Главная страница

Заочное отделение


Скачать 0.86 Mb.
НазваниеЗаочное отделение
Дата26.12.2021
Размер0.86 Mb.
Формат файлаdoc
Имя файла000e42b7-af487ab5.doc
ТипДокументы
#319179
страница6 из 10
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10

Матричный метод:

Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов:
Вектор B:

BT=(4,2,0)

С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B.

Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е.

Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1.

Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля.

Найдем главный определитель.

∆=2•(2•5-(-1•13))-5•(-1•5-(-1•5))+3•(-1•13-2•5)=-23

Итак, определитель -23 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения.

Пусть имеем невырожденную матрицу А:

=

Тогда:

=

где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А.

Вычисляем алгебраические дополнения.
1,1=(2•5-(-1•13))=23
1,2=-(5•5-3•13)=14
1,3=(5•(-1)-3•2)=-11
2,1=-(-1•5-(-1•5))=0
2,2=(2•5-3•5)=-5
2,3=-(2•(-1)-3•(-1))=-1
3,1=(-1•13-2•5)=-23
3,2=-(2•13-5•5)=-1
3,3=(2•2-5•(-1))=9

Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C:
Вычислим обратную матрицу:
Вектор результатов X

X=A-1 • B


XT=(-4,-2,2)

x1=92 / (-23)=-4

x2=46 / (-23)=-2

x3=-46 / (-23)=2

Проверка.

2•(-4)-1•(-2)+5•2=4

5•(-4)+2•(-2)+13•2=2

3•(-4)-1•(-2)+5•2=0

Метод Крамера:

Запишем систему в виде:
BT = (4,2,0)

Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю.

Найдем определитель:

Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

5

5

2

13

3

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

1,1 = (2*5-(-1)*13) = 23

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

5

5

2

13

3

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

2,1 = ((-1)*5-(-1)*5) = 0

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

5

5

2

13

3

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

3,1 = ((-1)*13-2*5) = -23

Определитель:

∆ = (-1)1+12*23+(-1)2+15*0+(-1)3+13*(-23) = 2*23-5*0+3*(-23) = -23

Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.


4

-1

5

2

2

13

0

-1

5

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.


4

-1

5

2

2

13

0

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

1,1 = (2*5-(-1)*13) = 23

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.


4

-1

5

2

2

13

0

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

2,1 = ((-1)*5-(-1)*5) = 0

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.


4

-1

5

2

2

13

0

-1

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

3,1 = ((-1)*13-2*5) = -23

Определитель минора:

1 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = (-1)1+14*23+(-1)2+12*0+(-1)3+10*(-23) = 4*23-2*0+0*(-23) = 92
Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.


2

4

5

5

2

13

3

0

5

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.


2

4

5

5

2

13

3

0

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

1,1 = (2*5-0*13) = 10

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.


2

4

5

5

2

13

3

0

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

2,1 = (4*5-0*5) = 20

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.


2

4

5

5

2

13

3

0

5

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

3,1 = (4*13-2*5) = 42

Определитель минора:

2 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = (-1)1+12*10+(-1)2+15*20+(-1)3+13*42 = 2*10-5*20+3*42 = 46
Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.


2

-1

4

5

2

2

3

-1

0

Найдем определитель полученной матрицы.
Минор для (1,1):

Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

4

5

2

2

3

-1

0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

1,1 = (2*0-(-1)*2) = 2

Минор для (2,1):

Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

4

5

2

2

3

-1

0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

2,1 = ((-1)*0-(-1)*4) = 4

Минор для (3,1):

Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.


2

-1

4

5

2

2

3

-1

0

Получаем:

Найдем определитель для этого минора.

3,1 = ((-1)*2-2*4) = -10

Определитель минора:

3 = (-1)1+1a1111 + (-1)2+1a2121 + (-1)3+1a3131 = (-1)1+12*2+(-1)2+15*4+(-1)3+13*(-10) = 2*2-5*4+3*(-10) = -46
Выпишем отдельно найденные переменные Х


Проверка.

2*(-4)-1*(-2)+5*2 = 4

5*(-4)+2*(-2)+13*2 = 2

3*(-4)-1*(-2)+5*2 = 0


  1. Методом Гаусса-Жордана найти решение системы уравнений


Запишем систему в виде:


2

2

0

1

1

4

1

0

1

2

1

1

0

1

2

0

2

1

3

3

3

3

4

7

Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы.
Разрешающий элемент равен (2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.

Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ.

НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ

РЭ - разрешающий элемент (2), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ.

Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:


x1

x2

x3

x4

x5

B

2 / 2 = 1

2 / 2 = 1

0 / 2 = 0

1 / 2 = 0.5

1 / 2 = 0.5

4 / 2 = 2























































В итоге получаем:



1

1

0

0.5

0.5

2

0

-1

1

1.5

0.5

-1

0

1

2

0

2

1

0

0

3

1.5

2.5

1

Разрешающий элемент равен (-1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:


x1

x2

x3

x4

x5

B



















0 / -1 = 0

-1 / -1 = 1

1 / -1 = -1

1.5 / -1 = -1.5

0.5 / -1 = -0.5

-1 / -1 = 1





































В итоге получаем:



1

0

1

2

1

1

0

1

-1

-1.5

-0.5

1

0

0

3

1.5

2.5

0

0

0

3

1.5

2.5

1

Разрешающий элемент равен (3). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника.
Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:


x1

x2

x3

x4

x5

B





































0 / 3 = 0

0 / 3 = 0

3 / 3 = 1

1.5 / 3 = 0.5

2.5 / 3 = 0.83

0 / 3 = 0



















В итоге получаем:



1

0

0

1.5

0.1667

1

0

1

0

-1

0.3333

1

0

0

1

0.5

0.8333

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1.5

0.1667

1

0

1

0

-1

0.3333

1

0

0

1

0.5

0.8333

0

0

0

0

0

0

1

Ранг основной матрицы системы равен r(A)=3. Ранг расширенной матрицы равен r=4 (в основной матрице системы имеется нулевая строка). Таким образом, система не имеет решения.

ГИТИС

Заочное отделение

ДКР№1. ВАРИАНТ№5



  1. Предприятие выпускает изделия трех видов: А, В и С. В производстве каждого изделия используется сырье трех типов: S1, S2 и S3. Нормы расхода сырья на каждое изделие и ежедневный объем израсходованного сырья приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на изделие,усл. Ед

Расход сырья в день, у.е.

А

В

С

S1

2

5

4

15800

S2

2

1

5

14200

S3

2

2

3

11800

Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида

Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 шт. изделия S1, x2 шт. изделия S2 и x3 шт. изделия S3. Запишем это в виде столбца суточного выпуска продукции X. Далее выпишем матрицу технико-экономических коэффициентов A, а также столбец суточного расхода сырья В.



В результате получаем следующую систему уравнений для определения суточного выпуска продукции:



Работаем со столбцом №1

Умножим 2-ю строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 3-й:


2

5

4

15800

2

1

5

14200

0

1

-2

-2400

Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 2-й:



2

5

4

15800

0

-4

1

-1600

0

1

-2

-2400

Работаем со столбцом №2
Умножим 2-ю строку на (k = 1 / 4 = 1/4) и добавим к 3-й:


2

5

4

15800

0

-4

1

-1600

0

0

-7/4

-2800

Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали:

Теперь исходную систему можно записать как:

x1 = 7900 - (5/2x2 + 2x3)

x2 = 400 - ( - 1/4x3)

x3 = 1600

Из 3-ой строки выражаем x3

x3 = 1600

Из 2-ой строки выражаем x2

x2 = 400 - (-1/4)*1600 = 800

Из 1-ой строки выражаем x1

x1 = 7900 - 5/2*800 - 2*1600 = 2700

  1. Найти произведение матриц АВ, если



Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: 1*1+3*0+1*1+2*1 = 4

Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: 1*1+3*1+1*0+2*1 = 6

Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом.

Получаем: 2*1+1*0+1*1+2*1 = 5

Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом.

Получаем: 2*1+1*1+1*0+2*1 = 5

В итоге получаем матрицу AxB


  1. Матричным методом и по правилу Крамера найти решение системы уравнений


1   2   3   4   5   6   7   8   9   10


написать администратору сайта