Заочное отделение
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Базисное решение получаем приравниванием переменной x4 к нулю. x1 = 1 x2 = 1 x3 = 1 ГИТИС Заочное отделение ДКР№1. ВАРИАНТ№3 Предприятие выпускает изделия трех видов: А, В и С. В производстве каждого изделия используется сырье трех типов: S1, S2 и S3. Нормы расхода сырья на каждое изделие и ежедневный объем израсходованного сырья приведены в таблице.
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 шт. изделия S1, x2 шт. изделия S2 и x3 шт. изделия S3. Запишем это в виде столбца суточного выпуска продукции X. Далее выпишем матрицу технико-экономических коэффициентов A, а также столбец суточного расхода сырья В.  В результате получаем следующую систему уравнений для определения суточного выпуска продукции:  Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = -2 / 2 = -1) и добавим к 3-й:
Умножим 1-ю строку на (k = -2 / 3 = -2/3) и добавим к 2-й:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = 3 / 4/3 = 9/4) и добавим к 3-й:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали: Теперь исходную систему можно записать как: x1 = 19300/3 - (4/3x2 + 5/3x3) x2 = -800 - ( - x3) x3 = 1600 Из 3-ой строки выражаем x3 x3 = 1600 Из 2-ой строки выражаем x2 x2 = -800 - (-1)*1600 = 800 Из 1-ой строки выражаем x1 x1 = 19300/3 - 4/3*800 - 5/3*1600 = 2700 Найти произведение матриц АВ, если Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом. Получаем: 1*2+1*4+1*2+2*1 = 10 Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом. Получаем: 1*1+1*0+1*1+2*1 = 4 Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом. Получаем: 2*2+1*4+0*2+1*1 = 9 Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом. Получаем: 2*1+1*0+0*1+1*1 = 3 В итоге получаем матрицу AxB Матричным методом и по правилу Крамера найти решение системы уравнений Матричный метод: Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(5,-7,7) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=3•(-4•6-5•(-2))-1•(1•6-5•1)+(-3•(1•(-2)-(-4•1)))=-49 Итак, определитель -49 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(-4•6-5•(-2))=-14 ∆1,2=-(1•6-(-3•(-2)))=0 ∆1,3=(1•5-(-3•(-4)))=-7 ∆2,1=-(1•6-5•1)=-1 ∆2,2=(3•6-(-3•1))=21 ∆2,3=-(3•5-(-3•1))=-18 ∆3,1=(1•(-2)-(-4•1))=2 ∆3,2=-(3•(-2)-1•1)=7 ∆3,3=(3•(-4)-1•1)=-13 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(1,2,0) x1=-49 / (-49)=1 x2=-98 / (-49)=2 x3=0 / (-49)=0 Проверка. 3•1+1•2+1•0=5 1•1-4•2-2•0=-7 -3•1+5•2+6•0=7 Метод Крамера: Запишем систему в виде: BT = (5,-7,7) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Найдем определитель: Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-4)*6-5*(-2)) = -14 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1*6-5*1) = 1 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1*(-2)-(-4)*1) = 2 Определитель: ∆ = (-1)1+13*(-14)+(-1)2+11*1+(-1)3+1(-3)*2 = 3*(-14)-1*1+(-3)*2 = -49 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-4)*6-5*(-2)) = -14 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1*6-5*1) = 1 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1*(-2)-(-4)*1) = 2 Определитель минора: ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+15*(-14)+(-1)2+1(-7)*1+(-1)3+17*2 = 5*(-14)-(-7)*1+7*2 = -49 Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-7)*6-7*(-2)) = -28 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (5*6-7*1) = 23 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||