Заочное отделение
 Скачать 0.86 Mb.
|
|
ГИТИС Заочное отделение ДКР№1. ВАРИАНТ№1 Предприятие выпускает изделия трех видов: А, В и С. В производстве каждого изделия используется сырье трех типов: S1, S2 и S3. Нормы расхода сырья на каждое изделие и ежедневный объем израсходованного сырья приведены в таблице.
Найти ежедневный объем выпуска изделий каждого вида Пусть ежедневно фабрика выпускает x1 шт. изделия S1, x2 шт. изделия S2 и x3 шт. изделия S3. Запишем это в виде столбца суточного выпуска продукции X. Далее выпишем матрицу технико-экономических коэффициентов A, а также столбец суточного расхода сырья В.  В результате получаем следующую систему уравнений для определения суточного выпуска продукции:  Для удобства вычислений поменяем строки местами: Работаем со столбцом №1 Умножим 2-ю строку на (k = -3 / 4 = -3/4) и добавим к 3-й:
Умножим 1-ю строку на (k = -4 / 5 = -4/5) и добавим к 2-й:
Работаем со столбцом №2 Умножим 2-ю строку на (k = 7/4 / 21/5 = 5/12) и добавим к 3-й:
Получим единицы на главной диагонали. Для этого всю строку делим на соответствующий элемент главной диагонали: Теперь исходную систему можно записать как: x1 = 3500 - (1/5x2 + 2/5x3) x2 = 4000/3 - (1/3x3) x3 = 1600 Из 3-ой строки выражаем x3 x3 = 1600 Из 2-ой строки выражаем x2 x2 = 4000/3 - 1/3*1600 = 800 Из 1-ой строки выражаем x1 x1 = 3500 - 1/5*800 - 2/5*1600 = 2700 Ответ: ежедневный выпуск продукции составляет 2700 шт. изделия S1, 800 шт. изделия S2 и 1600 шт. изделия S3. Найти произведение матриц АВ, если Вычисляем элемент новой матрицы (1,1): работаем с 1-ой строкой и с 1-м столбцом. Получаем: 1*1+0*3+2*1+1*1 = 4 Вычисляем элемент новой матрицы (1,2): работаем с 1-ой строкой и с 2-м столбцом. Получаем: 1*2+0*1+2*1+1*1 = 5 Вычисляем элемент новой матрицы (2,1): работаем с 2-ой строкой и с 1-м столбцом. Получаем: 0*1+1*3+1*1+1*1 = 5 Вычисляем элемент новой матрицы (2,2): работаем с 2-ой строкой и с 2-м столбцом. Получаем: 0*2+1*1+1*1+1*1 = 3 В итоге получаем матрицу AxB Матричным методом и по правилу Крамера найти решение системы уравнений  Матричный метод: Обозначим через А — матрицу коэффициентов при неизвестных; X — матрицу-столбец неизвестных; B - матрицу-столбец свободных членов: Вектор B: BT=(8,-1,0) С учетом этих обозначений данная система уравнений принимает следующую матричную форму: А*Х = B. Если матрица А — невырожденная (ее определитель отличен от нуля, то она имеет обратную матрицу А-1. Умножив обе части уравнения на А-1, получим: А-1*А*Х = А-1*B, А-1*А=Е. Это равенство называется матричной записью решения системы линейных уравнений. Для нахождения решения системы уравнений необходимо вычислить обратную матрицу А-1. Система будет иметь решение, если определитель матрицы A отличен от нуля. Найдем главный определитель. ∆=3•(4•1-5•(-3))-2•(4•1-5•2)+1•(4•(-3)-4•2)=49 Итак, определитель 49 ≠ 0, поэтому продолжаем решение. Для этого найдем обратную матрицу через алгебраические дополнения. Пусть имеем невырожденную матрицу А: = Тогда: = где Aij — алгебраическое дополнение элемента aij в определителе матрицы А, которое является произведением (—1)i+j на минор (определитель) n-1 порядка, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го столбца в определителе матрицы А. Вычисляем алгебраические дополнения. ∆1,1=(4•1-5•(-3))=19 ∆1,2=-(2•1-1•(-3))=-5 ∆1,3=(2•5-1•4)=6 ∆2,1=-(4•1-5•2)=6 ∆2,2=(3•1-1•2)=1 ∆2,3=-(3•5-1•4)=-11 ∆3,1=(4•(-3)-4•2)=-20 ∆3,2=-(3•(-3)-2•2)=13 ∆3,3=(3•4-2•4)=4 Из полученных алгебраических дополнений составим присоединенную матрицу C: Вычислим обратную матрицу: Вектор результатов X X=A-1 • B XT=(2.98,-0.84,1.2) x1=146 / 49=2.98 x2=-41 / 49=-0.84 x3=59 / 49=1.2 Проверка. 3•2.98+4•(-0.84)+2•1.2=8 2•2.98+4•(-0.84)-3•1.2=-1 1•2.98+5•(-0.84)+1•1.2=0 Метод Крамера: Запишем систему в виде: BT = (8,-1,0) Система совместна тогда и только тогда, когда системный (главный) определитель не равен нулю. Найдем определитель: Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (4*1-5*(-3)) = 19 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (4*1-5*2) = -6 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (4*(-3)-4*2) = -20 Определитель: ∆ = (-1)1+13*19+(-1)2+12*(-6)+(-1)3+11*(-20) = 3*19-2*(-6)+1*(-20) = 49 Заменим 1-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = (4*1-5*(-3)) = 19 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (4*1-5*2) = -6 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆3,1 = (4*(-3)-4*2) = -20 Определитель минора: ∆1 = (-1)1+1a11∆11 + (-1)2+1a21∆21 + (-1)3+1a31∆31 = (-1)1+18*19+(-1)2+1(-1)*(-6)+(-1)3+10*(-20) = 8*19-(-1)*(-6)+0*(-20) = 146 Заменим 2-й столбец матрицы А на вектор результата В.
Найдем определитель полученной матрицы. Минор для (1,1): Вычеркиваем из матрицы 1-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆1,1 = ((-1)*1-0*(-3)) = -1 Минор для (2,1): Вычеркиваем из матрицы 2-ю строку и 1-й столбец.
Получаем: Найдем определитель для этого минора. ∆2,1 = (8*1-0*2) = 8 Минор для (3,1): Вычеркиваем из матрицы 3-ю строку и 1-й столбец.
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||