Заочное отделение
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
Матричный метод: Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(-2,1,1) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=1•(3•(-1)-1•1)-4•(1•(-1)-1•(-1))+2•(1•1-3•(-1))=4 Итак, определитель 4 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(3•(-1)-1•1)=-4 ∆1,2=-(4•(-1)-2•1)=6 ∆1,3=(4•1-2•3)=-2 ∆2,1=-(1•(-1)-1•(-1))=0 ∆2,2=(1•(-1)-2•(-1))=1 ∆2,3=-(1•1-2•1)=1 ∆3,1=(1•1-3•(-1))=4 ∆3,2=-(1•1-4•(-1))=-5 ∆3,3=(1•3-4•1)=-1 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(3,-4,1) x1=12 / 4=3 x2=-16 / 4=-4 x3=4 / 4=1 Проверка. 1•3+1•(-4)-1•1=-2 4•3+3•(-4)+1•1=1 2•3+1•(-4)-1•1=1 Метод Крамера: Запишем систему в виде: BT = (-2,1,1) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Найдем определитель: Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (3*(-1)-1*1) = -4 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1*(-1)-1*(-1)) = 0 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1*1-3*(-1)) = 4 Определитель: ∆ = (-1)1+11*(-4)+(-1)2+14*0+(-1)3+12*4 = 1*(-4)-4*0+2*4 = 4 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (3*(-1)-1*1) = -4 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1*(-1)-1*(-1)) = 0 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1*1-3*(-1)) = 4 Определитель минора: ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+1(-2)*(-4)+(-1)2+11*0+(-1)3+11*4 = (-2)*(-4)-1*0+1*4 = 12 Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (1*(-1)-1*1) = -2 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = ((-2)*(-1)-1*(-1)) = 3 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = ((-2)*1-1*(-1)) = -1 Определитель минора: ∆2 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+11*(-2)+(-1)2+14*3+(-1)3+12*(-1) = 1*(-2)-4*3+2*(-1) = -16 Заменим 3-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (3*1-1*1) = 2 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (1*1-1*(-2)) = 3 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (1*1-3*(-2)) = 7 Определитель минора: ∆3 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+11*2+(-1)2+14*3+(-1)3+12*7 = 1*2-4*3+2*7 = 4 Выпишем отдельно найденные переменные Х Проверка. 1*3+1*(-4)-1*1 = -2 4*3+3*(-4)+1*1 = 1 2*3+1*(-4)-1*1 = 1 Методом Гаусса-Жордана найти решение системы уравнений  Запишем систему в виде:
Последовательно будем выбирать разрешающий элемент РЭ, который лежит на главной диагонали матрицы. Разрешающий элемент равен (1). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Для этого выбираем четыре числа, которые расположены в вершинах прямоугольника и всегда включают разрешающий элемент РЭ. НЭ = СЭ - (А*В)/РЭ РЭ - разрешающий элемент (1), А и В - элементы матрицы, образующие прямоугольник с элементами СТЭ и РЭ. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Разрешающий элемент равен (-2). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Разрешающий элемент равен (-4.5). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
Разрешающий элемент равен (-0.444). На месте разрешающего элемента получаем 1, а в самом столбце записываем нули. Все остальные элементы матрицы, включая элементы столбца B, определяются по правилу прямоугольника. Представим расчет каждого элемента в виде таблицы:
В итоге получаем:
x1=-2 x2=-5 x3=3.5 x4=4.5 Теперь исходную систему можно записать так (общее решение): x1 = -2 + 2.5x5 x2 = -5 + 6x5 x3 = 3.5 - 3.25x5 x4 = 4.5 - 3.75x5 |