Прикладная математика. Задания контрольной работы Задания 1 10

• Название: Задания контрольной работы Задания 1 10
• Дата: 13.06.2022
• Размер: 225.26 Kb.
• Имя файла: Прикладная математика.docx
• Тип: Отчет; #588781
• страница: 1 из 7

Задания контрольной работы
Задания 1 – 10.

На основе отчетного межотраслевого баланса рассчитайте коэффициенты:

– прямых затрат,

– прямой трудоемкости единицы продукции,

– прямой фондоемкости единицы продукции.

По заданному на плановый период объему производства конечной продукции Y_пл составить математические модели для определения в планируемом периоде:

– объемов производства валовой продукции,

– коэффициентов полной трудоемкости единицы продукции,

– коэффициентов полной фондоемкости единицы продукции.

Рассчитайте для отраслей планируемые:

– объемы производства валовой продукции,

– коэффициенты полной трудоемкости единицы продукции,

– коэффициенты полной фондоемкости единица продукции.

По результатам расчета найти:

– межотраслевые поставки продукции,

– объемы трудовых затрат,

– объемы основных фондов, необходимые для выполнения в плановом периоде заданной производственной программы.

Составить таблицу планового межотраслевого баланса.
Задание 3.

Производящая отрасль	Потребление				Продукция
	1	2	3	4	конечная	валовая
1	25	20	35	40	185
2	20	30	20	35	155
3	20	25	30	38	165
4	22	29	42	24	175
Стоимость основных производственных фондов, млн.руб.	255	225	255	275
Затраты труда, тыс.чел.-час.	310	215	255	295

Решение:
Предположим, что рассматривается n отраслей промышленности, каждая из которых производит свою продукцию. Часть продукции идет на внутри производственное потребление данной отраслью и другими отраслями, а другая часть предназначена для целей конечного (вне сферы материального производства) личного и общественного потребления.

Так как валовой объем продукции любой i-й отрасли равен суммарному объему продукции, потребляемой n отраслями и конечного продукта, то:

x_i = (x_i1 + x_i2 + ... + x_in) + y_i, (i = 1,2,...,n).

Эти уравнения (их n штук) называются соотношениями баланса. Будем рассматривать стоимостный межотраслевой баланс, когда все величины, входящие в эти уравнения, имеют стоимостное выражение.

Введем коэффициенты прямых затрат:

a_ij = x_ij/x_j, (i,j = 1,2,...,n),

показывающие затраты продукции i-й отрасли на производство единицы стоимости j-й отрасли.

Находим валовой объем продукции x_i;

x₁ = 25 + 20 + 35 + 40 + 215 = 335

x₂ = 20 + 30 + 20 + 35 + 175 = 280

x₃ = 20 + 25 + 30 + 38 + 185 = 298

x₄ = 22 + 29 + 42 + 24 + 205 = 322

Отрасль / Производство	Потребление				Конечный продукт		Валовой выпуск
1	25	20	35	40		215		335
2	20	30	20	35		175		280
3	20	25	30	38		185		298
4	22	29	42	24		205		322

По формуле a_ij = x_ij / x_j находим коэффициенты прямых затрат:
a₁₁ = 25/335 = 0.0746; a₁₂ = 20/280 = 0.0714; a₁₃ = 35/298 = 0.117; a₁₄ = 40/322 = 0.124; a₂₁ = 20/335 = 0.0597; a₂₂ = 30/280 = 0.107; a₂₃ = 20/298 = 0.0671; a₂₄ = 35/322 = 0.109; a₃₁ = 20/335 = 0.0597; a₃₂ = 25/280 = 0.0893; a₃₃ = 30/298 = 0.101; a₃₄ = 38/322 = 0.118; a₄₁ = 22/335 = 0.0657; a₄₂ = 29/280 = 0.104; a₄₃ = 42/298 = 0.141; a₄₄ = 24/322 = 0.0745;

0.0746	0.0714	0.117	0.124
0.0597	0.107	0.0671	0.109
0.0597	0.0893	0.101	0.118
0.0657	0.104	0.141	0.0745

Коэффициент прямых затрат (a_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли необходимо, учитывая только прямые затраты, для производства единицы продукции j-й отрасли.
Если ввести в рассмотрение матрицу коэффициентов прямых затрат A = (a_ij), вектор-столбец валовой продукции X = (X_i) и вектор-столбец конечной продукции Y = (Y_i), то математическая модель межотраслевого баланса примет вид:

X = AX +Y

Идея сбалансированности лежит в основе всякого рационального функционирования хозяйства. Суть ее в том, что все затраты должны компенсироваться доходами хозяйства. В основе создания балансовых моделей лежит балансовый метод – взаимное сопоставление имеющихся ресурсов и потребностей в них.

Межотраслевой баланс отражает производство и распределение валового национального продукта в отраслевом разрезе, межотраслевые производственные связи, использование материальных и трудовых ресурсов, создание и распределение национального дохода.

Пусть экономика страны имеет n отраслей материального производства. Каждая отрасль выпускает некоторый продукт, часть которого потребляется другими отраслями (промежуточный продукт), а другая часть – идет на конечное потребление и накопление (конечный продукт).

Обозначим через X_i (i=1..n) валовый продукт i-й отрасли; x_ij – стоимость продукта, произведенного в i-й отрасли и потребленного в j-й отрасли для изготовления продукции стоимостью X_j; Y_i – конечный продукт i-й отрасли.

Критерии продуктивности матрицы А

Существует несколько критериев продуктивности матрицы А.

1. Матрица А продуктивна, если максимум сумм элементов ее столбцов не превосходит единицы, причем хотя бы для одного из столбцов сумма элементов строго меньше единицы.

2. Для того чтобы обеспечить положительный конечный выпуск по всем отраслям необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из перечисленных ниже условий:

3. Определитель матрицы (E - A) не равен нулю, т.е. матрица (E- A) имеет обратную матрицу (E - A)^-1.

4. Наибольшее по модулю собственное значение матрицы А, т.е. решение уравнения |λE - A| = 0 строго меньше единицы.

5. Все главные миноры матрицы (E - A) порядка от 1 до n, положительны.

Матрица A имеет неотрицательные элементы и удовлетворяет критерию продуктивности (при любом j сумма элементов столбца ∑a_ij ≤ 1.

I. Определим матрицу коэффициентов полных материальных затрат приближенно, учитывая косвенные затраты до 2-го порядка включительно.

а) Матрица коэффициентов косвенных затрат 1-го порядка равна:

= =

б) Матрица коэффициентов косвенных затрат 2-го порядка равна:

= =

Матрица коэффициентов полных затрат приближенно равна:

=

II. Определим матрицу коэффициентов полных затрат B^-1 с помощью формул обращения невырожденных матриц.

Коэффициент полных затрат (b_ij) показывает, какое количество продукции i-й отрасли нужно произвести, чтобы с учетом прямых и косвенных затрат этой продукции получить единицу конечной продукции j-й отрасли.

Полные затраты отражают использование ресурса на всех этапах изготовления и равны сумме прямых и косвенных затрат на всех предыдущих стадиях производства продукции.

а) Находим матрицу (E-A):

=

б) Вычисляем обратную матрицу (E-A)^-1:

Запишем матрицу в виде:
Главный определитель

Минор для (1,1):
=0.89•(0.9•0.93-(-0.14•(-0.12)))-(-0.0893•(-0.0671•0.93-(-0.14•(-0.11))))+(-0.1•(-0.0671•(-0.12)-0.9•(-0.11)))=0.71041450684701

Минор для (2,1):
=-0.0714•(0.9•0.93-(-0.14•(-0.12)))-(-0.0893•(-0.12•0.93-(-0.14•(-0.12))))+(-0.1•(-0.12•(-0.12)-0.9•(-0.12)))=-0.082536336219966

Минор для (3,1):
=-0.0714•(-0.0671•0.93-(-0.14•(-0.11)))-0.89•(-0.12•0.93-(-0.14•(-0.12)))+(-0.1•(-0.12•(-0.11)-(-0.0671•(-0.12))))=0.11775392686751

Минор для (4,1):

=

=-0.0714•(-0.0671•(-0.12)-0.9•(-0.11))-0.89•(-0.12•(-0.12)-0.9•(-0.12))+(-0.0893•(-0.12•(-0.11)-(-0.0671•(-0.12))))=-0.12006711703332

Определитель:

∆=0.93•0.71-(-0.0597•(-0.0825))+(-0.0597•0.12)-(-0.0657•(-0.12))=0.63755586417396

Определитель отличен от нуля, следовательно, матрица является невырожденной и для нее можно найти обратную матрицу B^-1.

Транспонированная матрица.

=

Найдем алгебраические дополнения матрицы B^T.

=

∆_1,1=0.89•(0.9•0.93-(-0.12•(-0.14)))-(-0.0671•(-0.0893•0.93-(-0.12•(-0.1))))+(-0.11•(-0.0893•(-0.14)-0.9•(-0.1)))=0.7104

=

∆_1,2=--0.0714•(0.9•0.93-(-0.12•(-0.14)))-(-0.12•(-0.0893•0.93-(-0.12•(-0.1))))+(-0.12•(-0.0893•(-0.14)-0.9•(-0.1)))=0.08254

=

∆_1,3=-0.0714•(-0.0671•0.93-(-0.11•(-0.14)))-(-0.12•(0.89•0.93-(-0.11•(-0.1))))+(-0.12•(0.89•(-0.14)-(-0.0671•(-0.1))))=0.1178

=

∆_1,4=--0.0714•(-0.0671•(-0.12)-(-0.11•0.9))-(-0.12•(0.89•(-0.12)-(-0.11•(-0.0893))))+(-0.12•(0.89•0.9-(-0.0671•(-0.0893))))=0.1201

=

∆_2,1=--0.0597•(0.9•0.93-(-0.12•(-0.14)))-(-0.0671•(-0.0597•0.93-(-0.12•(-0.0657))))+(-0.11•(-0.0597•(-0.14)-0.9•(-0.0657)))=0.06026

=

∆_2,2=0.93•(0.9•0.93-(-0.12•(-0.14)))-(-0.12•(-0.0597•0.93-(-0.12•(-0.0657))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.14)-0.9•(-0.0657)))=0.739

=

∆_2,3=-0.93•(-0.0671•0.93-(-0.11•(-0.14)))-(-0.12•(-0.0597•0.93-(-0.11•(-0.0657))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.14)-(-0.0671•(-0.0657))))=0.07948

=

∆_2,4=0.93•(-0.0671•(-0.12)-(-0.11•0.9))-(-0.12•(-0.0597•(-0.12)-(-0.11•(-0.0597))))+(-0.12•(-0.0597•0.9-(-0.0671•(-0.0597))))=0.105

=

∆_3,1=-0.0597•(-0.0893•0.93-(-0.12•(-0.1)))-0.89•(-0.0597•0.93-(-0.12•(-0.0657)))+(-0.11•(-0.0597•(-0.1)-(-0.0893•(-0.0657))))=0.06188

=

∆_3,2=-0.93•(-0.0893•0.93-(-0.12•(-0.1)))-(-0.0714•(-0.0597•0.93-(-0.12•(-0.0657))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.1)-(-0.0893•(-0.0657))))=0.09231

=

∆_3,3=0.93•(0.89•0.93-(-0.11•(-0.1)))-(-0.0714•(-0.0597•0.93-(-0.11•(-0.0657))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.1)-0.89•(-0.0657)))=0.7417

=

∆_3,4=-0.93•(0.89•(-0.12)-(-0.11•(-0.0893)))-(-0.0714•(-0.0597•(-0.12)-(-0.11•(-0.0597))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.0893)-0.89•(-0.0597)))=0.1137

=

∆_4,1=--0.0597•(-0.0893•(-0.14)-0.9•(-0.1))-0.89•(-0.0597•(-0.14)-0.9•(-0.0657))+(-0.0671•(-0.0597•(-0.1)-(-0.0893•(-0.0657))))=0.06658

=

∆_4,2=0.93•(-0.0893•(-0.14)-0.9•(-0.1))-(-0.0714•(-0.0597•(-0.14)-0.9•(-0.0657)))+(-0.12•(-0.0597•(-0.1)-(-0.0893•(-0.0657))))=0.1026

=

∆_4,3=-0.93•(0.89•(-0.14)-(-0.0671•(-0.1)))-(-0.0714•(-0.0597•(-0.14)-(-0.0671•(-0.0657))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.1)-0.89•(-0.0657)))=0.1302

=

∆_4,4=0.93•(0.89•0.9-(-0.0671•(-0.0893)))-(-0.0714•(-0.0597•0.9-(-0.0671•(-0.0597))))+(-0.12•(-0.0597•(-0.0893)-0.89•(-0.0597)))=0.7265

Обратная матрица.

=

=

Составим систему балансовых уравнений:

x₁-(0.0746x₁+0.0714x₂+0.117x₃+0.124x₄)=y₁

x₂-(0.0597x₁+0.107x₂+0.0671x₃+0.109x₄)=y₂

x₃-(0.0597x₁+0.0893x₂+0.101x₃+0.118x₄)=y₃

x₄-(0.0657x₁+0.104x₂+0.141x₃+0.0745x₄)=y₄

или

0.925x₁-0.0714x₂-0.117x₃-0.124x₄=y₁

-0.0597x₁+0.893x₂-0.0671x₃-0.109x₄=y₂

-0.0597x₁-0.0893x₂+0.899x₃-0.118x₄=y₃

-0.0657x₁-0.104x₂-0.141x₃+0.925x₄=y₄

Элементы каждого столбца b_ij показывают, сколько нужно затратить продукции каждой отрасли для производства только единицы конечного продукта j-й отрасли.

Найдем величины валовой продукции 4-х отраслей

= =

Межотраслевой баланс состоит из четырех квадрантов (табл.). Первый квадрант отражает межотраслевые потоки продукции. Второй характеризует отраслевую материальную структуру национального дохода.

Третий представляет национальный доход как стоимость условно-чистой продукции (Z_j), равной сумме амортизации (c_j), оплаты труда (v_j) и чистого дохода j-й отрасли (m_j). Четвертый квадрант показывает конечное распределение и использование национального дохода.

Составляющие третьего квадранта (условно-чистая продукция) находятся как разность между объемами валовой продукции и суммами элементов соответствующих столбцов найденного первого квадранта: Z_j = X_j - ∑x_ij

Величина условно чистой продукции Z_i равна сумме амортизации, оплаты труда и чистого дохода отрасли _j.

335 - (25 + 20 + 20 + 22) = 248

280 - (20 + 30 + 25 + 29) = 176

298 - (35 + 20 + 30 + 42) = 171

322 - (40 + 35 + 38 + 24) = 185

Межотраслевые поставки продукции:

0.07463*335=25; 0.07143*280=20; 0.1174*298=35; 0.1242*322=40; 0.0597*335=20; 0.1071*280=30; 0.06711*298=20; 0.1087*322=35; 0.0597*335=20; 0.08929*280=25; 0.1007*298=30; 0.118*322=38; 0.06567*335=22; 0.1036*280=29; 0.1409*298=42; 0.07453*322=24;

Производящие отрасли	Потребляющие отрасли				Конечный продукт	Валовый продукт
	1	2	3	4
1	25	20	35	40	215	335
2	20	30	20	35	175	280
3	20	25	30	38	185	298
4	22	29	42	24	205	322
Чистый доход	248	176	171	185	780
Валовый продукт	335	280	298	322		1235

Проверим основное балансовое соотношение по формуле основного балансового соотношения ∑y_i = ∑z_j = 780
Применение межотраслевого баланса для анализа экономического показателя труда.

Различные модификации рассмотренной выше модели межотраслевого баланса производства и распределения продукции в народном хозяйстве позволяют расширить круг показателей, охватываемых моделью.

Заданы затраты живого труда (трудовые ресурсы) в отраслях:

L₁ = 310

L₂ = 215

L₃ = 255

L₄ = 295