методы решения задач. Задача. Этапы решения задачи Понятие текстовая

• Название: Задача. Этапы решения задачи Понятие текстовая
• Анкор: методы решения задач
• Дата: 14.04.2023
• Размер: 469.5 Kb.
• Имя файла: 000a6dd5-1199686b.doc
• Тип: Задача; #1061583
• страница: 2 из 4

Глава ІІ. Математическое моделирование – один из основных

методов решения текстовых задач в основной школе

2.1. Понятие модели и моделирования

Для решения многих научных и практических задач широко используется метод моделирования. Реальные объекты или про­цессы иногда бывают настолько сложны и многогранны, что их изучение невозможно без построения и исследования модели, отображающей лишь какую-то сторону этого процесса или объек­та и потому более простую, чем эта реальность.

Под моделью (от лат. тodе1u — мера) понимают мысленно представимую или материально реализованную систему, которая, отра­жая и воспроизводя объект исследования, способна замещать его при определенных условиях так, что изучение ее дает новую ин­формацию об этом объекте.

Все математические понятия, такие, как число, функция, уравнение, геометрическая фигура и др. представляют собой особые модели количественных отношений и пространственных форм окружающей действительности.

Эти модели математика сконструировала в процессе своего многовекового развития. Но и в настоящее время продолжается конструиро-вание различных математических моделей, и любое творчество в области математики связано с созданием новых моделей. Для изучения этих моделей в математике разработаны многочисленные методы, такие, как методы решения уравнений, исследования функций, измерения и вычисление длин, площадей и объемов геометрических фигур и тел и т.д. Наконец, в математике разработаны и особы методики для использования в практике результатов исследования математических моделей. Примером такой методики являются приемы решения практических задач с помощью уравнений.

Однако, обнаруживается такой парадокс: то, что они имеют дело с моделями, изучают модели, учащиеся, как правило, не знают. Да и откуда им это знать, если в программах и учебниках эти понятия почти отсутствуют? Учащиеся в 9 классе с удивлением узнают, что привыч­ные для них понятия, уравнения, числа, фигуры являются научными моделями, что, решая задачи, они моделируют.

На первом уроке темы «Математическое моделирование» учащиеся в ответ на вопрос "Что такое модель и моделирование?" не дав четкого определения, указали лишь на модели геометрических тел; моделирование они определяли как процесс построения таких моделей. Отвечая на вопрос "Где и для чего используется моделирование?» школьники опять-таки ссылались на те же модели геометрических тел. На вопрос "Какова роль моделирования в науке?" дети либо вовсе не смогли дать ответа, либо ог­раничивались указанием на роль моделей как наглядных образов.

В системе обучения решению задач (тек­стовых, сюжетных), в основе которой лежало широкое использование модели­рования задачи рассматривались как особые знаковые мо­дели реальных ситуаций (задачных ситуаций), а процесс их решения - как по­строение цепи моделей (вспомогательной, обобщенной предметной, логической математической и др.).

2.2. Методы решения задач

Существуют различные методы решения текстовых задач: ариф­метический, алгебраический, геометрический, логический, прак­тический и др. В основе каждого метода лежат различные виды математических моделей. Например, при алгебраи­ческом методе решения задачи составляют-ся уравнения или нера­венства, при геометрическом — строятся диаграммы или графики. Решение задачи логическим методом начинается с составления алгоритма.

Следует иметь в виду, что практически каждая задача в рамках выбранного метода допускает решение с помощью различных мо­делей. Так, используя алгебраический метод, ответ на требование одной и той же задачи можно получить, составив и решив совер­шенно разные уравнения, используя логический метод — постро­ив разные алгоритмы. Ясно, что и в этих случаях мы также имеем дело с различными методами решения конкретной задачи, кото­рые (с целью избежать разночтения и неоднозначность трактовки термина «метод решения») будем называть способами решения.

Иногда для краткости изложения вместо того чтобы говорить, что зада-ча решена определенным способом в рамках, например, арифметического метода, будем говорить, что «задача решена арифметическим способом» или «задача решена арифметическим методом», а то и просто — «задача решена арифметически».

Арифметический метод. Решить задачу арифметическим мето­дом — значит найти ответ на требование задачи посредством вы­полнения арифметических действий над числами. Одну и ту же задачу во многих случаях можно решить различными арифмети­ческими способами. Задача считается решенной различными спо­собами, если ее решения отличаются связями между данными и искомыми, положенными в основу решений, или последователь­ностью использования этих связей.

Задача. Поют в хоре и занимаются танцами 82 студента, занима­ются танцами и художественной гимнастикой 32 студента, а поют в хоре и занимаются художественной гимнастикой 78 студентов. Сколько студентов поют в хоре, занимаются танцами и художественной гимнастикой отдельно, если известно, что каждый студент занимается только чем-то одним?

Решение.

1-й способ.

1) 82 + 32 + 78 = 192 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре, занимающихся танцами и художественной гимнастикой;

2) 192 : 2 = 96 (чел.) — поют в хоре, занимаются танцами и художествен­ной гимнастикой;

3) 96 – 32 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 96 - 78 = 18 (чел.) — занимаются танцами;

5) 96 - 82 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой.

2-й способ.

1) 82 - 32 = 50 (чел.) — на столько больше студентов поют в хоре, чем занимаются художественной гимнастикой;

2) 50 + 78 = 128 (чел.) — удвоенное число студентов, поющих в хоре;

3) 128 : 2 = 64 (чел.) — поют в хоре;

4) 78 - 64 = 14 (чел.) — занимаются художественной гимнастикой;

5) 82 - 64 18 (чел.) — занимаются танцами.

Ответ: 64 студента поют в хоре, 14 студентов занимаются художествен­ной гимнастикой, 18 студентов занимаются танцами.

Алгебраический метод. Решить задачу алгебраическим методом — это значит найти ответ на требование задачи, составив и решив уравнение или систему уравнений (или неравенств). Одну и ту же задачу можно также решить различными алгебраическими спосо­бами. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения составлены различные уравнения или системы уравнений (неравенств), в основе составления которых лежат раз­личные соотношения между данными и искомыми.

Задача. Рабочий может сделать определенное число деталей за три дня. Если он в день будет делать на 10 деталей больше, то справится с заданием за два дня. Какова первоначальная производительность рабо­чего и сколько деталей он должен сделать?

Решение.

1-й способ.

Пусть х д./день — первоначальная производительность ра­бочего. Тогда (х + 10) д./день — новая производительность, 3х д. — число деталей, которые он должен сделать. По условию получаем уравнение 3х = 2(х + 10), решив которое найдемх = 20. Первоначальная производи­тельность рабочего 20 деталей в день, он должен сделать 60 деталей.

2-й способ.

Пусть х д. — число деталей, которые должен сделать рабо­чий. Тогда — новая производительность, д./день — пер­воначальная производительность рабочего. По условию получаем уравне­ние х = 3 , решив которое найдем х = 60. Рабочий должен сделать 60 деталей, его первоначальная производительность 20 деталей в день.

Ответ: 20 деталей в день; 60 деталей.

Аналитико-Геометрический метод. Решить задачу аналитико-геометрическим методом — значит найти ответ на требование задачи, используя как алгебраические выражения, уравнения, неравенства, системы уравнений и неравенств так и геометричес­кие построения или свойства геометрических фигур. Одну и ту же задачу можно также решить различными геометрическими способа­ми. Задача считается решенной различными способами, если для ее решения используются различные построения или свойства фигур.

Задача. Из двух городов А и В, расстояние между которыми 250 км, навстречу друг другу выехали два туриста. Скорость движения первого равна 20 км/ч, второго — 30 км/ч. Через сколько часов туристы встретятся?

Решение.

1-й способ. Математическую модель задачи представим в виде диаг­раммы. Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Отложим на вертикальной прямой от­резок АВ равный 250 км. Он будет изображать расстояние между города­ми. Для удобства проведем еще одну ось времени через точку 6. Затем на вертикаль-ных прямых станем откладывать отрезки пути, пройденные каж­дым туристом за 1 ч, 2ч, 3ч. и т. д.(рис 1. а). Из чертежа видим, что через 5 ч они встретятся.

2-й способ. В прямоугольной системе координат по горизонтали отложим время движения (в часах), по вертикали — расстояние (в километрах). Примем длину одного отрезка по вертикали за 10 км, а длину одного отрезка по горизонтали — за 1 ч. Построим графики, характеризующие дви­жение каждого туриста. Движение первого туриста определяется функцией у = 20х, второго — у = 250 – 30х. Абсцисса точки их пересечения (точки О) указывает, через сколько часов туристы встретятся (рис 1.б). Из черте­жа видно, что ее значение равно 5. Ордината указывает, на каком расстоя­нии от пункта А произойдет встреча. Ее значение равно 100.

3-й способ. Пусть время движения туристов до встречи изображается отрезком ОТ, а скорость сближения—отрезком 0S. (рис 1. в). Тогда пло­щадь S прямоугольника 0S0 Т (она равна 0S · ОТ) соответствует расстоя­нию между городами А и В (пройденный путь есть произведение скорости движения на время движения). Учитывая, что туристы сближаются каждый час на 20 + 30 = 50 (км), расстояние между городами равно 250 км, имеем уравнение

250 = 50 · ОТ, решив которое находим ОТ = 5 (ч). Итак, туристы встретятся через 5 ч.

Ответ: через 5 ч.


5


Рис.1. а б в

Практический метод. Решить задачу практическим методом — значит найти ответ на требование задачи, выполнив практичес­кие действия с предметами или их копиями (моделями, макетами и т.п.).

Задача. Некто истратил 30 грн. своих денег, после чего удвоил ос­тавшиеся деньги. Затем он истратил 60 грн., после чего опять удвоил остав­шиеся деньги. Когда он еще истратил 90 грн., у него осталось 70 грн. Сколько денег было вначале?

Решение.

Чтобы определить, сколько денег было первоначально, возьмем оставшееся количество денег и выполним обратные операции в обратном порядке. Берем оставшиеся 70 грн., добавляем к ним истраченные 90 грн. (160 грн.), затем делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как второй раз удвоили оставшиеся деньги (80 грн.). После этого добавляем 60 грн. и находим, сколько денег было до того, как истратили 60 грн. (140 . грн). Делим эту сумму пополам и узнаем, сколько денег было до того, как первый раз удвоили оставшиеся деньги (70 грн.), прибавляем истраченные в первый раз 30 грн. и находим первоначальное количество денег (100 грн).

Ответ: первоначально было 100 грн.

Иногда в ходе решения задачи применяются несколько мето­дов: алгебраический и арифметический; геометрический, ал­гебраический и арифметический; арифметический и практиче­ский и т. п. В этом случае считают, что задача решается комбиниро­ванным (смешанным) методом.

Задача. Четыре товарища купили телевизор. Первый внес поло­вину суммы, вносимой остальными, второй — треть того, что внесли все его товарищи, третий — четверть того, что все его товарищи, четвертый — оставшиеся 650 р. Сколько было уплачено за телевизор?

Решение. Пусть первый товарищ внес х грн., второй — у грн., третий — z грн. Тогда, решая задачу чисто алгебраическим методом, по условию зада­чи получим достаточно громоздкую систему трех уравнений с тремя неиз­вестными:



Комбинированный метод позволяет получить ответ на требование за­дачи более простым путем.

Решение начнем алгебраическим методом.

Пусть первый товарищ внес х грн., тогда все остальные внесли 2х грн. Отсюда находим стоимость телевизора: х + 2х =3х (грн.). Значит, первый внес стоимости телевизора.

Пусть второй товарищ внес у грн, тогда все остальные внесли 3у грн. Отсю­да находим стоимость телевизора: у + Зу = 4у (грн.). Значит, второй внес стоимости телевизора.

Пусть третий товарищ внес z грн., тогда все остальные внесли 4z грн. Отсю­да находим стоимость телевизора: z + 4z = 5z (грн.). Значит, третий внес стоимости телевизора.

Продолжим решение арифметическим методом.

Первый, второй и третий внесли стоимости теле­визора. Значит, четвертый внес остальные стоимости. По условию это составляет 650 грн. Следовательно, телевизор стоит 650 · =3000 грн.

Ответ: 3000 грн.

2.3. Моделирование как учебная деятельность

Когда учащиеся, решая практическую математическую (сюжетную), понимая, что она представляет собой знаковую модель некоторой реальной ситуации, составляют последовательность различных ее моделей, затем изучают эти модели и, наконец, переводят получение решение на язык исходной задачи, то тем самым школьники овладевают методом моделирования.

При обучении математическому моделированию в процессе решения текстовых задач можно отметить несколько уровней обучения в порядке нарастающей сложности:

1. Обучение «языку» на котором будет вестись моделирование (изучение теории и решение системы упражнений, направленных на ее закрепление).

2. Обучение «переводу» реальной ситуации на данный математический язык.

3. Обучение выбору существенных переменных и построению схемы их взаимосвязей.

4. Обучение составлению математических выражений, реально существующих отношений и связей (в частности составлению уравнения по условию задачи).

5. Обучение решению математически выраженных отношений и связей, истолкованию полученного ответа.

6. Обучение исследованию полученного решения (в частности простейшим навыкам самоконтроля).

Очевидно, что ученик, владеющий в какой-то степени методом моделиро­вания по сравнению с тем, кто этим методом не владеет, будет успешнее ре­шать задачи методом составления уравнения. Разобравшись в условии, он про­сто переведет его на математический язык, построит математическую модель этой задачи: введет переменную, запишет с ее помощью все существующие в задаче соотношения и составит математическое выражение, связывающее их (уравнение, неравенство, систему уравнений или неравенств с одной или не­сколькими переменными). Затем ему останется только найти значения пере­менной, при которых выражение обращается в истинное числовое равенство, и проверить, какие из них являются адекватными условию задачи.

На сегодняшний день наиболее перспективным и продуманным подходом является выбор трехэтапной работы над текстовыми задачами: 1) составление математической модели; 2) решение полученной математической модели; 3) ответ на вопрос задачи.

Как показывает практика, наибольшую трудность для учащихся представляет первый этап. Это объясняется тем, что выполнение второго этапа отрабатывается и вне связи с текстовыми задачами: решаются уравнения и неравенства, системы уравнений. Выполнение третьего этапа обычно не вызывает особых затруднений у учеников, хотя и здесь могут появиться ошибки из-за невнимательности: полученное значение х сразу заносится в ответ, хотя вопрос задачи касался другой величины и т.д.

Для того, чтобы построить методическую систему работы учителя по обучению построению математической модели задачи, необходимо проанализировать эту деятельность, определить ее состав и структуру.

Деятельность моделирования задачи состоит в следующем:

1) Определение процесса описанного в задаче;

2) Определение видов этого процесса (видов задачной ситуации);

3) Указание величин, характеризующих каждый из видов процесса;

4) Запись соотношения, характеризующего выделенный процесс;

5) Анализ, какие из указанных величин известны, а какие нет;

6) Введение обозначения буквой одной из неизвестных величин (желательно той, о которой спрашивается в задаче);

7) Выражение каждой из неизвестных величин через известные и введенную букву. Если это сделать не удается – введение новой буквы для другой неизвестной величины;

8) Проверка, соответствуют ли друг другу единицы измерения величин. Если нет. То приведение их в соответствие;

9) Составление уравнения или системы уравнений.

Умение строить математическую модель данной задачной ситуации означает владение всеми указанными действиями.

Метод математического моделирования позволяет научить детей осознанно, а не формально решать текстовые задачи, творчески подходить к их решению, что особенно актуально в связи с введением ЗНО.