теория вероятности. 1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы

Название	1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы
Дата	23.04.2022
Размер	1.11 Mb.
Формат файла
Имя файла	теория вероятности.doc
Тип	Документы #492247
страница	1 из 5

1 2 3 4 5

1. Опыт с равновероятностными исходами. Вероятность и частота. Некоторые комбинаторные формулы.

Частотой события нзв отношение числа испытаний, в которых событие произошло, к числу всех произведенных испытаний.

Числовая хар-ка сл.события, обладающая тем свойством, что для любой достаточно большой серии испытаний частота события лишь незначительно отличается от этой хар-ки, нзв вероятностью события.

Р азмещениями из n элементов по m в каждом

или

При размещении с повторениями:

Перестановками из n элементов

С повторениями:

Сочетаниями из n элементов по m

С повторениями:

2. Математическая формализация случайного эксперимента. Пространство элементарных событий. Классификация событий. Операции над событиями и свойства операций.

Случайным нзв событие, к-рое может произойти или не произойти в рез-те некотор. испыт.

Испытание (опыт, эксперимент) — это процесс, включ. опред. усл-я и приводящий к одному из неск. возм. исходов. Исходом опыта м.б. рез-тат наблюдения или измерения.

Возможные исходы w_i эксперимента Gнзв элементарными событиями, если они явл.взаимоисключ.и в рез-те опыта одно из них обязательно происх.

Случайное событие может состоять из нескольких элементарных событий, подразделяющихся на достоверные, невозможные, совместные, несовместные, единственно возможные, равновозможные, противоположные.

Событие, которое обязательно произойдет в результате испытания, нзв достоверным

Событие, которое не может произойти в результате данного опыта (испытания), нзв невозможным.

Неск-ко событий нзв несовместными в данном опыте, если появление одного из них исключает появление других.

Неск-ко событий нзв совместными, если в рез-те эксперимента наступление одного из них не исключает появления других.

События нзв единственно возможными, если в рез-те испытания хотя бы одно из них обязательно произойдет.

Сов-ть всех единственно возможных и несовместных событий нзв полной группой событий.

Два ед. возм. и несовмест. соб. нзв противоположными.

События нзв равновозможными, если в рез-те испытания по условию симметрии ни одно из них не явл.объективно более возможным, чем другие.

Сов-ть Ω всех элемент.событий w_i в опыте G нзв пространством элемент.событий. Пространство элемент.событий – это математическая модель опыта, в к-рой любому событию ставится в соответствие некоторое подмнож-во пространства Ω.

Мн-во Ω м.б. конечным, счетным или несчетным.

Операции над событиями:

Соб. А₁ и А₂ нзв равными, если осуществление соб.А₁ влечет за собой осуществление соб. А₂ и наоборот.

А₁=А₂

Суммой (объединением) соб. А и B нзв соб.C, к-рое означает осущ-е хотя бы одного из соб. А или B.

Произведением (пересечением) соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что одновременно осущ-ся и А и B.

Разностью соб. А и B нзв соб. C, к-рое означает, что происх. соб. А, но не происх. соб. B.

Соб. Ā нзв противоположным по отношению к соб. А, если оно состоит из элемент.соб., не входящих в соб.А, но входящих в простр-во элемент.соб. Ω.

Ā=Ω\А

А+Ā=Ω

Несовместные события:

А∙B=Ø

Свойства операций:

Ω+А=Ω
Ω∙А=А
А∙А=А
А+Ø=А
А∙Ø=Ø
(А\В)∙(В\А)=Ø
А+Ā=Ω
А∙Ā=Ø
А+В=В+А
А∙В=В∙А
(А+В)+С=А+(В+С)
(А∙В)∙С=А∙(В∙С)
С(А+В)=СА+СВ
А+ВС=(А+В)(А+С)

3 . Классическое, статистическое, геометрическое определение вероятности.

Классическое: Вероятностью появления события А называют отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению этого события, к общему числу всех единственно возможных и несовместных элементарных исходов.

Статистическое: Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) этого события, вычисленная по результатам большого числа испытаний.

Будем обозначать ее Р^*(А). Следовательно

Геометрическое: Если пространство элементарных событий содержит бесконечное множество элементов и ему можно поставить в соответствие некоторое геометрическое пространство, а вероятность каждого события зависит только от меры этого события, а не от его положения, то говорят, что на этом пространстве определена геометрическая вероятность. При этом вероятность каждого события А есть отношение меры А к мере U пространства элементарных событий.

Одним из недостатков классического определения вероятности является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытаний. Иногда этот недостаток преодолевается использованием геометрического определения вероятности, т.е. находят вероятность попадания точки в некоторую область

G>g

На G на удачу бросается точка. Событие А состоит в попадании этой точки на фигуру g. Тогда вероятность этого события пропорционально площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g.

Фигуру «g» называют благоприятствующей событию А, а область применения геометрической вероятности может быть n-мерной.

Вероятность события А есть отношение области g к области G:P(A)= S_g/S_G
4. Аксиоматическое определение вероятности (по Колмогорову). Свойства вероятности. Свойства вероятности для полной группы событий.

Пусть F – подмножество элементарных событий.

Мн-во R нзв алгеброй множеств, если выполн.след.требования:

1) алгебра мн-в содерж.достоверные события:

ΩF, ØF

2) F содерж.как само событие, так и противоположное ему:

если АF, то ĀF

3) С любыми 2-мя событиями алгебра содержит их объединение и пересечение:

АF, BF => ABF, ABF

4) Для конечного набора событий алгебра содержит их объединение и пересечение:

A_n – конечный набор событий

Если все 4 усл-я выполн., то F нзв -алгеброй.

Элементы мн-ва F нзв случайными событиями. Вероятностным пространством принято называть тройку символов: (Ω, F, P). F (-алгебра подмн-ва Ω) нзв случ.событиями. Р(А) – вероятность, опред.на -алгебре.

Аксиоматическое определение вероятности: Вероятностью соб.А нзв ф-ция Р(А), определенная на -алгебре F, удовлетв. след. аксиомам вер-ти:

1. Р(А) ≥ 0 ; неотрицательность

Каждому соб.А F ставится в соответствие неотрицательное число Р(А), называемое его вер-тью.

2. Р(Ω) = 1, Ω - достоверное событие ;

Вер-ть достовер.события равна 1.

3. Для любых попарно несовмест.событий А₁, А₂…A_n справедливо след.рав-во:

Р(A₁+A₂+…A_n)=P(A₁)+P(A₂)+…+P(A_n)

4. Если послед-ть А₁, А₂…A_nтакова, что каждое последующее ведет за собой предыдущее, и произведение событий есть невозможное событие, имеет место рав-во:

Осн.св-ва вероятности:

Если вер-ть соб.А Р(А)=1, но соб. АΩ, то говорят, что соб А в опыте G происходит почти наверное.

Если вер-ть соб.А Р(А)=0, но соб. АØ, то говорят, что соб А в опыте G почти никогда не происходит.

Ω=Ø+Ω По аксиоме 3: Р(Ω)=Р(Ø)+Р(Ω)

1) Вер-ть невозможного соб.равна 0

Р(Ø) = 0

2) Если вер-ть соб. Р(А)=1, то отсюда не следует, что соб.А явл.достоверным

3) Если вер-ть соб. Р(А)=0, то отсюда не следует, что соб.А явл.невозможным

4) Если соб.А влечет за собой соб.В, то

АВ => P(A)P(B)

Д

ок-во: Если вер-ть монотонна, то Р(А)=Р(В). В=А+В\А; А(В\А)=Ø т.к. А и В\А несовместны. По аксиоме 1 и 3 Р(В)=Р(А)+Р(В\А)Р(А)

5) Каково бы ни было случ.соб. А, его вер-ть неотрицательна и не больше 1.

0Р(А)1

Док-во: АΩ. По св-ву 4: Р(А)Р(Ω)=1. По св-ву 1: 0Р(А)

6) Вер-ть суммы 2-х произвольных событий А и В  F выражается формулой:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

Док-во: А+В=А+(В-АВ)

В=АВ+(В-АВ)

По аксиоме 3: Р(А+В)=Р(А)-Р(В-АВ)

Р(В)=Р(АВ)+Р(В-АВ)

=> Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)

7) Р(А+В)Р(А)+Р(В) (по св-ву 6, Р(АВ)0)

8)

Если соб. А₁, А₂…A_nнесовмест., тогда нерав-во переходит в рав-во

Вер-ть суммы нескольких несовмест.соб.равна сумме их вер-тей.

9) Если А и В F и АВ=Ø, то Р(С(А+В))=Р(СА)+Р(СВ)

Док-во: (СА)(СВ)=Ø, т.к. АВ=Ø

С(А+В)=СА+СВ => (по аксиоме 3) Р(С(А+В))=Р(СА+СВ)=Р(СА)+Р(СВ)
Св-ва вероятности для полной группы событий

Соб. Н₁, Н₂…Н_nв некоем опыте G образ.полную группу несовмест.событий, если они попарно несовместны и в рез-те опыта произойдет хотя бы одно из событий Н_i.

Н₁+Н₂+…+Н_n=Ω

При этом соб. Н₁, Н₂…Н_n, к-рые имеют положит.вер-ть, нзв гипотезами.

10) Если соб. Н₁, Н₂…Н_nобраз.полную группу, то

Р(Н₁)+Р(Н₂)+…+Р(Н_n)=Р(Н₁+Н₂+…+Н_n)=1

11) Для любого соб.А вер-ть противоположного соб.Ā определяется по формуле: Р(Ā)=1-Р(А)

Док-во: Ā= Ω/А, А*Ā= Ø – несовмест., А+Ā= Ω

Р(А+Ā)=1; по аскиоме 3: Р(А+Ā)=Р(А)+Р(Ā)=1

=> Р(Ā)=1- Р(А)
5. Условная вероятность и её свойства. Независимость событий. Основные формулы вычисления вероятностей: формула умножения вероятностей, формула сложения вероятностей.

Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А и обозначается Р(А|В) или P_B(A).

Условная вероятность события А при условии наступления события В равна Р(А|В)= Р(АB) /P(B), где P(B)>0 (формула условной вероятности).

Св-ва усл.вер-ти:

1) 0 Р(А|В)1

2) если АВ=Ø, то Р(А|В)=0

3) если соб.В ведет к обяз.осущ-ю соб.А, то усл.вер-ть равна 1 ВА  Р(А|В)=1

4) Р(А|Ω)=1

5) если соб.А есть объединение непересекающихся событий А₁, А₂…A_n , то вер-ть Р(А|В) равна

Условие независимости события А от события В можно записать в виде:

Р(А|В)= Р(А)

Соб.А и В нзв независ., если вер-ть их произведения равна произведению их вер-тей.

Соб. А₁, А₂…A_n нзв независ. в совокупности, если каждое из них не зависит от произведения любой совокупности остальных.

Если любые два события из А₁, А₂…A_n независ., то соб. А₁, А₂…A_n нзв попарно независ.

Замеч.: независ-ть событий не следует из их попарной независимости, но обратное утверждение верно.

Замеч.: если несовмест.соб. А и В имеют ненулевые вероятности, то они зависимы.

Док-во: Пусть АВ=Ø, А и В несовмест., тогда Р(А)*Р(В)=Р(АВ)=Р(Ø)=0, но при этом Р(А)0 и Р(В)0 => противоречие => А и В зависимы.

Теорема: Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при условии, что первое имело место:

P(AB) = P(A)P(B|A)= P(В)P(А|В).

Метод математической индукции позволяет обобщить эту формулу на случай n событий.

P(A₁A₂……A_n)= P(A₁)P(A₂|A₁)*…* P(A_n|A₁A₂…A_n-1)

Формула сложения вер-тей:

Вер-ть появления в опыте хотя бы одного из соб. А₁, А₂…A_n выражается формулой

Замечание: если соб. А₁, А₂…A_n попарно несовмест., то вер-ть произведения любой комбинации из этих событий равна 0.

Если соб. А₁, А₂…A_n совместные и независ., то

6. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Ф ормула полной вероятности

Пусть дана группа несовместных событий В₁,В₂…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|В₁), P(A|В₂),…,P(A|B_n). Требуется определить вероятность P(A).

Так как A = АВ₁ +АВ₂ +…+ АВ_n, то P(A)= P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n ).

События В₁, В₂,…,В_n несовместные, следовательно, события АВ₁,АВ₂,…,АВ_n тоже несовместные. Воспользуемся теоремой сложения для несовместных событий.

P(A) = P(АВ₁ + АВ₂ +… +АВ_n) = P(АВ₁)+ P(АВ₂)+… +P(АВ_n )

По теореме умножения для каждого слагаемого имеем

P(AB_i)=P(B_i)P(A|B_i).

Следовательно

P(A) = P(B₁)P(A|B₁) +P(B₂)P(A|B₂)+…+P(B_n)P(A|B_n).

Или

- формула полной вероятности

Ф ормула Байеса

Пусть дана группа несовместных событий В₁, В₂ ,…В_n и некоторое событие А, подразделяющееся на частные случаи АВ₁, АВ₂,… АВ_n. И пусть даны вероятности P(В₁), P(В₂),…,P(В_n) и условные вероятности P(A|B₁), P(A|В₂),…,P(A|В_n). Требуется определить условные вероятности P(В₁|A), P(В₂|A),…,P(В_n|A).

По теореме умножения

P(AB) = P(B)P(A|B) или P(AB) = P(A)P(B|A).

Следовательно, P(B)P(A|B)=P(A)P(B|A).

Воспользуемся последним равенством и выразим P(B|A) в общем случае

P(A) находим по формуле полной вероятности

Итак,

- формула Байеса

Вер-ть Р(В_i) осуществления соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. безотносительно к соб. А, нзв априорной вер-тью (a priori). Усл. вер-ть Р(В_i|А) выполнения соб. В_i (i = 1,…,n), вычисл. в предположении, что соб. А осуществилось, нзв апостериорной вер-тью (a posteriori).

События В_i называют гипотезами, а теорему Байеса теоремой гипотез.
Формулы полной вероятности и Байеса связаны между собой и дают прямое и обратное решения одной и той же проблемы. Первая прогнозирует возможность появления события А по известным до опыта вероятностям осуществления гипотез. Последняя оценивает вероятность осуществления каждой гипотезы, если событие А произошло.
7.Случайные величины. Основные свойства функции распределения. Дискретные непрерывные случайные величины.

Случайной нзв величину, к-рая в рез-те испытания примет одно и только одно возможное значение, наперед не известное и зависящее от случ.причин, к-рые заранее не могут быть учтены.

Опр: Случайной величиной ξ() нзв. ф-ция элементарных событий от  с обл. определений Ω и обл. значений действ. чиселR¹и означает, что событие {: ξ()x} σ-алгебре F при хR¹. Значение х нзв реализацией случ-ой вел-ны ξ(). Сов-ть всех реализаций сл. вел-ны, т.е. обл. значений ξ(), нзв. спектром знач. сл. величины.

Ф-ция распределения случ-ой величины.

σ-алгебра мн-ва F предст.соб. класс событий, для к-рых определена вер-ть

Опр: Пусть у нас есть ξ – случ.вел-на и х – произвольное действительное число. Вер-ть того, что ξ меньше, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ.

Для описания случайной величины ξ необходимо указать множество её возможных значений х и задать распределение вер-тей этих значений.

Опр: Пусть ξ() сл. вел-на и х произвольное действительное число вер-ти. Тогда вер-ть того, что ξ() примет значение, меньшее, чем х, нзв ф-цией распред. вер-тей сл. вел-ны ξ().

Замечание: ф-ция распределения явл. разновидностью закона распределения для сл. величин всех типов и однозначно опред. случ. величину.

Св-ва ф-ции распред.

1) Ф-ция распред. F_ξ(x) опред. для всех х на действ. прямой.

2) Ф-ция распред. неотриц. и не больше 1.

Ф-ция

определенная на всей числовой прямой R нзв ф-цией распределения случ-ой величины.

Н

апример: х принимает значение -1 с вер-тью ½ и значение 1 с вер-тью ½. Тогда

Док-во: ξ<+∞ достоверно, отсюда Р(ξ<+∞)=1. A_k – событие, состоящее в том, что k-1ξn={ξ –n} n=1, 2,… B_n₊₁={x – (n+1)}  B_n(ξ –n) n1.

для любого элементарного исхода знач. ξ вещественно и не может быть меньше всех веществ.чисел, т.е. пересечение B_n не содерж. элем.исходов.

Аналогично док-ся для х→-∞.

4) Ф-ция распределения не убывает.

Если x₁2, то F(x₁)-F(x₂)=P{x₁x2}, при этом F(x₁)F(x₂).

Д-во:  x₁2, {ξ2}={ξx₁}+{x₁<ξx₂}.

{ξx₁}{x₁<ξx₂}=.

По А3: F(x₂)=P{ξ2}=F(x₁)+P{x₁<ξx₂} => F(x₂)-F(x₁)= P{x₁<ξx₂} > 0.

5) ф-ция распред.непрерывна слева

Док-во:

По А4:

Дискретные и непрерывные случайные величины.

Опр: числовая ф-ция ξ= ξ() опред на пространстве Ω и принимающая конечное или счетное множество значений х₁, х₂, …, х_n, нзв дискретной случайной величиной, если для любого x_i мн-ва , для к-рых ξ()=x_i, принадлежит σ-алгебре мн-ва F, т.е.

Ф-ция распред. любой дискретной сл.вел-ны разрывна, возрастает скачками при тех значениях х, к-рые явл.возмож.значениями. Распределение дискрет.сл.вел-ны есть ступенчатая ф-ция. Единичной ступенчатой ф-цией (ф-цией Хевисайда) нзв ф-ция вида

Опр: числовая ф-ция ξ=ξ(), опред. на пространстве Ω и прин-щая несчетное кол-во значений (-∞; +∞), нзв непрерывной сл. вел-ной, если любое x_i мн-ва , при к-рых ξ()

Если сл.вел-на ξ имеет абсолютно непрерыв.ф-цию распред. F_ξ(x), для к-рой существ.неотриц.ф-ция f(x), удовл. при любых х рав-во

то в этом случае сл.вел-на нзв непрерывной, а ф-ция f(x) нзв плотностью распред.ее вер-тей.

Ф-ция распр.непрерыв.сл.вел-ны сама явл.непрерыв.
8.Математическое ожидание случайной величины и его свойства. Начальные и центральные моменты случайной величины. Условное математическое ожидание. Дисперсия случайной величины и её свойства. Связь различных случайных величин. Коэффициент корреляции и его свойства

Матожидание:

Опр: мат.ожиданием (или средним значением случайной величины ξ) нзв величина M[ξ], к-рая опред след образом:

Пример дискретной величины:

Кубик: N=6 {1,2,3,4,5,6}

M[ξ]=1/6(1+3+3+4+5+6)=3,5 => Вероятнее всего, выпадет 3 или 4.

Пример непрерывной величины:

ξ - точка координат, брошенная на удачу на отрезок [a;b]

Св-ва мат.ожидания:

1) мат. ожид. постоянной равно ей самой

M[c]=c, c=const. M[1]=1

2) постоянную величину можно вынести за знак мат. ожидания

M[c+ξ]=M[ξ]+c

M[c*ξ]=cM[ξ]

3) мат.ожидание суммы любых случ-ых величин равно сумме их математических ожиданий, если эти мат.ожидания существуют.

ξ, η M[ξ+η]=M[ξ]+M[η]

4) мат. ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их мат.ожиданий

ξ, η – независ. M[ξη]=M[ξ]M[η]

5) если ξη при всех элемент.исходах, то их мат.ожидания сохраняют соотношение: M[ξ]M[η].

Начальные и центральные моменты случайной величины:

Опр: начальным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв. мат.ожидание k-ой степени этой случайной величины

Опр: центральным моментом k-ого порядка случайной величины ξ нзв мат.ожидание k-ой степени центрированной случайной величины

Центрированной сл.вел-ной нзв разность м/у сл.вел-ной ξ и ее мат. ожиданием.

Условное математическое ожидание:

Е

сли условная ф-ция распределения случ. величины ξ: F_ξ(x|A), то в этом случае можно рассчитать усл.мат. ожид. по формуле:

где A_i – полная группа несовмест.событий,

- ф-ции распред. ξ. M[ξ|A] нзв услов.мат.ожид.сл.вел-ны относительно события А.

Дисперсия случайной величины:

Опр: дисперсией случ.величины ξ нзв. мат.ожидание квадрата отклонения случ.величины ξ от её мат.ожидания.

Дисперсия характеризует степень рассеивания реализации случайной величины около её мат.ожидания.

Св-ва дисперсии

1) дисперсия постоянной величины равно нулю

D[c]=0, с=const

2)

3) Дисперсия суммы любых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин (если эти дисперсии существуют)

4) если дисперсия случ. величны ξ равна нулю, то ξ равна постоянной с вероятностью, равной единице:

если D[ξ]=0, то ξ =Constс вероятностью р=1

5) дисперсию можно посчитать по формуле:

Связь различных сл.вел-н.

Две сл. вел-ны могут быть связаны либо функциональной зависимостью, либо зависимостью другого рода, называемой статистической, либо быть независимыми. Строгая функ-ная зав-ть реализуется редко, т.к. обе величины или одна из них подвержены еще действию случ.факторов, причем среди них могут быть и общие для обеих величин. В этом случае возникает статистическая зависимость. Стат-кой нзв зав-ть, при к-рой изменение одной из величин влечет изменение распределения другой. В частности, стат.зав-ть проявл.в том, что при изменении одной из величин изменяется среднее значение другой. В этом случае стат.зав-ть нзв корреляционной.

Коэффициент корреляцииr

Коэффициентом корреляции r_ξη сл.вел-н ξ и η нзв отношение корреляционного момента к произведению сред.квадр.отклонений этих вел-н:

или

где

Свойства коэффициента корреляции:

1) для независимых случайных величины ξ и η коэ-нт корреляции равен нулю.

Сл.вел-ны ξ и η нзв некоррелированными, если их коэф-т кор-ции равен 0.

2) коэ-нт корреляции лежит в пределе от -1 до 1

3) если r=1 или r=-1, то величины ξ и η линейно зависимы (прямая или обратная зав-ть соответственно)

9. Характеристическая функция и ее свойства.

Опред. Характеристической функцией случайной величины ξ называется мат ожидание случ. величины e^itξ

g(t)= M[e^itξ]

характеристическая функция при любых фиксированных t совпадает с мат ожиданием сл величины вида e^itξ.

-∞≤t ≤+∞

Замеч.: Хар. ф-ция предст. соб. преобразование Фурье плотности f(x) cлуч. величины ξ.

Св-ва хар. функции:

1.│g(t)│≤ 1 при -∞≤t ≤ +∞

док-во: i²= -1

e^itξ=cos (tx)+ i∙sin (tx)

ξ+iη

M[ξ] + i M[η]

│e^itx│² = cos² (tx) + sin² (tx)= 1

2. g(0)=1

e^itx=1

3.η=aξ+b , ξ-cл. величина, a,b- const, то g_η(t)=e^ibtg_ξ(at)

док-во: g_η(t)=M[e^i(aξ+b)]= e^itbM[e^itaξ]= e^ibtg_ξ(at)

4.Хар.ф-ция суммы двух независимых случайных величин произведению их характеристических функций.

Док-во: φ=ξ+η

g_η(t)=M[e^it^φ]= M[e^it^[^ξ⁺^η^]]= M[e^it^ξ∙ e^it^η]= M[e^it^ξ]∙ M [e^it^η]=g_ξ(t) ∙ g_η(t)

5. если случайная величина ξ имеет абсолютный момент n- ого порядка, то хар. ф-ция величины ξ, дифференцируемая k раз, при n≤k, выглядит следующим образом:

g^(k)(0)=i^kM[ξ^k]
10. Мода и медиана. Квантиль

Модой дискретной случайной величины нзв наиболее вероятное ее значение.

М

одой непрерывной случайной величины нзв такое значение, при котором плотность ее распределения достигает max. В случае симметрии мат. ожидание совпадает с модой и центром симметрии распределения, при условии что мат ожидание существует, а распределение является модальным. В общем случае мода и мат. ожидание не совпадают.

Медиана (Ме) рассматривается только для непрерывных случайных величин.

Ме случайной величины ξ нзв такое ее значение, относительно которого равновероятно получение большего или меньшего значения сл. величины ξ.

P(ξ
Квантилями уровня p ф-ции распределения F_ξ(x) нзв min значение x_p, при котором F(x) ≥p.

x_p₌min{ x: F(x) ≥p } p(0;1)

К

вантилью порядка p нзв значение случайной величины x_p_,левее которого на оси x лежит p-ая часть распределения.

F(x)= P (xp)=p

Квантиль порядка 0,5 является медианой.
11. Основные дискретные распределения. Вырожденное распределение. Испытания Бернулли. Биноминальное распределение. Распределение Пуассона. Теорема Пуассона.

Основные дискретные распределения

Говорят, что случайная величина ξ имеет дискретное распределение, если существует конечный или счетный набор чисел {a₁, a₂, …, a_n} такой, что:

1 2 3 4 5