Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
O(ABM ). 2.3. Если все плоские углы триэдра тупые, то и все его двугранные углы также тупые. Докажите это утверждение и обратное ему утвер- ждение. 2.4. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при бо- ковом ребре имеет величину a. Найдите величину двугранного угла при основании. 2.5. В триэдре величина каждого плоского угла равна a. Найдите величину его двугранного угла. 2.6. В правильной треугольной пирамиде двугранный угол при осно- вании равен f. Найдите величину двугранного угла при боковом ребре. 2.7. Плоский угол при вершине правильной треугольной пирамиды равен a. Найдите величину двугранного угла при основании. 2.8. В триэдр с вершиной O вписана сфера с центром S. Докажите, что прямая OS перпендикулярна плоскости, содержащей точки каса- ния. 2.9. В триэдр O(ABC) вписана сфера, касающаяся его граней в точ- ках A 1 , B 1 , C 1 . Выразите величину угла AOB 1 через величины плоских углов триэдра. 47 2.10. В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен a. Найдите угол между противоположными боковыми гранями. 2.11. В треугольной пирамиде ABCD грани ABC и ABD — пря- моугольные равнобедренные треугольники с общей гипотенузой AB. Угол между ними равен a. Найдите величину двугранного угла при ребре BC. 2.12. В триэдре O(ABC) сумма углов AOB и AOC равна 180 ◦ . Вы- числите угол между ребром OA и биссектрисой угла BOC. 2.13. Плоские углы триэдра имеют величину a. Найдите угол между его ребром и осью описанного около него конуса. 2.14. В правильный триэдр с плоским углом a вписан конус. Опре- делите угол между ребром триэдра и осью этого конуса. 2.15. Плоские углы триэдра имеют величину a. Точка M внутренней области триэдра удалена от каждой его грани на расстояние a. Вычис- лите расстояние от точки M до вершины триэдра. 2.16. Докажите, что углы между биссектрисами плоских углов три- эдра либо все одновременно острые, либо все тупые, либо все прямые. 2.17. Докажите, что сумма косинусов двугранных углов триэдра меньше 1,5. 2.18. Даны три попарно скрещивающиеся прямые, не параллельные одной плоскости, и на одной из них точка P . Постройте плоскость, содержащую данную точку P и образующую равные углы с этими пря- мыми. 2.19. Через данную точку проведите плоскость, пересекающую ребра данного триэдра под равными углами. 2.20. Все плоские углы триэдра прямые. Постройте плоскость, пе- ресекающую этот триэдр по треугольнику, который равен заданному остроугольному треугольнику. 2.21. Постройте триэдр по его заданным плоским углам. 2.22. Постройте триэдр по его заданным двугранным углам. 2.23. Дан триэдр O(ABC), у которого плоские углы BOC и COA равны. В плоскостях COA и BOC выбраны соответственно лучи u, v с началом O, лежащие по разные стороны от плоскости AOB так, что угол ∠(OA, u) равен углу ∠(OB, v). Докажите, что биссектриса угла ∠(u, v) и ребра OA и OB лежат в одной плоскости. 2.24. Даны три плоскости, содержащие общую прямую, и луч, ле- жащий в одной из них и имеющий начало на этой прямой. Постройте триэдр, обладающий тем свойством, что каждая из данных плоскостей проходит через одно из его ребер и перпендикулярна противолежащей грани, причем одним из ребер служит данный луч. 48 2.25. Даны три прямые в одной плоскости и плоскость a, проходя- щая через одну из них. Постройте триэдр, обладающий тем свойствам, что каждая из данных прямых перпендикулярна одному из ребер и ле- жит в противолежащей грани, причем одна из граней лежит в плоско- сти a. 2.26. Докажите, что синус Штаудта триэдра может быть выра- жен так: ∆(O) = 2 p sin c sin(c − a) sin(c − b) sin(c − g), где c = 1 2 ( a + b + g). 2.27. Докажите, что плоские углы любого триэдра удовлетворяют неравенству: ab + bg + ga < 4 3 p 2 2.28. В треугольной пирамиде сумма плоских углов при вершине больше 180 ◦ . Докажите, что каждое боковое ребро меньше полупери- метра основания. 2.29. Докажите, что если в триэдре O(ABC) двугранный угол при ребре OC равен 90 ◦ , то sin a = tg b ctg b B. 2.30. Сечением куба плоскостью, содержащей его вершину, является равнобедренный треугольник с углом a между неравными сторонами. Найдите углы наклона плоскости сечения к плоскостям граней куба. 2.31. Если прямая образует равные углы с тремя непараллельными прямыми плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости. Дока- жите. 2.32. Для того чтобы в четырехгранный угол можно было вписать сферу, необходимо и достаточно, чтобы суммы его противоположных двугранных углов были равны. Докажите. 49 Г л а в а 3 Ортогональное проектирование § 1. Свойства ортогонального проектирования 1.1. Ортогональное проектирование как частный вид параллельного проектирования. Читатель уже знаком с параллельным проектирова- нием пространства на плоскость ([2], приложение 1). Образ фигуры Φ при заданном параллельном проектировании называется параллельной проекцией, или изображением этой фигуры на плоскости, которую на- зывают плоскостью проекций, или плоскостью изображения. Напомним свойства параллельного проектирования. 1. Если прямая не является проектирующей, то ее параллельная проекция есть прямая. Проекцией проектирующей прямой является точка. 2. Проекция проектирующей плоскости — прямая. 3. Проекции непроектирующих параллельных прямых параллельны. 4. Отношение отрезков, лежащих на одной прямой или на парал- лельных прямых, равно отношению их проекций. В частности, если направление проектирующих прямых перпендику- лярно плоскости проекций, то проектирование называется ортогональ- ным. Ортогональная проекция точки есть основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость проекций. Ортогональное проектирование обладает свойствами 1–4 и, кроме того, имеет дополни- тельно другие свойства. К ним можно отнести известную теорему о трех перпендикулярах. Ее следствием служит такое свойство. 5. Если хотя бы одна из двух перпендикулярных прямых параллель- на плоскости проекций, а другая не перпендикулярна этой плоскости, то ортогональные проекции этих прямых перпендикулярны. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть a и b — взаимно перпендикулярные прямые, a 1 и b 1 — их ортогональные проекции на плоскость p (рис. 35), причем a k p. Тогда a 1 ⊥b 1 . Действительно, из a k p следует a k a 1 и из a⊥b следует a 1 ⊥b. По теореме о трех перпендикулярах a 1 ⊥b 1 6. Длина ортогональной проекции отрезка, не перпендикулярного плоскости проекций, равна длине этого отрезка, умноженной на ко- синус угла его наклона к плоскости проекций (рис. 36): A 1 B 1 = AB cos a (3.1) a b a 1 b 1 O p Рис. 35 A B A 1 B 1 a a p Рис. 36 1.2. Площадь ортогональной проекции плоской фигуры. Проекци- ей фигуры на плоскость p называется множество проекций точек этой фигуры на плоскость p. Теорема. Площадь ортогональной проекции фигуры, лежащей в плоскости, равна произведению площади этой фигуры и косинуса угла между ее плоскостью и плоскостью проекций: S пр. = S cos a. (3.2) Д о к а з а т е л ь с т в о. Сначала рассмотрим ортогональную проек- цию A 1 B 1 C 1 треугольника ABC, одна сторона которого параллельна плоскости p проекций (рис. 37). Если AB k p и CD — высота треуголь- A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 a p Рис. 37 51 ника ABC, то C 1 D 1 — высота треугольника A 1 B 1 C 1 (по свойству 5). Тогда получаем: S A 1 B 1 C 1 = 1 2 A 1 B 1 · C 1 D 1 = 1 2 AB · (CD cos a) = S ABC cos a. Пусть теперь ни одна сторона проектируемого треугольника ABC не параллельна плоскости проекций. Тогда через его вершину проведем прямую m k p, разбивающую треугольник ABC на два треугольника (рис. 38). Ее проекция m 1 разбивает треугольник A 1 B 1 C 1 на два тре- угольника. По доказанному S A 1 B 1 C 1 = S A 1 B 1 M 1 + S A 1 C 1 M 1 = S ABM cos a + S ACM cos a = = (S ABM + S ACM ) cos a = S ABC cos a. Если данная фигура есть плоский многоугольник, то разобьем его на треугольники. Их ортогональные проекции составят ортогональную проекцию данного многоугольника. Поэтому для него также будет ис- тинно равенство (3.2). A B C M A 1 B 1 C 1 M 1 m m 1 p Рис. 38 Рис. 39 Наконец, пусть данная фигура Φ имеет криволинейную границу (рис. 39). Ее площадь может быть о п р е д е л е н а как предел после- довательности площадей многоугольников, каждый из которых вписан в граничную кривую, при условии, что число вершин (сторон) много- угольника неограниченно увеличивается, а длина наибольшей стороны стремится к нулю. Предполагается, что этот предел существует. В силу того, что теорема истинна для многоугольников и существует предел указанной последовательности площадей многоугольников, она будет истинна и для фигуры Φ. Рассмотрим важный пример на применение теоремы о площади ор- тогональной проекции фигуры. Дан круг радиуса r, лежащий в плоско- сти, которая наклонена к плоскости p проекций под углом a. Проекция 52 окружности этого круга является эллипсом (рис. 40). Проведем в этом круге два перпендикулярных диаметра AB и CD, причем CD k p. Тогда O 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 O p Рис. 40 C 1 D 1 ⊥A 1 B 1 (по свойству 5) и C 1 D 1 = = 2r — наибольший из диаметров эл- липса. Перпендикулярный ему диаметр A 1 B 1 = 2r cos a. Числа r и r cos a назы- ваются соответственно большой и малой полуосями эллипса: a = r и b = r cos a. По- этому на основании доказанной теоремы площадь S области плоскости проекций, ограниченной эллипсом, равна площади круга, умноженной на cos a: S = pr 2 · cos a = pr · r cos a = pab. Итак, S = pab — площадь области плоскости, ограниченной эллипсом, име- ющим полуоси a и b. 1.3. Формула проекций граней тетраэдра. Пусть H — ортогональ- ная проекция вершины D тетраэдра DABC на плоскость грани ABC. Обозначим площади граней BCD, ACD, ABD и ABC соответствен- но S 1 , S 2 , S 3 и S 4 . Если плоскости первых трех граней наклонены к плос- кости четвертой грани ABC под углами величины f 1 , f 2 , f 3 , то по теореме о площади ортогональной проекции имеем (рис. 41): S 1 cos f 1 + S 2 cos f 2 + S 3 cos f 3 = S HBC + S HAC + S HAB Косинусы двугранных углов a, b, g тетраэдра DABC при ребрах BC, CA, AB могут отличаться от косинусов углов f 1 , f 2 , f 3 только знаком. A B C D H Рис. 41 Если точка H находится внутри треуголь- ника ABC, то a = f 1 , b = f 2 , g = f 3 и тогда сумма площадей проекций трех граней рав- на S 4 . Поэтому S 1 cos a + S 2 cos b + S 3 cos g = S 4 (3.3) Однако один или два из углов a, b, g могут быть тупыми. Например, в слу- чае, представленном на рис. 41, b > p 2 , b = p − f 2 , cos b = − cos f 2 . Следовательно, слагаемое S 2 cos b отрицательно, поэтому площадь проекции HAC будет вычитаться из рассматриваемой суммы, а эта сумма снова будет равна S 4 . Очевидно, равенство (3.3) останется 53 верным и тогда, когда один или два из углов a, b, g прямые, т. е. ко- гда точка H лежит на стороне треугольника ABC или совпадает с его вершиной. Итак, соотношение (3.3) истинно при любом положении проекции H вершины тетраэдра DABC, т. е. для любого тетраэдра. Оно называется формулой проекций для тетраэдра. Следствие. Площадь любой грани тетраэдра меньше суммы пло- щадей трех остальных его граней: S 4 < S 1 + S 2 + S 3 1.4. Пример задачи. Дан тетраэдр ABCD. Докажите, что S 2 1 + S 2 2 − − 2S 1 S 2 cos( d CD) = 1 4 (AB · CD sin( \ AB, CD)) 2 , где ( d CD) — величина дву- гранного угла при ребре CD. A B C D P Q A 1 B 1 p Рис. 42 Д о к а з а т е л ь с т в о. Через вершину D проведем плоскость p перпендикулярно ре- бру CD. Ортогональной проекцией тетраэд- ра ABCD на плоскость p является треуголь- ник A 1 B 1 D (рис. 42). Пусть AP ⊥CD и BQ⊥ ⊥CD. Тогда DA 1 = AP = 2S 2 CD и DB 1 = BQ = = 2S 1 CD . По свойству 6 A 1 B 1 = AB cos( \ AB, p) = AB sin( \ AB, CD). По теореме косинусов для треугольника A 1 B 1 D имеем: A 1 B 2 1 = DA 2 1 + DB 2 1 − 2DA 1 · DB 1 cos \ A 1 DB 1 После соответствующих подстановок получаем: (AB sin( \ AB, CD)) 2 = 2S 2 CD 2 + 2S 1 CD 2 − 2 4S 1 S 2 CD 2 cos( d CD). А это эквивалентно доказываемому равенству. § 2. Ортогональная проекция угла 2.1. Общая формула ортогональной проекции угла. Пусть угол ACB величины f ортогонально спроектирован на плоскость, и его проекция AC 1 B имеет меру y (рис. 43). Пусть лучи CA, CB и плоскость угла наклонены к плоскости проекций соответственно под углами a, b, w. 54 A B C D C 1 a b f y w Рис. 43 Искомая зависимость между указанными углами является следствием известной зави- симости между площадью треугольника ABC и площадью его ортогональной проекции: S ABC 1 = S ABC cos w, которая эквивалентна ра- венству AC 1 · BC 1 sin y = AC · BC sin f cos w, откуда sin y = AC AC 1 · BC BC 1 sin f cos w. Так как AC AC 1 = 1 cos a и BC BC 1 = 1 cos b , то получаем окончательно: sin y = cos w cos a cos b sin f. (3.4) Угол AC 1 B есть линейный угол двугранного угла между плоскостя- ми ACC 1 и BCC 1 . Поэтому аналогичную зависимость можно написать сразу по теореме косинусов для трехгранного угла с вершиной C и ре- брами CA, CB, CC 1 : cos f = sin a sin b + cos a cos b cos y. (3.5) Это соотношение не содержит угла w, однако оно неудобно в исполь- зовании из-за того, что его правая часть есть сумма, а не произведение. 2.2. Частные случаи. Рассмотрим важные частные случаи, часто встречающиеся при решении задач. 1 ◦ . Если a = b, т. е. треугольник ABC равнобедренный (AC = BC), то на основании соотношения (3.5) имеем: cos f = sin 2 a + cos 2 a cos y, откуда cos 2 a = cos f − 1 cos y − 1 = −2 sin 2 f 2 −2 sin 2 y 2 и cos a = sin f 2 sin y 2 Итак, если стороны проектируемого угла меры f равнонаклонены к плоскости проекций под углом a, то величина y его ортогональной проекции связана с a и f зависимостью: sin f 2 = sin y 2 cos a. (3.6) Тогда соотношение (3.4) принимает вид: sin y = cos w cos 2 a sin f, или sin y = sin 2 y 2 sin 2 f 2 sin f cos w, 55 откуда tg f 2 = tg y 2 cos w. (3.7) Таким образом, если стороны проектируемого угла меры f равнона- клонены к плоскости проекций и его плоскость наклонена к плоскости проекций под углом w, то величина y ортогональной проекции данного угла связана с f и w зависимостью (3.7). 2 ◦ . Если b=w (рис. 44), то зависимость (3.4) упрощается: A B C C 1 a f y w Рис. 44 sin f = sin y cos a. (3.8) Используя зеркальную симметрию относи- тельно плоскости BCC 1 , этот случай можно свести к предыдущему. Тогда согласно форму- ле (3.7) будем иметь tg f = tg y cos w, f < 90 ◦ , y < 90 ◦ (3.9) С равным правом tg a = tg w cos y, a < 90 ◦ , w < 90 ◦ (3.9a) Итак, если ортогональной проекцией прямоугольного треугольника ABC является прямоугольный треугольник ABC 1 , в которых прямые углы при вершине B (или A), то имеют место равенства (3.8), (3.9), (3.9a). Поскольку в этом случае углы w и y меньше 90 ◦ , то из последних формул следует, что f < y и a < w. Отсюда получаем известное экстре- мальное свойство угла между плоскостями (§ 4 гл. 1, теорема 10). Во всех предыдущих рассуждениях предполагалось, что вершина C проектируемого угла не принадлежит плоскости проекций. Однако это обстоятельство несущественно. Ясно, что если плоскость проекций за- менить любой другой п а р а л л е л ь н о й ей плоскостью, то каждый из рассматриваемых углов не изменит свою величину и потому все полу- ченные формулы останутся в силе. В частности, это имеет место и тогда, когда плоскость проекций будет содержать вершину C данного угла. В этом можно убедиться еще с помощью зеркальной симметрии отно- сительно плоскости симметрии точек C и C 1 3 ◦ . Остался не рассмотренным случай, когда одна из сторон проек- тируемого угла параллельна плоскости проекций (рис. 45). Пусть такой стороной является сторона CB. Считая пока угол f острым, проведем через точку A плоскость, перпендикулярную CB. Тогда угол C 1 AB 1 является ортогональной проекцией угла CAB в случае 2 ◦ (с учетом 56 замечания о замене плоскости проекций). Заменив углы f и y соот- ветственно на 90 ◦ − f и 90 ◦ − y, по формулам (3.8) и (3.9) получаем: A B B 1 C C 1 a f y w Рис. 45 cos f = cos y cos a, (3.10) ctg f = ctg y cos w. (3.11) Когда углы f и y больше 90 ◦ , то смежные с ни- ми углы меньше 90 ◦ , и потому для них эти фор- мулы также имеют место. Следовательно, они остаются в силе и для углов f и y. Зависимость (3.10) получается из (3.5) при b = 0. В других возможных ситуациях, кроме рас- смотренных, когда одна или обе стороны проек- тируемого угла не пересекают плоскость проек- ций и не параллельны ей, следует использовать полученные формулы для углов, смежных или вертикальных проектируемым. 2.3. Сравнение величины угла и величины его ортогональной проек- ции. Исследование начнем со случая, когда b = w (рис. 44). Тогда имеет место равенство (3.8), в котором все углы меньше 90 |