Я. П. Понарин элементарная геометрия том 2 стереометрия, преобразования пространства москва
 Скачать 1.7 Mb.
|
|
BC = DA, то она имеет ось симметрии. Истинно ли обратное утвер- ждение? 10.13. В четырехгранном угле противоположные плоские углы рав- ны в каждой из двух пар. Докажите, что он имеет ось симметрии. 10.14. Сумма двух плоских углов трехгранного угла равна 180 ◦ . До- кажите, что биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна обще- му ребру первых двух плоских углов. Докажите обратное утверждение. 10.15. Даны два равных отрезка, не лежащие в одной плоскости. Найдите движения пространства, каждое из которых отображает один из данных отрезков на другой. 10.16. Дан угол AOB и точка M вне его плоскости. Найдите на сто- ронах этого угла точки C и D такие, чтобы треугольник M CD имел наименьший периметр. 10.17. Фигура Φ имеет две оси a и b симметрии. Докажите, что пря- мая c = S b (a) также является осью симметрии фигуры Φ. 212 10.18. Постройте правильный тетраэдр, две вершины которого ле- жат на данной прямой, третья вершина — на другой данной прямой, а четвертая — на данной плоскости. 10.19. Если тетраэдр имеет плоскость симметрии, то две его гра- ни являются равнобедренными треугольниками, основаниями которых служит общее ребро этих граней. Докажите. 10.20. Даны два равных треугольника с общей вершиной, не лежа- щие в одной плоскости. Докажите, что один из них можно отобразить на другой некоторым поворотом около оси. 10.21. Даны два равных треугольника ABC и A 1 B 1 C 1 , лежащих в различных плоскостях. Докажите, что если плоскости симметрии от- резков AA 1 , BB 1 , CC 1 имеют единственную общую точку O, то тре- угольник ABC отображается на треугольник A 1 B 1 C 1 поворотной сим- метрией с центром O. 10.22. Постройте куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 , ребро AA 1 которого при- надлежит данной прямой, а вершины B, D, B 1 , D 1 — данной сфере. 10.23. Разрежьте куб на три равные пирамиды. 10.24. Через данную прямую проведите плоскость, образующую с данной плоскостью угол заданной величины. 10.25. Через данную прямую проведите плоскость, образующую рав- ные углы с двумя данными скрещивающимися прямыми. 10.26. Через каждое ребро тетраэдра проведена плоскость, парал- лельная отрезку, соединяющему данную точку S с серединой противо- положного ребра. Докажите, что все шесть плоскостей пересекаются в одной точке. 10.27. Точки A и B лежат в одном полупространстве от плоскости a. Найдите в плоскости a такую точку M, чтобы сумма AM + MB была наименьшей. 10.28. Точка M лежит внутри меньшего двугранного угла между плоскостями a и b. Найдите в плоскостях a и b соответственно точки A и B такие, чтобы треугольник ABM имел наименьший периметр. 10.29. В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром J , касающаяся грани ABC в точке P . Точки D 1 , D 2 , D 3 симметричны точке D относи- тельно плоскостей J BC, J CA, J AB. Докажите, что точка P есть центр окружности D 1 D 2 D 3 10.30. Угол между данной прямой m и осью l поворота R a l равен f. Вычислите угол между прямой m и ее образом при этом повороте. В ка- ком случае он равен углу поворота? 10.31. Прямая l наклонена к плоскости g под углом f. Вычислите угол между плоскостью g и ее образом при повороте R a l . В каком случае он равен углу поворота? 213 10.32. Прямая b является образом прямой a при поворотной симмет- рии R f l ◦ S a (l ⊥ a). Найдите угол между прямыми a и b, если прямая a наклонена к плоскости a симметрии под углом y. 10.33. Найдите композицию а) двух центральных симметрий, б) центральной симметрии и переноса, в) трех центральных симметрий. 10.34. Найдите композицию Z O ◦ S a ◦ S l , если прямая l параллельна плоскости a и точка O лежит в a. 10.35. Найдите композицию центральных симметрий относительно последовательно взятых вершин параллелограмма. 10.36. Найдите композицию осевых симметрий, оси которых содер- жат последовательно взятые стороны параллелограмма. 10.37. Найдите композицию зеркальной и центральной симметрий, если плоскость первой не содержит центр второй. 10.38. Найдите композицию переноса T r и осевой симметрии S l при условии, что r ∦ l. 10.39. Композиция трех осевых симметрий является осевой симмет- рией: S c ◦ S b ◦ S a = S l . Какое взаимное положение могут иметь пря- мые a, b, c? Постройте ось l этой композиции в каждом из возможных случаев. 10.40. Композиция трех осевых симметрий есть перенос. Каково вза- имное положение их осей? 10.41. Если плоскости a и b являются плоскостями симметрии фи- гуры, то плоскость g, симметричная плоскости a относительно плоско- сти b, также является плоскостью симметрии этой фигуры. Докажите это утверждение. Будет ли верным аналогичное утверждение для осей симметрии фигуры? для центров симметрии? 10.42. Если движение не имеет неподвижных точек, но имеет три попарно параллельные неподвижные прямые, не лежащие в одной плос- кости, то оно является переносом. Докажите. 10.43. Скрещивающиеся прямые a и b образуют с прямой l равные углы. Докажите, что существует поворот о осью l, отображающий пря- мую a на прямую a 1 , параллельную прямой b. 10.44. Прямые a, b, c, d в пространстве имеют общую точку и угол между прямыми a и b равен углу между прямыми c и d. Найдите все движения пространства, каждое из которых отображает пару (a, b) на пару (c, d). 10.45. В тетраэдре ABCD равны противоположные ребра в двух парах: AB = CD и BC = DA. Докажите, что его центроид, центр опи- санной сферы и центр вписанной сферы лежат на одной прямой. 214 10.46. Дан куб ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Прямые AB 1 , BC 1 , CD 1 , DA 1 пере- сечены плоскостью, параллельной грани ABCD. Докажите, что точки пересечения являются вершинами квадрата. 10.47. Найдите композицию симметрий относительно прямых, содер- жащих стороны некоторого треугольника. 10.48. Найдите композицию симметрий относительно трех попарно параллельных прямых. 10.49. Найдите композицию зеркальной симметрии и переноса, век- тор которого не параллелен плоскости симметрии. 10.50. Найдите композицию зеркальной симметрии и поворота, ось которого параллельна плоскости симметрии. 10.51. Найдите композицию зеркальной симметрии и поворота, ось которого не параллельна плоскости симметрии. 10.52. В сферу вписан параллелепипед ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Точки M и N — середины отрезков AC и CC 1 соответственно. Докажите, что композицией симметрий с центрами A, M , N (взятых в этом порядке) данная сфера отображается на себя. 10.53. Если биссектрисы двух плоских углов трехгранного угла пер- пендикулярны, то биссектриса третьего плоского угла перпендикулярна каждой из них. Докажите. 10.54. Плоскости a, b, g содержат грани трехгранного угла OABC. Найдите неподвижные плоскости композиций зеркальных симметрий: S g ◦ S b ◦ S a , S a ◦ S g ◦ S b , S b ◦ S a ◦ S g 10.55. Постройте трехгранный угол по биссектрисам трех его плос- ких углов. 10.56. Дан правильный тетраэдр ABCD. Рассматривается множе- ство осевых симметрий пространства, каждая из которых отображает A на B. Найдите множество прямых, являющихся образами прямой AC при этих симметриях. 10.57. Даны три плоскости и точка A. Постройте плоскость, содер- жащую точку A, которая композицией трех зеркальных симметрий от- носительно данных плоскостей отображается на параллельную ей плос- кость. 10.58 ∗ . Даны точки A и B. Докажите, что критерием параллельно- сти прямой AB и прямой m является следующее равенство: Z A ◦ S m ◦ Z A = Z B ◦ S m ◦ Z B 10.59 ∗ . Даны точки A и B. Докажите, что критерием принадлеж- ности середины M отрезка AB плоскости a является равенство: (Z A ◦ S a ) 2 = (S a ◦ Z B ) 2 215 10.60. Куб с ребром длины a повернут около ребра на угол 45 ◦ Найдите объем пересечения этого куба и его образа при этом пово- роте. 10.61. Куб с ребром длины a повернули около диагонали на 60 ◦ Найдите объем пересечения куба и его образа. 10.62. Правильный тетраэдр, длина ребра которого равна a, повер- нут около ребра на угол, равный половине его двугранного угла. Най- дите объем пересечения данного тетраэдра и его образа. 10.63. Правильный тетраэдр с ребром длины a повернут на 90 ◦ около общего перпендикуляра двух скрещивающихся ребер. Вычислите объем пересечения этого тетраэдра и его образа. 10.64. Даны три попарно перпендикулярные прямые, имеющие об- щую точку. Укажите все движения пространства, каждое из которых отображает на себя образованную ими фигуру. 10.65. Найдите группу движений пространства, каждое из которых отображает на себя данный квадрат. 10.66. Найдите группу самосовмещений правильного октаэдра. В задачах 10.67–10.77 покажите, что данными формулами задано движение пространства, определите его вид и характеристические эле- менты: 10.67. 10.68. x 0 = 1 3 x − 2 3 y − 2 3 z + 2 3 , y 0 = − 2 3 x + 1 3 y − 2 3 z + 2 3 , z 0 = − 2 3 x − 2 3 y + 1 3 z + 2 3 x 0 = − 1 3 x + 2 3 y + 2 3 z, y 0 = 2 3 x − 1 3 y + 2 3 z, z 0 = 2 3 x + 2 3 y − 1 3 z. 10.69. 10.70. x 0 = 4 5 x + 3 5 y − 1, y 0 = 3 5 x − 4 5 y + 3, z 0 = −z + 2. x 0 = 2 3 x + 2 3 y + 1 3 z + 1, y 0 = 11 15 x − 10 15 y − 2 15 z − 2, z 0 = 2 15 x + 5 15 y − 14 15 z − 1. 10.71. 10.72. x 0 = 11 15 x + 2 15 y + 10 15 z + 7, y 0 = 2 15 x + 14 15 y − 5 15 z + 4, z 0 = − 2 3 x + 1 3 y + 2 3 z + 6. x 0 = 2 3 x + 2 3 y + 1 3 z + 1, y 0 = − 11 15 x + 10 15 y + 2 15 z + 2, z 0 = 2 15 x + 5 15 y − 14 15 z + 3. 216 10.73. 10.74. x 0 = 3 5 x + 4 5 y + 1, y 0 = 4 5 x − 3 5 y − 2, z 0 = z + 3. x 0 = 6 7 x − 2 7 y − 3 7 z + 7, y 0 = − 2 7 x + 3 7 y − 6 7 z + 14, z 0 = − 3 7 x − 6 7 y − 2 7 z − 7. 10.75. 10.76. x 0 = − 4 9 x − 1 9 y − 8 9 z + 14, y 0 = − 7 9 x − 4 9 y + 4 9 z + 2, z 0 = 4 9 x − 8 9 y − 1 9 z − 5. x 0 = − 6 7 x + 2 7 y + 3 7 z − 7, y 0 = 2 7 x − 3 7 y + 6 7 z − 14, z 0 = 3 7 x + 6 7 y + 2 7 z + 7. 10.77. x 0 = − 2 3 x − 2 3 y − 1 3 z − 10, y 0 = − 10 15 x + 11 15 y − 2 15 z − 4, z 0 = − 5 15 x − 2 15 y + 14 15 z − 2. 10.78. Найдите формулы симметрии относительно прямой x 2 = y 2 = z 1 10.79. Найдите формулы поворота на 60 ◦ около прямой ( x = y, z = 0. 10.80. Найдите формулы симметрии относительно плоскости 2x + + 2y − z = 0. 10.81. Найдите формулы переносной симметрии с плоскостью 2x − − y − 5z + 15 = 0 и вектором r(4, 3, 1). 10.82. Найдите формулы винтового движения с осью x 2 = y 2 = z − 9 1 , углом 90 ◦ и вектором r(−6, −6, −3). 10.83. Движение пространства задано формулами: x 0 = a 1 x + b 1 y + c 1 z + x 0 , y 0 = a 2 x + b 2 y + c 2 z + y 0 , z 0 = a 3 x + b 3 y + c 3 z + z 0 Докажите, что образом вектора r(x, y, z) при этом движении является вектор r 0 (x 1 , y 1 , z 1 ), для которого x 1 = a 1 x + b 1 y + c 1 z, y 1 = a 2 x + b 2 y + c 2 z, z 1 = a 3 x + b 3 y + c 3 z. 217 10.84. Даны векторы a(8, 4, 1) и b(6, −6, 3). Найдите матрицу пово- рота пространства около оси, перпендикулярной этим векторам, кото- рый отображает вектор a на вектор b. 10.85. Докажите, что при симметрии относительно прямой с направ- ляющим вектором p образом вектора r является вектор r 0 = − r + 2 p r p 2 p. 10.86. Пусть n — некоторый вектор, ортогональный плоскости пере- носной симметрии, r = M M 0 для произвольной пары M → M 0 соответ- ственных точек при этой симметрии. Докажите, что вектор p переноса, входящего в ее состав, равен p = r − n r n 2 n. 10.87. Пусть p — некоторый направляющий вектор оси винтового движения, r = M M 0 для любой пары M → M 0 соответственных точек при этом движении. Докажите, что вектор q переноса, входящего в со- став винтового движения, равен q = r p p 2 p. 10.88. Точка пересечения данных прямых a и b принадлежит данной плоскости w. Постройте плоскости a и b, содержащие соответственно эти прямые, так, чтобы они были равнонаклонены к плоскости w и пе- ресекались по прямой, лежащей в w. 10.89. Постройте отрезок заданной длины, параллельный данной плоскости, с концами на двух данных скрещивающихся прямых. 218 Г л а в а 11 Подобия пространства § 1. Гомотетия пространства 1.1. Обзор теории. На страницах 206–214 учебного пособия [8] по- дробно изложена гомотетия плоскости. По существу это изложение сохраняет силу и для гомотетии пространства. Именно, остаются без изменения определение гомотетии с поправкой на множество точек пространства, теорема об образе прямой, способы задания гомотетии и построения образа точки, теорема о композиции двух гомотетий. До- полнительно к этому необходима теорема об образе плоскости. Теорема 1. Плоскость, не содержащая центр гомотетии, отобра- жается гомотетией на параллельную ей плоскость. Плоскость, со- держащая центр гомотетии, отображается на себя. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть плоскость a не содержит центр O гомо- тетии H k O пространства и A, B, C — три фиксированные неколлинеар- ные точки этой плоскости. Тогда для произвольной точки M плоскости AM = x AB + y AC. Если A 0 , B 0 , C 0 , M 0 — образы точек A, B, C, M при данной гомотетии, то A 0 M 0 = k AM , A 0 B 0 = k AB, A 0 C 0 = k AC. Поэтому 1 k A 0 M 0 = x k A 0 B 0 + y k A 0 C 0 , т. е. A 0 M 0 = x A 0 B 0 + y A 0 C 0 . Следо- вательно, векторы A 0 M 0 , A 0 B 0 , A 0 C 0 компланарны и точка M 0 лежит в плоскости A 0 B 0 C 0 . Аналогично доказывается, что прообразом лю- бой точки плоскости A 0 B 0 C 0 является некоторая точка плоскости a. Итак, образом данной плоскости a при гомотетии является плоскость A 0 B 0 C 0 . Поскольку AB k A 0 B 0 и AC k A 0 C 0 , то эти плоскости парал- лельны. Второе утверждение теоремы непосредственно следует из опреде- ления гомотетии, так как соответственные точки коллинеарны с цен- тром O гомотетии. Существенным отличием гомотетии пространства от гомотетии плоскости является тот факт, что гомотетия пространства H k O при k > 0 является преобразованием первого рода, а при k < 0 — преобразованием второго рода, тогда как любая гомотетия плоскости есть преобразова- ние первого рода. В силу инвариантности величины угла между прямыми при гомо- тетии пространства будут инвариантны перпендикулярность прямой и плоскости, величина угла между двумя плоскостями, в частности, перпендикулярность двух плоскостей. Так как при гомотетии расстояния между точками умножаются на постоянное число |k|, то образом сферы является сфера, образом окруж- ности — окружность (как пересечение сферы и плоскости). Теорема 2. Любые две неравные сферы являются соответственны- ми при двух гомотетиях (гомотетичны дважды). Доказательство полностью аналогично доказательству теоремы о го- мотетичности двух окружностей плоскости. Отсюда следует, что две неравные окружности пространства, лежа- щие в параллельных плоскостях или в одной плоскости, гомотетичны дважды. 1.2. Композиция гомотетии и переноса. Докажем, что композицией гомотетии и переноса T r ◦ H k O является гомотетия с тем же коэффици- ентом k и новым центром S. O X X 1 X 2 S S 1 m ¯ r ¯ r Рис. 162 Действительно, пусть H k O (X) = X 1 (X 6= 6= O) и T r (X 1 ) = X 2 (рис. 162). Проведем че- рез центр O гомотетии прямую m k r и по- строим образ S 1 точки S = m ∩ (XX 2 ) при этой гомотетии H k O . Тогда S 1 S = r и поэтому точка S неподвижна при заданной компози- ции и не зависит от выбора точки X. Так как, кроме того, SX 2 : SX = OX 1 : OX = k, то ис- комая композиция является гомотетией H k S 1.3. Гомотетия пространства в задачах. Приемы использования го- мотетии в решении стереометрических задач те же, что и в планимет- рии. В качестве примера рассмотрим решения трех задач. A B C D Q L M N Q 1 L 1 M 1 N 1 P K Рис. 163 З а д а ч а 1. Дан произволь- ный тетраэдр ABCD. Постройте его сечение плоскостью, которое является ромбом. Р е ш е н и е. Любое сечение тет- раэдра плоскостью, параллельной двум его скрещивающимся ребрам, есть параллелограмм. Пусть па- раллелограмм M N P Q — неко- торое сечение тетраэдра ABCD плоскостью, которая параллельна ребрам AC и BD (рис. 163). На луче M N отложим M K = M Q и построим ромб M KLQ. Пусть 220 (AK) ∩ (BC) = K 1 . Гомотетия с центром A, при которой K → K 1 , отоб- ражает ромб M KLQ на искомый ромб M 1 K 1 L 1 Q 1 , так как образ ромба при гомотетии есть ромб и точки M 1 , K 1 , L 1 , Q 1 принадлежат ребрам данного тетраэдра ABCD. Для выбранной пары (AC, BD) скрещивающихся ребер тетраэдра искомое сечение всегда существует и единственно. Следовательно, для любого тетраэдра всегда существуют три и только три сечения, имею- щие форму ромбов. З а д а ч а 2. Даны тетраэдр A 1 A 2 A 3 A 4 и некоторая точка P про- странства, не совпадающая с его центроидом G. Через каждую вер- шину A i тетраэдра проведена прямая m i , параллельная прямой, со- держащей точку P и центроид грани a i , противолежащей вершине A i Докажите, что построенные четыре прямые пересекаются в одной точ- ке Q и найдите отношение P Q : P G. Р е ш е н и е. Пусть G i — центроид грани a i . По свойству медиан тетраэдра тетраэдры G 1 G 2 G 3 G 4 и A 1 A 2 A 3 A 4 гомотетичны относитель- но центроида G с коэффициентом −3, а прямые m i — суть образы прямых P G i при этой гомотетии. Так как прямые P G i имеют об- A 0 O B 0 a 0 w A S X a g Рис. 164 щую точку P , то их образы m i также имеют общую точку Q. То- гда GQ : GP = −3, откуда P Q : : P G = 4. З а д а ч а 3. Постройте сферу, касающуюся данной плоскости a в данной точке A и данной сфе- ры w. Р е ш е н и е. Две касающиеся сферы гомотетичны с центром го- мотетии в точке касания. Центр X искомой сферы g лежит на пер- пендикуляре к плоскости a в точ- ке A и на прямой, соединяющей центр O данной сферы w с точ- кой S касания сфер. Поэтому за- дача сводится к построению точки S. При указанной гомотетии об- разом плоскости a является параллельная ей плоскость a 0 , касающа- яся данной сферы w. Плоскость a 0 легко строится (рис. 164). Прямая AA 0 пересекает сферу w вторично в искомой точке S. Второй конец B 0 диаметра сферы w, перпендикулярного плоскости a, аналогичным путем приводит еще к одной сфере, удовлетворяющей требованию за- дачи. 221 § 2. Преобразования подобия 2.1. Определение и инварианты подобий пространства. Преобразо- вание пространства называется преобразованием подобия, или подоби- ем, если для любых двух точек A и B и их образов A 1 и B 1 при этом преобразовании выполняется равенство A 1 B 1 = kAB, где k — постоянное (положительное) число, называемое коэффициентом подобия. В частно- сти, при k = 1 подобие является движением. Гомотетия с коэффициен- том k есть подобие с коэффициентом |k|. Как и в планиметрии, подобие f k пространства можно представить композицией гомотетии H ±k O и движения f : f k = f ◦ H ±k O (11.1) Из представления (11.1) подобия вытекают свойства (инварианты) по- добий пространства. 1. При подобии прямая отображается на прямую, отрезок на отре- зок на отрезок, луч на луч, плоскость на плоскость, полуплоскость на полуплоскость. 2. Подобие сохраняет величину угла между прямыми, между прямой и плоскостью, между двумя плоскостями. 3. Подобие сохраняет отношение любых двух отрезков. (Это — пря- мое следствие из определения подобия). 4. Если тело T 0 — образ тела T при подобии f k , то V (T 0 ) = k 3 V (T ). В частности, если T и T 0 — тетраэдры, то это отношение есть след- ствие первой формулы Штаудта для объема тетраэдра, определения подобия и свойства 2. Если T 0 и T — многогранники, то их можно раз- бить на подобные тетраэдры, откуда и будет следовать свойство 4. Для других тел оно получается с помощью соответствующих формул их объ- емов. Существуют два рода подобий пространства. Подобия первого ро- да сохраняют ориентацию каждого тетраэдра, подобия второго рода переводят каждый тетраэдр в тетраэдр противоположной ориентации. (Об ориентации тетраэдра см. § 2 гл. 10.) Аналогично соответствующей теореме для подобий плоскости дока- зывается теорема о задании подобия пространства: если даны два тетраэдра ABCD и A 0 B 0 C 0 D 0 такие, что A 0 B 0 = kAB, B 0 C 0 = kBC, C 0 D 0 = kCD, A 0 C 0 = kAC, A 0 D 0 = kAD, B 0 D 0 = kBD, то существует толь- ко одно подобие пространства, при котором A → A 0 , B → B 0 , C → C 0 , D → D 0 2.2. Координатные формулы подобий пространства получаются на основе формул (10.1) движения и представления (11.1) подобия. Поль- 222 зуясь произволом выбора центра гомотетии, примем в качестве него начало O заданной прямоугольной декартовой системы координат. То- гда для подобия f k получаем формулы: x 0 = k(a 1 x + b 1 y + c 1 z) + x 0 , y 0 = k(a 2 x + b 2 y + c 2 z) + y 0 , z 0 = k(a 3 x + b 3 y + c 3 z) + z 0 (11.2) Так как гомотетия, с положительным коэффициентом есть преобра- зование первого рода, то в этих формулах род движения f совпадает с родом подобия f k . Напомним, что матрица a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 ортогональна (п. 7.2 гл. 10). 2.3. Центр подобия пространства. Поскольку существуют гомотетии двух родов, то в представлении (11.1) подобия пространства можно всегда полагать совпадающими род подобия и род гомотетии. Тогда в этом представлении движение f будет всегда движением только перво- го рода. Таковыми являются переносы, повороты и винтовые движения. Но композиция гомотетии и переноса есть гомотетия с другим центром. Следовательно, все подобия пространства сводятся к композициям го- мотетии и поворота: f k = R a l ◦ H ±k A (11.3) Ось l поворота зависит от выбора центра A гомотетии. Подобие, отличное от движения, не может иметь более одной непо- движной точки, которая называется центром подобия. Докажем, что подобие, не являвшееся движением, всегда имеет центр. Пусть подобие пространства задано композицией (11.3). Если A ∈ l, то точка A и есть искомый центр подобия. При A / ∈ l проведем через A плоскость w перпендикулярно l. Плоскость w неподвижна как при гомо- тетии, так и при повороте, и следовательно, неподвижна и при заданном подобии. На множестве точек этой плоскости w данное подобие f k явля- ется композицией гомотетии с центром A и поворота R a B , где B = l ∩ w. Эта композиция является подобием первого рода плоскости w. Поэто- му его неподвижная точка Q существует. Ее построение рассмотрено в следующем пункте 2.4. Эта точка Q и есть центр данного подобия f k пространства. 2.4. Построение центра подобия первого рода плоскости. Пусть по- добие f k первого рода плоскости задано композицией f k = R a B ◦ H k A (11.4) 223 Центр B поворота зависит от выбора центра A гомотетии. Требуется найти точку Q = f k (Q). Построим точку A 0 = R a B (A) и точку B 0 , для которой H k A (B 0 ) = B (рис. 165). Тогда f k (A) = A 0 и f k (B 0 ) = B. По определению поворота ори- ентированный угол ABA 0 равен углу a поворота. По свойству подобий A B A 0 B 0 Q a a a Рис. 165 первого рода плоскости ориентированные углы AQA 0 и B 0 QB также равны a (угол подобия). Поэтому искомая точка Q принадлежит той дуге AA 0 окружности ABA 0 , для которой точка B является серединой. Из точки Q отрезок B 0 B виден под (ориентированным!) углом a. Сле- довательно, точка Q принадлежит одной из двух дуг окружностей из- вестного множества точек плоскости. Таким образом, искомый центр Q подобия есть вторая точка пересечения двух указанных дуг, имеющих общую точку B. Построенная точка Q действительно неподвижна при заданном по- добии f k . Это подобие может быть задано двумя парами соответствен- ных точек A → A 0 и B 0 → B. Треугольники AQB 0 и A 0 QB подобны (по равенству углов A и A 0 , B 0 QA и BQA 0 ) и одинаково ориентированы. Это значит, что Q → Q. 2.5. Классификация подобий пространства. В представлении (11.3) подобия пространства композицией гомотетии и поворота возьмем за центр гомотетии неподвижную точку Q (центр) подобия. Тогда эта точ- ка Q необходимо должна принадлежать оси l поворота. Итак, имеем классификационную теорему о подобиях пространства, Теорема. Любое подобие пространства, отличное от движения и гомотетии, является композицией гомотетии и поворота около оси, содержащей центр гомотетии. Род гомотетии совпадает с ро- дом подобия. Эта композиция коммутативна. 224 Указанная композиция гомотетии и поворота, ось которого содержит центр гомотетии, называется гомотетическим поворотом простран- ства. Он может быть первого или второго рода. Наглядно классификацию всех подобий пространства, включая и движения, можно представить следующей схемой. ПОДОБИЯ ПРОСТРАНСТВА Подобия первого рода Подобия второго рода Гомотетии I рода Движения I рода Гомотетичес- кие поворо- ты I рода Гомотетии II рода Движения II рода Гомотетичес- кие поворо- ты II рода Переносы Повороты около оси Винтовые движения Зеркальные симметрии Переносные симметрии Поворотные симметрии Тождественное движение Осевые симметрии Центральные симметрии Задачи к главе 11 11.1. Докажите, что шесть центров гомотетий трех попарно нерав- ных сфер лежат по три на четырех прямых. 11.2. Докажите, что шесть центров гомотетий четырех попарно го- мотетичных фигур лежат в одной плоскости по три на четырех прямых. 11.3. Найдите отношение объема тетраэдра к объему тетраэдра, вер- шинами которого являются центроиды граней данного тетраэдра. 11.4. Постройте куб, одна грань которого касается данной сферы, а вершины противоположной грани лежат на этой сфере. Найдите от- ношение ребра куба к диаметру сферы. 11.5. Две сферы касаются внутренним образом в точке S. Плос- кость a касается меньшей сферы в точке T . Докажите, что луч ST служит осью конуса с вершиной S, содержащего окружность пересече- ния плоскости a с большей сферой. 11.6. Постройте сферу, проходящую через данную точку и касающу- юся трех данных пересекающихся плоскостей. 11.7. Постройте сферу, проходящую через две данные точки и каса- ющуюся двух данных плоскостей. 225 11.8. Постройте сферу, касающуюся трех данных пересекающихся плоскостей и данной сферы. 11.9. Докажите, что две ограниченные фигуры не могут быть гомо- тетичными более чем двумя способами. 11.10. Преобразование пространства, отличное от движения, отобра- жает каждую прямую на параллельную ей прямую или на себя. Дока- жите, что это преобразование является гомотетией. 11.11. Преобразование пространства отображает каждую прямую на прямую и сохраняет величину угла между прямыми. Докажите, что это преобразование является подобием. 11.12. Найдите множество центров гомотетий пространства, каж- дая из которых отображает три заданные точки на точки, принад- лежащие трем заданным плоскостям, имеющим единственную общую точку. 11.13. Найдите множество центров гомотетий пространства с одним и тем же коэффициентом, при каждой из которых образ данной пря- мой m пересекает другую данную прямую l. 11.14. Найдите множество прямых, проходящих через данную точку и обладающих тем свойством, что отрезки этих прямых, заключенные между двумя данными плоскостями, делятся данной точкой в одном и том же отношении k. 11.15. Докажите, что два тетраэдра подобны, если между их эле- ментами установлено такое соответствие, при котором соответственные элементы одинаково расположены в обоих тетраэдрах и выполняется хотя бы одно из следующих условий: 1) ребра одного тетраэдра пропорциональны соответственным ре- брам другого; 2) три грани одного тетраэдра подобны трем соответственным гра- ням другого; 3) одна из граней одного тетраэдра подобна соответственной гра- ни другого и прилежащие к этим граням соответственные двугранные углы равны; 4) две грани одного тетраэдра подобны двум соответственным гра- ням другого и двугранные углы между этими гранями равны; 5) трехгранный одного тетраэдра равен соответственному трехгран- ному углу другого и соответственные ребра, образующие эти трехгран- ные углы, пропорциональны; 6) два трехгранных угла одного тетраэдра равны двум соответствен- ным трехгранным углам другого. 11.16. На данной прямой l найдите точку, равноудаленную от данной точки M и данной плоскости a. 226 11.17. В данную сферу впишите тетраэдр, грани которого соответ- ственно параллельны граням данного тетраэдра. 11.18. Дана сфера и точка S вне нее. Постройте конус с вершиной S, окружность основания которого лежит на данной сфере, а образующие делятся сферой пополам. 11.19. В правильную четырехугольную пирамиду вписана сфера. Плоскость, проходящая через ее центр параллельно плоскости основа- ния пирамиды, делит объем пирамиды пополам. Найдите двугранный угол при основании пирамиды. 11.20. Постройте куб по его диагонали. 11.21. Даны две неравные сферы a и b и принадлежащие им соот- ветственно точки A и B. Найдите преобразование подобия, при котором a → b и A → B. 11.22. Найдите множество центроидов тетраэдров, вписанных в дан- ный тетраэдр. 227 Г л а в а 12 Аффинные преобразования § 1. Начала теории аффинных преобразований пространства 1.1. Определение аффинного преобразования пространства и его следствия. Преобразование пространства, которое отображает каждую плоскость на плоскость, называется аффинным преобразованием. Прямая есть линия пересечения двух плоскостей. Поэтому согласно определению аффинное преобразование пространства отображает каж- дую прямую на прямую. Аффинное преобразование пространства сохраняет параллельность плоскостей, параллельность прямых, параллельность прямой и плоско- сти, отображает скрещивающиеся прямые на скрещивающиеся прямые. Каждое из этих утверждений тривиально доказывается способом при- ведения к противоречию. В 1880 году французский геометр Г. Дарбу в письме к Ф. Клейну доказал инвариантность отношения трех точек прямой при аффинном преобразовании плоскости, опираясь лишь на тот факт, что образом всякой прямой является прямая. Однако это доказательство не простое и здесь мы его не будем излагать. Интересующийся читатель может най- ти его в книге И. М. Яглома и В. Г. Ашкинузе «Идеи и методы аффинной и проективной геометрии» (с. 41–45). Аффинное преобразование пространства индуцирует аффинное отображение каждой плоскости на ее образ. Можно было бы дать такое определение аффинного преобразования пространства: преобразова- ние пространства, которое аффинно отображает каждую плоскость на плоскость называется аффинным преобразованием. Однако такое опре- деление избыточно. Подобия отображают каждую плоскость на плоскость и поэтому яв- ляются аффинными преобразованиями. 1.2. Задание аффинного преобразования пространства. Теорема. Существует единственное аффинное преобразование про- странства, которое отображает четыре данные некомпланарные точки A, B, C, D на четыре наперед заданные некомпланарные точки A 0 , B 0 , C 0 , D 0 соответственно. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим две аффинные системы коорди- нат (АСК) (D, e 1 e 2 e 3 ) и D 0 , e 0 1 e 0 2 e 0 3 , где e 1 = DA, e 2 = DB, e 3 = DC и e 0 1 = D 0 A 0 , e 0 2 = D 0 B 0 , e 0 3 = D 0 C 0 . Определим преобразование f про- странства законом: каждой точке M , имеющей координаты x, y, z от- носительно первой АСК, поставим в соответствие такую точку M 0 , ко- торая относительно второй АСК имеет те же самые координаты x, y, z. Очевидно, это преобразование f аффинное, поскольку образом плоско- сти, имеющей уравнение ax + by + cz + d = 0 относительно первой АСК, является множество точек, которое относительно второй АСК имеет то же самое уравнение, т. е. тоже плоскость, ибо вид уравнения плос- кости не зависит от выбора аффинной системы координат. Согласно закону преобразования f , в частности, f (A) = A 0 , f (B) = B 0 , f (C) = C 0 , f (D) = D 0 Для доказательства единственности аффинного преобразования f достаточно заметить, что в с я к о е аффинное преобразование про- странства обладает свойством: соответственные точки в соответ- ственных АСК имеют равные соответственные координаты. Это прямо следует из инвариантности отношения коллинеарных векторов (из инвариантности отношения трех точек прямой) при аффинном пре- образовании. В самом деле, если OM = x e 1 + y e 2 + z e 3 и x e 1 = OM 1 , y e 2 = OM 2 , z e 3 = OM 3 , то x = OM 1 e 1 , y = OM 2 e 2 , z = OM 3 e 3 Поэтому любое другое аффинное преобразование, имеющее те же че- тыре пары соответственных точек A → A 0 , B → B 0 , C → C 0 , D → D 0 , необходимо совпадает с первоначально построенным аффинным пре- образованием f . 1.3. Координатные формулы аффинного преобразования. Пусть да- на аффинная система координат (O, e 1 e 2 e 3 ) и аффинное преобразо- вание f переводит точку M (x, y, z) в точку M 0 (x 0 , y 0 , z 0 ). Требуется выразить координаты x 0 , y 0 , z 0 через x, y, z и параметры, задающие пре- образование f . Такими параметрами могут служить координаты образов базисных векторов: e 0 1 (a 1 , a 2 , a 3 ), e 0 2 (b 1 , b 2 , b 3 ), e 0 3 (c 1 , c 2 , c 3 ) и координаты обра- за O 0 (d 1 , d 2 , d 3 ) начала O координат данной АСК относительной этой АСК. Для решения поставленной задачи используем векторное равен- ство: OM 0 = O 0 M 0 + OO 0 229 Согласно определению координат вектора и координат точки имеем: O 0 M 0 = x e 0 1 + y e 0 2 + z e 0 3 = = x(a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) + y(b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) + z(c 1 e 1 + c 2 e 2 + c 3 e 3 ) = = (a 1 x + b 1 y + c 1 z) e 1 + (a 2 x + b 2 y + c 2 z) e 2 + (a 3 x + b 3 y + c 3 z) e 3 Первоначальное векторное равенство равносильно трем координатным: x 0 = a 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 , y 0 = a 2 x + b 2 y + c 2 z + d 2 , (12.1) z 0 = a 3 x + b 3 y + c 3 z + d 3 Поскольку векторы e 0 1 , e 0 2 , e 0 3 линейно независимы, то ∆ = a 1 b 1 c 1 a 2 b 2 c 2 a 3 b 3 c 3 6= 0. (12.2) Этот определитель называется определителем аффинного преобра- зования. Обратно, если преобразование пространства задано формулами (12.1) при ∆ 6= 0, то оно является аффинным преобразованием. Для доказательства технически проще проверить, что преобразова- ние, обратное преобразованию (12.1), аффинное. Отсюда будет следо- вать аффинность преобразования (12.1). Возьмем произвольную плос- кость Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D = 0. Выполняя подстановки (12.1), получим уравнение ее прообраза: (Aa 1 + Ba 2 + Ca 3 )x + (Ab 1 + Bb 2 + Cb 3 )y+ + (Ac 1 + Bc 2 + Cc 3 )z + (Ad 1 + Bd 2 + Cd 3 ) = 0. Коэффициенты при x, y, z не могут быть одновременно нулями, так в противном случае система Aa 1 + Ba 2 + Ca 3 = 0, Ab 1 + Bb 2 + Cb 3 = 0, Ac 1 + Bc 2 + Cc 3 = 0. с неравным нулю определителем ∆ имела бы лишь нулевое решение: A = B = C = 0, что противоречит смыслу уравнения плоскости. Итак, формулы (12.1) при ∆ 6= 0 и есть искомые координатные фор- мулы аффинного преобразования пространства. 230 При ∆ > 0 базис ( e 0 1 e 0 2 e 0 3 ) одинаково ориентирован с базисом ( e 1 e 2 e 3 ) (аффинное преобразование первого рода), а при ∆ < 0 эти бази- сы ориентированы противоположно (аффинное преобразование второго рода). § 2. Изменение объемов тел при аффинном преобразовании 2.1. Выражение смешанного произведения векторов в аффинных ко- ординатах. Некомпланарные векторы e 1 , e 2 , e 3 образуют векторный (аффинный) базис пространства. Пусть векторы a, b, c имеют разло- жения по векторам этого базиса: a = x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3 , b = x 2 e 1 + y 2 e 2 + + z 2 e 3 , c = x 3 e 1 + y 3 e 2 + z 3 e 3 . Используя алгебраические свойства сме- шанного произведения, выразим смешанное произведение a b c через аф- финные координаты этих векторов: a b c = (x 1 e 1 + y 1 e 2 + z 1 e 3 )(x 2 e 1 + y 2 e 2 + z 2 e 3 )(x 3 e 1 + y 3 e 2 + z 3 e 3 ). В раскрытом виде выражение смешанного произведения a b c содер- жит 27 слагаемых, из которых 21 равно нулю по причине компланар- ности векторов. Запишем остальные шесть слагаемых: a b c = x 1 y 2 z 3 ( e 1 e 2 e 3 ) + x 2 y 3 z 1 ( e 3 e 1 e 2 ) + x 3 y 1 z 2 ( e 2 e 3 e 1 )+ + x 1 y 3 z 2 ( e 1 e 3 e 2 ) + x 2 y 1 z 3 ( e 2 e 1 e 3 ) + x 3 y 2 z 1 ( e 3 e 2 e 1 ) = = (x 1 y 2 z 3 + x 2 y 3 z 1 + x 3 y 1 z 2 − x 1 y 3 z 2 − x 2 y 1 z 3 − x 3 y 2 z 1 )( e 1 e 2 e 3 ). Выражение в скобках есть определитель третьего порядка. Итак, имеем окончательно формулу: a b c = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ( e 1 e 2 e 3 ). (12.3) 2.2. Зависимость между объемом тела и объемом его образа при аффинном преобразовании пространства. Объем ориентированного па- раллелепипеда, построенного на векторах a, b, c как на ребрах, выра- жается через координаты этих векторов относительно базиса ( e 1 e 2 e 3 ) формулой (12.3): V = a b c = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ( e 1 e 2 e 3 ). (12.3 a) 231 Смешанное произведение e 1 e 2 e 3 равно объему V 0 ориентированного параллелепипеда, построенного на базисных векторах. Поскольку аф- финное преобразование оставляет без изменения координаты соответ- ственных векторов в соответственных базисах, то для объема V 0 образа параллелепипеда объема V имеем: V 0 = a 0 b 0 c 0 = x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2 x 3 y 3 z 3 ( e 0 1 e 0 2 e 0 3 ). (12.4) Из (12.3 a) и (12.4) следует: V V 0 = V 0 V 0 0 , V 0 = V 0 0 V 0 V. По той же формуле (12.3 a) V 0 0 = e 0 1 e 0 2 e 0 3 = a 1 a 2 a 3 b 1 b 2 b 3 c 1 c 2 c 3 ( e 1 e 2 e 3 ) = ∆V 0 Число V 0 0 V 0 = ∆ постоянно для данного аффинного преобразования f . Итак, для неориентированннх объемов V и V 0 соответственных при аффинном преобразовании параллелепипедов имеет место зависи- мость V 0 = |∆|V, (12.5) где ∆ — определитель аффинного преобразования. Эта зависимость обобщается на объемы любых двух соответствен- ных тел. Для двух соответственных тетраэдров это очевидно. Соответ- ственные многогранники разлагаются на соответственные тетраэдры. Объем произвольного (кубируемого) тела определяется как общий пре- дел последовательности вписанных в него многогранников и последова- тельности описанных около него многогранников при неограниченном уменьшении их наибольшей грани. Следствие. Отношение объемов любых двух тел инвариантно при аффинном преобразовании пространства V 1 V 2 = V 0 1 V 0 2 Отношение площадей фигур не является инвариантом аффинного преобразования пространства. Оно сохраняется лишь для фигур, лежа- щих в одной плоскости или же в параллельных плоскостях. 232 § 3. Родство 3.1. Определение и свойства родства. Рассмотрим два тетраэдра ABCD и ABCD 1 с общей гранью ABC. Руководствуясь теоремой о за- дании аффинного преобразования (п. 1.2), зададим аффинное преобра- зование f пространства парами точек A → A, B → B, C → C, D → D 1 Поскольку при этом преобразовании неподвижны три неколлинеарные точки A, B, C, то будет неподвижна и каждая точка плоскости ABC. Это — не единственный случай, когда аффинное преобразование про- странства имеет плоскость неподвижных точек. О п р е д е л е н и е. Аффинное преобразование пространства, имею- щее плоскость неподвижных точек, называется родственным преобразо- ванием, или родством, а плоскость его неподвижных точек называется плоскостью родства. Родство можно задать его плоскостью и парой соответственных то- чек, не принадлежащих ей. Родство является важным частным видом аффинного преобразова- ния пространства и имеет свои частные виды. Например, зеркальная симметрия — частный вид родства. Рассмотрим свойства родственных преобразований. Соответствен- ные при родстве элементы (точки, прямые, плоскости и др.) называют родственными элементами. 1. Родственные прямые (плоскости) пересекаются на плоскости a родства или ей параллельны. В самом деле, если при родстве r r(l) = l 0 и l ∩ a = K, то K → K и поэтому K ∈ l 0 . Если l k a, то возьмем в плоскости a прямую l 0 , парал- лельную l. В силу инвариантности параллельности прямых их образы l 0 и l 0 параллельны. Поэтому l 0 k a и l 0 k l. Для родственных плоскостей до- казательство аналогично. 2. Прямые, каждая из которых соединяет две родственные точки, параллельны. Действительно, пусть r(A) = A 0 и r(X) = X 0 , где точка A фиксиро- вана, а точка X переменная. Если (AX) ∩ a = K, то AK KX = A 0 K KX 0 (инва- риантность отношения трех точек прямой), а это возможно лишь при условии (AA 0 ) k (XX 0 ). Направление прямых, соединяющих родственные точки, называется направлением родства. 3. Если направление родства непараллельно плоскости этого род- ства, то каждый отрезок, соединяющий две родственные точки, де- лится плоскостью родства в одном и том же отношении. 233 4. Всякая плоскость, параллельная направлению родства, непо- движна при этом родстве. В ней индуцируется родство плоскости, осью которого является прямая ее пересечения с плоскостью данного родства пространства. Отметим два частных случая родства. Если направление родства параллельно плоскости его неподвижных точек, то родство называют сдвигом. Если плоскость родства делит пополам каждый из отрезков, соединявших две родственные точки, то родство называется косой зер- кальной симметрией. 3.2. Представление аффинного преобразования пространства компо- зицией подобия и родства. О значимости родственного преобразования говорит такая теорема. Теорема. Аффиннoе преобразование пространства, отличное от подобия и родства, представимо композицией подобия и родства. Д о к а з а т е л ь с т в о. Аффинное преобразование f пространства отображает сферу c на эллипсоид c 0 . Оно может быть задано этими фигурами. Известно, что существует (не единственная) плоскость a 0 , содержащая центр эллипсоида c 0 и пересекающая его по окружности w 0 (круговое сечение эллипсоида). Пусть a — прообраз плоскости a 0 . Тогда окружность w = c ∩ a есть прообраз окружности w 0 . Построим сферу b, имеющую окружность w 0 своей диаметральной окружностью. Сфера b и эллипсоид c 0 имеют общую окружность w 0 . Существует подобие f (в частности, гомотетия), отображающее сферу c на сферу b. Зададим родство r пространства плоскостью a 0 неподвижных точек и парой со- ответственных точек f(A) → f(A), где A — некоторая точка сферы c, A / ∈ a, f(A) ∈ b, f(A) ∈ c 0 . Тогда r(b) = c 0 и поэтому композиция r · f отоб- ражает c на c 0 . В силу единственности аффинного преобразования, при котором c → c 0 , эта композиция совпадает с данным аффинным преоб- разованием f : f = r · f. Это доказательство предложено И. В. Изместьевым. Представление f = r · f, очевидно, не единственно. Аффинное преоб- разование можно представить также композицией родства и подобия, но уже не совпадавшими с прежними r и f. § 4. Метод аффинных преобразований в геометрических задачах 4.1. Сущность метода аффинных преобразований. Множество аф- финных преобразований пространства есть группа, имеющая своей под- группой группу преобразований подобия. Теория инвариантов аффин- 234 ной группы преобразований называется аффинной геометрией. Фигура называется аффинной, если ее характеристическое свойство является аффинным, т. е. сохраняется при аффинных преобразованиях. При аф- финных преобразованиях аффинная фигура отображается на фигуру с тем же названием. Аффинными фигурами являются точка, прямая, отрезок, луч, плоскость, полуплоскость, треугольник, параллелограмм, трапеция, эллипс, тетраэдр, параллелепипед, призма, конус (не круго- вой), эллипсоид и др. Две фигуры называется аффинно эквивалентными (аффинно «рав- ными»), если существует аффинное преобразование, отображающее од- ну из них на другую. Например, аффинно эквивалентны любые два треугольника, любые два тетраэдра, два произвольных параллелепипе- да, сфера и эллипсоид и др. Аффинно эквивалентные фигуры обладают одними и теми же аффинными свойствами, хотя их метрические свой- ства, вообще говоря, различны (длины отрезков, меры углов, отношения непараллельных отрезков, отношения площадей плоских фигур в непа- раллельных плоскостях). Если данная задача является аффинной, то ее правомерно решать на любой фигуре из класса аффинно эквивалентных фигур, которому принадлежит рассматриваемая в этой задаче фигура. Поэтому целесо- образно выбрать такую из этих фигур, которая с метрической точки зрения является наиболее простой: из всех тетраэдров — правильный тетраэдр, из всех параллелепипедов — куб, из всех эллипсоидов — сфера и т. д. Решение данной аффинной задачи на этих метрически «хороших» фигурах существенно упрощается тем, что используются их метриче- ские свойства. 4.2. Примеры решения задач методом аффинных преобразований. З а д а ч а 1. Докажите, что любая плоскость, содержащая середины двух противоположных ребер тетраэдра, делит его на две равновеликие части. Р е ш е н и е. Задача аффинная, так как содержит только аффин- ные понятия: тетраэдр, плоскость, середина отрезка, отношение объ- емов фигур. Поскольку любые два тетраэдра аффинно эквивалентны, то ее решение для правильного тетраэдра имеет силу и для любого тетраэдра. Но правильный тетраэдр симметричен относительно пря- мой, проходящей через середины двух его противоположных ребер. Эта осевая симметрия отображает секущую плоскость на себя, а части тет- раэдра, на которые он разбивается секущей плоскостью, отображаются друг на друга. Поэтому их объемы равны. Непосредственное решение этой задачи для произвольного тетраэд- ра значительно сложнее. 235 З а д а ч а 2. Длины полуосей эллипсоида равны a, b, c. Найдите объем области пространства, ограниченной эллипсоидом. Р е ш е н и е. Эллипсоид аффинно эквивалентен сфере, при этом его полуосям соответствуют три попарно сопряженных радиуса сфе- ры. Но три такие радиуса сферы попарно перпендикулярны. Поэтому прямоугольному параллелепипеду с ребрами a, b, c соответствует куб с ребром r равным радиусу сферы. В силу инвариантности отношения объемов при аффинных преобразованиях для искомого объема V имеем пропорцию: V abc = 4 3 pr 3 r 3 , откуда V = 4 3 pabc. З а д а ч а 3. Две непараллельные плоскости a и b пересечены парал- лельными прямыми a, b, c, d, никакие три из которых не лежат в одной плоскости. Эти прямые пересекают данные плоскости соответственно в точках A и A 1 , B и B 1 , C и C 1 , D и D 1 . Докажите, что: 1) тетраэд- ры ABCD 1 и A 1 B 1 C 1 D равновелики; 2) тетраэдры ABC 1 D 1 и A 1 B 1 CD равновелики. Р е ш е н и е. Выполним аффинное преобразование пространства, ко- торое прямые a и m = a ∩ b отображает на перпендикулярные прямые a 0 и m 0 = a 0 ∩ b 0 , причем прямая a 0 равнонаклонена к образам a 0 и b 0 плос- костей a и b. Тогда параллельные прямые a 0 , b 0 , c 0 , d 0 перпендикулярны к биссекторной плоскости g двух вертикальных двугранных углов меж- ду плоскостями a 0 и b 0 . Тетраэдры A 0 B 0 C 0 D 0 1 и A 0 1 B 0 1 C 0 1 D 0 симметричны относительно плоскости g и потому равновелики. По этой же причине и равновелики тетраэдры A 0 B 0 C 0 1 D 0 1 и A 0 1 B 0 1 C 0 D 0 . Отсюда следует ис- тинность доказываемых утверждений. Задачи к главе 12 12.1. Докажите методом аффинных преобразований теоремы пун- ктов 1.1 и 1.2 гл. 6. 12.2. В каждой грани тетраэдра выбрана произвольная точка и по- строена точка, симметричная выбранной относительно центроида гра- ни, в которой она выбрана. Докажите, что центроид системы четырех исходных точек и центроид системы четырех построенных точек сим- метричны относительно центроида данного тетраэдра. 12.3. Через бимедиану тетраэдра проведена плоскость. Докажите, что отрезок, соединяющий точки ее пересечения с прямыми, содержа- щими два других противоположных ребра, делится этой бимедианой пополам. 236 12.4. Укажите все аффинные преобразования, каждое из которых отображает на себя данный тетраэдр общего вида. Покажите, что груп- па этих преобразований (группа аффинных автоморфизмов тетраэдра) изоморфна группе самосовмещений правильного тетраэдра (§ 9 гл. 10). Какие из рассматриваемых преобразований имеют единственную непо- движную точку (укажите какую)? прямую неподвижных точек? плос- кость неподвижных точек? 12.5. Докажите, что существует один и только один эллипсоид, ка- сающийся граней тетраэдра в их центроидах (вписанный эллипсоид Штейнера). 12.6. Докажите, что существует единственный описанный около тет- раэдра эллипсоид, касательные плоскости к которому в вершинах тет- раэдра параллельны плоскостям противоположных граней (описанный эллипсоид Штейнера). 12.7. Докажите, что существует единственное аффинное преобра- зование пространства, отображающее данный эллипсоид (в частности, сферу) на наперед заданный эллипсоид. 12.8. Вершина параллелепипеда соединена с центрами трех не содер- жащих ее граней. Найдите отношение объема полученного тетраэдра к объему данного параллелепипеда. 12.9. Докажите, что параллелепипеды, каждый из которых построен на трех сопряженных полудиаметрах эллипсоида как на ребрах, равно- велики. 12.10. Если аффинное преобразование пространства отображает некоторое тело на себя, то оно сохраняет объемы всех тел. Докажите. 12.11. Докажите, что аффинное преобразование x 0 = −3x − 2y + 2, y 0 = 12x + 7y − 6, z 0 = −4x − 2y + z + 2 является родством. Найдите уравнение его плоскости и координаты век- тора направления. 12.12. Напишите формулы родственного преобразования, для кото- рого плоскость Oxy аффинной системы координат служит плоскостью неподвижных точек, а точка (0, 0, 1) переходит в точку (x 0 , y 0 , z 0 ). 12.13. Напишите формулы аффинного преобразования, переводяще- го сферу x 2 + y 2 + z 2 = 1 в эллипсоид x 2 a 2 + y 2 b 2 + z 2 c 2 = 1. 237 Задачи общего содержания 1. Докажите, что в любой правильной треугольной пирамиде дву- гранный угол при боковом ребре больше 60 ◦ 2. Докажите, что в любой правильной четырехугольной пирамиде двугранный угол при боковом ребре является тупым. 3. Даны четыре луча OA, OB, OC, OD. Докажите, что cos AOB + cos BOC + cos COD + cos DOA + cos AOC + cos BOD > −2. |