Электротехника Лекции. Закон Кулона напряженность электрического поля
 Скачать 39.64 Mb.
|
|
ПРИЛОЖЕНИЕ
Величины, характеризующиеся численным значением и направлением, называются векторами. К числу векторов принадлежат скорость, ускорение, сила и ряд других величин. В практике расчетов электрических цепей переменного тока широко используется метод векторных диаграмм, отличающийся простотой и наглядностью. Диаграммы применяют главным образом потому, что сложение и вычитание синусоидальных величин, наиболее просто выполняется в векторной форме. На чертежах векторы изображаются в виде прямолинейных отрезков со стрелкой на конце. Длина отрезка в установленном масштабе дает модуль вектора, а указанное стрелкой направление отрезка дает направление вектора. Векторы, направленные вдоль параллельных прямых (в одну т ту же сторону или в противоположные стороны), называются коллинеарными. Векторы, направления которых параллельны одной и той же плоскости, называются компланарными. Одинаковые по модулю коллинеарные векторы, направленные в одну и ту же сторону, считаются равными друг другу. Равные по модулю коллинеарные векторы, имеющие противоположные направления, считаются отличающимися друг от друга по знаку. Так, например, между векторами, изображенными на рис.224 и их модулями имеются следующие соотношения: А = В; А = -С; В = -С; А = В = С или . Рис.224 Сложение векторов. Рис. 225 Пусть даны два вектора А и В (рис.225 а). Чтобы получить результирующий вектор С, перенесем вектор В параллельно самому себе так, чтобы его начало оказалось совмещенным с концом вектора А (рис.225 б). Тогда вектор С, проведенный из начала вектора А в конец вектора В, будет представлять собой результирующий вектор; С = А + В. (п.1) Можно, однако, осуществить построение несколько иным способом (рис.225 в). Перенесем вектор В (или А) так, чтобы начала обоих векторов оказались совмещенными. Затем построим на векторах А и В параллелограмм. Диагональ этого параллелограмма, очевидно, совпадает с вектором С, полученным по способу, параллельного переноса (рис. б). По этой причине часто говорят, что векторы складываются по правилу параллелограмма. Оба рассмотренных способа дают одинаковый результат. Однако в случае сложения более чем двух векторов способ параллельного переноса (способ (б)) оказывается более простым и удобным (менее Рис.226 загромождается чертеж). Пусть даны векторы А, В, С и D (рис.226 ). Перенесем векторы параллельно самим себе таким образом, чтобы начало последующего ректора оказалось совмещенным с концом предыдущего. Получится ломаная линия. Результирующий вектор будет представлять собой вектор Е, проведенный из начала первого из слагаемых векторов А в конец последнего D. Легко убедиться в том, что результирующий вектор Е не зависит от последовательности, в которой складываются заданные векторы. На рис.226 б. показан случай Е = А + В + С + D, а на рис.226 в – случай Е =D+ В + С + А. Вычитание векторов. Разностью двух векторов А – В называется такой вектор С, который в сумме с Рис.227 вектором В дает вектор А (рис.227 ). Поскольку разность А – В может быть представлена в виде А – В = А + (-В), (п.2) вектор С =А –В можно получить, сложив вектор А с вектором, равным по величине вектору В, взятому с обратным знаком. Радиус – вектор. Радиусом – вектором точки называется вектор, проведенный из начала координат в данную точку (рис.228). Радиус – вектор r однозначно определяет положение точки в пространстве. Его Рис. 228 декартовым координатам точки: rx = x; ry = y; rz = z. (п.3) Квадрат модуля вектора r равен сумме квадратов координат: r2 = x2 + y2 + z2 (п.4). Проекция вектора на ось. Пусть даны вектор А и некоторое направление в пространстве (ось), которое обозначим буквой n (рис.229 ). Проведем через началои конец вектора А плоскости, перпендикулярные к направлению n. Точки 1' и 2', в которых пересекаются эти плоскости с осью n, называются проекциями начала и конца вектора А на ось n. Величина отрезка оси, заключенного между плоскостями, называется проекцией вектора А на направление (или на ось) n. Проекция вектора есть скалярная величина. Если направление от точки 1' к точке 2' совпадает с направлением n, проекция считается положительной; в противном случае проекция отрицательна. Рис.229 Проекция, обозначается той же буквой, что и сам вектор, с добавлением индекса, обозначающего то направление, на которое спроектирован вектор. Например, проекция вектора А на направление n обозначается Аn. Введем в рассмотрение угол φ, который образует вектор А с осью n (рис. ). Проекция Аn, очевидно, может быть вычислена следующим образом: А n = А cosφ, (п.5) где А – модуль вектора А. Если вектор образует с данным направлением острый угол, косинус этого угла положителен, проекция вектора также положительна. Если вектор образует с осью тупой угол, косинус этого угла отрицателен, проекция также отрицательна. Если вектор перпендикулярен к данной оси, проекция его равна нулю. Разложение вектора на составляющие. Каждый вектор А можно заменить несколькими векторами А1, А2, и т.д., которые в сумме дают вектор А. В этом случае векторы А1, А2 и т.д. называют составляющими вектора А. Саму операцию замены вектора А несколькими векторами называют разложением вектора А на составляющие. На рис.230 показано разложение вектора А на составляющие, имеющие направления прямоугольных координатных осей. Символами Ax, Ay, Az обозначены составляющие вектора А по осям x,y и z. Рис.230
Для расчета цепей переменного тока, а также для анализа процессов в электрических машинах широкое применение получил так называемый символический метод, основанный на использовании комплексных чисел. Как известно, комплексное число (рис.231 ) может быть записано в трех формах: алгебраической, тригонометрической и показательной: Рис.231 (п.6) где - модуль комплексного числа; аргумент показывающий ориентировку вектора на числовой плоскости, и . Если аргумент изменяется со временем, например то точка на числовой плоскости, соответствующая комплексному числу описывает окружность радиуса А с центром в начале координат. Поэтому комплексное число может быть представлено вектором , вращающимся против часовой стрелки с угловой скоростью ω. Эта особенность комплексных чисел и дает возможность применять их к гармонически изменяющимся величинам. Сложение и вычитание комплексных чисел. Для сложения и вычитания комплексных чисел они должны быть представлены в алгебраической форме. При сложении складываются отдельно их действительные и мнимые части, например + (п.7) Так как каждое комплексное число может быть представлено вектором, то сложению двух комплексных чисел соответствует сложение двух векторов. Вычитание комплексных чисел может быть заменено сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с обратным знаком, что следует из выражения (п.8) Умножение и деление комплексных чисел. Умножение и деление комплексных чисел проще всего производится в том случае, когда они выражены в показательной форме. Допустим, что нужно перемножить два комплекса, выраженных через свои модули А и В и аргументы т.е. и В результате получается новый комплекс = (п.9) откуда следует . что и Произведение двух комплексов дает новый комплекс, модуль которого равен произведению модулей множителей, а аргумент равен алгебраической сумме аргументов перемножаемых комплексов. Частное от деления комплекса на комплекс равно (п.10) Частное от деления одного комплекса на другой дает новый комплекс, модуль которого равен частному от деления модуля делимого на модуль комплекса делителя, а аргумент равен алгебраической разности аргументов делимого и делителя. Напряжения и токи в комплексном виде. Любая синусоидальная функция может быть представлена комплексным числом. Расчет электрических цепей переменного тока может быть значительно облегчен, если использовать комплексные числа для обозначения электрических величин. При представлении этих величин в комплексном виде все формулы, законы и методы расчетов цепей постоянного тока применимы и для цепей переменного тока. Если напряжение , то вектор этого напряжения имеет длину, равную действующему значению и угол наклона вектора к оси абсцисс равен . Этот же вектор может быть выражен комплексным числом с модулем , равным действующему значению, а аргументом – начальной фазе. Таким образом, (п.11) Если то (п.12) если то (п.13) Переводя выражение в алгебраическую форму записи, получим (п.14) Так как то (п.15) т.е. вещественная часть комплексного числа – это активная составляющая напряжения, а мнимая часть - его реактивная составляющая. Аналогично для уравнения ( ) (п.16) или (п.17) Знак плюс у реактивной составляющей означает индуктивный, а знак минус - емкостной характер цепи.
Если электрическая цепь содержит два узла, то расчет производится методом узлового напряжения. На рис. 232 а представлена схема, имеющая два узла А и В. Данную цепь можно представить состоящей из отдельных элементов (рис.232 б). Для каждого элемента цепи можно записать а б Рис.232 (п.18) (п.19) (п.20) По первому закону Кирхгофа для узла А (п.21) Подставляя в это выражение значения токов, получим - (п.22) Так как (п.24) то последнее уравнение можно переписать в виде (п.25) Решая его относительно , найдем (п.26) Узловое напряжение равно отношению алгебраической суммы произведений эдс и соответствующих проводимостей ветвей к сумме проводимостей всех ветвей.
|