Заочное отделение
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Матричный метод: Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(7,9,1) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=5•(-3•3-2•2)-2•(8•3-2•(-1))+1•(8•2-(-3•(-1)))=-104 Итак, определитель -104 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(-3•3-2•2)=-13 ∆1,2=-(2•3-1•2)=-4 ∆1,3=(2•2-1•(-3))=7 ∆2,1=-(8•3-2•(-1))=-26 ∆2,2=(5•3-1•(-1))=16 ∆2,3=-(5•2-1•8)=-2 ∆3,1=(8•2-(-3•(-1)))=13 ∆3,2=-(5•2-2•(-1))=-12 ∆3,3=(5•(-3)-2•8)=-31 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(3,-1,0) x1=-312 / (-104)=3 x2=104 / (-104)=-1 x3=0 / (-104)=0 Проверка. 5•3+8•(-1)-1•0=7 2•3-3•(-1)+2•0=9 1•3+2•(-1)+3•0=1 Метод Крамера: Запишем систему в виде: BT = (7,9,1) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Найдем определитель: Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-3)*3-2*2) = -13 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (8*3-2*(-1)) = 26 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (8*2-(-3)*(-1)) = 13 Определитель: ∆ = (-1)1+15*(-13)+(-1)2+12*26+(-1)3+11*13 = 5*(-13)-2*26+1*13 = -104 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-3)*3-2*2) = -13 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (8*3-2*(-1)) = 26 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (8*2-(-3)*(-1)) = 13 Определитель минора: ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+17*(-13)+(-1)2+19*26+(-1)3+11*13 = 7*(-13)-9*26+1*13 = -312 Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (9*3-1*2) = 25 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (7*3-1*(-1)) = 22 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (7*2-9*(-1)) = 23 Определитель минора: ∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+15*25+(-1)2+12*22+(-1)3+11*23 = 5*25-2*22+1*23 = 104 Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-3)*1-2*9) = -21 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (8*1-2*7) = -6 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (8*9-(-3)*7) = 93 Определитель минора: ∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+15*(-21)+(-1)2+12*(-6)+(-1)3+11*93 = 5*(-21)-2*(-6)+1*93 = 0 Выпишем отдельно найденные переменные Х Проверка. 5*3+8*(-1)-1*0 = 7 2*3-3*(-1)+2*0 = 9 1*3+2*(-1)+3*0 = 1 Методом Гаусса-Жордана найти решение системы уравнений Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы. Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Разрешающий элемент равен (-2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Разрешающий элемент равен (-0.5). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Теперь исходную систему можно записать так (общее решение): x1 = 1 - x4 + x5 x2 = 1 - x4 + 2x5 x3 = 1 + 2x5 |