инвариантна (непо- движна). В ней индуцируется переносная симметрия W r l плоскости, осью которой служит прямая l пересечения плоскостей. Более глубокие свойства переносной симметрии содержатся в двух следующих теоремах. Теорема 1. Композиция осевой и зеркальной симметрий, у кото- рых соответственно ось и плоскость параллельны, есть переносная симметрия пространства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим композицию S a ◦ S u при u k a (рис. 142). Через прямую u проведем плоскость b k a и плоскость g ⊥ a. Тогда (п. 3.3) S u = S g ◦ S b = S b ◦ S g . Поэтому S a ◦ S u = S a ◦ S b ◦ S g . Но S a ◦ S b = T r (п. 1.6), r ⊥ a, r k g. Таким образом, S a ◦ S u = T r ◦ S g = W r g Кроме того, S u ◦ S a = S g ◦ S b ◦ S a = S g ◦ T − r = W − r g Теорема 2 (обратная). Переносная симметрия пространства пред- ставима композицией осевой и зеркальной (зеркальной и осевой) сим- метрии, ось и плоскость которых параллельны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана переносная симметрия W r a = T r ◦ ◦ S a = S a ◦ T r (рис. 143). Представим T r = S g ◦ S b , где b k g и обе плос- кости перпендикулярны плоскости a. Тогда W r a = S g ◦ S b ◦ S a = S g ◦ S u , где u = a ∩ b и поэтому u k g. Кроме того, W r a = S a ◦ S g ◦ S b = S v ◦ S b , где v = a ∩ g и v k b. l P M M 1 ¯ r ¯ r a Рис. 141 u a b g 1 2 ¯ r Рис. 142 u v a b g 1 2 ¯ r Рис. 143 191 4.2. Поворотная симметрия. Композиция зеркальной симметрии S a и поворота R f l около оси, перпендикулярной плоскости симметрии, ком- мутативна (рис. 144): R f l ◦ S a = S a ◦ R f l , l ⊥ a (M → M 1 ). Эта композиция f f f l O M M 1 a Рис. 144 называется поворотной симметрией с осью l на угол f относительно плоскости a. Отре- зок M M 1 , соединяющий точку с ее образом при поворотной симметрии, делится плоско- стью симметрии пополам. Точка O = l ∩ a — единственная непо- движная точка поворотной симметрии. Она называется центром поворотной сим- метрии. В частном случае, когда f = ±p, поворот- ная симметрия является центральной сим- метрией Z O с центром O = l ∩ a. Тогда плос- кость a и ось l теряют свое значение: ими могут быть любая пара перпендикулярных плоскости и прямой, содержащих центр. Поворотная симметрия — движение второго рода. Теорема. Поворотная симметрия есть композиция центральной симметрии и поворота около оси, проходящей через ее центр, и обрат- но. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть дана поворотная симметрия R f l ◦ S a (l ⊥ a), которая точку M отображает на точку M 1 (рис. 145). Рас- l O M M 0 M 1 M 2 a f f − p Рис. 145 смотрим точки M 0 = Z O (M ) и M 2 = S a (M ). При данной поворотной симметрии M → M 1 через M 2 , а при композиции R f−p l ◦ Z O че- рез M 0 . В силу произвольности точки M эти преобразования совпадают: R f l ◦ S a = R f−p l ◦ Z O Обратно, композиция R f l ◦ Z O (O ∈ l) есть по- воротная симметрия R f−p l ◦ S a . Плоскость a проходит через точку O перпендикулярно прямой l. 4.3. Винтовое движение. Композиция поворота R f l и переноса T r параллельно оси l поворота коммутативна (рис. 146): T r ◦ R f l = R f l ◦ T r , r k l. Она называется винтовым движением с осью l, углом f и вектором r. 192 Поскольку поворот и перенос — движения первого рода, то винтовое движение является движением первого рода. Оно не имеет неподвиж- ных точек. Теорема. Композиция двух осевых симметрий относительно скре- щивающихся прямых есть винтовое движение, осью которого слу- жит общий перпендикуляр этих прямых, угол равен удвоенному углу между ними, а вектор равен удвоенному вектору общего перпендику- ляра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Найдем композицию S v ◦ S u , где прямые u и v скрещиваются. Построим их общий перпендикуляр h (рис. 147), через l M M 1 ¯ r ¯ r f f Рис. 146 l u v h P Q 1 2 ¯ r f Рис. 147 точку Q его пересечения с v проведем прямую l k u. Тогда S v ◦ S l = R 2 f h , f=(d l, v) (п. 3.3) и S l ◦ S u = T r , r = 2 P Q. Поэтому S v ◦ S l ◦ S l ◦ S u = R 2 f h ◦ T r , откуда S v ◦ S u = R 2 f h ◦ T r ( r k h). Выполненные построения легко обратимы (с большим произволом). Поэтому имеет место обратное утверждение: винтовое движение пред- ставимо композицией двух осевых симметрий, оси которых перпенди- кулярны оси винтового движения и пересекают ее, причем одна из них произвольна, а другая удовлетворяет указанным в теореме условиям. § 5. Конструктивное задание движения пространства 5.1. Теорема о задании движения. Если даны два тетраэдра ABCD и A 0 B 0 C 0 D 0 с соответственно равными ребрами, то существует одно и только одно движение пространства, отображающее точки A, B, C, D соответственно на точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть тетраэдры ABCD и A 0 B 0 C 0 D 0 тако- вы, что AB = A 0 B 0 , BC = B 0 C 0 , CD = C 0 D 0 , BD = B 0 D 0 , AD = A 0 D 0 , AC = A 0 C 0 . Рассмотрим плоскость a 1 симметрии точек A и A 0 . Пусть зеркальная симметрия S a 1 отображает тетраэдр ABCD на тетраэдр 193 A 0 B 1 C 1 D 1 (рис. 148). Далее возьмем плоскость a 2 симметрии точек B 1 и B 0 . В ней лежит точка A 0 , так как A 0 B 1 = A 0 B 0 = AB. Симметрией S a 2 тетраэдр A 0 B 1 C 1 D 1 отображается на некоторый тетраэдр A 0 B 0 C 2 D 2 Далее возьмем плоскость a 3 симметрии точек C 2 и C 0 . Точки A 0 ,B 0 при- α 4 A B C D A 0 B 0 C 0 D 0 B 1 C 1 D 1 α 1 Рис. 148 надлежат a 3 , поскольку каждая из них равноудалена от точек C 2 и C 0 Симметрия S a 3 отображает тетраэдр A 0 B 0 C 2 D 2 на некоторый тетраэдр A 0 B 0 C 0 D 3 . Плоскость a 4 симметрии точек D 3 и D 0 содержит точки A 0 , B 0 , C 0 , так как каждая из них равноудалена от D 3 и D 0 , и поэтому зеркальная симметрия S a 4 отображает тетраэдр A 0 B 0 C 0 D 3 на задан- ный тетраэдр A 0 B 0 C 0 D 0 . Итак, композиция f = S a 4 ◦ S a 3 ◦ S a 2 ◦ S a 1 есть искомое движение пространства. В частности, может случиться, что од- на из вершин промежуточных тетраэдров совпадет с соответствующей вершиной тетраэдра A 0 B 0 C 0 D 0 . Тогда число симметрий композиции f уменьшится на единицу. Если же заданные тетраэдры симметричны относительно некоторой плоскости a, то f = S a Докажем теперь единственность найденного движения f . Пусть, кроме f , существует движение g, которое также точки A, B, C, D отображает соответственно на точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 . Тогда композиция g −1 ◦ f оставляет неподвижными точки A, B, C, D и согласно теореме 3 пункта 2.2 будет тождественным преобразованием: g −1 ◦ f = E, откуда следует g = f . Рассмотрим один из возможных способов построения образа M 1 дан- ной точки M при движении f , заданном четырьмя парами соответствен- ных точек: A → A 1 , B → B 1 , C → C 1 , D → D 1 . Пусть (DM ) ∩ (ABC) = K и (AK) ∩ (BC) = P . Используя равенство соответственных отрезков, строим последовательно точки f (P ) = P 1 ∈ (B 1 C 1 ), f (K) = K 1 ∈ (A 1 P 1 ) и f (M ) = M 1 ∈ (D 1 K 1 ). 194 5.2. Следствия. Доказательство теоремы о задании движения про- странства замечательно тем, что оно позволяет попутно сделать много других выводов, важных для теории движений пространства. 1. Любое движение пространства есть либо зеркальная симметрия, либо композиция не более четырех зеркальных симметрий. 2. Любое движение первого рода есть композиция двух или четырех зеркальных симметрий. 3. Любое движение второго рода есть либо зеркальная симметрия, либо композиция трех зеркальных симметрий. 4. Движение первого рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точ- ку, представимо композицией двух зеркальных симметрий. Это, как уже известно (п. 3.3), — поворот или тождественное преобразование (когда плоскости симметрий совпадают). Этот факт известен под названием теоремы Даламбера. 5. Существуют ровно два движения пространства — одно первого рода, другое второго рода, — каждое из которых отображает данный неравнобедренный треугольник ABC на равный ему наперед заданный треугольник A 0 B 0 C 0 В самом деле, выбрав произвольно точку D вне плоскости ABC, построим два и только два тетраэдра A 0 B 0 C 0 D 0 и A 0 B 0 C 0 D 1 (симмет- ричных относительно плоскости A 0 B 0 C 0 ), каждый из которых равен тетраэдру ABCD. 6. Если нетождественное движение имеет три неколлинеарные непо- движные точки, то оно является зеркальной симметрией. § 6. Классификация движений пространства Выше рассмотрены следующие частные виды движений первого ро- да: перенос, поворот около оси (в частности, осевая симметрия), вин- товое движение и частные виды движений второго рода: зеркальная симметрия, переносная симметрия, поворотная симметрия (ее частный случай — центральная симметрия). Естественный вопрос: существуют ли какие-либо другие виды движений пространства? Ответ отрицате- лен. Чтобы доказать это, разделим множество движений первого рода и множество движений второго рода каждое на два подмножества: дви- жения, имеющие хотя бы одну неподвижную точку, и движения без неподвижных точек. 6.1. Движения второго рода. Эти движения нетрудно классифици- ровать, если отдельно рассмотреть указанные два их подмножества. 195 Теорема 1. Любое движение второго рода, имеющее хотя бы одну неподвижную точку, является зеркальной симметрией или же пово- ротной симметрией. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если данное движение f — зеркальная сим- метрия, то доказывать нечего. Если f — композиция трех зеркальных симметрий (п. 5.2, следствие 3) и f (O) = O, то рассмотрим движение g = f ◦ Z O первого рода с неподвижной точкой O. По теореме Далам- бера (следствие 4) оно является поворотом около прямой, содержащей точку O: g = R f l . Равенство f ◦ Z O = R f l эквивалентно f = R f l ◦ Z O . А это — поворотная симметрия (теорема п. 4.2). Теорема 2. Любое движение второго рода, не имеющее неподвиж- ных точек, есть переносная симметрия. Д о к а з а т е л ь с т в о. Дано движение f без неподвижных точек. Пусть f (A) = A 1 и a — плоскость симметрии точек A и A 1 . Тогда дви- жение g = f ◦ S a первого рода имеет неподвижную точку A 1 . По теореме Даламбера g = R f l и поэтому f ◦ S a = R f l , откуда f = R f l ◦ S a , причем l k a, так как иначе движение f имело бы неподвижную точку l ∩ a, что ис- ключено условием теоремы. Представим R f l = S g ◦ S b при b ⊥ a (п. 3.3). Тогда f = S g ◦ S b ◦ S a . Поскольку b ⊥ a, то S b ◦ S a = S u — осевая симмет- рия с осью u = a ∩ b. Итак, f = S g ◦ S u , причем u k g, так как u k l = b ∩ g. Следовательно, f — переносная симметрия (теорема п. 4.1). Таким образом, множество видов движений второго рода сводится к перечисленным в начале этого параграфа. 6.2. Движения первого рода. Как уже не раз отмечалось, движение первого рода, имеющее неподвижные точки, есть поворот. Теорема. Любое движение первого рода, не имеющее неподвижных точек, является переносом или винтовым движением. Д о к а з а т е л ь с т в о. Возьмем опять пару A → A 1 соответственных точек при данном движении f и плоскость w их симметрии. Тогда дви- жение g = S w ◦ f является движением второго рода с неподвижной точ- кой A. По теореме 1 движение g будет либо зеркальной симметрией, l u v a b g w 1 2 f Рис. 149 либо поворотной симметрией. Рассмотрим эти два случая. 1. Пусть g = S w ◦ f = S a . Тогда f = S w ◦ S a , при- чем a k w, так как иначе движение f имело бы неподвижные точки. Значит, f — перенос. 2. Пусть g = S w ◦ f = R f l ◦ S a (l ⊥ a) — поворот- ная симметрия. Представим R f l = S g ◦ S b , b ∩ g = l. Пользуясь определенным произволом в выборе плоскостей b и g, возьмем g ⊥ w. Тогда S w ◦ f = = S g ◦ S b ◦ S a и f = S w ◦ S g ◦ S b ◦ S a , b ⊥ a (рис. 149). 196 Если a ∩ b = u и g ∩ w = v, то f = S v ◦ S u . Прямые u и v не пересекаются, так как иначе движение f имело бы неподвижной их общую точку. То- гда остаются только две возможности: если u k v, то f — перенос, если же u и v скрещиваются, то f — винтовое движение (теорема п. 4.3). Следствие. Всякое движение первого рода, отличное от осевой симметрии, представимо композицией двух осевых симметрий, при- чем одна из их осей может содержать наперед заданную точку. Результат полученной классификации движений пространства ил- люстрируется такой схемой. ДВИЖЕНИЯ ПРОСТРАНСТВА Движения первого рода Движения второго рода Переносы Повороты около оси Зеркальные симметрии Переносные симметрии Винтовые движения Осевые симметрии Поворотные симметрии Тождественное движение Центральные симметрии § 7. Координатные формулы движений пространства 7.1. Вывод формул движений. Даны тетраэдры OABC и O 0 A 0 B 0 C 0 , в которых все плоские углы при вершинах O и O 0 прямые и OA = O 0 A 0 = = OB = O 0 B 0 = OC = O 0 C 0 = 1. Зададим движение f пространства парами точек O → O 0 , A → A 0 , B → B 0 , C → C 0 (§ 5). Введем две прямоугольные декартовы системы координат (O i j k) и (O 0 i 0 j 0 k 0 ), где i = OA, i 0 = O 0 A 0 , j = OB, j 0 = O 0 B 0 , k = OC, k 0 = O 0 C 0 . Пусть векторы i 0 , j 0 , k 0 и точ- ка O 0 в системе (O i j k) имеют координаты: i 0 (a 1 , a 2 , a 3 ), j 0 (b 1 , b 2 , b 3 ), k 0 (c 1 , c 2 , c 3 ), O 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Пусть произвольная точка M в системе (O i j k) имеет координаты x, y, z а ее образ M 0 = f (M ) в той же системе имеет координаты x 0 , y 0 , z 0 . Требуется получить формулы, выражающие x 0 , y 0 , z 0 через x, y, z. 197 Сначала заметим такой очевидный факт: точка M 0 в системе (O 0 i 0 j 0 k 0 ) имеет те же координаты x, y, z, что и точка M в первой системе. Ведь движение сохраняет расстояния и углы и, следовательно, скалярное произведение векторов. В частности, O 0 M 0 · i 0 = OM · i = x и аналогично O 0 M 0 · j 0 = y, O 0 M 0 · k 0 = z. Представим равенство OM 0 = OO 0 + O 0 M 0 в разложениях векторов по базисным векторам: x 0 i + y 0 j + z 0 k = (x 0 i + y 0 j + z 0 k) + (x i 0 + y j 0 + z k 0 ). Так как i 0 = a 1 i + a 2 j + a 3 k, j 0 = b 1 i + b 2 j + b 3 k, k 0 = c 1 i + c 2 j + c 3 k, то предыдущее векторное равенство дает три координатных: x 0 = a 1 x + b 1 y + c 1 z + x 0 , y 0 = a 2 x + b 2 y + c 2 z + y 0 , z 0 = a 3 x + b 3 y + c 3 z + z 0 , (10.1) представляющие собой искомые формулы движения f . Смешанное произведение векторов i 0 , j 0 , k 0 равно +1 или −1 (ори- ентированный объем единичного куба) в зависимости от ориентации тройки ( i 0 j 0 k 0 ). Поэтому ∆ = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = ±1 (10.2) соответственно первому или второму роду движения. 7.2. Матрица движения a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 , кроме свойства (10.2), обладает и другими замечательными свойствами. 1. Так как | i 0 | = | j 0 | = | k 0 | = 1 и i 0 j 0 = i 0 k 0 = j 0 k 0 = 0, то имеют место следующие равенства: a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 =1, b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 =1, c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 =1 и a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 = 0, a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 = 0, b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 = 0. (10.3) 2. Заметим, что a 1 = i i 0 , b 1 = i j 0 , c 1 = i k 0 . Эти равенства говорят о том, что числа a 1 , b 1 , c 1 служат координатами вектора i в базисе ( i 0 , j 0 , k 0 ): i(a 1 , b 1 , c 1 ). Аналогично j(a 2 , b 2 , c 2 ), k(a 3 , b 3 , c 3 ). Поскольку 198 | i| = | j| = | k| = 1 и i j = i k = j k = 0, то имеем: a 2 1 + b 2 1 + c 2 1 = 1, a 2 2 + b 2 2 + c 2 2 = 1, a 2 3 + b 2 3 + c 2 3 = 1 и a 1 a 2 + b 1 b 2 + c 1 c 2 = 0, a 1 a 3 + b 1 b 3 + c 1 c 3 = 0, a 2 a 3 + b 2 b 3 + c 2 c 3 = 0. (10.4) Матрицы, обладающие свойствами (10.3) и (10.4), называются ор- тогональными матрицами. 3. Ортогональные матрицы обладают еще одним замечательным свойством: матрица, полученная транспонированием ортогональной матрицы, является ее обратной матрицей: a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 = 1 0 0 0 1 0 0 0 1 , что легко видеть с помощью равенств (10.3). Итак, движения пространства записываются линейными формула- ми (10.1) с определителем ∆ = ±1 и ортогональной матрицей коэффи- циентов при x, y, z. Свойство (10.2) может быть положено в основу определения рода движения. Обратно, если в прямоугольных декартовых координатах задано преобразование пространства формулами (10.1), в которых матрица коэффициентов является ортогональной, то это преобразование есть движение. Действительно, пусть при преобразовании (10.1) точки A(x 1 , y 1 , z 1 ) и B(x 2 , y 2 , z 2 ) отображается в точки A 0 (x 0 1 , y 0 1 , z 0 1 ) и B 0 (x 0 2 , y 0 2 , z 0 2 ). Тогда A 0 B 02 = (x 0 1 − x 0 2 ) 2 + (y 0 1 − y 0 2 ) 2 + (z 0 1 − z 0 2 ) 2 = = (a 1 (x 1 − x 2 ) + b 1 (y 1 − y 2 ) + c 1 (z 1 − z 2 )) 2 + + (a 2 (x 1 − x 2 ) + b 2 (y 1 − y 2 ) + c 2 (z 1 − z 2 )) 2 + + (a 3 (x 1 − x 2 ) + b 3 (y 1 − y 2 ) + c 3 (z 1 − z 2 )) 2 = = (a 2 1 + a 2 2 + a 2 3 )(x 1 − x 2 ) 2 + (b 2 1 + b 2 2 + b 2 3 )(y 1 − y 2 ) 2 + + (c 2 1 + c 2 2 + c 2 3 )(z 1 − z 2 ) 2 + + 2(a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 )(x 1 − x 2 )(y 1 − y 2 ) + + 2(a 1 c 1 + a 2 c 2 + a 3 c 3 )(x 1 − x 2 )(z 1 − z 2 ) + + 2(b 1 c 1 + b 2 c 2 + b 3 c 3 )(y 1 − y 2 )(z 1 − z 2 ). Так как по условию матрица коэффициентов преобразования (10.1) ор- тогональна, то выполняются равенства (10.3). Поэтому полученное вы- 199 ражение равно (x 1 − x 2 ) 2 + (y 1 − y 2 ) 2 + (z 1 − z 2 ) 2 = AB 2 . Следовательно, A 0 B 0 = AB для любой пары (A, B) точек пространства, т. е. заданное преобразование (10.1) — движение. Таким образом, движения и только движения пространства имеют в декартовых координатах формулы (10.1), матрица коэффициентов ко- торых ортогональна. 7.3. Формулы обратного движения. Пользуясь свойством 3 ортого- нальных матриц, легко получить формулы обратного движения f −1 : x 0 = a 1 x + a 2 y + a 3 z + a 0 , y 0 = b 1 x + b 2 y + b 3 z + b 0 , z 0 = c 1 x + c 2 y + c 3 z + c 0 Так как при f −1 точка O 0 (x 0 , y 0 , z 0 ) переходит в точку O(0, 0, 0), то a 0 = −(a 1 x 0 + a 2 y 0 + a 3 z 0 ), b 0 = −(b 1 x 0 + b 2 y 0 + b 3 z 0 ), c 0 = −(c 1 x 0 + c 2 y 0 + c 3 z 0 ). Поэтому формулы обратного движения f −1 для движения f с форму- лами (10.1) принимают вид: x 0 = a 1 (x − x 0 ) + a 2 (y − y 0 ) + a 3 (z − z 0 ), y 0 = b 1 (x − x 0 ) + b 2 (y − y 0 ) + b 3 (z − z 0 ), z 0 = c 1 (x − x 0 ) + c 2 (y − y 0 ) + c 3 (z − z 0 ). (10.5) 7.4. О критериях частных видов движений. В каждом конкретном случае формулами (10.1) задается один из существующих частных ви- дов движений пространства. Его можно определить, найдя род движе- ния (по определителю ∆) и множество неподвижных точек: Движения I рода Множество неподвижных точек Движения II рода Множество неподвижных точек 1. Перенос ∅ 1. Зеркальная симметрия плоскость 2. Поворот прямая 2. Переносная симметрия ∅ 3. Винтовое движение ∅ 3. Поворотная симметрия одна точка 4. Тождественное движение пространство 200 Видим, что род и множество неподвижных точек одинаковы лишь для переноса и винтового движения. Однако перенос в любой системе координат имеет формулы: x 0 = x + x 0 , y 0 = y + y 0 , z 0 = z + z 0 (10.6) и поэтому сразу выделяется. Для неподвижной точки x 0 = x, y 0 = y, z 0 = z. Формулы (10.1) приво- дят к системе: (a 1 − 1)x + b 1 y + c 1 z = −x 0 , a 2 x + (b 2 − 1)y + c 2 z = −y 0 , a 3 x + b 3 y + (c 3 − 1)z = −z 0 , (10.7) из которой и находится множество неподвижных точек движения в каж- дом конкретном случае. 7.5. Формулы частных видов движений при специальном выборе прямоугольной декартовой системы координат. Если удобно выбрать систему координат относительно объектов, характеризующих то или иное движение пространства, то формулы этого движения значительно упрощаются. Независимо от выбора системы координат перенос имеет простые формулы (10.6). Центральная симметрия относительно точки S(x 0 , y 0 , z 0 ) имеет формулы: x 0 = −x + 2x 0 , y 0 = −y + 2y 0 , z 0 = −z + 2z 0 (10.8) Если плоскость Oxy системы координат совместить с плоскостью зеркальной симметрии, то получаем формулы: x 0 = x, y 0 = y, z 0 = −z. (10.9) Формулы переносной симметрии с той же плоскостью Oxy и вектором r( a, b, 0) имеют вид: x 0 = x + a, y 0 = y + b, z 0 = −z. (10.10) Формулы поворота около оси Oz на угол f таковы: x 0 = x cos f − y sin f, y 0 = x sin f + y cos f, z 0 = z. (10.11) 201 Поворотная симметрия с осью Oz, плоскостью Oxy и углом f: x 0 = x cos f − y sin f, y 0 = x sin f + y cos f, z 0 = −z. (10.12) Винтовое движение с осью Oz, углом f и вектором r(0, 0, g): x 0 = x cos f − y sin f, y 0 = x sin f + y cos f, z 0 = z + g. (10.13) Осевая симметрия с осью Ox: x 0 = x, y 0 = −y, z 0 = −z. (10.14) § 8. Композиции движений пространства 8.1. Композиция поворота и переноса. Найдем композицию поворо- та R f l и переноса T r при r ∦ l. С этой целью представим оба эти движения композициями осевых симметрий: R f l = S b ◦ S a , где a ⊥ l, b ⊥ l, (d a, b) = 1 2 f, a ∩ b ∩ l = O и T r = S v ◦ S u , u k l, u ⊥ r. Пользуясь имеющимся произволом в вы- боре осей симметрии, можно совместить оси u и b (рис. 150). Тогда T r ◦ R f l = S v ◦ S u ◦ S u ◦ S a = S v ◦ S a . Если вектор r не ортогонален оси l поворота, то прямые a и v скрещиваются и угол между ними равен l u v a b m P Q O 1 2 ¯ r 1 2 f Рис. 150 углу между a и b, т. е. равен 1 2 f. Композиция S v ◦ S a есть винтовое движение с осью m, явля- ющейся общим перпендикуляром прямых a и v, и вектором 2 P Q, где P = a ∩ m, Q = v ∩ m, m k l. Итак, T r ◦ R f l = T P Q ◦ R f m , m k l. В случае, когда r ⊥ l, прямые a и v пересекают- ся, тогда P Q = 0 и искомая композиция является поворотом R f m . Если, кроме того, f = p, то имеем: T r ◦ S l = S m , r ⊥ l, m k l. 8.2. Композиция зеркальной и осевой симметрий. Пусть даны S a и S l при l ∦ a. Представим S l = S g ◦ S b , где g ⊥ a, b ⊥ g (рис. 151). Тогда S l ◦ S a = S g ◦ (S b ◦ S a ) = S g ◦ R f u , где u = a∩b, u⊥g, u⊥l, f=2(d a, b)=2(d a, l). 202 Композиция S g ◦ R f u при u ⊥ g есть поворотная симметрия. Когда l ⊥ a, то S l ◦ S a = Z O , O = l ∩ a. 8.3. Композиция двух поворотов. Сначала найдем композицию R b b ◦ R a a двух поворотов, оси a и b которых скрещиваются. Построим общий перпендикуляр h прямых a и b и представим заданные повороты композициями осевых симметрий: R a a = S h ◦ S u , R b b = S v ◦ S h , u ⊥ a, v ⊥ b, u ∩ h ∩ a = A, v ∩ h ∩ b = B, ( d u, h) = a 2 , ( d h, v) = b 2 (рис. 152). Тогда R b b ◦ R a a = S v ◦ S h ◦ S h ◦ S u = S v ◦ S u . Прямые u и v скре- щиваются: если бы они принадлежали плоскости, то прямые a и b, пер- пендикулярные этой плоскости, были бы параллельны. На основании g 1 2 f l u O a b Рис. 151 a b u v l h A B P Q 1 2 a 1 2 b Рис. 152 теоремы п. 4.3 искомая композиция поворотов является винтовым дви- жением, осью которого служит общий перпендикуляр l прямых u и v, угол w = 2( d u, v), а вектор r = 2 P Q, где P = u ∩ l, Q = v ∩ l. Угол w мо- жет быть вычислен через углы a и b данных поворотов и угол g между осями a и b. Если прямые a и b пересекаются, то прямые u и v будут пересекаться в той же точке. Тогда искомая композиция R b b ◦ R a a , есть поворот R w l , ось l которого проходит через точку O = a ∩ b = u ∩ v перпендикулярно прямым u, v. При a k b и a 6= b прямые u и v пересекаются в точке O. Компози- ция R b b ◦ R a a есть поворот R a+b l , ось l которого проходит через точку O параллельно прямым a и b. Наконец, при a k b и a = b или a + b = 2p будет u k v. В этом случае композиция поворотов является переносом. 8.4. Композиция трех зеркальных симметрий. Выделим сначала особый случай, когда композиция трех зеркальных симметрий является 203 зеркальной симметрией: S g ◦ S b ◦ S a = S w . Это равенство эквивалент- но S b ◦ S a = S g ◦ S w . Если плоскости a и b имеют общую прямую l, то S b ◦ S a = R f l и поэтому S g ◦ S w = R f l . Следовательно, все четыре плоско- сти имеют общую прямую l. Если же a k b, то S b ◦ S a = T r и поэтому S g ◦ S w = T r . Следовательно, все четыре плоскости симметрии парал- лельны. Истинно обратное утверждение: если плоскости трех зеркальных симметрий пересекаются по одной прямой или параллельны, то ком- позиция этих зеркальных симметрий является зеркальной симмет- рией, плоскость которой соответственно содержит прямую их пере- сечения или им параллельна. Доказательство незатруднительно. Пусть плоскости a, b, g симметрий имеют единственную общую точ- ку O. Тогда она является единственной неподвижной точкой компо- w b c a 0 a c 1 m n O Рис. 153 зиции этих симметрий. Предположение о существовании другой неподвижной точки приводит к предыдущему слу- чаю взаимного расположения плоско- стей a, b, g (п. 7.4). Следовательно, композиция f = S g ◦ S b ◦ S a есть пово- ротная симметрия. Найдем ее плос- кость, ось и угол поворота. Пусть b ∩ g = a, g ∩ a = b, a ∩ b = c (рис. 153). Если f (c) = c 1 , то прямые c и c 1 симмет- ричны относительно g. Пусть S a (a) = a 0 , тогда f (a 0 ) = a. Так как искомая плос- кость w поворотной симметрии f делит пополам каждый из отрезков, соединяющих соответственные точки, то ей принадлежат ортогональ- ные проекции m и n прямых a и c соответственно на плоскости a и g. Итак, w = (m, n). Ось l поворота есть перпендикуляр к w в точке O. Угол f поворота равен углу между ортогональными проекциями пря- мых a 0 и a (или c и c 1 ) на плоскость w. Если плоскости a, b, g попарно перпендикулярны, то f = Z O Иначе эту задачу можно решить сведением к задаче п. 8.2 путем замены пары плоскостей b и g. Рассмотрим еще случай, когда плоскости a, b, g данных симметрий попарно пересекаются по трем параллельным прямым: a k b k c. Тогда в каждой плоскости c, перпендикулярной этим прямым, композиция f = S g ◦ S b ◦ S a индуцирует композицию осевых симметрий относительно прямых пересечения c с a, b, g. А она является переносной симметрией плоскости c с определенной осью l и вектором r. Поэтому композиция f есть переносная симметрия пространства с вектором r и плоскостью, 204 проходящей через прямую l параллельно прямым a, b, c (перпендику- лярно c). 8.5. Композиция симметрий относительно трех попарно скрещива- ющихся прямых. Пусть требуется найти движение f = S c ◦ S b ◦ S a , где прямые a, b, c попарно скрещиваются. Композиция S b ◦ S a есть винто- вое движение (п. 4.3), осью которого служит общий перпендикуляр h прямых a и b, а вектор r = 2 AB, где A = a ∩ h, B = b ∩ h (рис. 154). Пару прямых a и b можно заменить любой другой парой скрещиваю- щихся прямых a 1 и b 1 с тем же общим перпендикуляром h, сохраняя a a 1 b b 1 c l h A B A 1 B 1 O Рис. 154 угол между прямыми a и b и кратчайшее рас- стояние ( A 1 B 1 = AB). Существует пара (a 1 , b 1 ) такая, что b 1 ⊥ c, b 1 ∩ c = O и S b ◦ S a = S b 1 ◦ S a 1 Тогда искомая композиция f заменяется равно- ценной f = S c ◦ S b 1 ◦ S a 1 . Поскольку S c ◦ S b 1 = S l , где l — перпендикуляр к прямым b 1 и c в их об- щей точке O, то f = S l ◦ S a 1 Рассмотрим возможные случаи. 1. Если прямые a 1 и l скрещиваются, то f — винтовое движение, определяемое осями a 1 и l, которые строятся указанным способом. В част- ности, если данные прямые a, b, c параллельны одной плоскости, то l k h и поэтому ось винто- вого движения f параллельна этой плоскости. 2. Если a 1 и l пересекаются, то f — поворот. 3. В случае, когда скрещивающиеся пря- мые a, b, c попарно перпендикулярны, то l k a 1 и тогда f — перенос. § 9. Группы самосовмещений правильного тетраэдра и куба 9.1. Группа самосовмещений правильного тетраэдра. Напомним определения. Движение, отображающее некоторую фигуру на себя, если такое существует, называется самосовмещением этой фигуры. Множество преобразований, содержащее для каждого преобразования обратное ему и композицию любых двух преобразований из данного множества, называется группой преобразований. Во всякой группе пре- образований содержится тождественное. 205 Очевидно, множество всех самосовмещений фигуры является группой. Доказано, что любой правильный многогранник обладает группой самосовмещений, в которой число движений равно учетве- ренному числу ребер этого многогранника. Каждое из этих движений имеет хотя бы одну неподвижную точку, так как отображает на себя сферу, описанную около многогранника, и потому необходимо отобра- жает на себя ее центр. Рассмотрим подробнее группу самосовмещений правильного тетра- эдра. Она содержит 4 · 6 = 24 движения. В нее входят шесть зеркальных симметрий относительно плоскостей, каждая из которых содержит ре- бро правильного тетраэдра и середину противоположного ребра. Пря- мая, определяемая серединами двух противоположных ребер (бимеди- ана), перпендикулярна этим ребрам. Поэтому симметрия относительно нее отображает правильный тетраэдр на себя. Следовательно, группа включает в себя три осевые симметрии относительно трех бимедиан. Очевидно, самосовмещениями правильного тетраэдра будут восемь по- воротов на ±120 ◦ около его высот. Далее обратим внимание на плоскость a, содержащую середины че- тырех ребер тетраэдра, образующих неплоский (косой) четырехуголь- A a l B C D Рис. 155 ник. Из шести ребер тетраэдра исключается какая-либо пара противоположных ребер. Для наглядности опишем около правильного тетра- эдра ABCD куб (рис. 155): через каждые два противоположных ребра проведем пару парал- лельных плоскостей. Прямая l, проходящая че- рез середины двух ребер тетраэдра, которые не содержат стороны рассматриваемого косо- го четырехугольника, перпендикулярна плоско- сти a. Если плоскость a содержит середины ре- бер AB, BC, CD, DA, то прямая l содержит середины ребер AC и BD. Композиция R ±90 ◦ l ◦ S a (поворотная симметрия) является самосовмещением правиль- ного тетраэдра ABCD: A → B → C → D → A. Всего в группе имеется шесть поворотных симметрий. Итак, обнаружены все 24 самосовмещения правильного тетраэдра: шесть зеркальных симметрий, три осевые симметрии, восемь поворо- тов, шесть поворотных симметрий и тождественное движение. Можно убедиться в том, что композиция любых двух движений из этого мно- жества является движением из этого же множества. Это легко сделать, если с каждым из 24 самосовмещений правильного тетраэдра сопоста- вить (однозначно) подстановку его вершин: 206 — зеркальной симметрии относительно плоскости, проходящей через ребро AB и середину ребра CD, соответствует подстановка ABCD ABDC , — осевой симметрии относительно бимедианы, содержащей середи- ны ребер AB и CD, отвечает подстановка ABCD BADC , — поворот на 120 ◦ около высоты, опущенной из вершины A, имеет подстановку ABCD ACDB , — поворотная симметрия с плоскостью a, осью l и углом 90 ◦ (рис. 155) представляется подстановкой ABCD BCDA Композиции самосовмещений правильного тетраэдра ставится в со- ответствие произведение соответствующих подстановок. Например, ABCD ACDB ABCD BACD = ABCD BCDA , т. е. композиция поворота на 120 ◦ около высоты, содержащей верши- ну A, и зеркальной симметрии относительно плоскости симметрии то- чек A и B есть поворотная симметрия с плоскостью a, ось l и углом 120 ◦ (рис. 155). Говорят, что группа самосовмещений правильного тетраэдра изо- морфна группе подстановок из четырех элементов. Каждой подстановке при канонической ее записи первой строки соответствует перестановка букв во второй строке. А число перестановок из четырех элементов как раз и равно 4! = 24. 9.2. Группа самосовмещений куба. Перечислим движения простран- ства, образующие группу самосовмещений куба: 1) центральная симметрия относительно точки O пересечения диа- гоналей куба; 2) девять зеркальных симметрий, плоскости шести из которых яв- ляются диагональными плоскостями куба, а три другие проходят через центр O куба параллельно его граням; 207 3) девять осевых симметрий, оси l i трех из которых проходят через центр O параллельно ребрам куба, а каждая из шести других содержит середины двух противолежащих (симметричных относительно O) ребер куба; 4) шесть поворотов около трех прямых l i на ±90 ◦ ; 5) восемь поворотов около четырех диагоналей куба на ±120 ◦ ; на- пример, диагональ AC 1 перпендикулярна плоскостям A 1 BD и B 1 CD 1 , пересекает их в центрах правильных треугольников A 1 BD и B 1 CD 1 (рис. 156) (вид куба в направлении диагонали AC 1 изображен на рис. 157); A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Рис. 156 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Рис. 157 6) шесть поворотных симметрий R ±90 ◦ l ◦ S a : плоскость a проходит через центр O параллельно двум противоположным граням куба, а ось l ⊥ a, O ∈ l; 7) восемь поворотных симметрий R ±60 ◦ t ◦ S b : плоскость b проходит через центр O перпендикулярно диагонали t куба (сечением куба плос- костью b является правильный шестиугольник с вершинами в серединах шести ребер куба); 8) тождественное движение. Итак, группа самосовмещений куба состоит из 48 перечисленных движений, что как раз вчетверо больше числа ребер куба. § 10. Решение задач с использованием движений пространства Как и в планиметрии, метод геометрических преобразований оказы- вается весьма эффективным в стереометрических задачах. Рассмотрим для примера решения нескольких задач. З а д а ч а 1. Через середину каждого ребра тетраэдра проведена плоскость, перпендикулярная противоположному ребру. Докажите, что 208 шесть полученных плоскостей имеют общую точку. (Она называется точкой Монжа тетраэдра.) Р е ш е н и е. Середины противоположных ребер тетраэдра симмет- ричны относительно его центроида G. Шесть плоскостей, каждая из которых проходит через середину ребра перпендикулярно этому ребру, пересекаются в центре O описанной около тетраэдра сферы. Плоскость первой шестерки и плоскость второй шестерки, перпендикулярные од- ному ребру, параллельны и содержат точки, симметричные относитель- но центроида G. Поэтому эти плоскости симметричны относительно G. Следовательно, шесть плоскостей, указанных в условии задачи, пересе- каются в одной точке, симметричной точке O относительно центроида G тетраэдра. З а д а ч а 2. Дан тетраэдр T . Рассматриваются четыре тетраэдра T i , в каждом из которых одна вершина совпадает с вершиной данного тет- раэдра, а три остальные являются серединами трех ребер тетраэдра T , сходящихся в этой вершине. Точки O 1 , O 2 , O 3 , O 4 — центры сфер, опи- санных около четырех тетраэдров T i , а J 1 , J 2 , J 3 , J 4 — центры вписан- ных в них сфер. Докажите, что тетраэдры O 1 O 2 O 3 O 4 и J 1 J 2 J 3 J 4 равны. Р е ш е н и е. Тетраэдры T i , равны, так как каждый из них отобража- ется на другой очевидным переносом. Тогда векторы O i J i (i = 1, 2, 3, 4) равны как соответственные при этих переносах. Поэтому тетраэдр O 1 O 2 O 3 O 4 отображается на тетраэдр J 1 J 2 J 3 J 4 переносом T r , r = O i J i , и следовательно, эти тетраэдры равны. З а д а ч а 3. Плоскость, содержащая середины двух скрещиваю- щихся ребер правильного тетраэдра, делит его на две равные части. Докажите. Р е ш е н и е. Прямая l, проходящая через середины двух скрещива- ющихся ребер правильного тетраэдра, является осью его симметрии. Плоскостью, содержащей прямую l, правильный тетраэдр разбивает- ся на две части, симметричные относительно прямой l. Поэтому они A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O P S Рис. 158 равны. З а д а ч а 4. В правильной четырех- угольной пирамиде SABCD точки A 1 , B 1 , C 1 , D 1 — середины ребер SA, SB, SC, SD соответственно. Докажите, что пря- мые AC 1 , BD 1 , CA 1 , DB 1 пересекаются в одной точке. Р е ш е н и е. Прямые AC 1 и CA 1 ле- жат в диагональной плоскости пирамиды и поэтому пересекаются (рис. 158). Точ- ка P их пересечения лежит на высоте SO 209 пирамиды, так как в плоскости ASC прямые AC 1 и CA 1 симметрич- ны относительно SO. При повороте около SO на 90 ◦ (AC 1 ) → (BD 1 ) и (CA 1 ) → (DB 1 ), так как A → B → C → D → A и S → S, поэтому и A 1 → B 1 → C 1 → D 1 → A 1 . Точка P = (AC 1 ) ∩ (CA 1 ) отображается на точ- ку (BD 1 ) ∩ (DB 1 ). Поскольку точка P лежит на оси поворота, то она неподвижна и, значит, (BD 1 ) ∩ (DB 1 ) = P . Итак, все четыре прямые AC 1 , CA 1 , BD 1 , DB 1 пересекается в точке P , P O = 1 3 SO. З а д а ч а 5. Тетраэдры ABCD и A 1 B 1 C 1 D 1 равны и противополож- но ориентированы. Докажите, что середины отрезков AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 лежат в одной плоскости или совпадают. Р е ш е н и е. Парами точек A → A 1 , B → B 1 , C → C 1 , D → D 1 задается движение второго рода, которое является одним из трех движений: зер- кальной симметрией, переносной симметрией или же поворотной сим- метрией (§ 6). Но при каждом из них любой отрезок, соединяющий соответственные точки, делится плоскостью симметрии пополам. Сле- довательно, середины отрезков AA 1 , BB 1 , CC 1 , DD 1 лежат в плоскости симметрии. В частности, при симметрии Z O эти середины совпадают с точкой O. З а д а ч а 6. Даны две перпендикулярные скрещивающиеся пря- мые a и b. Для произвольной точки X пространства построены точки X 1 = S a (X) и X 2 = S b (X). Найдите множество середин M отрезков X 1 X 2 X 0 X 1 X 2 Q M ¯ r 1 2 ¯ r h Рис. 159 Р е ш е н и е. Из X 1 = S a (X) следует X = = S a (X 1 ). Поэтому X 2 = S b (S a (X 1 )). Компози- ция S b ◦ S a (a ⊥ b) есть винтовое движение с осью, являющейся общим перпендикуляром h прямых a и b и углом 180 ◦ . Отсюда видно, что середина отрезка X 1 X 2 принадлежит общему перпендикуляру h. Обратно, пусть M — про- извольная точка прямой h. Тогда, пользуясь представлением T r ◦ S h данного винтового дви- жения, нетрудно построить две точки X 1 и X 2 , соответственные при этом движении, такие, что точка M будет серединой отрезка X 1 X 2 (рис. 159): прямая X 1 X 2 про- извольна, а вектор r переноса известен. Итак, искомым множеством точек M является общий перпендикуляр данных прямых a и b. З а д а ч а 7. Докажите, что биссектрисы двух плоских углов триэд- ра и биссектриса угла, смежного с его третьим плоским углом, лежат в одной плоскости. Р е ш е н и е. Пусть m и n — биссектрисы плоских углов aOb и bOc триэдра Oabc, p — биссектриса угла a 1 Oc (a 1 — луч, дополнительный 210 a b c m n p a 1 O Рис. 160 к лучу a) (рис. 160). Композиция S p ◦ S n ◦ S m осевых симметрии есть поворот (п. 8.3), ось ко- торого содержит вершину O триэдра. Эта ком- позиция, очевидно, отображает луч a на луч a 1 и поэтому задаваемый ею поворот является осе- вой симметрией S l : S p ◦ S n ◦ S m = S l , откуда S p ◦ S n = S l ◦ S m . Из равенства двух полу- ченных композиций осевых симметрии следует, что они представляют один и тот же поворот, а прямые m, l, n, p пер- пендикулярны его оси и поэтому лежат в одной плоскости. З а д а ч а 8. Рассматривается множество всех поворотов простран- ства, каждый из которых отображает вершину A куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 на вершину B. Требуется найти множество образов точки C при этих поворотах и найти пересечение этого множества с поверхностью куба. Р е ш е н и е. Множество осей l поворотов R f l каждый из которых отображает точку A на точку B, совпадает с множеством прямых плос- кости a симметрии этих точек. Представим каждый поворот R f l компо- a B D 1 A C D A 1 B 1 C 1 Рис. 161 зицией S b ◦ S a , где b = R 1 2 f l ( a), B ∈ b, причем из множества плоскостей b, проходящих через точку B исключается плоскость BCC 1 B 1 . Так как S a (C) = D и S b (D) = C 0 , то множеством образов C 0 точки C при рассматриваемых по- воротах R f l есть множество точек, каждая из которых симметрична точке D относительно некоторой плоскости b, т.е. сфера с центром B радиуса BD (без точки S BCC 1 (D)). Ее пере- сечением с поверхностью куба являются три дуги окружностей с центрами A, B, C, ради- усы которых равны ребру куба (рис. 161). Задачи к главе 10 10.1. Через середину каждого из отрезков, соединяющих вершины тетраэдра с центроидами противоположные им граней, проведена плос- кость параллельно соответствующей грани. Докажите, что тетраэдр, образованный пересечением этих плоскостей, равен данному тетраэдру. 10.2. Докажите, что плоскость, проходящая через точку пересечения диагоналей параллелепипеда, делит его на две равные части. 211 10.3. Докажите, что в правильной пятиугольной пирамиде пер- пендикуляры, проведенные из вершин основания на плоскости про- тиволежащих этим вершинам боковых граней, пересекаются в одной точке. 10.4. Две сферы имеют общую окружность. Докажите, что линия центров этих сфер перпендикулярна плоскости этой окружности. 10.5. В прямой круговой конус вписана сфера. Докажите, что пря- мая, соединяющая вершину конуса с центром сферы, перпендикулярна плоскости окружности касания сферы и конуса. 10.6. Если в трехгранном угле равны два плоских угла, то равны противолежащие им двугранные углы, и обратно. Докажите. 10.7. Если две пересекающиеся плоскости симметричны относитель- но прямой l, то их линия пересечения пересекает ось l симметрии и пер- пендикулярна ей. Докажите. 10.8. Прямая l не лежит ни в одной из плоскостей a и b и пересекает их линию пересечения. Постройте прямые a и b, лежащие соответствен- но в плоскостях a и b, так, чтобы прямая l содержала биссектрису одного из углов между ними. 10.9. Постройте оси симметрии двух данных скрещивающихся прямых. 10.10. Найдите какой-либо поворот, отличный от осевой симметрии, который отображает одну из двух данных скрещивающихся прямых на другую. 10.11. Даны скрещивающиеся прямые a и b и на них соответственно точки A и B. Найдите поворот, отображающий a на b и A на B. 10.12. Дана ломаная ABCDA. Докажите, что если AB = CD и |