Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
. Под каким углом эта плоскость наклонена к плоскости ABC? 1.39. В прямоугольном параллелепипеде ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 диаго- наль AC 1 наклонена к граням BB 1 C 1 C и CC 1 D 1 D под равными углами величины a. Найдите угол между плоскостями BC 1 D и A 1 B 1 C 1 1.40. Основанием пирамиды SABC является правильный треуголь- ник ABC. Боковая грань SAB перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основании под равными углами величины a. Найдите угол между ребром SC и плоскостью основания. 1.41. В правильной четырехугольной пирамиде апофема равна сто- роне основания и имеет длину a. Постройте общий перпендикуляр сто- роны основания и не пересекающего ее бокового ребра. Найдите длину этого перпендикуляра. 1.42. В правильной треугольной пирамиде сторона основания рав- на a, высота пирамиды равна h. Найдите расстояние между высотой основания и боковым ребром, не пересекающим эту высоту. 1.43. Дано изображение правильной шестиугольной призмы и пря- мой, пересекающей непараллельные ребра ее верхнего и нижнего осно- ваний. Постройте изображение общего перпендикуляра этой прямой и скрещивающегося с ней бокового ребра призмы. 1.44. Ребра прямоугольного параллелепипеда относятся как 1 : 2 : 3. Постройте изображение сечения этого параллелепипеда плоскостью, проходящей через его вершину перпендикулярно диагонали. 1.45. Через две данные параллельные прямые a и b проведите две параллельные плоскости так, чтобы они отсекали на данной прямой c, скрещивающейся с данными прямыми, отрезок заданной длины. 30 Г л а в а 2 Трехгранный угол § 1. Смежные и вертикальные триэдры. Полярные триэдры 1.1. Трехгранный угол и его элементы. Пересечение трех полупро- странств, граничные плоскости которых имеют единственную общую a C B A c b a O Рис. 20 c b a c 1 b 1 a 1 O Рис. 21 c b a 1 a O Рис. 22 точку, называется трехгранным углом, или триэд- ром. Общая точка граничных плоскостей этих полупро- странств называется вершиной триэдра. Граница триэд- ра представляет собой объединение трех плоских углов, каждые два из которых имеют общий граничный луч. Эти лучи называются ребрами триэдра, а сами плоские углы — гранями триэдра. Множество точек триэдра, не принадлежащих его границе, называется его внутренней областью. Двугранные углы, каждый из которых явля- ется пересечением двух из трех полупространств, обра- зующих триэдр, называются двугранными углами этого триэдра. Триэдр можно задать его вершиной O и ребрами a, b, c. Его будем обозначать Oabc или O(ABC), где A, B, C — некоторые точки соответственно на его ребрах a, b, c (рис. 20). Величины a, b, g плоских углов BOC, COA, AOB соответственно находятся в открытом промежутке от 0 ◦ до 180 ◦ , так как каждый из них является пересечением двух полуплоскостей. По аналогичной причине этому же промежутку принадлежат меры b A, b B, b C двугранных уг- лов триэдра при ребрах OA, OB, OC соответственно. Если в триэдре Oabc каждое из ребер a, b, c заменить его дополнительным лучом a 1 , b 1 , c 1 , то они зададут три- эдр Oa 1 b 1 c 1 , называемый вертикальным триэдром к дан- ному триэдру Oabc (рис. 21). При замене только одного ребра a его дополнительным лучом a 1 получается триэдр Oa 1 bc, который назовем триэдром, смежным с данным триэдром Oabc (рис. 22). 1.2. Полярные триэдры. Построим три луча a 0 , b 0 , c 0 с началом во внутренней точке O 0 данного триэдра Oabc, перпендикулярные соответ- ственным граням Obc, Oca, Oab этого триэдра. Триэдр O 0 a 0 b 0 c 0 называ- ется полярным данному триэдру Oabc. Вершина O триэдра Oabc лежит внутри триэдра O 0 a 0 b 0 c 0 , а ребра a, b, c перпендикулярны соответственно граням O 0 b 0 c 0 , O 0 c 0 a 0 , O 0 a 0 b 0 . Следовательно, триэдр Oabc также полярен триэдру O 0 a 0 b 0 c 0 . Эти триэдры взаимно полярны. Выбор точки O 0 несуществен, поскольку два триэдра, полярных дан- ному, совмещаются друг с другом параллельным переносом. Плоские и двугранные углы двух взаимно полярных триэдров на- ходятся в определенной зависимости. Именно, сумма радианных мер a 0 O b 0 c 0 A B 0 C 0 c a b O 0 Рис. 23 плоского угла триэдра и соответствующего ему двугранного угла полярного триэдра рав- на p (принцип полярности). Действительно, пусть a ∩ (O 0 b 0 c 0 ) = A, b 0 ∩ (Oca) = B 0 , c 0 ∩ (Oab) = C 0 (рис. 23). То- гда в четырехугольнике O 0 B 0 AC 0 углы AB 0 O 0 и AC 0 O 0 прямые и \ B 0 AC 0 = b A, \ B 0 O 0 C 0 = a 0 Поэтому b A + a 0 = p и аналогично b B + b 0 = p, b C + g 0 = p. В силу взаимности полярности триэдров будет c A 0 + a = p, c B 0 + b = p, c C 0 + g = p. Здесь и всюду в дальнейшем в этой гла- ве знак «штрих» означает принадлежность соответствующего элемента триэдру, полярному первоначально рассматриваемому триэдру. § 2. Неравенства для углов триэдра 2.1. Сумма плоских углов триэдра. Эта сумма, очевидно, непосто- янна. Однако она меньше 2 p: a + b + g < 2p. (2.1) Д о к а з а т е л ь с т в о. Отложим на ребрах триэдра Oabc от его вер- шины O равные отрезки OA, OB, OC и опустим из точки O перпен- дикуляр OH на плоскость ABC. Тогда HA = HB = HC как проекции равных наклонных, причем HA < OA. Повернем треугольники OAB, OBC, OCA соответственно около прямых AB, BC, CA так, чтобы их образы — треугольники O 3 AB, O 1 BC, O 2 CA лежали в плоскости ABC по разные стороны с треугольниками HAB, HBC, HCA от их общих сторон (рис. 24) Так как O 3 A = O 3 B и HA = HB, то прямая O 3 H явля- 32 H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H H A B C O 1 O 2 O 3 Рис. 24 ется осью симметрии отрезка AB. Следова- тельно, треугольники O 3 AH и O 3 BH рав- ны. Но в треугольнике O 3 AH угол AO 3 H меньше угла AHO 3 , так как HA < AO 3 . По- этому \ AO 3 B < \ AHB. Итак, углы при точ- ках O 1 , O 2 , O 3 меньше соответственных уг- лов при точке H. Значит, \ AOB + \ BOC + [ COA < 2 p. Этот вывод не зависит от того, будет ли точ- ка H лежать внутри треугольника ABC, вне его или на его стороне. 2.2. Аналог неравенства треугольника. Сумма любых двух плоских углов триэдра больше третьего плоского угла. Для доказательства рассмотрим триэдр Oa 1 bc, смежный с данным триэдром Oabc (рис. 22). Если a, b, g — меры плоских углов триэдра Oabc, то триэдр Oa 1 bc имеет плоские углы величины a, p − b, p − g. Для него по предыдущему свойству a + (p − b) + (p − g) < 2p, откуда b + g > a. (2.2) Аналогично доказывается, что a + g > b и a + b > g. Следствие. Величина каждого плоского угла триэдра больше раз- ности величин двух других его плоских углов. В самом деле, из неравенства a < b + g следует b > a − g и из g < a + b следует b > g − a. Следовательно, b > |a − g|. 2.3. Сумма двугранных углов триэдра удовлетворяет неравенствам p < b A + b B + b C < 3 p. (2.3) Для доказательства рассмотрим триэдр, полярный данному. Для него 0 < a 0 + b 0 + g 0 < 2 p Так как a 0 = p − b A, b 0 = p − b B, g 0 = p − b C, то 0 < ( p − b A) + ( p − b B) + ( p − b C) < 2 p, откуда и следуют доказываемые неравенства (2.3). 33 2.4. Сумма косинусов плоских углов триэдра. Рассмотрим единич- ные векторы e 1 , e 2 , e 3 , сонаправленные соответственно ребрам триэдра. Так как они некомпланарны, то e 1 + e 2 + e 3 6= 0 и поэтому ( e 1 + e 2 + + e 3 ) 2 > 0, что равносильно e 2 1 + e 2 2 + e 2 3 + 2( e 1 e 2 + e 1 e 3 + e 2 e 3 ) > 0, т. е. 3 + 2(cos a + cos b + cos g) > 0, откуда cos a + cos b + cos g > − 3 2 (2.4) § 3. Теоремы косинусов и теорема синусов для триэдра 3.1. Две теоремы косинусов. Имеют место следующие тождества: cos a = cos b cos g + sin b sin g cos b A, (2.5) cos b A = − cos b B cos b C + sin b B sin b C cos a, (2.6) которые носят название первой и второй теорем косинусов для три- эдра. Д о к а з а т е л ь с т в о. Для доказательства соотношения (2.5) отло- жим на ребрах триэдра отрезки OA, OB, OC длины 1 и рассмотрим векторы OA, OB, OC. Проведем перпендикуляры BM и CN к пря- мой OA (рис. 25). Тогда N C = sin b, MB = sin g и \ ( M B, N C) = b A. g b a b A A M N O C B Рис. 25 Так как OM k OA, то OM = (±OM ) OA = = (OB cos g) · OA = OA cos g; здесь ±OM озна- чает, что OM либо сонаправлен с OA, ли- бо противонаправлен OA. Аналогично ON = = OA cos b. Поэтому OB = OM + M B = OA cos g + MB, OC = ON + N C = OA cos b + NC. Перемножим скалярно эти равенства. Учиты- вая, что M B⊥ OA и N C⊥ OA, получим: OB · OC = cos b cos gOA 2 + M B · N C. Итак, cos a = cos b cos g + sin b sin g cos b A. Для доказательства соотношения (2.6) применим доказанное равен- ство (2.5) к триэдру O 0 (A 0 B 0 C 0 ), полярному данному: cos a 0 = cos b 0 cos g 0 + sin b 0 sin g 0 cos b A 0 34 Выполнив подстановки a 0 = p − b A, b 0 = p − b B, g 0 = p − b C, b A 0 = p − a, по- лучаем: − cos b A = cos b B cos b C − sin b B sin b C cos a, что эквивалентно (2.6). Рассмотрим частные случаи. Если b A = p 2 , то соотношение (2.5) при- нимает вид cos a = cos b cos g, (2.7) а при a = p 2 из (2.6) имеем: cos b A = − cos b B cos b C. (2.8) Зависимости (2.7) и (2.8) представляют собой аналоги теоремы Пифаго- ра для триэдров соответственно с прямым двугранным углом и прямым плоским углом. 3.2. Теорема синусов для триэдра. Синусы двугранных углов триэд- ра пропорциональны синусам его противолежащих плоских углов: sin b A sin a = sin b B sin b = sin b C sin g (2.9) Д о к а з а т е л ь с т в о. Выразим из (2.5) cos b A: cos b A = cos a − cos b cos g sin b sin g (2.10) Тогда 1 − cos 2 b A = sin 2 b sin 2 g − (cos a − cos b cos g) 2 sin 2 b sin 2 g Разделив это равенство на sin 2 a, после очевидных преобразований по- лучим: sin 2 b A sin 2 a = 1 − cos 2 a − cos 2 b − cos 2 g + 2 cos a cos b cos g sin 2 a sin 2 b sin 2 g Величины a, b, g входят в правую часть этого равенства равноправно (симметрично). Поэтому оно останется истинным при круговой замене букв a → b → g → a и соответственно A → B → C → A. Следовательно, sin 2 b A sin 2 a = sin 2 b B sin 2 b = sin 2 b C sin 2 g , что равносильно (2.9), поскольку каждый из углов принадлежит про- межутку (0, p). 35 3.3. Следствия из теоремы синусов. Умножим равенства (2.9) на sin a sin b sin g: sin b A sin b sin g = sin b B sin g sin a = sin b C sin a sin b. (2.11) Таким образом, произведение синуса двугранного угла и синусов заклю- чающих его плоских углов постоянно для данного триэдра. Это произведение называется синусом первого рода триэдра, или си- нусом Штаудта триэдра. Будем обозначать его ∆(O). Далее разделим равенства (2.9) на sin b A sin b B sin b C. Тогда получим: sin a sin b B sin b C = sin b sin b C sin b A = sin g sin b A sin b B. (2.12) Итак, произведение синуса плоского угла и синусов прилежащих к нему двугранных углов постоянно для данного триэдра. Это произ- ведение будем называть синусом второго рода триэдра и обозначать ∆ 0 (O). Синус первого рода ∆(O) и синус второго рода ∆ 0 (O) полярно со- пряжены друг другу, то есть синус второго рода триэдра равен синусу g 1 ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg ggggggggggg g c O a b c 1 Рис. 26 первого рода полярного ему триэдра и об- ратно. Ребро c триэдра Oabc спроектируем орто- гонально на плоскость Oab. Пусть c 1 — полу- ченная проекция и g 1 — угол между лучами c и c 1 (рис. 26). По теореме синусов для триэдра sin b A sin g 1 = sin p 2 sin b , откуда sin g 1 = sin b A sin b. Аналогично sin a 1 = = sin b B sin g и sin b 1 = sin b C sin a, где a 1 и b 1 — углы наклона лучей a и b к плоскостям противоположных граней три- эдра. Тогда равенства (2.11) принимают вид: sin a sin a 1 = sin b sin b 1 = sin g sin g 1 = ∆(O). (2.13) Таким образом, произведение синуса угла между двумя ребрами триэдра и синуса угла наклона третьего ребра к плоскости первых двух постоянно для данного триэдра и равно его синусу Штаудта. 3.4. Необходимые и достаточные условия существования триэдра. Для того чтобы существовал триэдр с заданными плоскими углами величин a, b, g, принадлежащих промежутку (0, p), необходимо и до- статочно, чтобы выполнялись неравенства: | b − g| < a < b + g и a + b + g < 2p. (2.14) 36 Д о к а з а т е л ь с т в о. Н е о б х о д и м о с т ь этих неравенств дока- зана ранее (§ 2). Докажем их д о с т а т о ч н о с т ь. Пусть даны нера- венства (2.14). Рассмотрим два случая: а) b + g 6 p, б) b + g > p. а) В промежутке (0, p) косинус монотонно убывает, а синус прини- мает положительные значения, поэтому cos( b + g) < cos a < cos |b − g| = = cos( b − g), что равносильно cos b cos g − sin b sin g < cos a < cos b cos g + + sin b sin g, откуда −1 < cos a − cos b cos g sin b sin g < 1. Это неравенство говорит о том, что существует двугранный угол вели- чины b A ∈ (0, p) такой, что cos b A = cos a − cos b cos g sin b sin g (2.15) Построим триэдр по двугранному углу b A и заключающим его плоским углам b и g. Согласно первой теореме косинусов его третий плоский угол a 1 удовлетворяет условию cos a 1 = cos b cos g + sin b sin g cos b A. (2.16) С другой стороны, из равенства (2.15) имеем: cos a = cos b cos g + sin b sin g cos b A. (2.17) Из (2.16) и (2.17) следует cos a 1 = cos a и a 1 = a. Итак, построенный три- эдр имеет заданные плоские углы a, b, g. б) b + g > p. Из первого неравенства (2.14) |b − g| < a, а из второго a < 2p − (b + g), тогда |b − g| < a < 2p − (b + g) < p и поэтому cos(b − g) > > cos a > cos(2p − (b + g)) = cos(b + g). Далее завершение доказательства аналогично случаю а). Приведем еще другое доказательство достаточности неравенств (2.14), основанное на свойстве непрерывности движения. Пусть плоские углы искомого триэдра имеют заданные величины a, b, g, удовлетворяющие неравенствам (2.14). Пусть данные углы, име- ющие величины b и g, лежат в одной полуплоскости от их общей сто- роны a и имеют общую вершину O. Тогда угол между остальными их сторонами будет равен | b − g|. Фиксируем сторону b угла g, а угол ∠aOc величины b будем вращать около луча a пока он не повернется на 180 ◦ Тогда угол между другой стороной b угла g и новым положением сторо- ны c угла будет равен b + g. По условию величина a принадлежит про- межутку (| b − g|, b + g). Так как угол поворота в силу непрерывности 37 вращения принимает все значения из этого промежутка, то существует момент, при котором угол поворота будет равен заданному значению a. В этот момент вращающийся луч c займет положение третьего ребра искомого триэдра Oabc. 3.5. Применение теорем косинусов в решении задач. Рассмотрим решения трех задач. При необходимости рисунки предлагаем сделать читателю самостоятельно. З а д а ч а 1. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD плоский угол при вершине имеет величину a. Найдите величины дву- гранных углов при боковом ребре и при основании. Р е ш е н и е. Рассмотрим триэдр A(BSD). Его плоские углы равны p 2 , p 2 − a 2 и p 2 − a 2 . Тогда по первой теореме косинусов для этого триэдра cos p 2 = cos 2 p 2 − a 2 + sin 2 p 2 − a 2 cos(AS), откуда cos(AS) = − tg 2 a 2 По той же теореме cos p 2 − a 2 = − cos p 2 cos p 2 − a 2 + sin p 2 sin p 2 − a 2 cos(AB), откуда cos(AB) = tg a 2 П р о в е р к а. По второй теореме косинусов для этого же триэдра cos(AS) = − cos 2 (AB) + sin 2 (AB) cos p 2 , т. е. cos(AS) = − cos 2 (AB). Полученные ответы удовлетворяют этому условию. З а д а ч а 2. Плоские углы триэдра Oabc равны a, b, g. Найдите угол между ребром a и биссектрисой l угла a. Р е ш е н и е. Двугранные углы триэдров Oabl и Oacl при их общем ребре l являются смежными, поэтому их сумма равна p. Из триэдра Oabl cos g = cos x cos a 2 + sin x sin a 2 cos w, а из триэдра Oacl cos b = cos x cos a |